Caderno de orientações - Cálculo II

Prévia do material em texto

Sugestões de problematização da UA: 
- Que problemas motivaram o desenvolvimento do cálculo integral? Produção de material 
multimídia autoinstrutivo explicitando o desenvolvimento dos conceitos do cálculo integral para a 
resolução do problema apresentado. 
- Como se aplica a Integral no cálculo de áreas e volumes? Produção de material multimídia 
apresentando problemas e suas soluções através do cálculo integral. 
 
 
CADERNO DE ORIENTAÇÕES 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM – DO MÉTODO DE EXAUSTÃO 
AO CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES 
 
 
1
 
 
 
CADERNO DE 
ORIENTAÇÕES 
COMPREENDENDO O CONCEITO DE CÁLCULO INTEGRAL 
 
Entendendo a unidade: No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para 
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em 
dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os 
instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. Diferentemente 
da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas 
visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e 
existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque 
existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem 
segundo outra. 
 
Medindo áreas: 
 A humanidade mede áreas há milhares de anos. A área de alguns quadriláteros, 
como o quadrado e o retângulo é facilmente medida, por isso é comum tais figuras serem 
usadas na divisão de terras. 
 Calcular a área de triângulos, círculos ou polígonos regulares também é uma tarefa 
fácil, mas outras formas são um pouco mais difíceis. As cônicas (parábolas, elipses, 
hipérboles) por exemplo deram muita dor de cabeça aos gregos que não conseguiam medir 
sua áreas com precisão. 
Como resolver a questão destas áreas e de outras figuras, muitas irregulares? 
Um passo importante para a compreensão das cônicas foi dado por Descartes com a 
geometria analítica. Estamos mais próximos de calcular as áreas, mas ainda não é uma 
solução. A chave é dividir a área em formas conhecidas, que sabemos como medir e somar 
todos os pedaços. 
A idéia básica do conceito de integral já estava no método da exaustão atribuído a 
Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.). Pode-
se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido. 
O método da exaustão consiste em "exaurir" a figura dada por meio de outras de 
áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do 
PRIMEIRA 
SEMANA 
As áreas das figuras 
planas. 
 
 
 
 
Descobrindo soluções 
para o cálculo da 
área das figuras 
planas. 
 
 
2
 
círculo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado. 
Uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de 
quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à 
área do círculo 
 
Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista 
geométrico, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumas áreas 
que não foram cobertas. 
Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do círculo, através de polígonos 
regulares inscritos de 2n lados. Usando um procedimento similar a este, com polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes calculou a 
área do círculo de raio unitário mostrando que a área A (=Pi) 
O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes 
cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII O que permitiu a 
passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada 
sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos. 
 
 
Atividade I 
Assista aos vídeos sobre Arquimedes 
https://www.youtube.com/watch?v=X8c3AdgMi9w 
https://www.youtube.com/watch?v=zzm1ALkPKjA 
 
Após produza: 
a) Referência bibliográfica/título dos vídeos: 
b) Resumo: 
c) Comentário 
d) Destaques: 
 
ATIVIDADE II: 
- Calcule o Valor Aproximado do Número Irracional π, Usando o Método da Exaustão de Arquimedes 
 
 
3
 
No livro sobre a Medida do Círculo, Arquimedes prova primeiro que a área de um círculo é igual à de um triângulo retângulo tendo por 
base o comprimento do círculo e por altura o raio. Neste processo ele assume que existe um segmento de reta igual em comprimento à 
circunferência – uma hipótese condenada por alguns críticos antigos, sob alegação de que não é evidente que uma linha reta possa ser 
igual a uma curva (Cajori 2007, p. 67). 
Sabe-se que Arquimedes usava um método em que inscrevia e circunscrevia polígonos regulares em uma mesma circunferência. É 
claro que o perímetro da circunferência era sempre maior que o do polígono inscrito e menor que o do polígono circunscrito. Com essa 
comparação, Arquimedes, aumentando exaustivamente o número de lados desses polígonos – como se já trabalhasse com limites! –, 
conseguiu uma boa aproximação para o número π. 
Desenvolvimento da Atividade 
1. Tome dois polígonos regulares de n lados, um inscrito e outro circunscrito em uma mesma circunferência. Represente por l o lado do 
polígono regular inscrito, por L o lado do polígono regular circunscrito e por R o raio da circunferência. 
 
2 Calcule o ângulo central α e, ao traçarmos sua bissetriz (que também é mediana e altura do triângulo isósceles formado), obtemos 
dois triângulos retângulos com um ângulo igual à metade de α. 
 
 
2. Use relações trigonométricas e calcule o perímetro do polígono regular inscrito (Dica: use seno de alfa / 2) 
3. Procedendo de modo análogo, usando agora o polígono regular circunscrito, calcule o perímetro. (Dica: use tangente de alfa / 2) 
 
 
4
 
4. O perímetro da circunferência está compreendido entre o perímetro do polígono regular inscrito e o perímetro do polígono regular 
circunscrito. Assim é possível escrever: 
 Perímetro Polígono Inscrito < Perímetro Circunferência < Perímetro Polígono Circunscrito 
5. A partir desses passos tente imitar Arquimedes e calcule Pi pela dedução acima. 
 
Atividade III 
Imagine um roteiro para uma animação ou vídeo sobre o método da exaustão (sugestão : pode ser usada a atividade I). Discuta sua ideia 
com 2 colegas e produza em conjunto com eles uma proposta com o roteiro, descrevendo diálogos, figurino, animação ou vídeo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
 
A VARIAÇÃO ACUMULADA 
O objetivo é o de desenvolver estratégias para recuperar informações sobre uma quantidade 
expressa por uma função F(t), no caso de conhecer a sua taxa instantânea de variação 
)(tf
dt
dF
y 
Isso quer dizer: pretende-se obter informações sobre uma função F(t) a 
partir do conhecimento de sua taxa instantânea de variação 
)(tf
dt
dF
y 
. 
Iremos trabalhar a noção de variação acumulada a partir de uma taxa 
)(tf
dt
dF
y 
, em 
um intervalo [a, b], estimando valores para a variação total, neste mesmo intervalo. 
A proposta agora é a de discutir alguns exemplos. Ao refinar os procedimentostécnicos para 
medir a variação acumulada, introduz-se a ideia de partição em intervalos, bem como, aos 
poucos, a notação utilizada em matemática que lhe corresponde. 
 Para recuperar informações sobre as variações acumuladas e também resolver de forma 
eficaz o problema das áreas das figuras irregulares desenvolveu-se o conceito de Integral. 
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma 
curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, 
como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for 
conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. 
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, 
todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, 
continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições 
diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas 
não podem segundo outra. 
A integral indefinida também é conhecida como antiderivada. 
Saiba mais sobre a integral em: 
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/topics/cal
culus.htm 
Após faça a 
Atividade I: 
Faça um resumo do texto sobre integrais. 
CONCEITO DE INTEGRAL 
 
Integral Indefinida 
 
Vimos nas aulas anteriores como determinar a deriva f’(x) de uma função f(x), 
juntamente ao conceito de derivada de uma função. Agora estudaremos o inverso, 
teremos uma função g(x) = f’(x), iremos obter a função primitiva f(x). Por exemplo, 
tomamos a função g(x) = 2x, deveremos achar a função f(x) tal que f’(x) = 2x. Esse 
procedimento é chamado de integração. É claro que f(x) = x
2
 é uma solução, mas 
SEGUNDA 
SEMANA 
A variação 
acumulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
não é a única, pois f(x) = x
2
+5 ou f(x) = x
2
 – 6. Portanto, a integral da função g(x) = 2x acaba sendo f(x) = x
2
 + c, ou seja, 
x
2
 mais uma constante. 
Lembrando da diferencial de uma função, podemos interpretar 
f
 como sendo a soma das quantidades infinitesimais 
da df. Fazer esta soma é o que chamamos de integrar, palavra que significa juntar, reunir, etc. À integral indefinida 
indicamos pelo símbolo 
 dxxg )(
, que é uma primitiva qualquer de g(x) adicionada de uma constante arbitrária c. Assim: 
 
cxfdxxg  )()(
 
Regras de integração 
 
As regras de integração decorrem das regras de derivação, fazendo-se o “caminho” inverso: 
 
a) Função constante:
cxdx 1
 
b) Função potência:
c
n
x
dxx
n
n 



 1
1
 
 
Algumas propriedades 
 
a) 
  dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([ 2121
 
b) 
  dxxfdxxfdxxfxf )()()]()([ 2121
 
c) 
  dxxfcdxxfc )()(
 
Atividade I 
Encontre a integral indefinida das funções: 
a) f(x) = 7x5/2 + 4 
b) g(t) = 
𝑡5
2
− 
4
𝑡−3
+ 3𝑡 
c) h(u) = u3 (-2u + u-5) 
d) f(x) = 
𝑥+1
𝑥5
 
e) h (v) = (- 2 + v-2)2 
f) g (s) = 
1
𝑠4
 
g)∫ 𝑥32 − 
6
√𝑥
+ 8𝑥5 + 
1
𝑥2
− 𝑥 − 4 𝑑𝑥 
h) ∫ (
𝑥3+2𝑥−7
𝑥
) 𝑑𝑥 
 
 
7
 
i) ∫ (
𝑒𝑥
2
+ 𝑥√𝑥) 
 
Exemplo envolvendo a aplicação de integral indefinida: 
Sabendo-se que o custo marginal de uma empresa é expresso por 
308,0)(  xxCmg
 e que o custo fixo é de R$ 100,00, obtenha a função custo. 
Resolução 
cxxxC
cx
x
xC
cx
x
xC
dxxCxC mg








304,0)(
3
2
08,0
)(
3
11
08,0
)(
)()(
2
2
11
 
 
Como o custo fixo é de R$ 100,00, C(0) é igual a 100, ou seja, a constante c vale 
100. Portanto, a função custo é 
100304,0)( 2  xxxC
. 
 
Atividade 
Procure artigos sobre o tema que pretende usar na problematização. Leia o resumo deles e 
comece a decidir quais usará como referencial teórico. 
 
 
Aplicações 
Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita total 
representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMg). 
Conhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, 
podemos obter o custo total e a receita total, ou seja, 
 Função custo total:  dxxCMgxC )()( 
 Função receita total:  dxxRMgxR )()( 
Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa 
constante pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da 
receita total, como geralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas 
é zero, este resultado pode ser usado para calcular a constante de integração. 
 
1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 
3q2 – 60q + 400 reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de 
R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades? 
Passo 1 : Calcular a integral 
Passo 2: Para achar o valor da constante fazer f(2) = 900. 
TERCEIRA
A 
SEMANA 
A variação 
acumulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
 
A partir dai calcular f(5) 
R R$ 1.587,00 
2 Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de 
t62 
 pessoas por mês. A população 
atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses? 
3. Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo F(x) = 5.000 + 60
x
 bicicletas 
por mês ao preço de P(x) = 80 + 3
x
 u.m. (unidades monetárias) por bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da 
venda das bicicletas durante os próximos 16 meses? 
Dica : R’ = f(x) . p(x) 
Integrar R’ e calcular f(16) 
R 7.267.840 u. m. 
4)Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se 
o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função custo e o custo de produção de 100 unidades? 
Dica: custo marginal = C’ – calcular C depois f(1) = 35,00 para encontrar a constante. Voltar na função e fazer f(100) 
5. Se a função receita marginal é dada por RM g(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e a função demanda. 
Dica: função demanda = p = 
𝑅(𝑥)
𝑥
 
 
6. Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 6x2 - 2x + 200 / unidade. O custo para produzir as três 
primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades. 
7. A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 20 + 40x - 6x2. O custo fixo é 60. Determine a função custo 
total. 
8. Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 
- 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. 
9. Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,75x2-20x+10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral Definida 
 
Suponha que você conheça a taxa f’(x) na qual certa grandeza f está variando e deseje encontrar a quantidade pela 
qual a grandeza f irá variar entre x = a e x = b, ou seja, entre o intervalo [a, b]. Você pode primeiro encontrar f(x) por 
integração,e então calcular a diferença (variação em f entre a e b): 
 
x= a e x = b 

 f(b) – f(a) 
 
O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo: 
 
)()()( afbfdxxf
b
a

 
 
Temos então a integral definida de f de a até b. Os números a e b são denominados limites de integração. É comum 
representar a diferença f(b) – f(a) pelos símbolos: 
 
 
 b
a
xf )(
 ou 
b
a
xf )(
 
 
 
 
1
0
 
Por exemplo, vamos calcular a integral definida de f(x) = x
2
 para o intervalo [2,5], ou seja, 

5
2
2dxx
. 
Como 
  c
x
dxx
3
3
2
 é uma das primitivas de f e tomando c=0, temos: 
 
3
117
3
2
3
5
3
33
5
2
5
2
3
2 






x
dxx
 
 
A Integral Definida como Variação Total 
 
Trataremos agora do problema inverso do estudado na Análise Marginal. Suponha que desejamos determinar o custo 
marginal resultante do aumento da produção de x0 unidades para x1 unidades. Se conhecemos a função de custo C(x) 
basta calcular C(x1) − C(x0). Por outro lado, se não conhecemos a função de custo, mas conhecemos o custo marginal, 
podemos determiná-la da seguinte maneira: 

1
0
)(
x
x
mg dxxC
 
Por exemplo: determine a variação total do custo C(x), quando o número x de unidades produzidas de certo produto 
aumenta de 1000 para 1003, se seu custo marginal é 
2
3500
x
Cmg 
. 
Resolução: 
 
 
 

x
x
x
dx
x
3500
3500
12
35003500 1
12
2
, logo, 
 
01046,04895,35,3
1003
3500
1000
350035003500
1003
1000
1003
1000
2






 x
dx
x
 
 
Atividade I 
 
a) 
dx
3
0
 4
 
b) 
dx 
4
0 x
 
c) 

4
0
dx 
2
x
 
 
 
1
1
 
d) 
 
2
0
dx )52( x
 
e) 
 
5
0
dx )5( x
 
f) 
 
3
1
2 dx )34( xx
 
g) 
 
0
3
dx )2(x
 
h) 
dx 
2
0
3
 x
 
i) 
 
4
0
2)4( dxxx
 
j) 
dx 
13
2 x
 
Soluções 
a) 12 
b) 8 
c) 4 
d) 14 
e) 25/2 
f) 4/3 
g) 3/2 
h) 
8√2
5
 
i) 32/3 
j) ln 3 – ln 2 
 Áreas entre duas curvas 
Vamos usar as ideias da integral definida para calcular a área entre duas curvas. 
Intuitivamente a integração definida pode ser imaginada como o processo de “acumular” um 
número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total da grandeza. 
Em resumo a área entre duas curvas pode ser definida assim: 
Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área A 
entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada por: 
𝐴 = ∫ [ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Obs: f(x) é a função que se apresenta acima no gráfico. 
QUINTA 
SEMANA 
Cálculo de áreas 
através da integral 
definida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
 
Exemplo 1: determine a área da região R limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 
Para obter os pontos de interseção , basta igualar as equações das duas curvas: 
x3 = x2 
x3 - x2 = 0 
x = 0 ou x = 1 
Os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1) 
No intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 a região R é limita acima por y = x2 e abaixo por y = x3. Como podemos verificar na figura: 
 
Figura 1 - Celso Pessanha 
Obs. Esta figura foi desenhada com uso do Graphmática. O software é gratuito com interface em português. 
O cálculo da área é feito através da integral: 
∫ (𝑥2
1
0
− 𝑥3) 𝑑𝑥 
Tente resolver a integral, a resposta é 
1
12
. 
 
 
Em alguns problemas práticos é preciso determinar a área A entre duas curvas y = f(x) e y = g (x) em um intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 no qual 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 e 𝑔(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥) para 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Neste caso o procedimento é: 
 
𝐴 = ∫ [ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
 + ∫ [ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
Exemplo 2: Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva y = x3 + 3x2. 
Solução Para obter os pontos de interseção da reta com a curva, igualam-se as equações. 
x3 + 3x2 = 4x, 
dai que x = 0, 1, -4 . 
Os pontos de interseção são (0, 0) , (1, 4), (- 4 , - 16) 
Estes pontos podem ser encontrados pelo graphmática 
x2 
x
3 
 
 
1
3
 
 
O gráfico pode ser visto na Figura: 
 
 
Figura 2 – (Celso Pessanha) 
No intervalo −4 ≤ 𝑥 ≤ 0 a curva está acima da reta, a área é: 
∫ [(𝑥3 + 3𝑥2) − 4𝑥}𝑑𝑥
0
−4
 
No intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 a reta está acima da curva, a área é: 
∫ [4𝑥 − (𝑥3 + 3𝑥2)}𝑑𝑥
1
0
 
Calcule o valor da área. A resposta é 32,75 
Excesso Líquido de Lucro 
A área entre duas curvas pode ser usada para medir a quantidade de uma grandeza que se acumulou durante certo período. Suponha 
que daqui a t anos dois planos de investimentos estejam apresentando lucros L1(t) e L2(t), respectivamente, e que seus índices de 
rentabilidade previstos, L’1(t) e L’2(t), satisfaçam a desigualdade L’2(t) ≥ L’1(t) nos próximos n anos, ou seja, no período 0 ≤ t ≤ n. 
Nesse caso, E(t) = L2(t) – L1(t) representa o excesso de lucro do plano 2 em relação ao plano 1, no instante t, e o excesso líquido de 
lucro EL = E(n) – E(0) no intervalo 0 ≤ t ≤ n é dado pela integral definida . Esta integral pode ser interpretada geometricamente como a 
área entre as curvas de rentabilidade y = L’1(t) e y = L’2(t), como mostra a figura a seguir. 
 
x
3
 + 3x
2 
4x 
 
 
1
4
 
 
 
Exemplo 3: suponha que daqui a t anos um investimento gere lucro a uma taxa L’1(t) = 50 + t
2 centenas de reais por ano e um segundo 
investimento gera o lucro a uma taxa L’2(t) = 200 + 5t centenas de reais por ano. 
 (a) Durante quantos anos o índice de rentabilidade do segundo investimento permanece maior que o do primeiro? 
 (b) Determine o excesso líquido de lucro para o período calculado no item (a). 
Solução 
Encontrar o ponto de equilíbrio entre as duas funções: 
 L’1(t) = L’2(t) 
50 + t2 = 200 + 5t  
t2 – 5t – 150 = 0 
 t = 15 e t = –10 (não serve). 
O segundo investimento é maior do que o primeiro até 15 anos. O excesso líquido de lucro do plano 2 em relação ao plano 1 é 
calculado no período 0 ≤ t ≤ 15 usando a integral definida: 
 
∫ (200 + 5𝑡) − (50 + 𝑡2)𝑑𝑡
15
0
 
Tente resolver a integral. A resposta do problema é R$ 168.750.00 
 
Curva de Lorentz e Índice de Gini 
A área desempenha um papel importante no estudo da curva de Lorentz, usada por economistas e sociólogos para medir a 
distribuição de riqueza em uma sociedade. A curva de Lorentz de um país é o gráfico da função L(x), que representa a fração da renda 
total anual recebida pelos x% menos bem-remunerados assalariados do país, para 0 ≤ x ≤ 1. Assim, por exemplo, se os 30% menos 
bem-remunerados assalariados do país recebem 23% da renda nacional, L(0,3) = 0,23. Observe que L(x) é uma função crescente no 
intervalo 0 ≤ x ≤ 1 e apresenta as seguintes propriedades: 
1. 0 ≤ L(x) ≤ 1 porque L(x) é uma fração; 
 
2. L(0) = 0 porque não há renda quando não há assalariados 
 
3. L(1) = 1 porque 100% da receita é recebida por 100% dos assalariados 
 
4. L(x) ≤ x porque x% menos bem pagos assalariados não podem receber mais de x% da receita total 
 
 
 
A curva de Lorentz y = L(x) está sempre abaixo da reta de distribuição equitativa y = x, como pode ser observado no gráfico: 
 
 
1
5
 
 
A reta y = x representa o caso ideal em que a distribuição de renda é uniforme. Quanto maispróxima desta reta está uma 
curva de Lorentz, mais justa é a distribuição de renda do país. O desvio da distribuição de riqueza da sociedade em relação à 
distribuição ideal é representado pela região R1 entre a curva de Lorentz y = L(x) e a reta y = x. A razão entre esta área e a área da 
região R2 sob a reta y = x no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 é usada como uma medida da desigualdade da distribuição de riqueza de um país. Esta 
razão é conhecida como índice de Gini, também chamado índice de desigualdade de renda, é dada pela expressão: 
   
 











1
0
1
0
1
0
1
0 )(2
2
1
)()(
10
)(
dxxLx
dxxLx
xdx
dxxLx
xparaxysobárea
xyexLyentreárea
IG 
Geometricamente: 
 
 
Os valores do Índice de Gini estão sempre entre 0 e 1. Um índice 0 representa a igualdade total da distribuição de renda e um 
índice 1 corresponde a uma desigualdade total, isto é, toda a renda pertence a 0% da população. Quanto menor o índice, mais justa é a 
distribuição de renda, quanto maior o índice mais riqueza concentrada em poucos indivíduos. 
Exemplo 4: A situação mostra como as curvas de Lorentz e o índice de Gini são usados para comparar as distribuições de renda de 
duas classes profissionais. 
Um órgão do governo de certo país verifica que as curvas de Lorentz para as distribuições de renda dos dentistas e médicos 
em certo estado são dadas pelas funções L1(x) = x
1,7 e L2(x) = 0,8.x
2 + 0,2.x respectivamente. Para que profissão a distribuição de 
renda é mais homogênea? 
Solução: 
Os dois índices de Gini são: 
Dentistas L1 =2 ∫ (𝑥 − 𝑥
1,7) 𝑑𝑥
1
0
 
Resposta: 0,2593 
Médicos L2 = 2 ∫ (
1
0
x – 0,8 𝑥2 − 0,2 𝑥 𝑑𝑥 
 
 Assim, nesse país, a distribuição de renda dos dentistas é mais homogênea. 
 
 
1
6
 
 Podemos usar o Índice de Gini para comparar a distribuição de renda nos diferentes países do mundo. A tabela a seguir 
mostra o Índice de Gini para alguns países escolhidos. 
Pais Índice de Gini 
Estados Unidos 0,460 
Brasil 0,601 
Canadá 0,315 
Dinamarca 0,247 
Alemanha 0,281 
Japão 0,350 
África do Sul 0,584 
Panamá 0,568 
Tailândia 0,462 
Inglaterra 0,326 
Fonte: David C. Colander, Economics, 4th.ed, Boston: McGraw-Hill, 2001, p.435 
 Observe que a distribuição tende a ser mais justa em países desenvolvidos como a Alemanha e o Japão, mas existem 
exceções, como, por exemplo, o Índice de Gini dos Estados Unidos ser praticamente igual ao da Tailândia. (Existe alguma correlação 
entre a desigualdade de renda e a estrutura sociopolítica das nações?) 
 
4. Calcular a área da região limitada superiormente por f(x) = x + 3, inferiormente por g(x) = x2, à direita por x = 2 e à esquerda por x = 
1. A região descrita está representada na figura abaixo. 
 
 
R. 13/6. 
 
 
5) Calcular a área da região englobada pelas curvas y = x2 e y =2 - x2. 
 
 
1
7
 
Esboço do gráfico 
 
 R. 8/3. 
 
 
Exemplo: 
3) Calcular a área englobada pelas curvas x=y2 e y=x-2. 
 O primeiro passo sempre é fazer um esboço da região: 
 
 
 Observe que, neste caso, não há uma curva que esteja sempre "acima". Por isso, se 
formos calcular como no primeiro caso, precisaremos dividir a região da seguinte forma 
 
 
1
8
 
 
 
para conseguir que em cada parte haja sempre uma mesma função "de cima" e uma 
mesma função "de baixo". Isso dificulta a resolução do problema. Porém, se olharmos 
com atenção, vemos que a reta está sempre à direita da parábola. Logo, podemos 
interpretar como um problema onde x é uma função de y, "isolando o x", ou seja, 
fazendo x=y+2. Daí temos a região representada pela figura seguinte 
 
 
com y+2≥y2 na região. Para determinar os limites de integração, resolvemos y+2=y2, 
obtendo y=-1 e y=2. Daí resolvemos 
A=∫-12y+2-y2dy=y22+2y-y33]-12=222+2×2-233-((-1)22+2(-1)-(-1)33)=92. 
Que tal tentar você mesmo? Você pode praticar com os exercícios propostos e após 
realizar a Tarefa 3.1. 
 
 
 
 
1
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0