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CRP191 - Ca´lculo I Prova 3 - Resoluc¸a˜o Prof. Rodrigo S. Gonza´lez 30 de Junho de 2011 1. (30 pt) Calcule as seguintes integrais indefinidas: (a) ∫ lnx x dx u = lnx⇒ du = dx x ⇒ ∫ lnx x dx = ∫ udu = u2 2 + C = ln2 x 2 + C (b) ∫ x2e−x 3 dx u = −x3 ⇒ du = −3x2dx⇒ ∫ x2e−x 3 dx = −1 3 ∫ eudu = −e u 3 + C = −e −x3 3 + C (c) ∫ −4x x2 − 9 dx u = x2 − 9⇒ du = 2xdx⇒ ∫ −4x x2 − 9 dx = −2 ∫ du u = −2 ln |u|+ C = = −2 ln |x2 − 9|+ C 2. (30 pt) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) ∫ 4 1 e √ x √ x dx u = √ x ⇒ du = dx 2 √ x x = 1 ⇒ u = 1 x = 4 ⇒ u = 2 ⇒ ∫ 4 1 e √ x √ x dx = 2 ∫ 2 1 eudu = 2 eu|21 = 2(e2 − e) (b) ∫ 3 2 xe−3x 2 dx u = −3x2 ⇒ du = −6xdx x = 2 ⇒ u = −12 x = 3 ⇒ u = −27 ⇒ ∫ 3 2 xe−3x 2 dx = −1 6 ∫ −27 −12 eudu = 1 6 ∫ −12 −27 eudu = = 1 6 eu ∣∣∣∣−12 −27 = 1 6 ( e−12 − e−27) 1 (c) ∫ 2 0 √ 2x + 1dx u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx x = 0 ⇒ u = 1 x = 2 ⇒ u = 5 ⇒ ∫ 2 0 √ 2x + 1 dx = 1 2 ∫ 5 1 √ u du = u √ u 3 ∣∣∣∣5 1 = 5 √ 5− 1 3 3. (10 pt) Determine f(x) tal que f ′(x) = 3e4x − 8e−2x se f(0) = −2. df dx = 3e4x − 8e−2x ⇒ f = ∫ (3e4x − 8e−2x)dx = 3 4 e4x + 4e−2x + C f(0) = −2⇒ 3 4 + 4 + C = −2⇒ C = −27 4 ∴ f(x) = 3 4 e4x + 4e−2x − 27 4 4. (20 pt) Durante o primeiro meˆs de crescimento, o algoda˜o apresenta uma taxa de crescimento (em gramas/dia) proporcional ao peso atual W . Para uma determinada espe´cie de algoda˜o, essa taxa e´ de 21% ao dia. Determine o peso de uma planta ao te´rmino de um meˆs (t = 30), se a planta pesa 70 mg no in´ıcio do meˆs. dW dt = 0.21W ⇒ dW W = 0.21dt⇒ lnW = 0.21t + C ⇒ W = e0.21t+C W (0) = 0.070⇒ 0.070 = eC ∴ W (t) = 0.07e0.21t W (30) = 0.07e0.21·30 ⇒ W (30) ≈ 38.12 gramas 5. (10 pt) Determine o valor da constante c de modo que ∫ 1 0 cxe−x 2 dx = 1.∫ 1 0 cxe−x 2 dx = 1⇒ c ∫ 1 0 xe−x 2 dx = 1⇒ − c 2 ∫ −1 0 eudu = 1⇒ c 2 ∫ 0 −1 eudu = 1 ⇒ c 2 eu ∣∣∣0 −1 = 1⇒ c 2 ( 1− e−1) = 1 ∴ c = 2 1− e−1 2
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