Provas e Listas de Algebra Linear

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

LISTA_10.pdf
LISTA_2.pdf
LISTA_3.pdf
LISTA_4.pdf
LISTA_5.pdf
LISTA_6.pdf
LISTA_7.pdf
LISTA_8.pdf
LISTA_9.pdf
p1-Algebra Linear.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
11 de Julho de 2013
1a Questa˜o: Sejam A =

1 0 2 −1
3 −2 6 4
5 4 3 0
2 2 −5 6
 e B4×4 = 2C, onde C foi obtida de A via as seguintes
operac¸o˜es elementares: L1 ↔ L2, L3 → L3 − 5L1 e L4 → 2L4.
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Informe, se existir, a matriz inversa de A.
(c) AB e´ invers´ıvel? Justifique precisamente.
2a Questa˜o: (a) Prove que
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 0 0 0
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣∣∣
a22 a23 a24
a32 a33 a34
a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣
(b) Mostre que C =
 1 0 00 cos(θ) − sen(θ)
0 sen(θ) cos(θ)
 e´ invers´ıvel, para todo θ ∈ R.
(c) Assuma que as matrizes abaixo sa˜o tais que as operac¸o˜es aqui realizadas estejam bem
definidas. Resolva a seguinte equac¸a˜o matricial para a matriz X:
A−1(BX)−1 = A−1B2.
(d) Prove que se A e´ uma matriz n × n que satisfaz que A2 − 3A + I = 0 (onde I e 0 sa˜o as
matrizes identidade e nula de ordem n, respectivamente), enta˜o A−1 = 3I −A.
(e) Considere o sistema linear AX = B. Prove que se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o AX = B
e´ um SPD.
3a Questa˜o: Determine os poss´ıveis valores de k ∈ R para que o sistema
x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ ky + 3z = 2
seja: um SPD, um SPI, um SI.
4a Questa˜o: Resolva o sistema abaixo e classifique-o quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es:
x+ 2y − z = 0
2x− y + z = 0
x+ 3y + 2z = 0
3x− y + 4z = 0
Bom divertimento!!!
p2-Algebra Linear.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Segunda Prova de A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
27 de outubro de 2015
1a Questa˜o: Considere u1 = (1, 1, a), u2 = (0, 1, 1) e u3 = (1, 0, b) vetores de R3. Quais as condic¸o˜es que
a, b ∈ R devem satisfazer a fim de que β = {u1, u2, u3} forme uma base para R3?
2a Questa˜o: Dados os conjuntos W abaixo, decida quais sa˜o subespac¸os vetorias dos respectivos espac¸os
vetoriais V apresentados, justificando precisamente sua decisa˜o:
(a) V = M2×2(R) e W = {A ∈M3×3(R)|aij = 0, se i = j}.
(b) V = R3 e W = {(x, y, z)|y = x2 + z2}.
3a Questa˜o: Seja V um espac¸o vetorial e W , U subespac¸os vetoriais de V . Pergunta-se: W ∪ U e´ tambe´m
um subespac¸o vetorial de V ? Se a resposta for sim, prove. Caso a resposta seja na˜o, deˆ um
contra-exemplo.
4a Questa˜o: Considere os subespac¸os vetoriais de R3: W = {(x, y, z)|x + y − z = 0, com x, y, z ∈ R} e
U = {(x, y, z))|x = y com x, y, z ∈ R}.
(a) Encontre uma base e deˆ a dimensa˜o para W e para U .
(b) Encontre o subespac¸o vetorial W
⋂
U , encontre uma base e deˆ a dimensa˜o para o mesmo.
(c) Encontre uma base e deˆ a dimensa˜o para W + U . Responda: W + U = R3?
5a Questa˜o: (extra de 0, 5 pontos) Seja C(R) o conjunto das func¸o˜es f : R → R cont´ınuas e diferencia´veis
em R. Sendo V o espac¸o vetorial das func¸o˜es reais, prove que C(R) e´ um subespac¸o vetorial de V .
Boa prova!
p3-Algebra Linear.pdf
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
01 de dezembro de 2015
1a Questa˜o: (2,0 ptos) Define-se o trac¸o de uma matriz A = [aij ]n×n como sendo Σaii, com i = 1, . . . , n. Ou
seja, a soma dos elementos de sua diagonal principal. Mostre que a func¸a˜o trac¸o:
T : M(Rn×n) → R definida por T (A) = tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann e´ uma transformac¸a˜o
linear.
2a Questa˜o: (3,0 ptos) Seja T : M(R2×2) → R4 uma transformac¸a˜o linear definida por T
([
x y
z t
])
=
(t, z, y, x), com x, y, z, t ∈ R.
(a) Mostre que T e´ um isomorfismo.
(b) Determine o operador inverso de T , ou seja, determine T−1.
3a Questa˜o: (3,0 ptos) Considere T : R3 → R3, α a base canoˆnica de R3 e [T ]αα =
 2 0 10 −3 1
0 0 −3
. T e´ um
operador diagonaliza´vel?
4a Questa˜o: (2,0 pto) Seja T a transformac¸a˜o linear associada a` matriz A =
 −1 23 0
2 1
 em relac¸a˜o a`s
respectivas bases canoˆnicas dos espac¸os vetoriais envolvidos.
(a) Qual a lei que define T?
(b) Encontre o nu´cleo de T e uma base para Nuc(T )
(c) T e´ sobrejetora?
Boa prova e boas festas!