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Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 1 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos, especialmente 
na área de Engenharia. Por exemplo, a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um 
automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas, acarreta 
um alto custo financeiro; portanto, faz-se necessária a utilização de métodos numéricos 
simples e precisos, como, por exemplo, o Método das Matrizes de Transferência, no qual, como 
o próprio nome evidencia, utilizam-se matrizes. Por sua vez, o projeto de uma estrutura 
composta por vigas metálicas exige a resolução de um sistema de equações lineares, no qual o 
número de equações e variáveis cresce à medida que se torna mais complexa a estrutura. A 
forma matricial do sistema é, então, utilizada, analisando-se a singularidade da matriz dos 
coeficientes do sistema e a matriz coluna das forças externas, para se encontrar a matriz 
coluna das forças que atuam sobre as vigas. O Método dos Elementos Finitos, que tem grande 
aplicação em problemas de Engenharia, particularmente em problemas de Engenharia Civil e 
Mecânica, utiliza-se de sistemas lineares que envolvem grande número de variáveis, os quais 
são resolvidos computacionalmente, trabalhando-se com as matrizes dos sistemas. Também 
em outras áreas, como, por exemplo, na Pesquisa Operacional, a teoria das matrizes e os 
sistemas lineares são largamente utilizados. 
1 Matrizes 
1.1 Histórico 
Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta de 1850, 
divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, inicialmente, eram 
aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas lineares e apenas há pouco mais 
de 150 anos tiveram sua importância detectada. No entanto, o primeiro uso implícito da noção 
de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange (1736-1813), em 1790. 
O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que as 
chamava de “tabelas”. O nome “matriz” só veio com James Joseph Sylvester (1814-1897), em 
1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. Somente 
com Cayley elas passaram a ter vida própria e, gradativamente, começaram a suplantar os 
determinantes em importância. 
Definição: Dá-se o nome de matriz a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada 
por ( )
mxnij
aA = , onde o par de índices ij representa a posição de cada elemento ija dentro 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
da matriz, sendo que o índice i indica a linha e j , a coluna. O par de índices nm × é chamado 
dimensão da matriz e representa o seu tamanho: o índice m indica o número de linhas da 
matriz e n, o número de colunas. 
Toda matriz pode ser representada, genericamente, por: 














=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
L
MLMMM
L
L
321
2232221
1131211
 ou 














=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
L
MLMMM
L
L
321
2232221
1131211
 
De forma abreviada, a matriz A acima pode ser representada na forma: 
( ) { } { }n,,,,j;m,,,,i;aA ij LL 321321 ∈∈= , 
ou, mais simplesmente, na forma: ( )
nmij
aA
×
= . 
Observação: nesse texto, utilizar-se-á o termo "ordem da matriz" apenas quando o número de 
linhas for igual ao número de colunas; em caso contrário, dir-se-á "dimensão da matriz". 
Indicar-se-á por ( )ℜmxnA o conjunto de todas as matrizes de dimensão nm × e com 
elementos reais. 
• Se 1== nm , tem-se uma matriz com um único elemento e, portanto, a matriz representa 
um número real; ou seja, ( ) 111111 aaA x == . 
• Se nm ≠ , a matriz é chamada de matriz retangular de dimensão nm × e representada por 
( )ℜmxnA ou, simplesmente, mxnA . 
• Se nm = , a matriz é chamada de matriz quadrada de ordem n (ou m) e representada por 
( )ℜnA ou, simplesmente, nA . Neste caso, definem-se: 
- diagonal principal da matriz: é constituída pelos elementos que têm os dois índices iguais, 
isto é: 
{ } { }nnij a,,a,a,aji/a L332211== . 
Na matriz seguinte, mostram-se de forma destacada os elementos da diagonal principal: 




















=
nn
44
33
22
11
a
a
a
a
a
L
MLMMMM
L
L
L
L
4321
4434241
3343231
2242321
1141312
nnnn
n
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A ; 
- diagonal secundária da matriz: é constituída pelos elementos que têm a soma dos índices 
iguais a n + 1, isto é: 
{ } { }1231211 nn,n,nij a,,a,a,anji/a L−−=+=+ . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Na matriz que se segue, são mostrados os elementos da diagonal secundária de forma 
destacada: 




















=
−
−−−−−−
−
−
−
nnn,nnn
n,nn,n,n,n
nn,
n
n,
aaaa
aaaa
aaaaa
aaaa
aaaa
A
132
1113111
313333231
2232221
11131211
L
L
MMLMMM
L
L
L
n1
1n
a
a
1,2
1,21,2
1,2n
nn
n
1
11
1n
nn
n2,
2,2,
2,
a
aa
a
a
aa
a
. 
Por exemplo, considerando-se uma matriz quadrada de ordem 3, tem-se a representação da 
Figura 1. 
 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
diagonal principal diagonal secundária 
 
FIGURA 1 
Exemplo: Escrever a matriz ( )
32xij
aA = tal que 





<−
=
>+
=
jise,ji
jise,i
jise,ji
a jij
2
2
. 
A matriz ( )
32xij
aA = , em sua forma expandida, é escrita na forma: 






=
232221
131211
aaa
aaa
A . 
Então: 
• 11111 ==a ; 42
2
22 ==a , pois, nesses casos, tem-se ji = . 
• 021212 =−⋅=a ; 131213 −=−⋅=a ; 132223 =−⋅=a , pois, para esses elementos, tem-
se ji < . 
• 412221 =⋅+=a , uma vez que ji > . 
Portanto, a matriz procurada é 




 −
=
144
101
A . 
1.2 Matrizes Especiais 
Considere-se uma matriz mxnA . 
1) Se 1=m , a matriz tem dimensão n×1 e é chamada matriz-linha, como segue: 
( )naaaaA 1131211 L= . 
2) Se 1=n , a matriz tem dimensão 1×m e é chamada matriz-coluna, como segue: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
















=
1
31
21
11
ma
a
a
a
A
M
. 
3) Se todos os seus elementos são iguais a zero, a matriz é chamada matriz nula. 
Exemplo: 














000
000
000
000
 é uma matriz nula de dimensão 34 × . Neste caso, é usual a notação 
340 × . 
4) Se a matriz é quadrada e todos os seus elementos não pertencentes à diagonal principal 
são iguais a zero, isto é, tem-se 0=ija , se ji ≠ , ela é dita matriz diagonal. 
Exemplos: 
1) 





−
=
20
03
A . 
2) 










=
000
000
000
A 
3) 









−
=
000
020
001
A 
5) A matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 é 
chamada matriz identidade de ordem n. Indica-se por ndΙ . Assim, tem-se: 
nxn
n
















=
1000
0100
0010
0001
L
MLMMM
L
L
L
Ι .1.3 Operações com Matrizes 
(1) Igualdade de matrizes: Duas matrizes de mesma dimensão ( )
mxnij
aA = e ( )
mxnij
bB = são 
iguais se ijij ba = , para todo mi ≤≤1 e todo nj ≤≤1 . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(2) Adição de matrizes: Dadas duas matrizes de mesma dimensão ( )
mxnij
aA = e ( )
mxnij
bB = , 
chama-se soma de A com B a matriz de dimensão nm × cujos elementos são obtidos 
somando-se os elementos correspondentes de A e B. 
Notação: ( )
mxnijij
baBA +=+ . 
Exemplo: dadas as matrizes 
















−
−
−
=
1850
2
3
302
81021
A e 










−
−
−
=
121021
2943
7230
B , tem-se: 
















−
−+
−
=+
139521
2
7
6432
15851
BA . 
Observação: esta operação generaliza-se a um número finito de matrizes de mesma dimensão. 
Propriedades: dadas as matrizes ( )
mxnij
aA = , ( )
mxnij
bB = e ( )
mxnij
cC = , a adição de 
matrizes satisfaz as propriedades: 
a) Comutativa: ABBA +=+ 
b) Associativa: ( ) ( ) CBACBA ++=++ 
c) Elemento Neutro: é a matriz nula mxn0 , satisfazendo: AAA =+=+ 00 . 
d) Elemento Oposto: considerada a matriz ( )
mxnij
aA = , o elemento oposto da adição de 
matrizes é a matriz oposta de A, denotada por –A, isto é, ( )
mxnij
aA −=− , que satisfaz: 
( ) ( ) 0=+−=−+ AAAA (observe que 0 indica da matriz nula de mesma dimensão de A). 
(3) Subtração de matrizes: a subtração das matrizes A e B é obtida fazendo-se: 
( )BABA −+=− , 
ou seja, a subtração de A e B é a adição de A com a matriz oposta de B. 
Assim: ( )
mxnijij
baBA −=− . 
É claro que esta operação satisfaz as mesmas propriedades da adição de matrizes. 
(4) Multiplicação de uma matriz por um número real. Dada uma matriz ( )
mxnij
aA = e um 
número real α , chama-se produto do número α por A a matriz cujos elementos são obtidos 
multiplicando-se cada elemento de A por α . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Notação: ( )
mxnij
aA ⋅=⋅ αα . 
Observação: uma vez que cada elemento da matriz é um número real, quando se faz a 
multiplicação da matriz A pelo número real α está se fazendo multiplicação entre números 
reais (elementos da matriz e α ); entretanto, o resultado dessa multiplicação é uma matriz. 
Exemplo: dados o número real 
3
2
=α e a matriz 












−
=
5
7
15
032
A , tem-se: 












−
=⋅=⋅
15
14
3
2
3
10
02
3
4
3
2
AAα . 
Propriedades: considerem-se as matrizes ( )
mxnij
aA = e ( )
mxnij
bB = e dois números reais α 
e β . Tem-se: 
a) ( ) ( ) ( ) AAA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ βαβααβ 
Observação: embora essas igualdades possam parecer naturais (e, portanto, triviais), devem 
ser observadas as diferenças entre cada membro. Por exemplo, no membro ( )A⋅⋅ αβ , 
multiplica-se, primeiramente, a matriz A pelo número real α , obtendo-se a matriz A⋅α ; 
depois, multiplica-se essa matriz pelo número real β . Já no termo ( ) A⋅⋅ βα , efetua-se, 
primeiramente, a multiplicação entre os números reais α e β , que resulta em um novo 
número real, o qual multiplica a matriz A. 
b) ( ) BABA ⋅+⋅=+⋅ ααα 
Observação: nessa propriedade, o primeiro membro da igualdade mostra que, primeiramente, 
faz-se a adição da matriz A com a matriz B, para depois multiplicar a matriz resultante pelo 
número real α . O segundo membro da igualdade mostra que é válida a propriedade de 
distribuição: pode-se, primeiramente, multiplicar tanto a matriz A, quanto a matriz B pelo 
número real α , para depois somar as matrizes resultantes A⋅α e B⋅α . 
c) ( ) AAA ⋅+⋅=⋅+ βαβα 
Observação: nessa propriedade, o primeiro membro da igualdade mostra que, primeiramente, 
faz-se a adição dos números reais α e β , obtendo-se um novo número real βα + , e 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
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multiplicando, depois, a matriz A por este novo número. O segundo membro da igualdade, a 
exemplo da propriedade anterior, também mostra uma propriedade de distribuição: multiplica-
se a matriz A pelo número real α , obtendo-se a matriz A⋅α ; depois, multiplica-se a matriz A 
pelo número real β , obtendo-se a matriz A⋅β ; em seguida, somam-se essas duas matrizes, 
ou seja, faz-se AA ⋅+⋅ βα . 
d) AA =⋅1 
Observação: essa propriedade mostra que a multiplicação de qualquer matriz A pelo número 
real 1 resultará na mesma matriz A. Isso parece (e é!) natural, porque cada elemento da 
matriz é multiplicado pelo número 1, que é o elemento neutro da multiplicação de números 
reais. 
(5) Multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes ( )
mxnij
aA = e ( )
nxpjk
bB = , chama-se 
produto de A com B a matriz ( )mxpikcCBA ==⋅ , onde: 
nkinkikikiik babababac ++++= L332211 , 
para todo mi ≤≤1 e todo pk ≤≤1 . 
De modo equivalente, pode-se escrever: 
pk,mi,bac
n
j
jkijik ≤≤∀≤≤∀⋅=∑
=
11
1
. 
De acordo com essa definição, cada elemento ikc da matriz BA ⋅ é calculado multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e 
somando os produtos obtidos. Observe que, para que seja possível multiplicar a matriz A pela 
matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. A matriz C 
resultante da multiplicação de A por B tem dimensão pm × , onde m é o número de linhas de 
A e p é o número de colunas de B (Figura 2). 
 Matriz A Matriz B 
nm × pn × 
devem ser iguais 
o resultado é de dimensão pm × 
FIGURA 2 
Propriedades: sejam A, B e C, matrizes tais que os produtos indicados a seguir sejam 
possíveis. São verdadeiras as propriedades: 
a) Associativa: ( ) ( ) CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ 
b) Distributiva: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
- à esquerda: ( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅ 
- à direita: ( ) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ 
c) Elemento Neutro: considerada a matriz ( )
mxnij
aA = , o elemento neutro é a matriz 
identidade de ordem m ( )mId , ou ordem n ( )nId , pois: AIdA n =⋅ e AAIdm =⋅ . 
Observações: 
1) A operação de multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, mesmo que sejam 
possíveis ambos os produtos BA ⋅ e AB ⋅ , tem-se, em geral, que ABBA ⋅≠⋅ , como se 
exemplificará adiante. 
2) Na propriedade c) acima, vê-se que, dependendo de se multiplicar a matriz A pela matriz 
identidade Id à esquerda ou à direita, tem-se a matriz Id com ordem n ou m, já que, para 
que a multiplicação seja possível, deve-se ter o número de colunas da matriz que é o primeiro 
fator do produto deve ser igual ao número de linhas da matriz que é o segundo fator do 
produto. 
Exemplos: 
1) Dadas as matrizes: 
32232221
131211
x
aaa
aaa
A 





= e 
233231
2221
1211
x
bb
bb
bb
B










= , 
é possível efetuar a multiplicação de A por B, já que A tem três colunas, que é o mesmo 
número de linhas de B. De acordo com a definição, obter-se-á uma matriz C de dimensão 
22 × , isto é: 






=
2221
1211
cc
cc
C . 
Para se verificar rapidamente se o produto é possível e qual é a dimensão da matriz 
resultante, pode-se considerar apenas o “produto” das dimensões das matrizes: 
( ) ( ) ( )222332 ×=×⋅× . Os elementos da matriz C são calculados da seguinte maneira: 
• elemento 11c : multiplica-se cada elemento da linha 1 de A pelocorrespondente elemento da 
coluna 1 de B e somam-se os produtos obtidos: 
31132112111111 bababac ++= ; 
• elemento 12c : multiplica-se cada elemento da linha 1 de A pelo correspondente elemento da 
coluna 2 de B e somam-se os produtos obtidos: 
32132212121112 bababac ++= ; 
• elemento 21c : multiplica-se cada elemento da linha 2 de A pelo correspondente elemento da 
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coluna 1 de B e somam-se os produtos obtidos: 
31232122112121 bababac ++= ; 
• elemento 22c : multiplica-se cada elemento da linha 2 de A pelo correspondente elemento da 
coluna 2 de B e somam-se os produtos obtidos: 
32232222122122 bababac ++= . 
Assim, vem: 
C
cc
c
b
b
b
aaa
BA =





=










⋅





=⋅
2221
12
32
22
12
232221
11
31
21
11
131211 c
b
b
b
aaa
. 
Nesta representação, estão destacados os elementos da linha 1 de A, que são multiplicados 
ordenadamente pelos elementos da coluna 1 de B, resultando elemento 11c da matriz C. 
Observe-se que, no caso dessas matrizes, é possível também efetuar a multiplicação de B por 
A, já que B tem 2 colunas e A tem 2 linhas. A matriz D, resultante dessa multiplicação, terá 
dimensão 33 × . Considerando-se apenas as dimensões das matrizes, vem: 
( ) ( ) ( )333223 ×=×⋅× . Assim, a matriz D será do tipo: ( ) 33×= ikdD , cujos elementos são: 
• elemento 11d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2112111111 ababd += ; 
• elemento 12d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2212121112 ababd += ; 
• elemento 13d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2312131113 ababd += ; 
• elemento 21d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2122112121 ababd += ; 
• elemento 22d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2222122122 ababd += ; 
• elemento 23d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2322132123 ababd += ; 
• elemento 31d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2132113131 ababd += ; 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
• elemento 32d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2232123132 ababd += ; 
• elemento 33d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da 
coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 
2332133133 ababd += . 
Então, tem-se: 
D
ddd
ddd
dd
aa
aa
bb
bbAB =










=





⋅










=⋅
333231
232221
1312
2322
1312
3231
2221
11
21
11
1211 d
a
a
bb
. 
Nesta representação, estão destacados os elementos da linha 1 de B, que são multiplicados 
ordenadamente pelos elementos da coluna 1 de A, resultando elemento 11d da matriz D. 
2) Sejam 




 −
=
10
12
A , 





−−
=
312
105
B e 




 −
=
01
84
C . Determine se possível: 
(a) CA +2 





 −
=





++
−−+
=




 −
+




 −
=+
21
108
0210
8244
01
84
10
12
22 CA 
(b) AB 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )






−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
−⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅
=





−−





 −
=
311011002150
311211022152
312
105
10
12
AB 





−−
=∴
312
518
AB
 
(c) CB + 
Não é possível, pois B e C não têm a mesma dimensão. 
(d) BC 
Não é possível, pois o número de colunas da matriz 32xB não é igual ao número de linhas da 
matriz 22xC . 
(e) ( )BCA 3− 
( ) 





−−






−
−
=





−−












 −
−




 −
=−
312
105
13
2310
312
105
01
84
3
10
12
3 BCA 
( ) 





−−−
−−−
=−∴
6113
79234
3 BCA 
(f) 2A 





 −
=




 −





 −
==
10
34
10
12
10
122 AAA 
Observações importantes sobre a multiplicação de matrizes: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
1) A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
Exemplos: 
1) Efetuar a multiplicação de A por B e de B por A, onde: 






−
=
03
21
A e 





−
=
41
12
B . 
Observe-se que, no caso dessas matrizes, sendo ambas quadradas de ordem 2, é possível 
efetuar ambas as multiplicações solicitadas. Tem-se: 
( )
( ) ( ) ( ) 






−−
=





⋅+⋅−−⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅+⋅
=





−






−
=
36
90
40131023
42111221
41
12
03
21
AB 
Por outro lado, tem-se: 
( )
( ) ( ) ( ) 






−−
−
=





⋅+⋅−−⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅+⋅
=





−






−
=
213
41
04213411
01223112
03
21
41
12
BA 
Vê-se, assim, que, embora ambas as multiplicações AB e BA sejam possíveis, tem-se que 
BAAB ≠ . 
2) Efetuar, se possível, a multiplicação de A por B e de B por A, sendo: 





 −
=
32
11
A e 





−
=
431
502
B . 
Sendo A de dimensão 22 × e B de dimensão 32 × , é possível multiplicar A por B: 
( ) ( ) ( )323222 ×=×⋅× , isto é, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Já a 
multiplicação de B por A não é possível, pois tem-se: ( ) ( )2232 ×⋅× , ou seja, o número de 
colunas de B não é igual ao número de linhas de A. Então, fazendo-se a multiplicação de A por 
B, vem: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )






−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
−⋅−+⋅⋅−+⋅⋅−+⋅
=





−





 −
=
435233021322
415131011121
431
502
32
11
AB , 
ou seja, 






−
−
==
297
931
ABC . 
O exemplo mostra que pode existir o produto BA e não existir o produto BA . 
3) Dadas as matrizes 






=
54
32
A e 





−
−
=
24
35
B , 
efetuar a multiplicação de A por B e de B por A. 
Tem-se: 






−
−
=





−
−






=
20
02
24
35
54
32
AB 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
e 






−
−
=











−
−
=
20
02
54
32
24
35
BA . 
Nesse caso, tem-se que BABA = . Diz-se, então que as matrizes A e B comutam entre si, ou 
que A e B são comutáveis. É claro que para que A e B sejam comutáveis é necessário que 
ambas sejam matrizes quadradas de mesma ordem. 
2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento doproduto. Sabe-se que, dados 
dois números reais a e b, se o produto deles é igual a zero, isto é, se 0=⋅ ba , então se 
conclui que pelo menos um deles é zero, ou seja, tem-se 0=a ou 0=b . O mesmo não ocorre 
com o produto de matrizes, isto é: dadas as matrizes pmA × e npB × , se o produto delas resulta 
na matriz nula, isto é, se nmAB ×= 0 , isso não acarreta, necessariamente, que A seja uma 
matriz nula ou que B seja uma matriz nula. 
Exemplo: considerem-se as matrizes não nulas 






=
11
30
A e 





−
=
10
10
B , 
tem-se: 
( )
( ) 






=





−⋅+⋅⋅+⋅
−⋅+⋅⋅+⋅
=





−






=
00
00
11110101
10100000
10
10
11
00
AB . 
Essa é uma característica da nulidade do produto de matrizes, que pode ser posta de duas 
formas equivalentes: 
- se 0=AB , isso não implica que 0=A ou 0=B ; 
- mesmo que 0≠A e 0≠B , pode ocorrer que 0=AB . 
3) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do cancelamento do produto. Considerando-se 
dois números reais a e b, se ba ⋅=⋅ 22 , então se pode dividir ambos os membros da 
igualdade por 2 e conclui-se que ba = . De modo mais geral, se bcac ⋅=⋅ e se 0≠c , então 
se pode dividir ambos os membros por c e conclui-se que ba = . Essa é a chamada lei do 
cancelamento. 
Para o produto de matrizes, não vale a lei do cancelamento, isto é: 
se BCAC = , nem sempre se tem BA = . 
Exemplo: considerando-se as matrizes quadradas de ordem 2 





−
=
15
32
A , 




−
=
72
11
B e 





=
12
24
C , tem-se: 





 −−
=










−
=
1122
12
12
24
15
32
AC e 




 −−
=










−
=
1122
12
12
24
72
11
BC . 
O exemplo mostra que BCAC = não implica que BA = . Posto de outra forma: tem-se 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
BCAC = , com 220 ×≠C , e, no entanto, tem-se que BA ≠ . 
Conclui-se, assim, que na multiplicação de matrizes, não vale a lei do cancelamento. 
1.4 Outras Matrizes Especiais 
1) Matriz nilpotente de índice k. A matriz quadrada A é dita nilpotente de índice k, sendo k um 
número natural maior do que 1, se 0=kA (aqui, o símbolo 0 representa a matriz nula de 
mesma ordem de A). 
Exemplo: a matriz 






=
02
00
A 
é nilpotente de ordem 2, pois: 
22
2 0
00
00
02
00
02
00
×=





=











=⋅= AAA . 
Observa-se que A também é nilpotente de ordem 3, pois: 
22
23 0
00
00
02
00
00
00
×=





=











=⋅= AAA . 
De maneira geral, pode-se afirmar que A é nilpotente de ordem k, sendo k um número natural 
maior ou igual a 2. 
2) Matriz idempotente. A matriz quadrada A é dita idempotente se AA =2 . 
Exemplo: a matriz 






−
−
=
33
22
A 
É idempotente, pois: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) AAAA =




−
−
=





⋅+⋅−−⋅+−⋅−
⋅+⋅−−⋅+−⋅−
=





−
−






−
−
=⋅=
33
22
33233323
32223222
33
22
33
222 
3) Matriz periódica de índice k. A matriz quadrada A é dita periódica de índice k, sendo k um 
número natural maior ou igual a 1, se AAk =+1 . 
Exemplo: considere-se a matriz 






=
13
00
A . 
Tem-se: 
AAAA =





=











=⋅=
13
00
13
00
13
002 ; 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
AAAA =





=











=⋅=
13
00
13
00
13
0023 ; 
AAAA =





=











=⋅=
13
00
13
00
13
0034 ; 
M 
AAAA kk =





=











=⋅=+
13
00
13
00
13
001 , sendo k um número natural maior ou igual a 1. 
Conclui-se, assim que a matriz A é periódica de índice k. 
4) Matriz transposta. Se a matriz ( )
mxnij
aA = tem dimensão nm × , sua transposta é a matriz 
de dimensão mn × , cujas linhas coincidem ordenadamente com as colunas de A, denotada por 
tA . 
Assim, tem-se: ( )
nxmji
t aA = . 
Exemplo: dada a matriz 
32835
721
x
A 





−
= , 
sua transposta é a matriz 
23
87
32
51
x
tA










−= . 
Propriedades: é possível mostrar que são válidas as propriedades: 
a) para qualquer matriz ( )
mxnij
aA = , tem-se: ( ) AA tt = 
b) dadas as matrizes ( )
mxnij
aA = e ( )
mxnij
bB = , tem-se: ( ) ttt BABA +=+ 
c) se ( )
mxnij
aA = e ( )
nxpjk
bB = , tem-se: ( ) ttt ABBA ⋅=⋅ 
Observe-se que é possível efetuar a multiplicação de A por B, que resulta em uma matriz de 
dimensão pm × . Assim, a dimensão da matriz ( )tBA ⋅ que figura no primeiro membro da 
igualdade acima é mp × . Por outro lado, matrizes tB e tA do segundo membro da igualdade 
têm dimensões np × e mn × , respectivamente. Assim, pode-se efetuar a multiplicação de tB 
por tA , que resulta em uma matriz de dimensão mp × . Vê-se, assim, que as matrizes ( )tBA ⋅ 
e tt AB ⋅ têm a mesma dimensão. É possível mostrar, além disso, que os elementos 
correspondentes dessas matrizes são iguais. 
d) Para qualquer matriz ( )
mxnij
aA = e para qualquer número real não nulo α , tem-se: 
( ) tt AA ⋅=⋅ αα . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
5) Matriz simétrica. Se A é quadrada de ordem n e tAA = , então A é dita simétrica. 
Como se poderá observar facilmente nos exemplos que serão dados, em uma matriz simétrica 
os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. 
Propriedades: são válidas as propriedades: 
a) se A é uma matriz simétrica e α é um número real não nulo, então A⋅α é também uma 
matriz simétrica; 
b) para qualquer matriz quadrada A, tem-se que tAA + é uma matriz simétrica. 
Exemplos: 
1) Dada a matriz 










−
−
=
175
702
523
A , 
sua transposta é: 










−
−
=
175
702
523
tA , 
e, portanto, tem-se que tAA = , ou seja, A é simétrica. Conforme se observou anteriormente, 
os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal da matriz são iguais. 
Além disso, multiplicando-se A por qualquer número real não nulo, por exemplo, -2, vem: 










−−
−−
−−
=










−
−
⋅−=⋅−
21410
1404
1046
175
702
523
22 A , 
que é simétrica, conforme se afirmou em uma das propriedades. 
2) Considere-se a matriz quadrada 










−
−
−
=
721
538
311
A . 
Sua transposta é: 










−
−
−
=
753
231
181
tA . 
Observe que A não é simétrica e, portanto, tA também não é. Somando-se as duas matrizes, 
tem-se: 










−
−
−
=










−
−
−
+










−
−
−
=+
1474
769
492
753
231
181
721
538
311
tAA . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática– Unesp/Bauru 
Como se pode ver, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal da 
matriz obtida são iguais e, portanto, tAA + é uma matriz simétrica, conforme se afirmou em 
uma das propriedades dadas. 
6) Matriz antissimétrica. Se A é quadrada de ordem n, diz-se que A é antissimétrica se 
tAA −= . 
Propriedades: é possível mostrar que são válidas as propriedades: 
a) se A é uma matriz antissimétrica e α é um número real não nulo, A⋅α é também uma 
matriz antissimétrica; 
b) para qualquer matriz quadrada A, tem-se que tAA − é uma matriz antissimétrica. 
Exemplos: 
1) Dada a matriz 










−
−
−
=
075
702
520
A , 
sua transposta é: 










−
−
−
=
075
702
520
tA , 
e, portanto, tem-se que tAA −= , ou seja, A é antissimétrica. Como se pode constatar neste 
exemplo, para que uma matriz seja antissimétrica os elementos da diagonal principal devem 
ser nulos e os que estão simetricamente dispostos em relação à diagonal principal devem ser 
opostos. 
2) Considere-se novamente a matriz quadrada 










−
−
−
=
721
538
311
A 
e sua transposta 










−
−
−
=
753
231
181
tA . 
Observe que A não é antissimétrica e, portanto, tA também não é. Tem-se: 










−
−
−
=










−
−
−
−










−
−
−
=−
032
307
270
753
231
181
721
538
311
tAA . 
Como se pode ver, os elementos da diagonal principal da matriz obtida são nulos e os que 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
estão simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos; portanto, tAA − 
é uma matriz simétrica, conforme se afirmou em uma das propriedades dadas. 
Observação: usando as propriedades das matrizes simétricas e antissimétricas, pode-se 
decompor qualquer matriz quadrada A em uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz 
antissimétrica. De fato, tem-se: 
(1) tAA + é simétrica e, portanto, ( )tAAS +⋅=
2
1
 também o é; 
(2) tAA − é antissimétrica e, portanto, ( )tAAT −⋅=
2
1
 também o é. 
Então: 
( ) ( ) ( ) ( ) AAAAAAAAAAATS tttt =⋅





⋅=⋅⋅=−++⋅=−⋅++⋅=+ 2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
 
Logo, TSA += , ou seja, A é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 
7) Matriz triangular. Se A é quadrada de ordem n, tem-se dois casos de matriz triangular: 
- triangular inferior: é tal que 0=ija ,se ji < , ou seja, a matriz tem a forma: 














=
nnnn
nxn
aaa
aa
a
A
L
LLLL
L
L
21
2221
11
0
00
. 
- triangular superior: é tal que 0=ija , se ji > , isto é, tem-se a matriz: 














=
nn
n
n
nxn
a
aa
aaa
A
L
LLLL
L
L
00
0 222
11211
. 
1.5 Matrizes Equivalentes 
É usual referir-se a uma linha ou a uma coluna de uma matriz nmA × como sendo uma fila. 
Definem-se as seguintes operações elementares com os elementos de uma fila da matriz: 
a) permutar duas filas paralelas entre si, ou seja, permutar duas linhas entre si ou permutar 
duas colunas entre si; 
b) multiplicar todos os elementos de uma fila por um número real não nulo; 
c) somar os elementos de uma fila com os elementos de outra fila paralela; 
d) somar os elementos de uma fila com múltiplos dos elementos de outra fila paralela. 
Quando se efetuam operações elementares com as filas da matriz nmA × , obtém-se uma matriz 
nmB × que tem as mesmas propriedades da matriz A. Tem-se, assim, a seguinte definição: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Definição: Uma matriz B é equivalente a uma matriz A se B pode ser obtida de A através de 
uma sequência finita de operações elementares. 
Exemplo: verificar se as matrizes 






−
−
=
303
521
A e 





−
−
=
1860
101
B 
são equivalentes. 
Para verificar se as matrizes dadas são equivalentes, tentar-se-á efetuar operações 
elementares com uma delas, com o objetivo de obter a outra. Por exemplo, serão feitas 
operações elementares com as linhas de A, como segue: 
(1) a 1ª linha se A será copiada; a 2ª linha será substituída por outra, resultado da operação 
elementar "multiplicar os elementos da 1ª linha por ( )3− e somar com elementos da 2ª linha", 
conforme se indica a seguir: 






−
−
 →





−
− +−
1860
521
303
521 213 LL ; 
(2) mantém-se, agora, a 2ª linha; a 1ª linha será substituída por outra, resultado da operação 
elementar "multiplicar os elementos da 2ª linha por 
3
1 e somar com elementos da 1ª linha", 
conforme indicado a seguir: 
B
LL
=





−
−
 →





−
− +
1860
101
1860
521 123
1
 
Uma vez que, a partir da matriz A, pôde-se obter a matriz B, através de operações 
elementares com as linhas de A, conclui-se que as matrizes A e B são equivalentes. 
Observe-se que, ao invés de realizar operações elementares com as linhas de A, pode-se 
realizá-las com as colunas de A: 
(1) a 3ª coluna se A será copiada; a 1ª coluna será substituída por outra, resultado da 
operação elementar "somar os elementos da 3ª coluna com os elementos da 1ª coluna". Além 
disso, a 2ª coluna será substituída por outra, resultado da operação elementar "multiplicar os 
elementos da 3ª coluna por 
5
2 e somar com os elementos da 2ª coluna". Essas operações são 
indicadas a seguir: 








−− →






−
− +
+
3
5
6
0
506
303
521 235
2
13
CC
CC
 
(2) serão substituídas as três colunas dessa nova matriz, através das seguintes operações: 
"multiplicar os elementos da 1ª coluna por 
6
1 "; "multiplicar os elementos da 2ª coluna por 
( )5− "; "multiplicar os elementos da 1ª coluna por ( )1− e somar com os elementos da 3ª 
coluna". Tem-se: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 






−
−
 →







−−
+−
−
360
101
3
5
6
0
506
31
2
16
1
5
CC
C
C
 
(3) mantêm-se, agora, as colunas 1 e 2 e substitui-se a 3ª coluna por outra, obtida através da 
operação: "multiplicar os elementos da 2ª coluna por ( )
2
5− e somar com os elementos da 3ª 
coluna", ou seja: 
B
CC
=





−
−
 →





−
− +−
1860
101
360
101 322
5
. 
Observação: depois de vistos os métodos de resolução de sistemas de equações lineares, será 
dado o conceito de matrizes semelhantes. 
1.6 Matriz Escalonada 
1) Matriz escalonada por linha. Diz-se que uma matriz ( )
mxnij
aA = está escalonada por linha 
se ,aij 0= para ji > . Assim, a matriz A tem a forma: 




















=
mn
n
n
n
n
a
a
aa
aaa
aaaa
A
0000
000
00
0
4
333
22322
1131211
LLLLL
L
L
L
L
. 
Observação: os elementos ija tais que ji < podem ou não ser nulos. 
Exemplo: as matrizes seguintes são matrizes escalonadas por linha: 










−
−
=
1500
2420
0113
A ; 









=
0000
7200
0015
B . 
2) Matriz escalonada por coluna. Diz-se que uma matriz ( )
mxnij
aA = está escalonada por 
coluna se ,aij 0= para ji < . Assim, a matriz A tem a forma: 
















=
mnmmmm aaaaa
aaa
aa
a
A
L
LLLLLL
L
L
L
4321
333231
2221
11
00
000
0000
. 
Observação: os elementos ija tais que ji > podem ou não ser nulos. 
Exemplo: as matrizes seguintes são matrizes escalonadas por coluna: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 










=
4122
0003
0005
C ; 














−−−
−
=
4120
0523
0052
0001
D . 
Para, a partir de uma matriz dada A, obter-se uma matriz escalonada (por linha ou por coluna) 
que seja equivalente a A, efetuam-se operações elementares com suas filas. 
Exemplos: 
1) Dada a matriz 










−−
−−=
341
122
301
A , 
obter matrizes escalonadas por linha e por coluna equivalentes a ela. 
Efetuar-se-ão operações elementares com as linhas de A, indicadas em cada etapa, como 
segue: 










 →










−−
 →










−−
−− ++−
+
400
520
301
640
520
301
341
122
301
3231
21
2
2
LLLL
LL
. 
Assim, a matriz escalonada por linha que se obteve é equivalente à matriz A. 
Por outro lado, para se obter uma matriz escalonada por coluna que seja equivalente a A, 
efetuar-se-ão operações elementares com a colunas de A, como segue: 










−
− →










−−
− →










−−
−−
+−+−
441
022
001
641
522
001
341
122
301
322
5
313 CCCC ; 
a matriz escalonada por coluna que resultou é equivalente à matriz A. 
2) Dada a matriz 










−
−−
−
=
1331
2213
0112
B , 
obter matrizes escalonadas por linha e por coluna equivalentes a ela. 
Efetuando-se operações elementares com as linhas de B, indicadas em cada etapa, tem-se: 










−
−
−
 →












−
−
−
 →










−
−−
−
+−+
+
152700
20
0112
10
20
0112
1331
2213
0112
2
7
2
17
2
5
2
7
2
7
2
1 32312
1
212
3
LLLL
LL
. 
Assim, a matriz escalonada por linha que se obteve é equivalente à matriz B. 
Por outro lado, para se obter uma matriz escalonada por coluna que seja equivalente a B, 
efetuar-se-ão operações elementares com suas colunas, como segue: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 →










−
−
−
 →












−
−
−
 →










−
−−
−
+
+−
+
+
42
32
3
2
312
1
212
1
2
7
2
2
2
5
2
7
2
7
2
1
1571
2713
0002
11
23
0002
1331
2213
0112
CC
CC
C
C
CC
CC
 










−
−
 →










−
−
 →
++
+−
05471
0013
0002
155471
0013
0002
4318
5
42
32
2
7
CCCC
CC
. 
A matriz escalonada por coluna que resultante das operações elementares é equivalente à 
matriz B. 
1.7 Matriz Inversível 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de 
mesma ordem, tal que nIdABBA =⋅=⋅ , então a matriz B é chamada inversa da matriz A. 
Diz-se, então, que A é inversível. 
Notação: 1−A . 
Se a matriz A é inversível, sua inversa é única. Se A não admite inversa, diz-se que A é 
singular. 
Determinação da inversa: ver-se-á, no momento, apenas um método determinação da inversa 
de uma matriz inversível A, usando operações elementares. Após o estudo dos determinantes 
e dos sistemas lineares, ver-se-ão outras duas formas de se determinar a matriz inversa de 
uma matriz. 
Para se determinar a inversa de uma matriz quadrada A de ordem n através do método das 
operações elementares, procede-se da seguinte maneira: escreve-se uma matriz “ampliada”, 
com n linhas e n2 colunas, dividida ao meio verticalmente. Nas n primeiras linhas e colunas 
(ou seja, do lado esquerdo da divisão), colocam-se os elementos da matriz A. Nas restantes n 
linhas e colunas (ou seja, do lado direito da divisão), colocam-se os elementos da matriz 
identidade nId . Efetuam-se operações elementares com essa matriz ampliada, com o objetivo 
de transformar a matriz A, que está do lado esquerdo, na matriz identidade. Ao final do 
processo, A terá se tornado a matriz identidade e a matriz do lado direito, resultante das 
operações feitas com a matriz nId , é a matriz inversa de A, ou seja, é 
1−A . 
Exemplo: Considerem-se as matrizes 





=
42
31
A e 










=
112
123
021
B . Determinar a inversa de 
cada uma delas, através do método das operações elementares. 
Escreve-se a matriz ampliada de A: 





1042
0131
. Observe que esta matriz tem o mesmo 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
número de linhas de A, mas tem o dobro de colunas. Do lado esquerdo, está a matriz A; do 
lado direito, a matriz 2Id . Efetuam-se, a seguir, operações elementares com esta nova matriz, 
como segue: 
(1) copia-se a primeira linha, já que o primeiro elemento de A é 1, que é também o primeiro 
elemento da matriz identidade, que é o objetivo final. A segunda linha será modificada através 
das operações 212 LL +− : 






−−
 →




 +−
1220
0131
1042
0131 212 LL ; 
(2) com o objetivo de obter um zero na posição 12a da matriz A, copia-se a segunda linha e 
transforma-se a primeira, fazendo-se: 122
3
LL + : 








−−
−
 →





−−
+
1220
201
1220
0131
2
3122
3 LL
 
(3) resta, apenas, tornar o elemento 22a igual a 1; para isso, basta que se multiplique a 
segunda linha por 
2
1
− : 








−
−
 →







−−
− −
2
1
2
3
2
3
110
201
1220
201 22
1 L
 
Tendo a matriz do lado esquerdo se transformado na matriz identidade, a do lado direito é a 
matriz inversa procurada, isto é: 












−
−
=−
2
1
1
2
3
2
1A . 
Considerando-se, agora, a matriz B, de ordem 3, a matriz ampliada terá 3 linhas e 6 colunas, 
indicada abaixo: 










100112
010123
001021
 
Far-se-ão as operações indicadas nas passagens de uma matriz à outra, conforme se segue: 
 →










−−
−− →










−+−
+−
24
1
31
21
102130
013140
001021
100112
010123
001021
2
3
LLL
LL
 
 →












−
−− →












−−
−−
+
+ 3
23
32 4
4
3
4
1
4
1
4
1
4
3
4
13
4
1
4
3
4
1
100
010
001021
102130
010
001021
L
LL
LL 










−
−−−
 →










−
− +−
431100
111010
221001
431100
111010
001021
122 LL










−
−
−−
=∴ −
431
111
221
1B . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Observação: se, ao se efetuarem operações elementares com uma matriz, se obtiver uma ou 
mais filas nulas, conclui-se que a matriz não admite inversa. 
2 Determinantes 
2.1 Histórico 
Os primeiros estudos sobre determinantes datam, provavelmente, do século 111 a.C. Mas foi 
só em 1683 que o japonês Takakazu Seki Kowa (1642-1708) usou a idéia de determinante em 
seus trabalhos sobre sistemas lineares. 
O uso do determinante no ocidente começou 10 anos depois, com um trabalho de Gottfried 
Wilhelm Leibniz (1646-1716), ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout 
(1730-1783) sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de 
um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Théophile Vandermonde (1735-1796), a 
primeira abordagem da teoria dos determinantes. 
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812, em um trabalho de Augustin-
Louis Cauchy (1789-1857) sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para 
consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). 
Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta até hoje. 
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem ( )*nn Ν∈ é um escalar, denotado por 
( )Adet . 
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1. Dada a matriz ( )11aA = , seu determinante 
é igual ao próprio elemento 11a . Indica-se: ( )Adet ou 11a . 
Observação: não se deve confundir, neste caso, a notação 11a , que indica o determinante da 
matriz cujo único elemento é o número real 11a , com o módulo (ou valor absoluto) do número 
real 11a . 
Exemplo: se ( )5A −= , então ( ) 5−=Adet . 
Para se obter o determinante de matrizes quadradas de ordem 2≥n , aplicam-se os métodos 
que serão descritos a seguir. 
2.2 Regra de Sarrus 
Esta regra deve-se a Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861), a qual se aplica aos determinantes 
de 2ª e 3ª ordem, como segue. 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
(a) Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2. Dada a matriz 





=
2221
1211
aa
aa
A , seu 
determinante é: 
( ) 21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
Adet −== , 
ou seja, o determinante de A é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. 
Exemplo: dada a matriz 





−
=
24
23
A , 
seu determinante é: 
( ) ( ) ( ) 14864223
24
23
−=−−=⋅−⋅−=
−
=Adet 
(c) Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3. O determinante da matriz 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A é calculado da seguinte maneira: 
( )
( )332112322311312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
++−
+++==Adet
 
Pode-se usar a seguinte regra prática: repetem-se as duas primeiras colunas ao lado das três 
colunas originais do determinante; em seguida, somam-se os resultados dos três produtos “no 
sentido da diagonal principal”, subtraindo-se, depois, a soma dos três produtos efetuados “no 
sentido da diagonal secundária”, conforme mostra a Figura 3. 
 
( )
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
Adet = 
-a11a23a32 -a13a22a31 -a12a21a33 a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 
 
FIGURA 3 
Observação: esse método de calcular o determinante se aplica apenas a matrizes quadradas 
de ordem 3. 
Exemplo: seja 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 










−
−=
243
231
021
A . Tem-se: 
( ) =
−−
−−=
43243
31231
21021
Adet 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 3012184800126
212421330410322231
=+=−−−++=
=⋅−⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅=
 
2.3 Teorema de Laplace 
Para matrizes quadradas de ordem n (n ≥ 2), o Teorema de Laplace (Pierre-Simon Laplace, 
1749-1827) oferece uma solução prática no cálculo dos determinantes. Para que seja possível 
utilizá-lo, são necessárias as definições seguintes. 
Menor complementar. Dada a matriz quadrada ( )
nxnij
aA = de ordem n ( )2≥n , o menor 
complementar de um elemento genérico ija da matriz é o determinante ijD que se obtém 
suprimindo a linha i e a coluna j de A. 
Exemplo: dada a matriz 










−−
−
−
=
124
131
052
A , 
determinar os menores complementares 22D , 32D e 13D . 
De acordo com a definição, tem-se: 
2
14
02
22 =−
=D ; 
2
11
02
32 −=−
=D ; 
10
24
31
13 =−−
=D . 
Cofator. Dada a matriz quadrada ( )
nxnij
aA = de ordem n, sendo 2≥n , chama-se cofator de 
um elemento ija da matriz ao produto de ( ) ji +−1 pelo determinante da submatriz obtida 
eliminando-se de A a linha i e a coluna j. Assim, o cofator de uma elemento ija é o menor 
complementar desse elemento, multiplicado por ( ) ji +−1 . O cofator do elemento ija é denotado 
por ijA . 
Exemplo: considere-se a matriz: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 










−
−
=
133
011
212
A . Os cofatores dos elementos 23a e 31a são: 
( ) ( ) ( ) 9361
33
12
1 3223 −=+⋅−=
−
⋅−= +A 
( ) ( ) 2201
01
21
1 1331 =+⋅=−
−
⋅−= +A . 
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual 
à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos 
cofatores. 
Assim, dada a matriz 














=
nnnn
n
n
nxn
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
, 
tomando-se como referência, por exemplo, a primeira linha, tem-se: 
nnAaAaAa)Adet( 1112121111 +++= L . 
Observação: pode-se aplicar o Teorema de Laplace utilizando-se qualquer linha ou coluna da 
matriz A como referência. É usual escolher-se aquela que apresenta a maior quantidade de 
zeros, com o objetivo de diminuir os cálculos. 
Exemplos: 
1) Dada a matriz 










−
−=
243
231
021
A , calcular seu determinante usando o Teorema de Laplace. 
Escolhendo a 3ª coluna como referência, vem: 
( ) 333323231313 AaAaAaAdet ++= , 
ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( )
31
21
12
43
21
12
43
31
10Adet 333231
−
⋅−⋅+
−
⋅−⋅+
−
−
⋅−⋅= +++ 
( ) ( ) ( ) 30102052102 =+=⋅+−⋅−=Adet . 
2) Considere-se a matriz 














−
−
−
=
1214
0173
1521
0013
A . Calcular seu determinante, usando o Teorema de Laplace. 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Escolher-se-á a primeira linha para aplicar o Teorema de Laplace, porque ela apresenta dois 
elementos nulos, o que facilita a aplicação do método. Analogamente, poder-se-ia ter 
escolhido a quarta coluna, que também apresenta dois zeros. Entretanto, ressalta-se que se 
pode escolher qualquer linha ou coluna. Tem-se: 
( ) 1414131312121111 AaAaAaAa +++=Adet 
Assim, vem: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 132241523
214
173
521-
10
1-14
073
121-
10
1-24
01-3
151-
11
1-21
01-7
152
13
41
312111
=⋅−⋅=−⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
+
+++Adet
 
2.4 Regrade Chió 
Deve-se ao matemático italiano Felice Chió (1813-1871). Seja ( )ijaA = uma matriz quadrada 
de ordem n (n ≥ 2). Admitindo-se, inicialmente, que a matriz A apresente um elemento 
1=ija , suprimem-se a linha i e a coluna j correspondentes a este elemento unitário, restando 
uma submatriz de ordem 1−n . 
Toma-se cada elemento pka dessa submatriz e dele subtrai-se o produto pjik aa , ou seja, 
constrói-se a matriz ( )pkbB = , onde pjikpkpk aaab −= . 
O determinante de A será dado por: 
( ) ( ) ( )BdetAdet ji ⋅−= +1 . 
Para visualizar melhor esse processo, considere-se a matriz 
















=
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
L
LLLLL
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
; 
supondo-se, por exemplo, que o elemento 11a seja igual a 1, eliminam-se de A a linha 1 e a 
coluna 1: 
 
 
 
 
 
Constrói-se, agora, a matriz B, a partir dos elementos que restaram na matriz A, depois de 
suprimidas a linha 1 e a coluna 1. Por exemplo, o elemento 32b é obtido da seguinte forma: 
















=
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
L
LLLLL
L
L
L
321
3333231
2232221
1131211
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
31123232 aaab −= ; 
para a obtenção do elemento 3nb , faz-se: 
11333 nnn aaab −= . 
Procedendo-se de modo análogo, constrói-se a matriz B: 














−−−
−−−
−−−
=
1111331122
3113311333311232
2112211323211222
nnnnnnnn
nn
nn
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
B
L
LLLL
L
L
. 
Portanto, o determinante de A é: 
( )
1111331122
3113311333311232
2112211323211222
111
nnnnnnnn
nn
nn
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
)Adet(
−−−
−−−
−−−
⋅−= +
L
LLLL
L
L
 
Exemplo: tomando-se novamente a matriz 










−
−=
243
231
021
A , 
considerada nos exemplos anteriores, usar a regra de Chió para calcular seu determinante. 
Aplicar-se-á a regra de Chió para o elemento 111 =a . Assim, eliminar-se-ão a primeira linha e 
a primeira coluna de A e construir-se-á a matriz B a partir dos elementos que restaram em A. 
Então, vem: 
( ) ( )






−
=





⋅−⋅−−
−⋅⋅−−⋅−
=
210
25
302324
102123
B ; 
portanto, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) 3021025
210
25
11 11 =⋅−−⋅=
−
⋅=⋅−= + BdetAdet , 
que é o resultado obtido anteriormente, por meio dos outros métodos. 
Observação: caso a matriz A não apresente um elemento igual a 1, pode-se escolher qualquer 
elemento não nulo ija e multiplicar a fila (linha ou coluna) à qual ele pertence por 
ija
1
 para se 
obter o elemento 1 necessário para a aplicação da regra de Chió. Obter-se-á uma matriz M, 
para a qual se aplica a regra de Chió. Como se verá a seguir, nas propriedades dos 
determinantes, o determinante da matriz M é igual ao determinante de A, multiplicado por 
ija
1
, ou seja, ( ) ( )Adet
a
Mdet
ij
1
= , e, portanto, ( ) ( )MdetaAdet ij= . 
 Exemplo: considerando-se, novamente, a matriz A do exemplo anterior, calcular-se-á seu 
determinante utilizando-se o elemento 331 =a (supondo que não houvesse nenhum elemento 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
igual a 1 na matriz A). Portanto, multiplica-se a terceira linha de A por 
3
1
 e obtém-se a matriz 
M: 
















−
−=
3
2
3
4
1
231
021
M . 
Aplica-se, assim, a regra de Chió para essa nova matriz, tomando-se como referência o 
elemento 131 =c . Para tanto, eliminam-se a terceira linha e a primeira coluna da matriz C e 
constrói-se a matriz B, de ordem 2, a partir dos elementos que restaram na matriz C: 
( ) ( ) 










−
=












−⋅−−⋅





−−
⋅−⋅





−−
=
3
8
3
5
3
2
3
10
1
3
2
21
3
4
3
1
3
2
01
3
4
2
B . 
( ) ( ) ( ) 10
3
8
3
5
3
2
3
10
11 13 =
−
⋅=⋅−=∴ + BdetMdet . 
Assim, conclui-se que: 
( ) 301033 =⋅== Mdet)Adet( , 
resultado que já foi obtido através dos métodos anteriores. 
2.5 Propriedades dos Determinantes 
Seja A uma matriz quadrada ordem n. 
1) Tem-se ( ) 0=Adet se: 
• A possui uma fila (linha ou coluna) nula; 
• A apresenta duas filas paralelas iguais; 
• A possui duas filas paralelas proporcionais (isto é, os elementos de uma fila são múltiplos dos 
elementos da outra fila) ou se uma das filas é uma soma algébrica de múltiplos das outras 
filas. 
2) Se A é triangular (superior ou inferior) ou se A é diagonal, seu determinante é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal. 
3) Multiplicando-se uma fila de A por um escalar não nulo α , seu determinante ficará 
multiplicado por α . 
4) Permutando-se duas filas paralelas de A, seu determinante ficará multiplicado por ( )1− . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
5) Se B é uma matriz obtida de A somando-se uma fila com um múltiplo de outra fila paralela, 
ou seja, se A e B são equivalentes, então ( ) ( )AdetBdet = . 
6) ( ) ( )AdetAdet t = . 
7) ( ) ( )AdetAdet
11 =− , desde que ( ) 0≠Adet . 
8) ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . 
9) Se 














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
 e, a partir de A, constrói-se a matriz 














+
+
+
=
nnnnn
n
n
aaxa
aaxa
aaxa
B
L
LLLL
L
L
21
222221
112111
, 
então: 
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnnn
n
n
aax
aax
aax
aaa
aaa
aaa
aaxa
aaxa
aaxa
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
2
2222
1121
21
22221
11211
21
222221
112111
+=
+
+
+
. 
Observação: é claro que esta propriedade é verdadeira se, ao invés de se somarem números 
reais à primeira coluna de A, como explicitado acima, somarem-se números reais a qualquer 
outra coluna de A. 
Exemplos: 
1) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 tal que ( ) 0≠Adet . Calcular ( )Adet , sabendo que 
022 =− AA . 
Se 0A2A2 =− , então AA 22 = . 
Das propriedades dos determinantes, vem: ( ) ( )AdetAdet 22 = . 
Um erro muito comum que se comete é afirmar que ( ) ( )AdetAdet 22 = . Isso não é verdade, 
pois a matriz A2 é obtida multiplicando-se todos os elementos de A por 2, ou seja, 
multiplicando-se cada uma das duas linhas de A por 2; assim pela propriedade 3 vista 
anteriormente, o determinante de A fica multiplicado por 22 ⋅ . Então: 
( ) ( ) ( ) ( )⇒⋅⋅=⋅⇒= AdetAAdetAdetAdet 2222 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 0444 22 =−⇒=⇒=⋅⇒ AdetAdetAdetAdetAdetAdetAdet 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Tem-se uma equação do 2º grau, cuja “variável” é ( )Adet . Assim, vem: 
( ) ( )( ) 04 =−AdetAdet , 
de onde se segue que ( ) 0=Adet ou ( ) 4=Adet . Uma vez que, por hipótese, sabe-se que 
( ) 0≠Adet , conclui-se que ( ) 4=Adet . 
2) Considerem-se as matrizes 










=
311
232
041
A e 










−−
−
=
101
222
211
B . 
(a) Mostrar que é verdadeira a propriedade 8, ou seja,mostrar que: 
( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . 
Calculam-se, inicialmente, os determinantes de A e de B: 
( ) ( ) 9342112130012124331
311
232
041
−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) 2112102122
202121121
101
222
211
=−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅−
+⋅⋅+−⋅⋅−+−⋅⋅=
−−
−
=Bdet
. 
Por outro lado, efetuando-se a multiplicação de A por B, obtém-se: 










=










−−
−










=
110
846
1079
101
222
211
311
232
041
AB ; 
assim, seu determinante é: 
( )
( ) ( ) 29181761890410
1016077149
110
846
1079
⋅−=−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ABdet
 
Vê-se, assim, que ( ) ( ) 2918 ⋅−=−=⋅ BAdet , ou seja, ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . 
(b) Verifique se é verdadeira a afirmação: ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet +=+ . 
Já se sabe que ( ) 9−=Adet e que ( ) 2=Bdet . Portanto: 
( ) ( ) 729 −=+−=+ BdetAdet (1) 
Calcula-se, então, a soma BA + , para depois calcular seu determinante: 










=+
210
454
232
BA ; 
então: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
( ) ( ) 4234214052214043252
210
454
232
−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==+ BAdet 
Portanto, ( ) 4−=+ BAdet (2) 
De (1) e (2), conclui-se que não é verdadeira a igualdade dada, isto é, em geral: 
( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet +≠+ . 
3) É possível mostrar que a área de um triângulo com vértices nos pontos ( )111 y,xP , 
( )222 y,xP e ( )333 y,xP pode ser calculada através da expressão 
( )AdetS ⋅=
2
1
, 
onde a matriz A é 










=
1
1
1
33
22
11
yx
yx
yx
A . 
Usando essa expressão, calcular a área do triângulo com vértices nos pontos ( )111 ,P , ( )312 ,P e 
( )023 ,P . 
Primeiramente, constrói-se a matriz com as coordenadas dos pontos, isto é: 










=
102
131
111
A ; 
seu determinante é: 
( ) ( ) 2111101231211101131
102
131
111
−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet . 
Assim, a área do triângulo é: 
( ) 12
2
1
2
2
1
2
1
=⋅=−⋅=⋅= AdetS unidade de área. 
2.6 Aplicação do Determinante no Cálculo da Matriz Inversa 
Sabendo-se, agora, como calcular o determinante de uma matriz quadrada, pode-se ver uma 
das formas de determinar a matriz inversa de A, se existir, isto é, se A for inversível. Para isso, 
utilizam-se as definições de menor complementar e de cofator, vistas anteriormente, além da 
matriz cofatora, definida a seguir. 
Matriz cofatora. Dada uma matriz quadrada A de ordem n ( )2≥n , chama-se matriz cofatora 
de A a matriz cujos elementos são os cofatores de cada elemento da matriz dada. 
Notação: ( )Acof . 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Exemplo: dada a matriz 










−
−
=
042
310
201
A , os cofatores de seus elementos são: 
( ) 12
04
31
1 1111 −=
−
⋅−= +A 
( ) 6
02
30
1 2112 =⋅−=
+A 
( ) 2
42
10
1 3113 =
−
⋅−= +A 
( ) 8
04
20
1 1221 −=
−
⋅−= +A 
( ) 4
02
21
1 2222 =
−
⋅−= +A 
( ) 4
42
01
1 3223 −=⋅−=
+A 
( ) 2
31
20
1 1331 −=−
−
⋅−= +A 
( ) 3
30
21
1 2332 −=
−
⋅−= +A 
( ) 1
10
01
1 3333 −=−
⋅−= +A . 
Assim, a matriz cofatora de A é: 
( )










−−−
−−
−
=
132
448
2612
Acof . 
Matriz adjunta. Dada uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2), chama-se matriz adjunta 
de A a transposta da matriz cofatora da matriz dada. 
Notação: ( )AAdj . 
Assim: ( ) ( )( )tAcofAAdj = . 
Pode-se, agora, usar o resultado seguinte para calcular a inversa de uma matriz inversível A. 
Proposição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2), tal que ( ) 0≠Adet . Então, a 
matriz inversa de A é determinada por: ( ) ( )AAdjAdetA ⋅=
− 11 . 
Observação: se ( ) 0=Adet , a matriz A não admite inversa, ou seja, é singular. Assim, uma 
matriz é singular se, e somente se, ( ) 0=Adet . Se ( ) 0≠Adet , A é dita não-singular. 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Exemplo: Considere-se a matriz 










=
112
123
021
A . Determinar sua inversa através da matriz 
adjunta. 
Verificar-se-á que A é não-singular, ou seja, A admite inversa, calculando seu determinante. 
Tem-se: 
( ) ( ) ( ) 1132111220130212121
12112
23123
21021
−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet 
Como ( ) 01 ≠−=Adet , A é não-singular e, portanto, admite inversa. Calculam-se, assim, os 
cofatores dos elementos de A, como segue: 
( ) 1
11
12
1 1111 =⋅−=
+A 
( ) 1
12
13
1 2112 −=⋅−=
+A 
( ) 1
12
23
1 3113 −=⋅−=
+A 
( ) 2
11
02
1 1221 −=⋅−=
+A 
( ) 1
12
01
1 2222 =⋅−=
+A 
( ) 3
12
21
1 3223 =⋅−=
+A 
( ) 2
12
02
1 1331 =⋅−=
+A 
( ) 1
13
01
1 2332 −=⋅−=
+A 
( ) 4
23
21
1 3333 −=⋅−=
+A . 
Assim, a matriz cofatora de A é: 
( )










−−
−
−−
=
412
312
111
Acof 
e, portanto, sua adjunta é: 
( ) ( )( )










−−
−−
−
==
431
111
221
tAcofAAdj . 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Logo, a matriz inversa de A é: 
( ) ( ) 









−
−
−−
=










−−
−−
−
⋅
−
=⋅=−
431
111
221
431
111
221
1
111 AAdj
Adet
A . 
3 Sistemas Lineares 
3.1 Histórico 
Na matemática ocidental antiga, são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No 
Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por 
diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes 
escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim, acabaram 
descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por 
meio de operações elementares. Exemplos deste procedimento encontram-se nos “Nove 
capítulos sobre a arte da Matemática”, um texto que data, provavelmente, do século 111 a.C. 
Definição: Chama-se equação linear a n variáveis toda equação do tipo: 
bxaxaxa nn =+++ L2211 , 
onde: 
• na,,a,a L21 são números reais, chamados coeficientes; 
• nx,,x,x L21 são as variáveis; 
• b é o termo independente. 
Observe que em uma equação linear as variáveis têm expoente 1 e não aparecem termos nos 
quais haja produto de duas ou mais variáveis entre si. 
Exemplos: 
1) A equação bxaxa =+ 2211 pode ser escrita na forma 0=++ CByAx , onde as incógnitas 
1x e 2x foram chamadas, respectivamente, de x e y e os coeficientes 1a e 2a , representados 
por A e B. O termo independente, neste caso, é C, o qual pode ser escrito no primeiro ou no 
segundo membro da equação. Esta representa, no plano Oxy, uma reta e é chamada equação 
geral da reta. 
2) A equação linear 0=+++ DCzByAx , na qual os coeficientes A, B e C não se anulam ao 
mesmo tempo, tem como representação geométrica, no espaço tridimensional, um plano. 
Por exemplo, a equação 832 =+− zyx é linear, pois apresenta, em cada termo, apenas uma 
incógnita com expoente igual a 1. 
3) A equação 0432 =−− xx não é linear, pois apresenta incógnita com expoente maior do 
que 1 (no caso, expoente 2). 
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4) A equação 5323 =−+ yxyx não é linear, pois apresenta o termo xy2 , que depende doproduto de duas incógnitas. 
5) A equação 15
3
=+ y
x
 não é linear, pois o expoente da variável x é -1. 
Definição: Dada a equação linear bxaxaxa nn =+++ L2211 , chama-se solução desta 
equação a sequência de n números reais (ou seja, uma n-upla) n,,, ααα L21 , tal que: 
baaa nn =+++ ααα L2211 é uma identidade verdadeira. 
Exemplos: 
1) A equação geral da reta, dada por 0=++ CByAx também pode ser escrita na forma 
reduzida baxy += , onde 
B
A
a −= e 
B
C
b −= , desde que 0≠B . 
Assim, dada a equação 0532 =−+ yx , pode-se escrever 
3
5
3
2
+−= xy . 
Quando se faz 0=y , obtém-se a equação linear 0
3
5
3
2
=+− x , cuja solução é um único valor 
de x: 
2
5
3
5
3
2
0
3
5
3
2
=⇒−=−⇒=+− xxx . 
Logo, o par ordenado 





0
2
5
, é uma solução da equação linear dada. 
2) Dada a equação linear 832 =+− zyx , a terna ( ) ( )601 ,,z,y,x = , ou seja, 1=x , 0=y e 
6=z , é solução da equação pois, substituindo-se esses valores na equação tem-se: 
860312 =+⋅−⋅ , ou seja, 88 = , que uma identidade verdadeira. 
Já a terna ( )122 ,, não é solução desta equação, pois: 
81812322 =−⇒=+⋅−⋅ , que é falso. 
3) Dada a equação linear 1
2
1
2 =+− zyx , verifica-se que, para 2=x , 1=y e 2=z , tem-se: 
12
2
1
122 =⋅+⋅− , 
ou seja, a terna de valores ( )212 ,, satisfaz a equação e, portanto, é uma solução da equação 
dada. 
Definição: Chama-se sistema linear a um conjunto formado por m equações lineares a n 
incógnitas nx,,x,x L21 , consideradas simultaneamente, como indicado: 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
mxn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
:S
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
. 
Os elementos ija , com { }m,,,i L21∈ e { }n,,,j L21∈ são os coeficientes das incógnitas e 
mb,,b,b L21 são os termos independentes das equações do sistema; nm × indica a ordem do 
sistema. 
Observação: pode-se, de forma mais simplificada, denotar-se um sistema linear por ( )S . 
Exemplo: são sistemas lineares os conjuntos de equações lineares: 
( )








=−−+−
=+−+
−=−+−
3
1
415
38
2
1
4
12532
4321
4321
4321
xxx,x
xxxx
xxxx
:S 
(sistema de 3 equações a 4 incógnitas) 
( )



−=−
=+
832
103
21
21
xx
xx
:S ou ( )



−=−
=+
832
103
yx
yx
:S 
(sistema de 2 equações a 2 incógnitas) 
Definição: Chama-se solução do sistema linear ( )S uma n-upla ( )n,,, ααα L21 de números 
reais que satisfaz, simultaneamente, as m equações do sistema ( )S . 
Então, resolver o sistema ( )S significa encontrar a n-upla ( )n,,, ααα L21 , cujos elementos 
satisfazem simultaneamente todas as suas equações. 
Exemplo: Considere o sistema linear: 





=+−−
=++
−=−+
2
1132
22
zyx
zyx
zyx
 . 
A terna ( )301 ,, é solução deste sistema linear, pois: 





=+−−
=⋅++⋅
−=−⋅+
2301
1133012
23021
 , 
ou seja, a terna ( )301 ,, satisfaz todas as equações. Lembrando que 22 −=−+ zyx , 
1132 =++ zyx e 22 =+−− zyx são equações de planos do 3ℜ , conclui-se que ( )301 ,, é o 
único ponto em comum desses planos, isto é, eles se interceptam nesse ponto. 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
3.2 Forma Matricial de um Sistema Linear 
O sistema linear 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
mxn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
:S
L
M
L
L
2211
22222121
11212111
 
pode ser escrito na forma matricial, considerando-se: uma matriz ( )
mxnij
aA = , com os 
coeficientes das equações do sistema; uma matriz coluna ( ) 1nxixX = , contendo as incógnitas 
do sistema; uma matriz coluna ( )
1mxj
bB = , contendo os termos independentes das equações. 
Assim, o sistema pode ser escrito na forma BXA =⋅ . Observe-se que esta equação matricial 
está bem definida, pois o produto das matrizes indicado no primeiro membro é possível, já que 
o número de colunas de A é igual ao número de linhas de X e o resultado do produto é a 
matriz B, de dimensão 1×m . Explicitando-se essa equação, vem: 














=














⋅














mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MMMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
. 
3.3 Classificação dos Sistemas Lineares 
O sistema linear ( )S pode ser impossível ou incompatível, quando não tem solução. Se ( )S 
admite pelo menos uma solução, ele é dito possível ou compatível. Neste caso, se a solução é 
única, ele é possível determinado ou compatível determinado. Se tem mais de uma solução, é 
chamado possível indeterminado ou compatível indeterminado. O esquema seguinte resume a 
classificação do sistema ( )S : 












⇒
⇒
)soluçãoumademais(
)únicasolução(
)soluçãotemquando(
)soluçãotemnãoquando(
adominerdetin
adominerdetpossíveloucompatível
impossívelouelincompatív
linearSistema 
Para facilitar a classificação dos sistemas, é comum utilizar-se as siglas: 
• sistema impossível: SI; 
• sistema possível determinado: SPD; 
• sistema possível indeterminado: SPI. 
O sistema linear ( )S é chamado homogêneo quando todas as equações têm termo 
independente igual a zero. 
Exemplo: o sistema seguinte é homogêneo: 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 








=−+
=−
=+−
07
2
1
3
054
0532
zyx
yx
zyx
 . 
Todo sistema homogêneo é compatível, pois admite, pelo menos, a n-upla ( )0,,0,0 L como 
solução, chamada solução trivial. Se esta solução for única, o sistema é compatível 
determinado. Se, além da solução trivial, admitir outra(s), é compatível indeterminado. 
Dois sistemas lineares ( )1S e ( )2S são equivalentes se, e somente se, toda solução de ( )1S é 
também solução de ( )2S e, reciprocamente, toda solução de ( )2S é também solução de ( )1S . 
Quando, em um dado sistema ( )S , se efetuam as seguintes transformações elementares: 
(a) permuta de duas (ou mais) equações entre si; 
(b) multiplicação de todos os termos de uma equação por um número real não nulo; 
(c) substituição de uma equação por outra, obtida pela soma algébrica desta equação com 
qualquer outra equação; 
(d) substituição de uma equação por outra, obtida pela soma algébrica desta equação com um 
múltiplo de qualquer outra equação, 
obtém-se um novo sistema ( )S ′ equivalente a ( )S , ou seja, ambos têm a(s) mesma(s) 
solução(ões). 
Observações: 
1) Observe que essas transformações elementares são análogas às operações elementares que 
foram definidas para as matrizes. Viu-se que quando uma matriz B é obtida de uma matriz A 
através de operações elementares com suas filas (linhas ou colunas), as matrizes A e B são 
equivalentes. Uma vez que os sistemas lineares podem ser escritos na forma matricial, é 
natural que os sistemas ( )S e ( )S ′ sejam equivalentes. 
2) Se ao se aplicar qualquer método de resolução de um sistema linear, aparecer uma (ou 
mais) equação do tipo 0000 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx L , esta(s) equação(ões) pode(m) ser 
eliminada(s) do sistema, pois é(são) verdadeira(s) para quaisquer valores de nx,,x,x L21 . 
Caso apareça uma (ou mais) equação(ões) do tipo α=⋅++⋅+⋅ nxxx 000 21 L , com 0≠α , 
que é(são) falsa(s)

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