6 Derivadas direcionais e vetor gradiente exercícios

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CFVV 
 PROF.: PATRÍCIA TAVARES 
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DERIVADAS DIRECIONAIS E VETOR GRADIENTE 
 
 
1. Determine a derivada direcional de 
f
 no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo 

. 
 
a) 
  432, yyxyxf 
, 
 1,2
, 
4

 
 
b) 
  xyeyxf ,
, 
 4,0
, 
3
2
 
 
c) 
   xyxsenyxf ,
, 
 0,2
, 
3

 
 
 
2. Para cada item abaixo, determine o vetor gradiente de 
f
 e calcule-o no ponto 
P
 indicado. Em 
seguida, encontre a derivada direcional de 
f
 em 
P
 na direção do vetor u . 
 
a) 
  yxxyyxf 32 45, 
, 
 2,1P
, 







13
12
,
13
5
u
 
b) 
   xyyxf ln, 
, 
 3,1P
, 







5
3
,
5
4
u
 
c) 
  yzxezyxf 2,, 
, 
 1,3,1P
, 







3
1
,
3
2
,
3
2
u
 
 
3. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v . 
 
a) 
  yxyxf 21, 
, 
 4,3P
, 
 3,4 v
 
b) 
   22ln, yxyxf 
, 
 1,2P
, 
 2,1v
 
c) 
  xzy zeyexezyxf ,,
, 
 0,0,0P
, 
 2,1,5 v
 
 
4. Determine a taxa de variação máxima de 
f
 no ponto dado e na direção em que isso ocorre. 
 
a) 
 
x
y
yxf
2
, 
, 
 4,2P
 
b) 
   xysenyxf ,
, 
 0,1P
 
c) 
  222,, zyxzyxf 
, 
 2,6,3 P
 
 
5. Suponha que a temperatura em um ponto 
 zyx ,,
 do espaço seja dada por 
 
222 93200,, zyxezyxT 
 onde 
T
 é medida em graus Celsius e 
zyx ,,
 em metros. 
 
a) Em que direção no ponto 
 2,1,2 P
 a temperatura aumenta mais rapidamente? 
b) Determine a taxa máxima de variação.