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Prova de integrais resolvida

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CRP191 - Ca´lculo I
Prova 3 - Resoluc¸a˜o
Prof. Rodrigo S. Gonza´lez
30 de Junho de 2011
1. (30 pt) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
lnx
x
dx
u = lnx⇒ du = dx
x
⇒
∫
lnx
x
dx =
∫
udu =
u2
2
+ C =
ln2 x
2
+ C
(b)
∫
x2e−x
3
dx
u = −x3 ⇒ du = −3x2dx⇒
∫
x2e−x
3
dx = −1
3
∫
eudu = −e
u
3
+ C = −e
−x3
3
+ C
(c)
∫ −4x
x2 − 9 dx
u = x2 − 9⇒ du = 2xdx⇒
∫ −4x
x2 − 9 dx = −2
∫
du
u
= −2 ln |u|+ C =
= −2 ln |x2 − 9|+ C
2. (30 pt) Calcule as seguintes integrais definidas:
(a)
∫ 4
1
e
√
x
√
x
dx
u =
√
x ⇒ du = dx
2
√
x
x = 1 ⇒ u = 1
x = 4 ⇒ u = 2
⇒
∫ 4
1
e
√
x
√
x
dx = 2
∫ 2
1
eudu = 2 eu|21 = 2(e2 − e)
(b)
∫ 3
2
xe−3x
2
dx
u = −3x2 ⇒ du = −6xdx
x = 2 ⇒ u = −12
x = 3 ⇒ u = −27
⇒
∫ 3
2
xe−3x
2
dx = −1
6
∫ −27
−12
eudu =
1
6
∫ −12
−27
eudu =
=
1
6
eu
∣∣∣∣−12
−27
=
1
6
(
e−12 − e−27)
1
(c)
∫ 2
0
√
2x + 1dx
u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx
x = 0 ⇒ u = 1
x = 2 ⇒ u = 5
⇒
∫ 2
0
√
2x + 1 dx =
1
2
∫ 5
1
√
u du =
u
√
u
3
∣∣∣∣5
1
=
5
√
5− 1
3
3. (10 pt) Determine f(x) tal que f ′(x) = 3e4x − 8e−2x se f(0) = −2.
df
dx
= 3e4x − 8e−2x ⇒ f =
∫
(3e4x − 8e−2x)dx = 3
4
e4x + 4e−2x + C
f(0) = −2⇒ 3
4
+ 4 + C = −2⇒ C = −27
4
∴ f(x) = 3
4
e4x + 4e−2x − 27
4
4. (20 pt) Durante o primeiro meˆs de crescimento, o algoda˜o apresenta uma taxa de
crescimento (em gramas/dia) proporcional ao peso atual W . Para uma determinada
espe´cie de algoda˜o, essa taxa e´ de 21% ao dia. Determine o peso de uma planta ao
te´rmino de um meˆs (t = 30), se a planta pesa 70 mg no in´ıcio do meˆs.
dW
dt
= 0.21W ⇒ dW
W
= 0.21dt⇒ lnW = 0.21t + C ⇒ W = e0.21t+C
W (0) = 0.070⇒ 0.070 = eC ∴ W (t) = 0.07e0.21t
W (30) = 0.07e0.21·30 ⇒ W (30) ≈ 38.12 gramas
5. (10 pt) Determine o valor da constante c de modo que
∫ 1
0
cxe−x
2
dx = 1.∫ 1
0
cxe−x
2
dx = 1⇒ c
∫ 1
0
xe−x
2
dx = 1⇒ − c
2
∫ −1
0
eudu = 1⇒ c
2
∫ 0
−1
eudu = 1
⇒ c
2
eu
∣∣∣0
−1
= 1⇒ c
2
(
1− e−1) = 1 ∴ c = 2
1− e−1
2

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