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Aula 12: Oscilações Eletromagnéticas Curso de Física Geral III F-328 1o semestre, 2014 1 F328 – 1S2014 2 Oscilações eletromagnéticas (LC) ω Circuitos RC e RL: • q(t), i(t) e V(t): têm comportamento exponencial Circuito LC: • q(t), i(t) e V(t): comportamento senoidal • Oscilações • campo elétrico do capacitor • campo magnético do indutor Oscilações eletromagnéticas Vimos: Veremos: F328 – 1S2014 3 energia totalmente elétrica energia totalmente elétrica Oscilações LC F328 – 1S2014 3 energia totalmente magnética energia totalmente magnética F328 – 1S2014 4 http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm Simulação dos estágios Oscilações eletromagnéticas (LC) F328 – 1S2014 5 Osciladores harmônicos simples Circuito LC Sistema massa-mola cteUUU UU mvU kxU cp pc c p ==+ ⇔ = = 2 2 2 1 2 1Potencial: Cinética: (do bloco) (da mola) Total: cteUUU UU LiU C qU BE EB B E ==+ ⇔ = = 2 2 2 1 2 1Elétrica: Magnética: Total: (do indutor) (do capacitor) F328 – 1S2014 6 No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante: pc UUU += Se não houver atrito, U permanece constante, isto é: 0) 2 1 2 1( 22 =+= kxmv dt d dt dU 02 2 =+ x m k dt xd )cos( 0 ϕω += tXx mcuja solução é: Analogia eletromecânica (massa-mola) m k=0ω : Frequência angular natural Xm : Amplitude φ: Constante de fase Movimento oscilatório ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ = dt dxv F328 – 1S2014 7 C qLiUUU EB 2 2 2 1 2 1 +=+= Analogia eletromecânica (oscilador LC) Como não há resistência no circuito, temos: 0 22 22 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += C qLi dt d dt dU 012 2 =+ q LCdt qd ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ = dt dqi )cos()( 0 ϕω += tQtqcuja solução é: LC 1 0=ω : Frequência angular natural Q : Amplitude φ: Constante de fase Oscilações eletromagnéticas Corrente: )(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdt dqi Energia total oscilante : F328 – 1S2014 8 Correspondências entre os dois sistemas xq→ k C →1 mL→ vi→ A amplitude e a constante de fase são determinadas pelas condições iniciais (no circuito LC, i(0) e q(0)). Analogia eletromecânica Circuito LC Sistema massa-mola Frequência angular: Amplitude: Constante de fase: LC 1 0 =ω Q φ m k=0ω Xm φ F328 – 1S2014 9 A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é: )(sen 2 1 2 1 0 222 0 2 ϕωω +== tQLLiUB )(cos 22 0 2 22 ϕω +== t C Q C qUE A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez: Então, a soma (energia total) permanece constante. C QUU BE 2 2 =+ Energias elétrica e magnética )(sen 2 0 2 2 ϕω += t C QUB ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = LC 1 0ω F328 – 1S2014 10 Com um resistor R no circuito, a energia eletromagnética total U do sistema não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor . C qLiU 22 1 22 += 2Ri dt dU −= 2Ri dt dq C q dt diLi −=+ 012 2 =++ q LCdt dq L R dt qd ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ = dt dqi )0( < dt dU Oscilações amortecidas (circuito RLC) Energia eletromagnética Potência dissipada F328 – 1S2014 11 Oscilações amortecidas: amplitude de q(t) decai exponencialmente com o tempo. onde Solução geral para o caso de amortecimento fraco : )cos()( 2max ϕω +′= − teQtq t L R 2 2 0 2 ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛−=′ L Rωω LC 1 0=≅′ ωω ω’ aproxima-se da frequência angular natural do sistema ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ < C LR 4 LCL R 1 2 2 <<⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ Oscilações amortecidas (circuito RLC) Quando F328 – 1S2014 12 Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω. a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito será 50% do seu valor original? b) quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo? LC tntnT π2 =⇒= ( ) 13 10.6,110.122 011,0 2 1 63 ≅ × = −−π n Neste caso, como , . Ou seja: 0ωω ≅′ 2 0 2 2 ω<<⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ L R ou Queremos que: 5,0ln 2 5,0 max2max =−⇒= − L RtQeQ t L R st R Lt 011,05,0ln2 =⇒−= O tempo para uma oscilação completa é o período . ω π ′ = 2T daí: Exemplo 1 F328 – 1S2014 13 Oscilações forçadas (q(t), i(t) e V(t)) : • Frequência: Qualquer que seja ω0 (natural), essas grandezas oscilam com ω (frequência propulsora) • Corrente: Oscilações forçadas (RLC com fem) Amortecimento Fornecimento Oscilações eletromagnéticas ω ω0 ω’ As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. Gerador de tensão alternada (fem ca): )(sen tm ωεε = ω : frequência angular propulsora )(sen)( ϕω −= tIti F328 – 1S2014 14 Um resistor ligado ao gerador de fem alternada: )(sen)(sen tVtv RmR ωωεε === Corrente iR no resistor: )(sen tR V R vi RRR ω== Por associação com a forma geral da corrente ac: )(sen ϕω −= tIi RR 0=ϕ R VI RR = RIV RR = • Corrente e tensão (ddp) estão em fase no resistor: Circuito resistivo (R) • Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no resistor: F328 – 1S2014 15 )(sen)(sen tVtv CmC ωωε == )(sen tVCvCq CCC ω== ) 2 (sen)(cos πωωωω +== tCVtCVi CCC Introduzindo a reatância capacitiva C XC ω 1= ) 2 (sen πω += t X Vi C C C CCC XIV = Carga: Circuito capacitivo (C) Tensão: 2 πϕ −= • Corrente está adiantada de em relação à tensão: • Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor: 2 π Corrente: F328 – 1S2014 16 )cos()(sen t L Vdtt L Vi LLL ωω ω∫ −== ) 2 (sen πω −= t X Vi L L L dt diLtVtv LLmL === )(sen)(sen ωωε Circuito indutivo (L) LLL XIV = 2 πϕ = • Corrente está atrasada de em relação à tensão: • Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor: 2 π Introduzindo a reatância indutiva LXL ω= Tensão: Corrente: F328 – 1S2014 17 http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm Simulações dos três circuitos simples F328 – 1S2014 18 Fonte: fem Pontos essenciais Em circuitos RLC com corrente alternada: Conservação da energia Dissipação: R Troca de forma entre magnética (L) e elétrica (C) Impedância Z Grau de oposição à circulação da corrente alternada F328 – 1S2014 19 Os exercícios sobre Oscilações Eletromagnéticas estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328 Física Geral III Lista de exercícios do capítulo 31 F328 – 1S2014 19 Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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