Elementos de Analise de Sistemas de Potencia - William Stevenson

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c053618
ELEMENTOS DE ANÁLISE DE nullSISTEMAS DE POTÊNCIAnullnullWilliam D. Stevenson Jr.
(tens50 base, kvLL)' 1000 
Impedância base = kVA3$base , 
(tensão base, kvLL)? 
Impedância base = MVA3$ base 
Exceto pelo subscrito, as Equações (2.42) e (2.43) são idênticas às EquaçUes (2.49) e (2.50), 
respectivamente. Subscritos foram usados para expressar estas relações com o objetivo de enfatizar 
a distinção entre trabalhar com quantidades trifásicas e quantidades monofásicas. Usaremos estas 
quantidades sem os subscritos, mas devemos ( I ) usar tensões entre linhas com quilovolt-ampt?re 
ou megavolt-ampère trifásicos e (2) usar quilovolts entre linha e neutro com quilovolt-ampère 
ou rnegavolt-ampère por fase. A Equação (2.40) determina a corrente base para sistemas mono- 
fásicos ou sistemas trifásicos onde as bases são especificadas em quilovolt-ampdre por fase e quilo- 
volt com relação ao neutro. A Equação (2.47) determina a corrente base para sistemas trifásicos 
onde as bases são especificadas em quilovolt-ampère total das três fases e em quLiovolt entre linhas. 
Exemplo 2.4 Ache a solução do Exemplo 2.3 trabalhando em por-unidade sobre uma base 
de 4,4 kV, 127 A, tal que as grandezas de tensão e corrente serão 1 ,O por-unidade. A corrente, em 
vez de quilovolt-ampère, está especificada aqui já que esta última quantidade não entra no 
problema. 
Solução A impedância-base é 
e, portanto, a magnitude da impedância da carga é também 1 ,O por-unidade. A ihedância da 
linha é 
V', = 1 , o m + 1 ,o= 
= 1,0495 + j 0,0495 = 
= 1 ,o5 /2,700 p.u. 
4400 
V,,, = 1,051 x -- = 2670 V, ou 2,67 kV 
,,h 
V,,, = 1,051 x 4,4 = 4,62 k V 
Quando problemas a serem resolvidos sáo mais complexos e, particularmente, quando há 
envolvimento de transformadores, as vantagens de cálculos em por-unidade serão mais evidentes. 
Conceitos básicos 35 
2.1 1 MUDANÇA DE BASE DE GRANDEZAS EM POR-UNIDADE 
Algumas vezes, a impedãncia em por-unidade de um componente do sistema é expressa 
numa base diferente daquela selecionada como base para a parte do sistema na qual o compo- 
nente está localizado. Como todas as impedâncias em qualquer parte do sistema devem ser expres- 
sas na mesma base de impedância quando efetuando cálculos, C necessário ter um meio de 
converter impedâncias por-unidade de uma base para outra. Substituindo a expressão para 
impedância base dada pela Equação (2.42) ou (2.49) pela impedância base na Equação (2.46) dá 
Impedância por-unidade - (impedância existente, a) x (kVA base) 
de um elemento de circuitõ (tensão base, k ~ ) ~ x 1 .O00 (2.5 1 ) 
indicando que a impedância em por-unidade é diretamente proporcional a quilovolt-ampères 
base e inversamente proporcional ao quadrado da tensão base. Portanto, para mudar a impe- 
dância em uma dada base para uma impedância em por-unidade em uma base nova, a seguinte 
equação é aplicada 
kVdado base 
Znovo por-unidade = Zdad; por-unidade (kVnovo base) r*) (2.52) 
Esta equação não tem nada a ver com a transferência do valor ôhmico da impedância de um 
lado do transformador para outro lado. O grande valor da equação é na mudança da impedância 
por-unidade dada numa base em particular para uma nova base. 
Em vez de usar a Equação (2.52), entretanto, a mudança de base pode ser obtida pela con- 
vem0 do valor em por-unidade numa dada base para ohms e dividindo-o pela nova impedância 
base. 
Exemplo 2.5 A reatância de um gerador, designada por x", é dada como sendo 0,25 por- 
unidade baseado nos dados de placa do gerador de 18 kV, 500 MVA. A base para cálculos é 
20 kV, 100 MVA. Encontre X" na nova base. 
Solução Pela Equação (2.52) 
ou pela conversão do valor dado para ohms e dividindo pela nova base de impedância 
A resistência e a reatância de um dispositivo em percentagem ou por-unidade sLo geral- 
mente fornecidas pelo fabricante. Entende-se como base os quilovolt-amperes e quilovolts 
nominais do dispositivo. As Tabelas A.4 e A.5 no Apêridice listam alguns valores representativos 
de reatância para geradores e transformadores. Discutiremos quantidades em por-unidade, poste- 
riormente, no Capítulo 6 em conexão com nosso estudo de transformadores. 
186 ~lernènros de análise de sistemas de potência 
admitância 8go colocados em concordância. As matrizes colunas são particionadas de tal maneira 
que os elementos associados com os n6s a serem eliminados são separados dos outros elementos. 
A matriz admitância C particionada de tal maneira que os elementos identificados somente 
com os n6s a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais 
e verticais. Quando particionada de acordo com estas regras, a Equaçgo (7.21) torna-se 
onde I, 6 a submatriz composta das correntes entrando no nó a ser eliminado e V, C a sub- 
matriz composta das tensóes destes nós. Obviainente, cada elemento de I, 6 zero, sen%o os nós 
nffo poderiam ser eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K sSo aquelas 
identificadas somente com os n6s retidos. M 6 composta de admitâncias prbprias e mútuas 
identificadas somente com os n6s a serem eliminados. Esta matriz M B uma matriz quadrada 
de ordem igual ao número de 116s a serem eliminados. L e sua transposta sao compostas 
somente das admitâncias miituas comuns a algum n6 a ser retido e a outro que será eliriunado. 
Executando a multiplicação indicada na Equação (7.22) fenios 
I , = KV,, -t- L V , 
I , = I."V, + MV., 
Como todos us elementos de IX srlo zero, subtraindo L ~ v , . ~ nos dois lados da Equaçiío (7.24) 
e prC-niiiltiplicando ambos os lados pela inversa de M (representada por M-' ) resulta 
Esta expressa0 para V, substituí(la na Equaqão (7.23) resulta 
que é uma equação de n6s tendo como ntatriz admitância 
Estas matrizes admitâiicias permitem-nos construir a circiiito com os nbs indesejjáveis já 
eliminados, como veremos nu exeniplo seguinte. 
Exemplo 7.3 Se o gerador e o transformador dâ barra 3 s%o removidos do circuito da 
Figura 7.3, eliminando os n6s 3 e 4 pelo procedimento alg6brico-matricial descrito, encontre 
o circuito eqiiivaleiite com aqueles n6s eliminados e a potência complexa transferida para dentro 
ou para fora da rede no n6 I e 2. Encontre, também, a tensâ'o no n6 1. 
Solução A matriz admitância de barramento do circuito particionado pela elimiiiasao 
dos n6s 3 e 4 6 
A inversa da submatriz do circuito particionado localizada na posiç%o à direita e embaixo 6 
Um exame da matriz indica-nos a admitância entre as duas barras restantes, 1 e 2: C -j4,0730 
e sua reciproca C a impedância em por-unidade entre estas barras. A admitância entre cada unia 
destas barras e a referência LI 
O circuito resultante está indicado na Figura 7.50. Quando as fontes de correntes sgo convertidas 
nas suas equivalentes fontes de fem ent%o o circuito, com impedáncias eni por-unidade, é aquele 
da Figura 7.5b. Assim, a corrente 6 
188 EIemmtos de análise de r i s t e m de poiéncb 
- - -. 
I.igura 7.5 C i c u i t o da Figur3 7.3 sem a fonle no n ó 3 (o) com a fonte aquivalen~e de comente e ( b ) com 
a fonte d e tenuro original nos nós I r 2. 
I'otéricia para fora da Sorrte a é 
Note que os volt-aiiip~re ie;~fivos rio circ~irio s3o iguais a 
No circuito si~iiples deste exeniplo, a eliiiiin;iqão de nós poderia ser execut:id;i iis:indo a 
Iia~tstoriiiaç%o Y-A e tial~alliarido coiii cornhinapo de impedincias em série c p:iralel;is. O 
ritétodo de partiçao de ii~atrizes é uiii rriétodo geral. mais adequado a soliiçõespor coiiipritadoi. 
L:ritretanto, pela eliriiuiaq30 de um grailde núniero de 116s. a matriz M , cuja inversa deve ser 
encontrada, será grande. 
A inversffo da matriz pode ser evitada fazerido a eliminaç30 de iim n6 por vez, e o processo 
L' bastarite siriiples. O ri6 a ser eliiiiiiiado deve ser o de numeraç3o mais alta e provavelmente 
iitria remuneraçao deva ser necessária. A riiatriz M torna-se de uiii s6 ele~iiciito e 111-i é a 
recíproca deste eleniento. A matriz adinitância original particionada nas submatrizes K, L, LT 
e M é 
.................-....~ 
[inl . . . i:, . , . ; 1;" 1 
'-c - - - ---- V 
I matriz reduzida (n - 1) x (n - 1) sed, de acordo com a Equaçáo (7.27) 
e quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j 
da matriz resultante (n- I ) x (n- I) será 
Cada elemento r i a matriz driginal K deve ser modificado. Quando a Equaçzo (7.28) B 
coniparada à (7.30) pode-se ver como proceder. Multiplicamos o elemento da última linha e 
da mesma coluna com o elemento sendo modificado. Dividimos, entao, este produto por Y, e 
subtraímos o resultado ao elemento sendo modificado. O seguinte exemplo ilustra este simples 
procedimento. 
Exemplo 7.4 Faça a eliminação de 116s do Exemplo 7.3, primeiro removendo o n6 4 e 
entzo reinovendo o n6 3. 
Solução Corno no Exemplo 7.3, a matriz origuial agora particionada para remoça0 de 
um n6 6 
Para modificar o elemento j 2 ,5 na tinha 3 coluna 2, primeiro subtraia dele O produto dos 
elementos encaixados por retângulos e dividido pelo elenaento posicbnado no canto direito 
e embaixo. Encontramos assim o elemento modificado. 
De maneira semelhante, o elemento na linha 1 e coluna 1 d 
Pela reduçso da matriz acima removendo o n6 3 resulta 
a qual C identica à matriz encontrada pelo método de partiçíio quando dois n6s foram removidos 
siniul(aneamente. 
7.5. I?RAmGEES ADmmCUS B W E D Á I U a DE BAIZRA 
No Exemplo 7.2 invertemos a matriz admitância de barra Jí- e chamamos a matriz 
muitante de matriz impedância de barra &. For defmiç8o 
A",, = Y,&,, 
, , , , 
a pua uma xude com trés n6s indemdentes 
Como V- C simdtrlce com reiaçgo & diagond pprindpd, deve ser simétrica da mama 
ira. 
&, ,h na 86awd prinupel 
e fora da diagonal s8o chamados 
dos &S. 
Ngo C m c e s s h a determinaç80 da matriz admitância de barra para que se obtenha 
;%nna e em outra seçzo deste capitulo veremos como &,,, pode ser formulada diretamente. 
A matriz impedância de barra é importante e utilíssima no cálculo de falhas como veremos 
posteriormente. Para que se entenda o significado físico das várias impedâncias da matriz compa- 
raremos estas com as admitâncias de n6s. Podemos facilmente fazer isto oihando as equaçbes para 
um n6 em particular. Partindo das equaçóes de n6s expressas como 
Gilculo de redes 1 Y 1 
Icnbiw no n6 2 parri as trCs impd&ciar do n6 
Flgun 7.6 Circuito para a mediçSo de Yzz, Ylz e YsZ. 
Se V, e Vs @o redirzidas a zero, cwtockuitando os n6s 1 e 3 ao n6 de referência e se I, 6 
injetada ao n6 2, a admitância pr6pria no n6 2 é 
Assim, a admitiùicia própria de uni n6 em pariicuiar pode ser medida curtocircuitando todos os 
outros n6s ao n6 de referdnclr. e cntM encontrando a raso da corrente injetada no n6 pela 
tensão rauitante nele. A Figun 7.6 íiurtn o método para uma rede reativa com trCs n6s. O 
resultado é obviamente equivalente D adiçfio da todas w adml*cias diretamente coneaiadar ao 
n6, como tem sido nosao procedimento atC agora. 
A Figura 7.6 tambtm ilustra a admithcia mútua. No n6 1, a equago obtida pela expansgo 
da Equaçao (7.33) e 
da qual podemos ver que 
EntXo, a admitância mútua C medida curtocircuitando todos os n6s, exceto o 2, ao n6 de refe- 
réncia e injetando uma corrente I, no n6 2, como indicado na Figura 76 . Assim, Y12 6 a 
razão do negativo da corrente, deixando a rede através de ramo de curto-circuito no n6 1 pela 
tensao h. O negativo da corrente saindo do n6 1 6 aqui usado, j6 que I, é definida como 
a corrente entmndo para a rede. A admitacia resultante é o negativo da adrnitâ~~cia direla- 
mente conectada entre os nbs 1 e 2, como era de se esperar. 
I:izemos este exame de t~ l l~ado das admitâiicias de n68 para diferencid-Ias claraniente das 
irnpedâncias pertencentes à rniitriz impediincia de barra. 
Resolveirios a Equapo (7.33) prerndtiplicando ambos os lados da equaçáo por 
- 1 Y ,,,, = Zharra para chegar a 
e devemos lerribrar-nos que usando Zoana, V e I sgo matrizes colunas de tensóes de n6s e de 
correntes, partindo de fontes de correntes e entrando nos nbs, respectivamente. Expandindo 2 
1:quaçáo (7.38) para unia rede com três n6s independentes resulta 
!>a i3qua<;áo (7.40) podeiiios ver que a iinpedáncia própria Z,, é deterinuiada abrindo o 
circuito das fo~ites de corrente nos n6s 1 e 3 e injetando a corrente 1, no n6 2. Assim 
A Figura 7.7 mostra o circuito descrito. Como Z,, é deiimida abrindo as fontes de correntes 
conectadas aos outros n6s enquanto Y,, foi encontrada com os outros n6s curtocircuitados, Mo 
esperamos nenhuma relação recíproca entre estas duas qiiantidades. 
O circuito da Figura 7.7 também permite-nos medir algumas impedâncias de transferência, 
para isto vqamos da Equaç%o (7.39) que com as fontes de corrente Ir e Ij em circuito aberto 
I'odenios assim, medir as im:* ' 'ss de transfer6ncias Z,, e Za2 injetando corrente no n6 2 
e ucliando a razáo de V, e V, , ~ r a I , com as fontes abertas em todos os outros nós, exceto 
no ri6 2. Nota-se aqui que a admitaticia prápria é medida com todos os n6s nreiios um curto- 
i.irciiitado e que a iiiipedâitcia de transferência 6 medida com todas as fontes abertas menos uma. 
C6lculo de redes 193 
n 
C*) 
'. 
I 
-7.7 Circuito para medir Z l z . Z12 e Z31. 
A Equaçso (7.39) diz-nos que se injetarmos corrente no n6 1 com as fontes de correntes 2 
e 3 abertas, a dnica impedância pela qual circulará I, será Z l l . Sob as mesmas condiç5es as 
EquaçiJes (7.40) e (7.41) indicam que II causa tensóes nas barras 2 e 3 expressas por 
L'= e V3 = l l Z I l (7.43) 
NZo podemos montar um circuito passivo realizável fisicamente com estas impedâncias de 
clcoplamento, mas é importante dar-nos conta das implicqúes da discussão precedente, p r b m 
C algumas vezes usada em estudos de fluxo de carga e C extremamente útil no cálculo de 
EnlliaJ, como veremos mais tarde. 
Exemplo 7.5 Um capacitor com uma reatância de 5,O por-unidade está ligado ao n6 4 do 
circuito dos Exemplos 7.1 e 7.2. As fems E,, Eb e E, permanecem as mesmas dos exemplos. 
Enmtrar a corrente absorvida pelo capacitor. 
MGO O equivalente TMvenin do circuito atrás do n6 4 tem uma fem de 
E,, = 1,432 /- 1 1,97" 
no n6 4 antes do capacitor ser conectado e 6 a tens80 V4 encontrada no 
Bxemplo 7.2. 
Para encontrar a impedância Thévenin, as fems são curtocircuitadas ou as fontes de cor- 
rmtea - abertas e a impedância entre os n& 4 e o n6 de referência deve ser determinada. De 
V * &I obtem- no n6 4 
Com as fems curtocircuitadao (ou com as fems e suas impedsncias em sCries substituídas pelas 
fonte equivalentes de corrente e admitáncias em paralelo tendo as fontes de correntes abertas) 
wnhunia corrente vindo dar fonte8 nos 116s 1 , 2 e 3 entra no circuito. A raso da tens80 aplicada 
no n6 4 pela corrente, pernda por esta tensao, sobre a rede C Zw e esta impedância é conhecida 
uma vez 4w & jd foi calculada no Exemplo 7;2. Referindo-nos Aquele exemplo encontramos 
194 Elementar de ondlise de sistenuu de potinck, 
A corrente absorvida pelo capadtor C 
Exemplo 7.6 Se uma corrente de -0326L78,03O p.u. C injetada no n6 4 dos Exemplos 
7.1,7.2 e 7.5, encontrar as tensóes resultantes nos n6s 1,2,3 e 4. 
S o l w o Com as fems curtocircuitadas, as tenbes nos n6s e devidar somente A corrente 
injekda serro calculadas com o uso da impedânciade barra da rede que foi encontrada no 
Exemplo 7.2. Bs impsancias necassiirias est8o na coluna 4 de Z-. De V ;ebPna I tiramos as 
tensóes desde que assumamos todas as fems curtocircuitadas. 
Por superposi@o, as tensfia resultantes S o determinadas pela adigo das te 
injeção de correntes e com as fems curtocircuitadas tis tensóes de n69 encontradas no Exemplo 
7.2. As novas tensóes de n6s a o 
Como as mudanças nas tens&s, devidas B corrente injetada, esta0 todas com o mesmo 
&pulo e este ângulo difere pouco do das tensóes originais, uma aproximago d a d resposta satis- 
fatória. A mudança no m6dulo da tensao em uma determinada barra B aproximadamente igual 
ao produto do módulo da corrente em por-unidade e o m6dulo da apropriada impedáncia. 
Estes valores adicionados aos m6dulos da tensQes originais déo o mbdulo da nova t enso 
& bastante aproxirnaç80. Esta aproximaçzo C válida porque a rede C puramente reativa e ela 
ainda proporciona boa estimatiw quando a reatância é consideravelmente grande em comparaçgo 
com a resistência como geralmente é o caso. 
Os dois úitimos exemplos ilustram a import6nch da matriz impedância da barra e indicam 
que adicionar um capacitar a uma barra causará um crescimento nas tensóes de bana. A conside- 
ração de que os ângulos daa tensóes e as fontes de correntes permanecem constantes após a 
coneao de capacitores numa barra nso C inteiraniente váiida se estarnos considerando a operaçao 
de um sistema de potência. Consideraremos novamente os capacitores no Capítulo 8 e veremos 
em um exemplo o cálculo do efeito dos capacitores, através do uso de um programa computacional 
de fluxo de carga. 
Gílculo de redes 195 
e 
7.6 MODIFICAÇAO DE W MATRIZ DE W E D Á N C U DE B 
Como Zbanr C uma importante ferramenta na análise de sistema de potdncia, examinare- 
mas agora como ela pode ser modificada para adicionar novos barnunentos ou conectar novas 
linhas $3 barras já estabelecidas. Naturalmente que podemos criar uma nova Ybana e invertê-la, 
mas métodos diretos de modificago de Zbani são disponiveis e muito mais simples do que 
: uma inversa0 de matriz, mesmo para poucos números de 1163. Ainda, uma vez conhecido como 
. modificar Zbm, ent8o podemos ver como construi-la diretamentet. 
Identificamos vários tipos de modificaçúes envolvendo a adipo de um ramo de impedincia 
; Zb a uma rede cuja Zh original é conhecida e identificada com Zodg, matriz esta n x n. 
Na nossa análise as barras existentes serão identificadas por números ou pelas letras 
h, i, j e k. A letra p designará uma nova barra a ser adicionada íi rede para converter Gng em 
uma matriz (n + 1) x (n + I ) . Quatro casos ser80 considerados. 
CASO i : Adiçáo de Zb a partir de u m nova barra p até ò barra de refèrênckr. A adiç8o 
de uma nova barra p ligada A barra de referência atravBs de Zb sem conexão com nenhuma das 
outras barras da rede original nao pode alterar as tensóes de bana originais quando a corrente 
Ip for injetada na nova barra. A tens80 V p da nova barra C igual a IpZb Entgo 
Notamos que a matriz coluna das correntes multip!ic.ada pela nova Z- n8o alterari as tensões 
da rede original e resultará a tensao correta da nova barra p. 
CASO 2 : Adippao de Zb a parrir de u m nova borra até u m &ira existente k. A adiçáo de 
uma nova barra p ligada através de Zb a uma barra existente k com Ip injetada na barra p 
causará a corrente que entra na rede original na barra k que vem a ser a sorna de Ik que 6 
injetada na barra k mais a corrente Ip vindo atravds de Zb como indicado na Figura 7.8. 
A corrente Ip fluindo para a barra k aumentara a tensão original Vk de urna tens80 
igual a PpZM ; isto C 
Vk(,Va) = Vk(orig) + I&kk (7.45) 
P Veja H. E. &m, WU&R of hw-@ by &Rk. &sh&, John Wlcy (k Som, Inc., New 
York. 1975. 
e Vp será niaior do que o novo Vk de um valor de tensão igual a I&. Assim 
V,= I , Z h , + I , Z k 2 + ... + I,Z,, + Ip(Z , , + Z , ) 
/ (7.47) - 
Rede original 
com barra k Q 
barra ds mferdncia 
sxtralde 
I;lgura 7.8 AdiçPo de uma nova bani p lkada através de uma iinpedsncia Zb a barra exlstcntc k. 
Veremos agora que a nova linha que deve ser adicionada a %,jg, com o íiin de encontrar Vp é 
Como Z- deve ser uma matriz quadrada simétrica em tomo da diagonal principal, resulta 
que devemos adicionar uma nova coluna que d transposta de nova linha. A nova coluna leva em 
conta os acréscimos de todas as tensões de barra devidas a Ip . A equaçXo matricial C 
Note que os primeiros n elementos da nova linha a o os elementos da linha k da aQns e OS 
primeiros n elementos da nova coluria s%o os elementos da coluna k da Grig. 
CASO 3: Adipio de Zb a partir de uma burra existente k aré a bam de refcêncio. Para ver 
como alterar Z(odp) pela iigaçso de uma impedincia Zb desde lima barra existente k atC a bana 
de referência, devemos adicionar uma nova barra p Ligada através de Zb A barra k . Entgo 
ctlrtocircuitamos a barra p à barra de referdncia, fazendo Vp igual a zero, a fim de obtermos 
a rilesma equaçgo ntatricial como a Equação (7.48), com exceçdo de que Vp agora C nula. 
Para a modificago, procedemos de modo a criar uma nova linha e uma nova coluna, exatamente 
da mesma maneira como no caso 2 mas depois eliminamos ri Unha (n + 1) e a coluna (n + 1) o 
que C possível devido ii existência do zero na matriz coluna das tensóes. Usaremos para isso o i 
mdtodo desenvolvido nas Equações (7.28) a (7.30) paria encontrar cada elemento ZM na nova 
matriz onde 
CASO 1: Adiçdo de Zb entre duas existentes, j e k. Para adicionar um ramo 
com impedância Zb entre duas barras já tes, j e k, examinaremos a Figura 7.9 que 
mostra estas barras extraídas da rede original. A corrente Ib está indlcada como fluindo atravds 
de Zb desde a bana k atC a j. Entreveremos agora algumas squq(ks para as tensõcs de n6 
e rearranjando 
V , = Z,, I , + . . . + Z l j l l + Z I k l k + . . . + I , (Z , ] - i?,,) (7.51) 
de maneira mmeihante 
Necessitamos de uma equaçso a mais, j6 que Ib 6 desconhecida. Então escrevemos 
V,- v J = l , z b , (7.54) 
ou 
O f I b Z b f 5 - Vk (7.55) 
e substituindo as expresn6er para VI e V& dadas pelar EquaçW (7.52) e (7.35) na Equago i (7.55) obtem- i 
I 
com a, barma 
? - J,k e de I refsrbncia 
E do as Eqwç6eri (7.51) a (7.53) e (7.56) podemos escrever a equaçgo matricial 
A nova coluna 6 a coluna f mar a oolm k de hS com Zbb na iinha (n + 1). A nova linha 
é a transposta da nova coluna. 
Ellmlnando a linha (n + 1) e a coluna (n + 1) de matriz quadrada da EquaçBo (7.58) 
da mama maneira, como previamente vimos, cada elemento Zm na nova matriz C 
&(n+ i)Z(m+ Z~ (novo)= zhi(arl,, - (7.59) 5 + 2,) + Zir - 221.4 
considsrar o c a ~ , de introduzir duas novas b m ligadas por Zb porque 
uma delas, atm* de umrt h@&&, r uma barra existente ou a uma 
de referencia, antes de adido a segunda nova barra. 
Brrersl@o 7.7 Modifim a mtriz innpdánb de b m do Exemplo 7.2 de 
em conta u m conexilo de urn capacitar tendo úma reatands de 5,O por-unidde entre a b m 4 
e a b m de referencl do circuito da Figura 7.4. EntPlo deteminar V, usando a impdância 
da nova matriz e a fonte de corrente do Exmplo 7.2. Compare este valor de V4 com o encon- 
trado no Exemplo 7.6. 
Cflculo de redes 1 Y Y 
--- 
-- 
Mu@o Usando a QUEIÇ~O (7.48) s idmtfflcluido que h 6 mmtrlz 4 x 4 do Emm- 
d o 7.2, que o subscrito k = 4 e que Zb = -f5,0 por-unidade, encontrar 
Os tennos na quinta linha e quinta coluna foram obtidos repetindo a quarta linha e a quarta coluna 
de e observando que 
Entao, ehuiando a quinta linha e coluna, obtemos para &(m,) da EquaçSo (7.49) 
e os outros elementos, de uma maneira semelhante para dar 
A matriz coluna de correntes pela qual a nova & 6 multiplicada com o fim de obter as novas 
tensBes de barra'& a mesma do Exemplo 7.2. Assim 
como encontrado no Exemplo 7.6.?«O Elementos de aMIise de r i s t e m de porincb 
Vimos como determinar &, primeiramente achando h, e invertendo-a. Entretanto, 
a formulaçKo para obter 2+,, diretamente 6 um processo direto compatível com a irnplemen- 
taçfo por computador e mais simples que inverter Ybaw para um sistema de grande porte. 
Para começar, temos uma lista de impedâncias indicando as barras que esta0 conectadas. 
Partirernos escrevendo a equaçao de urna barra ligada através de uma impedância Z, a unia barra 
<te referência como 
v, = I , z, 
rieste caso, pode ser considerada como uma equaçgo matricial onde cada uma das três nialrizes 
tem uma lidia e uma coluna. Agora podemos adicionar u m nova barra ligada à primeira ou à 
barra de referência. No caso da segunda barra estar ligada A barra de referencia mas através de 
Zb , teremos a equaçzo rnatricial 
e prossegue-se a modificaç%o de nossa matriz adicionando outras barras, seguindo o procedimento 
descrito na Seção 7.6. Geralmente as barras de uma rede devem ser renumeradas para concordar 
com a ordem na qual elas devem ser adicionadas a Zb,, segundo esta c? construída. 
Exemplo 7.8 Determine Z- para a rede indicada na Figura 7.10, onde as impedâncias 
estzo indicadas em por-unidade. Preserve todos os três n6s 
Barra de ~eferFncia 
Figura 7.10 Rede para o Exemplo 7.8. 
SvluçSo Partiremos estabelecendo a barra 1 com sua hpedância i barra de referência e 
escrevemos 
Nh, entKo, temos uma matriz impedhcia 1 x 1 
Estabelecer a bana 2 com sua impedhcia p m a bam 1 e seguindo a Equnç80 (7.48), ercrevemcs 
O t e n o j 1.4 acima C a soma de j 1.2 e j0,2. Os elem- tos j 1,2 na nova linha e na nova 
coluna s%o a repetiçso dos elementos da linha 1 e da coluna 1 da matriz sendo modif~cada. 
A barra 3 com a impedância bando-a à barra 1 C estabelecida escrevendo-se 
I 
Como o n6 1 t? aquele ao qual um*novo n6 3 esta sendo ligado, o termo j 1 ,S acima resulta da 
soma de Z l l da matriz sendo modificada e a irnpedância Zb do ramo sendo ligado à barra 1 : 
desde a barra 3. Os outros elementos da nova linha e da nova coluna a o repetiçóes da linha 1 
, 
e coluna 1 da matriz sendo modificada já que o novo n6 está sendo ligado à barra 1. 
Se decidirmos adicionar a impedância Zb = j I J desde o n6 3 atb a barra de referência, ' 
seguindo a Equapo (7.48), geraremos uma nova barra 4 atravds de Zb e obteremos a matriz 
impedância 
onde j3.0 acima C a soma de ZB3 + Zb. OS outros elementos da nova linha e da nova coluna 
sfo repetiçóes da linha 3 e da coluna 3 da matriz sendo modificada ji que a barra 3 t? o que 
estamos ligando A barra de referência atravc?~ de Z b . 
Agora eliminemos a linha 4 e a coluna 4. Alguns dos elementos da nova matriz, segundo a 
Equaçao (7.49), si70 
j1,2 x jI,2 Z, , =j1 ,2- = jO,72 j3,O 
9 f 
j1,2 x j1,5 z,, = z,, =;1,2 - T-. =j0,60 
13,o 
202 Elementos de anólb-e de sisremaa de potcinc& 
Quando todos os elementos wtiTo dx+t 
Finalmente, adicionamos a impedância Zb = j0,15 entre as barras 2 e 3. b fuermos 
j e k na Equaçao (7.58) igual a 2 e 3, respectivamente, obteremos os elementos para a hha 4 
e coluna 4. 
EntiTo escrevemos 
e da Equaçso (7.59) achamos 
que C a matriz impedância a ser determinada. 
O procedimento 6 simples para um computador que primeiro deve determinar o tipo de 
modificaç$o envolvida $ medida que cada impedância B adicionada. Entretanto, as operações 
devem seguir a seqüência tal que se evite ligaçóes de impedâncias entre duas novas barras. 
Como um assunto de interesse n6s podemos verificar os valores das impedâncias de Zbarra 
usando os cálculos de rede da Seção 7.5. 
Exemplo 7.9 Encontrar Z l l do Exemplo 7.8 pela determinapo da impedância medida 
entre os n6s 1 e o barramento de referência quando as correntes injetadas nos n6s 2 e 3 &o zero. 
Solução A equaçao correspondente 8 (7.42) C 
z , , =-I 
11 , * = , , = o 
Identificamos dois caminhos paralelos entre os n6s 1 e 3 do circuito da Figura 7.10 com as 
impedâncias resultantes de 
Esta impedância em série com j 1,s está em paralelo com j 1,2 para resultar 
que é idhtico ao valor encontrado no Exemplo 7.8. 
Embora o método de reduçgo de rede do Exemplo 7.9 possa parecer mais simples pela 
comparaç50 com outros mttodos de formaçao de Z-, isto n5o C verdade porque uma diferente 
redugo de rede 6 requerida para calcular cada elemento da matriz. No Exempig 7.9, a reduçzo 
da rede para achar Z 1 2 , no caso, C mais difícil do que aquela para achar Zl l . O computador 
digital pode fazer uma reduçao de rede usando eliminapo de n6s mas talvez terá que repetir o 
processo para cada nó. 
Equivalência de fontes e equacionamento de nós foram revistos brevemente neste capítulo 
para prover o prC-requisito essencial ao entendimento de matriz admitância de barra que 6 a 
base da maioria dos estudos de fluxo de carga. Partição de matriz foi revisto por causa da sua 
grande utilidade nos mCtodos de eliminação de n6s. 
A matriz impedância de barra C preferida por alguns engenheiros para estudos de fluxo 
de carga mas encontra sua grande validade no cálculo de falhas que discutiremos posteriormente. 
As modificaçúes de foram discutidas para indicar a simplicidade dos cálculos para 
adição ou remoça0 de uma linha de transmissfío sem ter que inverter Ybm cada vez que uma 
alteraçgo for feita. A formulaçgo direta de & é um processo que pode ser programado de 
uma maneira direta. 
SOLUÇÓES E CONTROLE DE 
FLUXO DE CARGA 
No Capítulo 1 foi discutida a grande importância dos estudos de fluxo de carga no planeja- 
mento da expansão futura de sistemas de potência como também m determinaçgo da melhor 
operação de sistemas existentes. A principal informaçtio obtida do estudo de fluxo de carga é 
o módulo e o ângulo de fase da tens50 em cada barra e as potências ativa e reativa que circulam 
em cada linha. Entretanto, outras informaç&s adicionais valiosas são fornecidas pela listagem 
da soluçãõ obtida dos programas de computador, os quais são usados pelas empresas de sistemas 
de potência. Muitos desses aspectos aparecergo em nossos estudos de fluxo de potência neste 
capítulo, no qual também sergo estudados os princípios de controle de fluxo de carga. 
Examinaremos dois dos métodos nos quais se baseiam as soluções de fluxo de carga. 
Tornar-se-á evidente o grande valor do computador digital no projeto e operapo de um sistema 
de potência. 
8.1 DADOS PARA ESTUDOS DE FLUXO DE CARGA 
Tanto as admitâncias prbprias e mútuas de barra, que compõem a matriz admitância de 
barra Vb, como também as impedâncias de excitaçzo e de transferência, que compõem 
Z-, podem ser usadas para resolver o problema do fluxo de carga. Restringiremos nosso 
estudo aos métodos que usam admitâncias. O ponto de partida para obter os dados que devem 
ser fornecidos ao computador b o diagrama unifdar do sistema. SSlo necessários os valores das 
impedâncias em sbne e das impedâncías em derivaçgo das linhas de transmissgo, de tal forma que 
o computador possa determinar todos os elementos de Vbam ou h. Outros dados essenciais 
incluem as impedâncias e os val0:e.s de potência e tensão nominais de transformadores, valores 
nominais de capacitares em paralelo, e os ajustes de derivaçóes de transformadores. 
As condiçóes de funcionamento devem ser sempre escolhidas para cada estudo. Em todas 
as barras, exceto uma, deve ser especificada a potência ativa líquida. A potência absorvida por 
uma carga é uma entrada de potência negativa ao sistema. Outras entradas de potência são 
206 
Soluçóes e controle de flwro de aaga 207 
j provenientes de geradores, e potbncias positivas ou negativas podem provir de interllgaws. 
' Aldm disso, nesses baaas ou a potencia reativa ou o m6dulo da tens80 deve Ber especificado; 
I isto 6, em cada barra é necessário decidir se 6 o mbdulo da tensao ou a potência reativa que deve 
' ser mantidoconstante. A situaçso usual é especificar a potência reativa nas barras de carga e o 
módulo da tensao nas barras de geraçgo, embora algumas vezes a potência reativa seja especificada 
para os geradores. Nos programas em computadores digitais existem providências de cáiculo que 
fazem a tens50 se manter constante em uma barra, somente enquanto a geração de potência 
reativa permanece dentro de limites especificados. 
A barra em que o fluxo de potência real n i i ~ b especificado, chamada barra de oscila@, 
geralmente é uma barra na qual é conectado um gerador. Evidentemente, o fluxo líquido de 
potência para o sistema não pode ser fixado com antecedência em cada barra, porque as perdas 
do sistema n!fo sao conhecidas atC que o estudo seja completado. Os geradores, na barra de 
oscilaçgo fornecem a diferença entre a potência real especificada injetada nas outras barras e a 
potência real total saindo do sistema mais as perdas. Tanto o módulo como o ângulo da tensão 
sgo especificados para a barra de oscilaçgo. As potências real e reativa nessa barra são determinadas 
pelo computador como parte da solução. 
A complexidade na obtenpo de uma solupo para o fluxo de carga em um sistema de 
potência provem devido As diferenças nos tipos de dados especificados para as várias espécies 
de barra. Embora a formulaç%ço de equações suficientes m o seja difícii, a forma de solução 
algbbrica não 6 przítica. As soluções digitais de problemas de fluxo de carga que consideraremos 
seguem um processo iterativo, atribuindo valores estimados para as tensóes de barra desconheci- 
das e calculando um novo valor para cada tens80 de barra a partir dos vaiores estimados nas outras 
barras, da potência real especificada e da potência reativa especificada ou do módulo de tensão 
especificada. Entso, é obtido um novo conjunto de valores para as tensões em cada barra, o qual 
B usado para calcular outro conjunto de tensóes de barra. Cada cáiculo de um novo conjunto 
de tensões é chamado uma itmçto. O processo iterativo é repetido até que as mudanças em 
todas as banas sejam menores do que um valor mínimo especificado. 
Vamos examinar, primeiro, a soluç8o na qual se considera a tensão de uma barra como 
uma funçáo das potências ativa e reativa entregues a uma barra por geradores ou fornecidas à 
carga ligada à barra, das tensões estimadas ou previamente calculadas nas outras barras, e das 
admitâncias próprias e mútuas dos 116.5. A dedução das equaçóes fundamentais começa com uma 
formulação de nós das equações do sistema. Vamos deduzir as equaçoes para um sistema de 
quatro barras e escrever as equações gerais mais tarde. Designando com o número 1 a barra de 
oscilaç%o, os cálculos começam com a barra 2. Se P, e Q, são as potências ativa e reativa que 
entram no sistema pela barra 2, 
V21: = P 2 + jQ, 
de onde I, é expressa por 
208 Elementos de análise de sistemas de potência 
e em termos das admitâncias pr6prias e mútuas dos nós, com os geradores e cargas omitidos 
porque as correntes em cada nó sgo expressas como na Equaçgo (8.2), 
Resolvendo para V, , obtemos 
A Equaçzo (8.4) fornece um valor corrigido para V , baseado nos valores fixados para P, e QZ 
quando os valores estimados, originalmente, sáo substituídos pelas expressões das tensões no 
lado direito da equaçzo. O valor calculado para V , e o valor estimado para V?, não coincidirão. 
Porém, substituindo o conjugado do valor calculado de V, em 5 na Equação (8.4) para 
calcular outro valor para V, , essa coincidência poderá ser alcançada com um bom grau de 
acurácia após várias iterações e se terá o valor corrigido para V, com as tensões estimadas 
e sem relaçgo com as potências rias outras barras. Entretanto, esse valor náo será a soluçãó para 
f; para as condições específicas do fluxo de carga, pois as terisões que eritrarii no cálculo 
de V , - - valores estimados de tenszo nas outras barras e seus verdadeiros valores ainda 
não sáo conhecidos. São recomendados dois cálculos sucessivos de V , (0 segundo sendo igual 
ao primeiro exceto para a correçao de v*,) em cada barra antes de se passar para a seguinte. 
A medida que a tensao corrigida for encontrada para cada barra, ela será usada no cálculo 
da tensao corrigida da barra seguinte. O processo r! repetido para cada barra, consecutivamente, 
através do sistema (exceto para a barra de oscilaçgo) para completar a primeira iteração. Então, o 
processo inteiro é repetido várias vezes até que a magnitude da correção na tensão em cada barra 
seja menor do que uma precisfío previamente determinada. 
Este processo de resolver equações algébricas lineares é conhecido por Método iterativo 
de Causs-Seidel. Se o mesmo conjunto de valores de tensão for usado durante uma iteraçgo 
completa (em vez de substituir imediatamente cada valor novo obtido para calcular a tensáo na 
próxima barra), o processo será chamado Método itemtivo de Gauss. 
Pode ocorrer convergência em torno de uma soluçáo errônea se as tensões originais forem 
muito diferentes dos valores corretos. Uma convergência errônea 6 , geralmente, evitada se os 
valores originais forem de magnitude razoável e ngo diferirem muito em fase. Qualquer soluçgo 
indesejável geralmente é detectada com facilidade por inspeçgo dos resultados, pois as tensões 
do sistema nzo apresentam, normalmente, uma faixa de variaçlro de fase maior do que 45' e a 
diferença entre barras vizinhas 6 menor do que 10° e, muitas vezes, bem menor do que' 10'. 
Para um total de N barras, a tensão calculada em qualquer barra k, onde Pk e Qk sgo 
dados, é 
,ik = - I (---.- pk - J Q ~ - y," v") 
Ykk Vk " = I 
onde n # k. Os valores para as tensões no lado direito da equação szo os mais recentemente 
calculados para as barras correspondentes (ou as tens6es estimadas se nenhuma iteração tenha 
sido feita nessa barra particular). 
Soluções e controle de fluxo de cargo 209 
Experiências com o método de Gauss-Seidel na soluçZo de problemas de fluxo de carga têm 
mostrado que um número excessivo de iterações é requerido antes que as correções das tensaes 
estejam dentro de uma precisa0 aceitável se a terisao corrigida em uma barra meramente substituir 
o melhor valor prévio à medida que os cálculos prosseguirem de barra para barra. O número de 
iterações requeridas fica reduzido consideravelmente se as correções na terisáo para cada barra 
forem multiplicadas por uma constante que aumenta a quantidade da corr~ção, de modo a trazer 
a tensao para mais perto do valor que se procura. Os multiplicadores que realizam essa conver- 
gência melhorada sgo chamados fatores de acelerapio. A diferença entre a tensão iecém- 
calculada e a tensão anterior na barra 6 multiplicada pelo fator de aceleraçgo apropriado para 
se obter uma correção a ser somada ao valor anterior. O fator de aceleração para a componente 
real da correçzo pode diferir daquele para a componente imaginária. Para qualquer sistema, 
existem valores 6timos para os fatores de aceleraçgo, e uma escolha mal feita desses fatores pode 
resultar em uma convergência menos rápida ou tornar impossível a convergência. Costuma ser 
usado um fator de aceleração igual a 1,6, tanto para a componente real como para a imaginária. 
Para um sistema em particular pode ser feito um estudo para determinar a melhor escolha. 
Numa barra onde é especificado o m6dulo da t e n s o em vez da potência reativa, as com- 
ponentes real e imaginária da tensga sro obtidas, para cada iteraçxo, calcularido primeiramente 
um valor para a potência reativa. Da Equaçgo (8.5) 
onde n # k . Se fizermos n igual a k: 
onde Im significa "parte imaginária de". 
A potência reativa Qk é calculada pela Equação (8.8) para os melliores valores anteriores 
de tensão nas barras, e esse valor de Qk 6 substituído na Equação (8.5) para achar um novo Vk. 
As componentes do novo V , sáo, então, multiplicadas pela razlro do módulo constante de 
Vkespecificado pelo m6dulo de Vk obtido pela Equaçgo (8.5). O resultado 6 a tensáo complexa 
corrigida do módulo especificado. 
I 
A expmtTo da série de Taylor para u m f u n g o de duas ou mais variáveis 6 a base do método 
de Newton-Raphson para resolver o problema de fluxo de carga. Nosso estudo do mr!todo começa 
abordando a soluç8o de um problema que envolve apenas duas equações e duas variáveis. Entgo, 
veremos como estender a análise para a solu$ío das equaçóes de fluxo de carga. 
21 0 Elementos de ondlise de sistemas de potência 
Consideremos a e q u q o de uma funçgo de duas variáveis x , e x2 igual a uma constante 
K , expressa por 
. f l ( ~ i ? ~ 2 ) = K1 (8.9) 
e uma segunda equaçgo 
f'(x1. ~ 2 ) = K2 (8.10) 
onde K , e K , sáo constantes. 
Então, estimamos as soluçUes dessas equaçóes como sendo x y ) e x p ) . Oç índices supe- 
riores indicam que esses valores sáo estimativas iniciais. Designamos Ax?) e AX?) como sendo 
os valores a serem somados a x?) e x?) para dar as soluçúes corretas. Entffo, podemos escrever: 
K , =,f,(.u,, x , ) =,f,('í~' + A.Y(,(", .ui0) + Ax$") (8.1 1) 
Nosso problema, agora, é resolver essas equações para A x l ) e AX?), o que fazemos pela expan- 
sáo das Equações (8.1 1) e (8.12) em séries de Taylor: 
onde as derivadas parciais de ordem maior que 1 não foram listadas. O termo ô f , / a , , indica 
que a derivada parcial d calculada para os valores de x?) e x?). Os demais termos sáo calculados 
de modo semelhante. 
Se desprezarmos as derivadas parciais de ordem superior a 1, podemos reescrever as 
Equações (8.13) e (8.14) em forma matricial. Entáo, temos 
onde a matriz quadrada das derivadas parciais é chamada jacobiano J, ou neste caso do) para 
indicar que as estimativas iniciais xfO) e xiO) foram usadas para calcular o valor numérico das 
derivadas parciais. Notamos que f l ( x l ) , x?)) t o valor calculado de K , para os valores 
estiniados de xIO) e xiO) mas este valor calculado de K, não d o valor especificado pel;i 
Soluçbes e controle de f i x o de w q o 21 1 
EquaçZo (8.9), a menos que nossos valores estimados xf) e x?) sejam co 
6, por AKF) o valor especificado de K , menos o valor calculado de K , , e $' maneira semelhante, teremos: 
Agora, obtendo a inversa do jacobiano, podemos determinar Ax?) e Axf). Entretanto, 
como fuemos um truncamento na expansgo da série, esses valores somados à nossa estimativa 
inicial Mo determinam a soluflo correta e devemos repetú o que f ~ e m o s , adotando novas 
estimativas x p ) e x f ) , onde 
e repetir o processo até que as correções se tornem táo pequenas que satisfaçam uma precisáo 
escolhida. 
Para aplicar o método de Newton-Raphson à solução das equaçües do fluxo de carga, 
podemos escolher a forma polar ou retangular para expressar as tensões de barra e as adrnitâncias 
de linha. Se escolhermos a forma polar e separarmos a Equação (8.7) em suas componentes real 
e imaginária com 
V k = I b l & ' = I & [ & e Y k n = I Y k n l / B r n 
teremos 
N 
P k 7 j Q k = I h K y k n I / f l k n + a n - a k (8.17) 
n = I 
Entáo 
Como no método de Gauss-Seidel, a barra de oscilaçáo é omitida da soluçffo iterativa para 
determinar tensóes, pois tanto o módulo como o ângulo da tensão na barra de oscilaçáo sáo 
especificados. Se deixarmos para mais tarde as consideraçóes sobre barras.com tensão controlada, 
especificaremos P e Q em todas as barras, exceto a barra de oscilaçáo, e estimaremos o módulo 
e ângulo em todas as barras exceto a de oscilaçZo, para a qual o módulo e ângulo da tensão são 
especificados. Os valores constantes especificados P e Q correspondem às constantes K na