Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru CAPÍTULO 1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos, especialmente na área de Engenharia. Por exemplo, a obtenção da frequência natural do eixo traseiro de um automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas, acarreta um alto custo financeiro; portanto, faz-se necessária a utilização de métodos numéricos simples e precisos, como, por exemplo, o Método das Matrizes de Transferência, no qual, como o próprio nome evidencia, utilizam-se matrizes. Por sua vez, o projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige a resolução de um sistema de equações lineares, no qual o número de equações e variáveis cresce à medida que se torna mais complexa a estrutura. A forma matricial do sistema é, então, utilizada, analisando-se a singularidade da matriz dos coeficientes do sistema e a matriz coluna das forças externas, para se encontrar a matriz coluna das forças que atuam sobre as vigas. O Método dos Elementos Finitos, que tem grande aplicação em problemas de Engenharia, particularmente em problemas de Engenharia Civil e Mecânica, utiliza-se de sistemas lineares que envolvem grande número de variáveis, os quais são resolvidos computacionalmente, trabalhando-se com as matrizes dos sistemas. Também em outras áreas, como, por exemplo, na Pesquisa Operacional, a teoria das matrizes e os sistemas lineares são largamente utilizados. 1 Matrizes 1.1 Histórico Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta de 1850, divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange (1736-1813), em 1790. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), que as chamava de “tabelas”. O nome “matriz” só veio com James Joseph Sylvester (1814-1897), em 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. Somente com Cayley elas passaram a ter vida própria e, gradativamente, começaram a suplantar os determinantes em importância. Definição: Dá-se o nome de matriz a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por ( ) mxnij aA = , onde o par de índices ij representa a posição de cada elemento ija dentro INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru da matriz, sendo que o índice i indica a linha e j , a coluna. O par de índices nm × é chamado dimensão da matriz e representa o seu tamanho: o índice m indica o número de linhas da matriz e n, o número de colunas. Toda matriz pode ser representada, genericamente, por: = mnmmm n n aaaa aaaa aaaa A L MLMMM L L 321 2232221 1131211 ou = mnmmm n n aaaa aaaa aaaa A L MLMMM L L 321 2232221 1131211 De forma abreviada, a matriz A acima pode ser representada na forma: ( ) { } { }n,,,,j;m,,,,i;aA ij LL 321321 ∈∈= , ou, mais simplesmente, na forma: ( ) nmij aA × = . Observação: nesse texto, utilizar-se-á o termo "ordem da matriz" apenas quando o número de linhas for igual ao número de colunas; em caso contrário, dir-se-á "dimensão da matriz". Indicar-se-á por ( )ℜmxnA o conjunto de todas as matrizes de dimensão nm × e com elementos reais. • Se 1== nm , tem-se uma matriz com um único elemento e, portanto, a matriz representa um número real; ou seja, ( ) 111111 aaA x == . • Se nm ≠ , a matriz é chamada de matriz retangular de dimensão nm × e representada por ( )ℜmxnA ou, simplesmente, mxnA . • Se nm = , a matriz é chamada de matriz quadrada de ordem n (ou m) e representada por ( )ℜnA ou, simplesmente, nA . Neste caso, definem-se: - diagonal principal da matriz: é constituída pelos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: { } { }nnij a,,a,a,aji/a L332211== . Na matriz seguinte, mostram-se de forma destacada os elementos da diagonal principal: = nn 44 33 22 11 a a a a a L MLMMMM L L L L 4321 4434241 3343231 2242321 1141312 nnnn n n n n aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa A ; - diagonal secundária da matriz: é constituída pelos elementos que têm a soma dos índices iguais a n + 1, isto é: { } { }1231211 nn,n,nij a,,a,a,anji/a L−−=+=+ . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Na matriz que se segue, são mostrados os elementos da diagonal secundária de forma destacada: = − −−−−−− − − − nnn,nnn n,nn,n,n,n nn, n n, aaaa aaaa aaaaa aaaa aaaa A 132 1113111 313333231 2232221 11131211 L L MMLMMM L L L n1 1n a a 1,2 1,21,2 1,2n nn n 1 11 1n nn n2, 2,2, 2, a aa a a aa a . Por exemplo, considerando-se uma matriz quadrada de ordem 3, tem-se a representação da Figura 1. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa diagonal principal diagonal secundária FIGURA 1 Exemplo: Escrever a matriz ( ) 32xij aA = tal que <− = >+ = jise,ji jise,i jise,ji a jij 2 2 . A matriz ( ) 32xij aA = , em sua forma expandida, é escrita na forma: = 232221 131211 aaa aaa A . Então: • 11111 ==a ; 42 2 22 ==a , pois, nesses casos, tem-se ji = . • 021212 =−⋅=a ; 131213 −=−⋅=a ; 132223 =−⋅=a , pois, para esses elementos, tem- se ji < . • 412221 =⋅+=a , uma vez que ji > . Portanto, a matriz procurada é − = 144 101 A . 1.2 Matrizes Especiais Considere-se uma matriz mxnA . 1) Se 1=m , a matriz tem dimensão n×1 e é chamada matriz-linha, como segue: ( )naaaaA 1131211 L= . 2) Se 1=n , a matriz tem dimensão 1×m e é chamada matriz-coluna, como segue: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru = 1 31 21 11 ma a a a A M . 3) Se todos os seus elementos são iguais a zero, a matriz é chamada matriz nula. Exemplo: 000 000 000 000 é uma matriz nula de dimensão 34 × . Neste caso, é usual a notação 340 × . 4) Se a matriz é quadrada e todos os seus elementos não pertencentes à diagonal principal são iguais a zero, isto é, tem-se 0=ija , se ji ≠ , ela é dita matriz diagonal. Exemplos: 1) − = 20 03 A . 2) = 000 000 000 A 3) − = 000 020 001 A 5) A matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 é chamada matriz identidade de ordem n. Indica-se por ndΙ . Assim, tem-se: nxn n = 1000 0100 0010 0001 L MLMMM L L L Ι .1.3 Operações com Matrizes (1) Igualdade de matrizes: Duas matrizes de mesma dimensão ( ) mxnij aA = e ( ) mxnij bB = são iguais se ijij ba = , para todo mi ≤≤1 e todo nj ≤≤1 . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru (2) Adição de matrizes: Dadas duas matrizes de mesma dimensão ( ) mxnij aA = e ( ) mxnij bB = , chama-se soma de A com B a matriz de dimensão nm × cujos elementos são obtidos somando-se os elementos correspondentes de A e B. Notação: ( ) mxnijij baBA +=+ . Exemplo: dadas as matrizes − − − = 1850 2 3 302 81021 A e − − − = 121021 2943 7230 B , tem-se: − −+ − =+ 139521 2 7 6432 15851 BA . Observação: esta operação generaliza-se a um número finito de matrizes de mesma dimensão. Propriedades: dadas as matrizes ( ) mxnij aA = , ( ) mxnij bB = e ( ) mxnij cC = , a adição de matrizes satisfaz as propriedades: a) Comutativa: ABBA +=+ b) Associativa: ( ) ( ) CBACBA ++=++ c) Elemento Neutro: é a matriz nula mxn0 , satisfazendo: AAA =+=+ 00 . d) Elemento Oposto: considerada a matriz ( ) mxnij aA = , o elemento oposto da adição de matrizes é a matriz oposta de A, denotada por –A, isto é, ( ) mxnij aA −=− , que satisfaz: ( ) ( ) 0=+−=−+ AAAA (observe que 0 indica da matriz nula de mesma dimensão de A). (3) Subtração de matrizes: a subtração das matrizes A e B é obtida fazendo-se: ( )BABA −+=− , ou seja, a subtração de A e B é a adição de A com a matriz oposta de B. Assim: ( ) mxnijij baBA −=− . É claro que esta operação satisfaz as mesmas propriedades da adição de matrizes. (4) Multiplicação de uma matriz por um número real. Dada uma matriz ( ) mxnij aA = e um número real α , chama-se produto do número α por A a matriz cujos elementos são obtidos multiplicando-se cada elemento de A por α . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Notação: ( ) mxnij aA ⋅=⋅ αα . Observação: uma vez que cada elemento da matriz é um número real, quando se faz a multiplicação da matriz A pelo número real α está se fazendo multiplicação entre números reais (elementos da matriz e α ); entretanto, o resultado dessa multiplicação é uma matriz. Exemplo: dados o número real 3 2 =α e a matriz − = 5 7 15 032 A , tem-se: − =⋅=⋅ 15 14 3 2 3 10 02 3 4 3 2 AAα . Propriedades: considerem-se as matrizes ( ) mxnij aA = e ( ) mxnij bB = e dois números reais α e β . Tem-se: a) ( ) ( ) ( ) AAA ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ βαβααβ Observação: embora essas igualdades possam parecer naturais (e, portanto, triviais), devem ser observadas as diferenças entre cada membro. Por exemplo, no membro ( )A⋅⋅ αβ , multiplica-se, primeiramente, a matriz A pelo número real α , obtendo-se a matriz A⋅α ; depois, multiplica-se essa matriz pelo número real β . Já no termo ( ) A⋅⋅ βα , efetua-se, primeiramente, a multiplicação entre os números reais α e β , que resulta em um novo número real, o qual multiplica a matriz A. b) ( ) BABA ⋅+⋅=+⋅ ααα Observação: nessa propriedade, o primeiro membro da igualdade mostra que, primeiramente, faz-se a adição da matriz A com a matriz B, para depois multiplicar a matriz resultante pelo número real α . O segundo membro da igualdade mostra que é válida a propriedade de distribuição: pode-se, primeiramente, multiplicar tanto a matriz A, quanto a matriz B pelo número real α , para depois somar as matrizes resultantes A⋅α e B⋅α . c) ( ) AAA ⋅+⋅=⋅+ βαβα Observação: nessa propriedade, o primeiro membro da igualdade mostra que, primeiramente, faz-se a adição dos números reais α e β , obtendo-se um novo número real βα + , e INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru multiplicando, depois, a matriz A por este novo número. O segundo membro da igualdade, a exemplo da propriedade anterior, também mostra uma propriedade de distribuição: multiplica- se a matriz A pelo número real α , obtendo-se a matriz A⋅α ; depois, multiplica-se a matriz A pelo número real β , obtendo-se a matriz A⋅β ; em seguida, somam-se essas duas matrizes, ou seja, faz-se AA ⋅+⋅ βα . d) AA =⋅1 Observação: essa propriedade mostra que a multiplicação de qualquer matriz A pelo número real 1 resultará na mesma matriz A. Isso parece (e é!) natural, porque cada elemento da matriz é multiplicado pelo número 1, que é o elemento neutro da multiplicação de números reais. (5) Multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes ( ) mxnij aA = e ( ) nxpjk bB = , chama-se produto de A com B a matriz ( )mxpikcCBA ==⋅ , onde: nkinkikikiik babababac ++++= L332211 , para todo mi ≤≤1 e todo pk ≤≤1 . De modo equivalente, pode-se escrever: pk,mi,bac n j jkijik ≤≤∀≤≤∀⋅=∑ = 11 1 . De acordo com essa definição, cada elemento ikc da matriz BA ⋅ é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da matriz B e somando os produtos obtidos. Observe que, para que seja possível multiplicar a matriz A pela matriz B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. A matriz C resultante da multiplicação de A por B tem dimensão pm × , onde m é o número de linhas de A e p é o número de colunas de B (Figura 2). Matriz A Matriz B nm × pn × devem ser iguais o resultado é de dimensão pm × FIGURA 2 Propriedades: sejam A, B e C, matrizes tais que os produtos indicados a seguir sejam possíveis. São verdadeiras as propriedades: a) Associativa: ( ) ( ) CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ b) Distributiva: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru - à esquerda: ( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅ - à direita: ( ) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ c) Elemento Neutro: considerada a matriz ( ) mxnij aA = , o elemento neutro é a matriz identidade de ordem m ( )mId , ou ordem n ( )nId , pois: AIdA n =⋅ e AAIdm =⋅ . Observações: 1) A operação de multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, mesmo que sejam possíveis ambos os produtos BA ⋅ e AB ⋅ , tem-se, em geral, que ABBA ⋅≠⋅ , como se exemplificará adiante. 2) Na propriedade c) acima, vê-se que, dependendo de se multiplicar a matriz A pela matriz identidade Id à esquerda ou à direita, tem-se a matriz Id com ordem n ou m, já que, para que a multiplicação seja possível, deve-se ter o número de colunas da matriz que é o primeiro fator do produto deve ser igual ao número de linhas da matriz que é o segundo fator do produto. Exemplos: 1) Dadas as matrizes: 32232221 131211 x aaa aaa A = e 233231 2221 1211 x bb bb bb B = , é possível efetuar a multiplicação de A por B, já que A tem três colunas, que é o mesmo número de linhas de B. De acordo com a definição, obter-se-á uma matriz C de dimensão 22 × , isto é: = 2221 1211 cc cc C . Para se verificar rapidamente se o produto é possível e qual é a dimensão da matriz resultante, pode-se considerar apenas o “produto” das dimensões das matrizes: ( ) ( ) ( )222332 ×=×⋅× . Os elementos da matriz C são calculados da seguinte maneira: • elemento 11c : multiplica-se cada elemento da linha 1 de A pelocorrespondente elemento da coluna 1 de B e somam-se os produtos obtidos: 31132112111111 bababac ++= ; • elemento 12c : multiplica-se cada elemento da linha 1 de A pelo correspondente elemento da coluna 2 de B e somam-se os produtos obtidos: 32132212121112 bababac ++= ; • elemento 21c : multiplica-se cada elemento da linha 2 de A pelo correspondente elemento da INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru coluna 1 de B e somam-se os produtos obtidos: 31232122112121 bababac ++= ; • elemento 22c : multiplica-se cada elemento da linha 2 de A pelo correspondente elemento da coluna 2 de B e somam-se os produtos obtidos: 32232222122122 bababac ++= . Assim, vem: C cc c b b b aaa BA = = ⋅ =⋅ 2221 12 32 22 12 232221 11 31 21 11 131211 c b b b aaa . Nesta representação, estão destacados os elementos da linha 1 de A, que são multiplicados ordenadamente pelos elementos da coluna 1 de B, resultando elemento 11c da matriz C. Observe-se que, no caso dessas matrizes, é possível também efetuar a multiplicação de B por A, já que B tem 2 colunas e A tem 2 linhas. A matriz D, resultante dessa multiplicação, terá dimensão 33 × . Considerando-se apenas as dimensões das matrizes, vem: ( ) ( ) ( )333223 ×=×⋅× . Assim, a matriz D será do tipo: ( ) 33×= ikdD , cujos elementos são: • elemento 11d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 2112111111 ababd += ; • elemento 12d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 2212121112 ababd += ; • elemento 13d : multiplica-se cada elemento da linha 1 de B pelo correspondente elemento da coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 2312131113 ababd += ; • elemento 21d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 2122112121 ababd += ; • elemento 22d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 2222122122 ababd += ; • elemento 23d : multiplica-se cada elemento da linha 2 de B pelo correspondente elemento da coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 2322132123 ababd += ; • elemento 31d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da coluna 1 de A e somam-se os produtos obtidos: 2132113131 ababd += ; INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru • elemento 32d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da coluna 2 de A e somam-se os produtos obtidos: 2232123132 ababd += ; • elemento 33d : multiplica-se cada elemento da linha 3 de B pelo correspondente elemento da coluna 3 de A e somam-se os produtos obtidos: 2332133133 ababd += . Então, tem-se: D ddd ddd dd aa aa bb bbAB = = ⋅ =⋅ 333231 232221 1312 2322 1312 3231 2221 11 21 11 1211 d a a bb . Nesta representação, estão destacados os elementos da linha 1 de B, que são multiplicados ordenadamente pelos elementos da coluna 1 de A, resultando elemento 11d da matriz D. 2) Sejam − = 10 12 A , −− = 312 105 B e − = 01 84 C . Determine se possível: (a) CA +2 − = ++ −−+ = − + − =+ 21 108 0210 8244 01 84 10 12 22 CA (b) AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅ −⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅ = −− − = 311011002150 311211022152 312 105 10 12 AB −− =∴ 312 518 AB (c) CB + Não é possível, pois B e C não têm a mesma dimensão. (d) BC Não é possível, pois o número de colunas da matriz 32xB não é igual ao número de linhas da matriz 22xC . (e) ( )BCA 3− ( ) −− − − = −− − − − =− 312 105 13 2310 312 105 01 84 3 10 12 3 BCA ( ) −−− −−− =−∴ 6113 79234 3 BCA (f) 2A − = − − == 10 34 10 12 10 122 AAA Observações importantes sobre a multiplicação de matrizes: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 1) A multiplicação de matrizes não é comutativa. Exemplos: 1) Efetuar a multiplicação de A por B e de B por A, onde: − = 03 21 A e − = 41 12 B . Observe-se que, no caso dessas matrizes, sendo ambas quadradas de ordem 2, é possível efetuar ambas as multiplicações solicitadas. Tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) −− = ⋅+⋅−−⋅+⋅− ⋅+⋅−⋅+⋅ = − − = 36 90 40131023 42111221 41 12 03 21 AB Por outro lado, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) −− − = ⋅+⋅−−⋅+⋅− ⋅+⋅−⋅+⋅ = − − = 213 41 04213411 01223112 03 21 41 12 BA Vê-se, assim, que, embora ambas as multiplicações AB e BA sejam possíveis, tem-se que BAAB ≠ . 2) Efetuar, se possível, a multiplicação de A por B e de B por A, sendo: − = 32 11 A e − = 431 502 B . Sendo A de dimensão 22 × e B de dimensão 32 × , é possível multiplicar A por B: ( ) ( ) ( )323222 ×=×⋅× , isto é, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Já a multiplicação de B por A não é possível, pois tem-se: ( ) ( )2232 ×⋅× , ou seja, o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A. Então, fazendo-se a multiplicação de A por B, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ −⋅−+⋅⋅−+⋅⋅−+⋅ = − − = 435233021322 415131011121 431 502 32 11 AB , ou seja, − − == 297 931 ABC . O exemplo mostra que pode existir o produto BA e não existir o produto BA . 3) Dadas as matrizes = 54 32 A e − − = 24 35 B , efetuar a multiplicação de A por B e de B por A. Tem-se: − − = − − = 20 02 24 35 54 32 AB INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru e − − = − − = 20 02 54 32 24 35 BA . Nesse caso, tem-se que BABA = . Diz-se, então que as matrizes A e B comutam entre si, ou que A e B são comutáveis. É claro que para que A e B sejam comutáveis é necessário que ambas sejam matrizes quadradas de mesma ordem. 2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento doproduto. Sabe-se que, dados dois números reais a e b, se o produto deles é igual a zero, isto é, se 0=⋅ ba , então se conclui que pelo menos um deles é zero, ou seja, tem-se 0=a ou 0=b . O mesmo não ocorre com o produto de matrizes, isto é: dadas as matrizes pmA × e npB × , se o produto delas resulta na matriz nula, isto é, se nmAB ×= 0 , isso não acarreta, necessariamente, que A seja uma matriz nula ou que B seja uma matriz nula. Exemplo: considerem-se as matrizes não nulas = 11 30 A e − = 10 10 B , tem-se: ( ) ( ) = −⋅+⋅⋅+⋅ −⋅+⋅⋅+⋅ = − = 00 00 11110101 10100000 10 10 11 00 AB . Essa é uma característica da nulidade do produto de matrizes, que pode ser posta de duas formas equivalentes: - se 0=AB , isso não implica que 0=A ou 0=B ; - mesmo que 0≠A e 0≠B , pode ocorrer que 0=AB . 3) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do cancelamento do produto. Considerando-se dois números reais a e b, se ba ⋅=⋅ 22 , então se pode dividir ambos os membros da igualdade por 2 e conclui-se que ba = . De modo mais geral, se bcac ⋅=⋅ e se 0≠c , então se pode dividir ambos os membros por c e conclui-se que ba = . Essa é a chamada lei do cancelamento. Para o produto de matrizes, não vale a lei do cancelamento, isto é: se BCAC = , nem sempre se tem BA = . Exemplo: considerando-se as matrizes quadradas de ordem 2 − = 15 32 A , − = 72 11 B e = 12 24 C , tem-se: −− = − = 1122 12 12 24 15 32 AC e −− = − = 1122 12 12 24 72 11 BC . O exemplo mostra que BCAC = não implica que BA = . Posto de outra forma: tem-se INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru BCAC = , com 220 ×≠C , e, no entanto, tem-se que BA ≠ . Conclui-se, assim, que na multiplicação de matrizes, não vale a lei do cancelamento. 1.4 Outras Matrizes Especiais 1) Matriz nilpotente de índice k. A matriz quadrada A é dita nilpotente de índice k, sendo k um número natural maior do que 1, se 0=kA (aqui, o símbolo 0 representa a matriz nula de mesma ordem de A). Exemplo: a matriz = 02 00 A é nilpotente de ordem 2, pois: 22 2 0 00 00 02 00 02 00 ×= = =⋅= AAA . Observa-se que A também é nilpotente de ordem 3, pois: 22 23 0 00 00 02 00 00 00 ×= = =⋅= AAA . De maneira geral, pode-se afirmar que A é nilpotente de ordem k, sendo k um número natural maior ou igual a 2. 2) Matriz idempotente. A matriz quadrada A é dita idempotente se AA =2 . Exemplo: a matriz − − = 33 22 A É idempotente, pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AAAA = − − = ⋅+⋅−−⋅+−⋅− ⋅+⋅−−⋅+−⋅− = − − − − =⋅= 33 22 33233323 32223222 33 22 33 222 3) Matriz periódica de índice k. A matriz quadrada A é dita periódica de índice k, sendo k um número natural maior ou igual a 1, se AAk =+1 . Exemplo: considere-se a matriz = 13 00 A . Tem-se: AAAA = = =⋅= 13 00 13 00 13 002 ; INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru AAAA = = =⋅= 13 00 13 00 13 0023 ; AAAA = = =⋅= 13 00 13 00 13 0034 ; M AAAA kk = = =⋅=+ 13 00 13 00 13 001 , sendo k um número natural maior ou igual a 1. Conclui-se, assim que a matriz A é periódica de índice k. 4) Matriz transposta. Se a matriz ( ) mxnij aA = tem dimensão nm × , sua transposta é a matriz de dimensão mn × , cujas linhas coincidem ordenadamente com as colunas de A, denotada por tA . Assim, tem-se: ( ) nxmji t aA = . Exemplo: dada a matriz 32835 721 x A − = , sua transposta é a matriz 23 87 32 51 x tA −= . Propriedades: é possível mostrar que são válidas as propriedades: a) para qualquer matriz ( ) mxnij aA = , tem-se: ( ) AA tt = b) dadas as matrizes ( ) mxnij aA = e ( ) mxnij bB = , tem-se: ( ) ttt BABA +=+ c) se ( ) mxnij aA = e ( ) nxpjk bB = , tem-se: ( ) ttt ABBA ⋅=⋅ Observe-se que é possível efetuar a multiplicação de A por B, que resulta em uma matriz de dimensão pm × . Assim, a dimensão da matriz ( )tBA ⋅ que figura no primeiro membro da igualdade acima é mp × . Por outro lado, matrizes tB e tA do segundo membro da igualdade têm dimensões np × e mn × , respectivamente. Assim, pode-se efetuar a multiplicação de tB por tA , que resulta em uma matriz de dimensão mp × . Vê-se, assim, que as matrizes ( )tBA ⋅ e tt AB ⋅ têm a mesma dimensão. É possível mostrar, além disso, que os elementos correspondentes dessas matrizes são iguais. d) Para qualquer matriz ( ) mxnij aA = e para qualquer número real não nulo α , tem-se: ( ) tt AA ⋅=⋅ αα . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 5) Matriz simétrica. Se A é quadrada de ordem n e tAA = , então A é dita simétrica. Como se poderá observar facilmente nos exemplos que serão dados, em uma matriz simétrica os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. Propriedades: são válidas as propriedades: a) se A é uma matriz simétrica e α é um número real não nulo, então A⋅α é também uma matriz simétrica; b) para qualquer matriz quadrada A, tem-se que tAA + é uma matriz simétrica. Exemplos: 1) Dada a matriz − − = 175 702 523 A , sua transposta é: − − = 175 702 523 tA , e, portanto, tem-se que tAA = , ou seja, A é simétrica. Conforme se observou anteriormente, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal da matriz são iguais. Além disso, multiplicando-se A por qualquer número real não nulo, por exemplo, -2, vem: −− −− −− = − − ⋅−=⋅− 21410 1404 1046 175 702 523 22 A , que é simétrica, conforme se afirmou em uma das propriedades. 2) Considere-se a matriz quadrada − − − = 721 538 311 A . Sua transposta é: − − − = 753 231 181 tA . Observe que A não é simétrica e, portanto, tA também não é. Somando-se as duas matrizes, tem-se: − − − = − − − + − − − =+ 1474 769 492 753 231 181 721 538 311 tAA . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática– Unesp/Bauru Como se pode ver, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal da matriz obtida são iguais e, portanto, tAA + é uma matriz simétrica, conforme se afirmou em uma das propriedades dadas. 6) Matriz antissimétrica. Se A é quadrada de ordem n, diz-se que A é antissimétrica se tAA −= . Propriedades: é possível mostrar que são válidas as propriedades: a) se A é uma matriz antissimétrica e α é um número real não nulo, A⋅α é também uma matriz antissimétrica; b) para qualquer matriz quadrada A, tem-se que tAA − é uma matriz antissimétrica. Exemplos: 1) Dada a matriz − − − = 075 702 520 A , sua transposta é: − − − = 075 702 520 tA , e, portanto, tem-se que tAA −= , ou seja, A é antissimétrica. Como se pode constatar neste exemplo, para que uma matriz seja antissimétrica os elementos da diagonal principal devem ser nulos e os que estão simetricamente dispostos em relação à diagonal principal devem ser opostos. 2) Considere-se novamente a matriz quadrada − − − = 721 538 311 A e sua transposta − − − = 753 231 181 tA . Observe que A não é antissimétrica e, portanto, tA também não é. Tem-se: − − − = − − − − − − − =− 032 307 270 753 231 181 721 538 311 tAA . Como se pode ver, os elementos da diagonal principal da matriz obtida são nulos e os que INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru estão simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos; portanto, tAA − é uma matriz simétrica, conforme se afirmou em uma das propriedades dadas. Observação: usando as propriedades das matrizes simétricas e antissimétricas, pode-se decompor qualquer matriz quadrada A em uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. De fato, tem-se: (1) tAA + é simétrica e, portanto, ( )tAAS +⋅= 2 1 também o é; (2) tAA − é antissimétrica e, portanto, ( )tAAT −⋅= 2 1 também o é. Então: ( ) ( ) ( ) ( ) AAAAAAAAAAATS tttt =⋅ ⋅=⋅⋅=−++⋅=−⋅++⋅=+ 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Logo, TSA += , ou seja, A é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 7) Matriz triangular. Se A é quadrada de ordem n, tem-se dois casos de matriz triangular: - triangular inferior: é tal que 0=ija ,se ji < , ou seja, a matriz tem a forma: = nnnn nxn aaa aa a A L LLLL L L 21 2221 11 0 00 . - triangular superior: é tal que 0=ija , se ji > , isto é, tem-se a matriz: = nn n n nxn a aa aaa A L LLLL L L 00 0 222 11211 . 1.5 Matrizes Equivalentes É usual referir-se a uma linha ou a uma coluna de uma matriz nmA × como sendo uma fila. Definem-se as seguintes operações elementares com os elementos de uma fila da matriz: a) permutar duas filas paralelas entre si, ou seja, permutar duas linhas entre si ou permutar duas colunas entre si; b) multiplicar todos os elementos de uma fila por um número real não nulo; c) somar os elementos de uma fila com os elementos de outra fila paralela; d) somar os elementos de uma fila com múltiplos dos elementos de outra fila paralela. Quando se efetuam operações elementares com as filas da matriz nmA × , obtém-se uma matriz nmB × que tem as mesmas propriedades da matriz A. Tem-se, assim, a seguinte definição: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Definição: Uma matriz B é equivalente a uma matriz A se B pode ser obtida de A através de uma sequência finita de operações elementares. Exemplo: verificar se as matrizes − − = 303 521 A e − − = 1860 101 B são equivalentes. Para verificar se as matrizes dadas são equivalentes, tentar-se-á efetuar operações elementares com uma delas, com o objetivo de obter a outra. Por exemplo, serão feitas operações elementares com as linhas de A, como segue: (1) a 1ª linha se A será copiada; a 2ª linha será substituída por outra, resultado da operação elementar "multiplicar os elementos da 1ª linha por ( )3− e somar com elementos da 2ª linha", conforme se indica a seguir: − − → − − +− 1860 521 303 521 213 LL ; (2) mantém-se, agora, a 2ª linha; a 1ª linha será substituída por outra, resultado da operação elementar "multiplicar os elementos da 2ª linha por 3 1 e somar com elementos da 1ª linha", conforme indicado a seguir: B LL = − − → − − + 1860 101 1860 521 123 1 Uma vez que, a partir da matriz A, pôde-se obter a matriz B, através de operações elementares com as linhas de A, conclui-se que as matrizes A e B são equivalentes. Observe-se que, ao invés de realizar operações elementares com as linhas de A, pode-se realizá-las com as colunas de A: (1) a 3ª coluna se A será copiada; a 1ª coluna será substituída por outra, resultado da operação elementar "somar os elementos da 3ª coluna com os elementos da 1ª coluna". Além disso, a 2ª coluna será substituída por outra, resultado da operação elementar "multiplicar os elementos da 3ª coluna por 5 2 e somar com os elementos da 2ª coluna". Essas operações são indicadas a seguir: −− → − − + + 3 5 6 0 506 303 521 235 2 13 CC CC (2) serão substituídas as três colunas dessa nova matriz, através das seguintes operações: "multiplicar os elementos da 1ª coluna por 6 1 "; "multiplicar os elementos da 2ª coluna por ( )5− "; "multiplicar os elementos da 1ª coluna por ( )1− e somar com os elementos da 3ª coluna". Tem-se: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru − − → −− +− − 360 101 3 5 6 0 506 31 2 16 1 5 CC C C (3) mantêm-se, agora, as colunas 1 e 2 e substitui-se a 3ª coluna por outra, obtida através da operação: "multiplicar os elementos da 2ª coluna por ( ) 2 5− e somar com os elementos da 3ª coluna", ou seja: B CC = − − → − − +− 1860 101 360 101 322 5 . Observação: depois de vistos os métodos de resolução de sistemas de equações lineares, será dado o conceito de matrizes semelhantes. 1.6 Matriz Escalonada 1) Matriz escalonada por linha. Diz-se que uma matriz ( ) mxnij aA = está escalonada por linha se ,aij 0= para ji > . Assim, a matriz A tem a forma: = mn n n n n a a aa aaa aaaa A 0000 000 00 0 4 333 22322 1131211 LLLLL L L L L . Observação: os elementos ija tais que ji < podem ou não ser nulos. Exemplo: as matrizes seguintes são matrizes escalonadas por linha: − − = 1500 2420 0113 A ; = 0000 7200 0015 B . 2) Matriz escalonada por coluna. Diz-se que uma matriz ( ) mxnij aA = está escalonada por coluna se ,aij 0= para ji < . Assim, a matriz A tem a forma: = mnmmmm aaaaa aaa aa a A L LLLLLL L L L 4321 333231 2221 11 00 000 0000 . Observação: os elementos ija tais que ji > podem ou não ser nulos. Exemplo: as matrizes seguintes são matrizes escalonadas por coluna: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru = 4122 0003 0005 C ; −−− − = 4120 0523 0052 0001 D . Para, a partir de uma matriz dada A, obter-se uma matriz escalonada (por linha ou por coluna) que seja equivalente a A, efetuam-se operações elementares com suas filas. Exemplos: 1) Dada a matriz −− −−= 341 122 301 A , obter matrizes escalonadas por linha e por coluna equivalentes a ela. Efetuar-se-ão operações elementares com as linhas de A, indicadas em cada etapa, como segue: → −− → −− −− ++− + 400 520 301 640 520 301 341 122 301 3231 21 2 2 LLLL LL . Assim, a matriz escalonada por linha que se obteve é equivalente à matriz A. Por outro lado, para se obter uma matriz escalonada por coluna que seja equivalente a A, efetuar-se-ão operações elementares com a colunas de A, como segue: − − → −− − → −− −− +−+− 441 022 001 641 522 001 341 122 301 322 5 313 CCCC ; a matriz escalonada por coluna que resultou é equivalente à matriz A. 2) Dada a matriz − −− − = 1331 2213 0112 B , obter matrizes escalonadas por linha e por coluna equivalentes a ela. Efetuando-se operações elementares com as linhas de B, indicadas em cada etapa, tem-se: − − − → − − − → − −− − +−+ + 152700 20 0112 10 20 0112 1331 2213 0112 2 7 2 17 2 5 2 7 2 7 2 1 32312 1 212 3 LLLL LL . Assim, a matriz escalonada por linha que se obteve é equivalente à matriz B. Por outro lado, para se obter uma matriz escalonada por coluna que seja equivalente a B, efetuar-se-ão operações elementares com suas colunas, como segue: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru → − − − → − − − → − −− − + +− + + 42 32 3 2 312 1 212 1 2 7 2 2 2 5 2 7 2 7 2 1 1571 2713 0002 11 23 0002 1331 2213 0112 CC CC C C CC CC − − → − − → ++ +− 05471 0013 0002 155471 0013 0002 4318 5 42 32 2 7 CCCC CC . A matriz escalonada por coluna que resultante das operações elementares é equivalente à matriz B. 1.7 Matriz Inversível Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, tal que nIdABBA =⋅=⋅ , então a matriz B é chamada inversa da matriz A. Diz-se, então, que A é inversível. Notação: 1−A . Se a matriz A é inversível, sua inversa é única. Se A não admite inversa, diz-se que A é singular. Determinação da inversa: ver-se-á, no momento, apenas um método determinação da inversa de uma matriz inversível A, usando operações elementares. Após o estudo dos determinantes e dos sistemas lineares, ver-se-ão outras duas formas de se determinar a matriz inversa de uma matriz. Para se determinar a inversa de uma matriz quadrada A de ordem n através do método das operações elementares, procede-se da seguinte maneira: escreve-se uma matriz “ampliada”, com n linhas e n2 colunas, dividida ao meio verticalmente. Nas n primeiras linhas e colunas (ou seja, do lado esquerdo da divisão), colocam-se os elementos da matriz A. Nas restantes n linhas e colunas (ou seja, do lado direito da divisão), colocam-se os elementos da matriz identidade nId . Efetuam-se operações elementares com essa matriz ampliada, com o objetivo de transformar a matriz A, que está do lado esquerdo, na matriz identidade. Ao final do processo, A terá se tornado a matriz identidade e a matriz do lado direito, resultante das operações feitas com a matriz nId , é a matriz inversa de A, ou seja, é 1−A . Exemplo: Considerem-se as matrizes = 42 31 A e = 112 123 021 B . Determinar a inversa de cada uma delas, através do método das operações elementares. Escreve-se a matriz ampliada de A: 1042 0131 . Observe que esta matriz tem o mesmo INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru número de linhas de A, mas tem o dobro de colunas. Do lado esquerdo, está a matriz A; do lado direito, a matriz 2Id . Efetuam-se, a seguir, operações elementares com esta nova matriz, como segue: (1) copia-se a primeira linha, já que o primeiro elemento de A é 1, que é também o primeiro elemento da matriz identidade, que é o objetivo final. A segunda linha será modificada através das operações 212 LL +− : −− → +− 1220 0131 1042 0131 212 LL ; (2) com o objetivo de obter um zero na posição 12a da matriz A, copia-se a segunda linha e transforma-se a primeira, fazendo-se: 122 3 LL + : −− − → −− + 1220 201 1220 0131 2 3122 3 LL (3) resta, apenas, tornar o elemento 22a igual a 1; para isso, basta que se multiplique a segunda linha por 2 1 − : − − → −− − − 2 1 2 3 2 3 110 201 1220 201 22 1 L Tendo a matriz do lado esquerdo se transformado na matriz identidade, a do lado direito é a matriz inversa procurada, isto é: − − =− 2 1 1 2 3 2 1A . Considerando-se, agora, a matriz B, de ordem 3, a matriz ampliada terá 3 linhas e 6 colunas, indicada abaixo: 100112 010123 001021 Far-se-ão as operações indicadas nas passagens de uma matriz à outra, conforme se segue: → −− −− → −+− +− 24 1 31 21 102130 013140 001021 100112 010123 001021 2 3 LLL LL → − −− → −− −− + + 3 23 32 4 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 13 4 1 4 3 4 1 100 010 001021 102130 010 001021 L LL LL − −−− → − − +− 431100 111010 221001 431100 111010 001021 122 LL − − −− =∴ − 431 111 221 1B . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Observação: se, ao se efetuarem operações elementares com uma matriz, se obtiver uma ou mais filas nulas, conclui-se que a matriz não admite inversa. 2 Determinantes 2.1 Histórico Os primeiros estudos sobre determinantes datam, provavelmente, do século 111 a.C. Mas foi só em 1683 que o japonês Takakazu Seki Kowa (1642-1708) usou a idéia de determinante em seus trabalhos sobre sistemas lineares. O uso do determinante no ocidente começou 10 anos depois, com um trabalho de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783) sistematizou, em 1764, o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Théophile Vandermonde (1735-1796), a primeira abordagem da teoria dos determinantes. O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812, em um trabalho de Augustin- Louis Cauchy (1789-1857) sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta até hoje. O determinante de uma matriz quadrada A de ordem ( )*nn Ν∈ é um escalar, denotado por ( )Adet . Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1. Dada a matriz ( )11aA = , seu determinante é igual ao próprio elemento 11a . Indica-se: ( )Adet ou 11a . Observação: não se deve confundir, neste caso, a notação 11a , que indica o determinante da matriz cujo único elemento é o número real 11a , com o módulo (ou valor absoluto) do número real 11a . Exemplo: se ( )5A −= , então ( ) 5−=Adet . Para se obter o determinante de matrizes quadradas de ordem 2≥n , aplicam-se os métodos que serão descritos a seguir. 2.2 Regra de Sarrus Esta regra deve-se a Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861), a qual se aplica aos determinantes de 2ª e 3ª ordem, como segue. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru (a) Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2. Dada a matriz = 2221 1211 aa aa A , seu determinante é: ( ) 21122211 2221 1211 aaaa aa aa Adet −== , ou seja, o determinante de A é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz. Exemplo: dada a matriz − = 24 23 A , seu determinante é: ( ) ( ) ( ) 14864223 24 23 −=−−=⋅−⋅−= − =Adet (c) Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3. O determinante da matriz = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A é calculado da seguinte maneira: ( ) ( )332112322311312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa ++− +++==Adet Pode-se usar a seguinte regra prática: repetem-se as duas primeiras colunas ao lado das três colunas originais do determinante; em seguida, somam-se os resultados dos três produtos “no sentido da diagonal principal”, subtraindo-se, depois, a soma dos três produtos efetuados “no sentido da diagonal secundária”, conforme mostra a Figura 3. ( ) 3231333231 2221232221 1211131211 aaaaa aaaaa aaaaa Adet = -a11a23a32 -a13a22a31 -a12a21a33 a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 FIGURA 3 Observação: esse método de calcular o determinante se aplica apenas a matrizes quadradas de ordem 3. Exemplo: seja INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru − −= 243 231 021 A . Tem-se: ( ) = −− −−= 43243 31231 21021 Adet ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 3012184800126 212421330410322231 =+=−−−++= =⋅−⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅= 2.3 Teorema de Laplace Para matrizes quadradas de ordem n (n ≥ 2), o Teorema de Laplace (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827) oferece uma solução prática no cálculo dos determinantes. Para que seja possível utilizá-lo, são necessárias as definições seguintes. Menor complementar. Dada a matriz quadrada ( ) nxnij aA = de ordem n ( )2≥n , o menor complementar de um elemento genérico ija da matriz é o determinante ijD que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. Exemplo: dada a matriz −− − − = 124 131 052 A , determinar os menores complementares 22D , 32D e 13D . De acordo com a definição, tem-se: 2 14 02 22 =− =D ; 2 11 02 32 −=− =D ; 10 24 31 13 =−− =D . Cofator. Dada a matriz quadrada ( ) nxnij aA = de ordem n, sendo 2≥n , chama-se cofator de um elemento ija da matriz ao produto de ( ) ji +−1 pelo determinante da submatriz obtida eliminando-se de A a linha i e a coluna j. Assim, o cofator de uma elemento ija é o menor complementar desse elemento, multiplicado por ( ) ji +−1 . O cofator do elemento ija é denotado por ijA . Exemplo: considere-se a matriz: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru − − = 133 011 212 A . Os cofatores dos elementos 23a e 31a são: ( ) ( ) ( ) 9361 33 12 1 3223 −=+⋅−= − ⋅−= +A ( ) ( ) 2201 01 21 1 1331 =+⋅=− − ⋅−= +A . Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2) é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores. Assim, dada a matriz = nnnn n n nxn aaa aaa aaa A L LLLL L L 21 22221 11211 , tomando-se como referência, por exemplo, a primeira linha, tem-se: nnAaAaAa)Adet( 1112121111 +++= L . Observação: pode-se aplicar o Teorema de Laplace utilizando-se qualquer linha ou coluna da matriz A como referência. É usual escolher-se aquela que apresenta a maior quantidade de zeros, com o objetivo de diminuir os cálculos. Exemplos: 1) Dada a matriz − −= 243 231 021 A , calcular seu determinante usando o Teorema de Laplace. Escolhendo a 3ª coluna como referência, vem: ( ) 333323231313 AaAaAaAdet ++= , ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) 31 21 12 43 21 12 43 31 10Adet 333231 − ⋅−⋅+ − ⋅−⋅+ − − ⋅−⋅= +++ ( ) ( ) ( ) 30102052102 =+=⋅+−⋅−=Adet . 2) Considere-se a matriz − − − = 1214 0173 1521 0013 A . Calcular seu determinante, usando o Teorema de Laplace. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Escolher-se-á a primeira linha para aplicar o Teorema de Laplace, porque ela apresenta dois elementos nulos, o que facilita a aplicação do método. Analogamente, poder-se-ia ter escolhido a quarta coluna, que também apresenta dois zeros. Entretanto, ressalta-se que se pode escolher qualquer linha ou coluna. Tem-se: ( ) 1414131312121111 AaAaAaAa +++=Adet Assim, vem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 132241523 214 173 521- 10 1-14 073 121- 10 1-24 01-3 151- 11 1-21 01-7 152 13 41 312111 =⋅−⋅=−⋅−⋅+ +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= + +++Adet 2.4 Regrade Chió Deve-se ao matemático italiano Felice Chió (1813-1871). Seja ( )ijaA = uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2). Admitindo-se, inicialmente, que a matriz A apresente um elemento 1=ija , suprimem-se a linha i e a coluna j correspondentes a este elemento unitário, restando uma submatriz de ordem 1−n . Toma-se cada elemento pka dessa submatriz e dele subtrai-se o produto pjik aa , ou seja, constrói-se a matriz ( )pkbB = , onde pjikpkpk aaab −= . O determinante de A será dado por: ( ) ( ) ( )BdetAdet ji ⋅−= +1 . Para visualizar melhor esse processo, considere-se a matriz = nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa A L LLLLL L L L 321 3333231 2232221 1131211 ; supondo-se, por exemplo, que o elemento 11a seja igual a 1, eliminam-se de A a linha 1 e a coluna 1: Constrói-se, agora, a matriz B, a partir dos elementos que restaram na matriz A, depois de suprimidas a linha 1 e a coluna 1. Por exemplo, o elemento 32b é obtido da seguinte forma: = nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa A L LLLLL L L L 321 3333231 2232221 1131211 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 31123232 aaab −= ; para a obtenção do elemento 3nb , faz-se: 11333 nnn aaab −= . Procedendo-se de modo análogo, constrói-se a matriz B: −−− −−− −−− = 1111331122 3113311333311232 2112211323211222 nnnnnnnn nn nn aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaaaaa B L LLLL L L . Portanto, o determinante de A é: ( ) 1111331122 3113311333311232 2112211323211222 111 nnnnnnnn nn nn aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaaaaa )Adet( −−− −−− −−− ⋅−= + L LLLL L L Exemplo: tomando-se novamente a matriz − −= 243 231 021 A , considerada nos exemplos anteriores, usar a regra de Chió para calcular seu determinante. Aplicar-se-á a regra de Chió para o elemento 111 =a . Assim, eliminar-se-ão a primeira linha e a primeira coluna de A e construir-se-á a matriz B a partir dos elementos que restaram em A. Então, vem: ( ) ( ) − = ⋅−⋅−− −⋅⋅−−⋅− = 210 25 302324 102123 B ; portanto, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) 3021025 210 25 11 11 =⋅−−⋅= − ⋅=⋅−= + BdetAdet , que é o resultado obtido anteriormente, por meio dos outros métodos. Observação: caso a matriz A não apresente um elemento igual a 1, pode-se escolher qualquer elemento não nulo ija e multiplicar a fila (linha ou coluna) à qual ele pertence por ija 1 para se obter o elemento 1 necessário para a aplicação da regra de Chió. Obter-se-á uma matriz M, para a qual se aplica a regra de Chió. Como se verá a seguir, nas propriedades dos determinantes, o determinante da matriz M é igual ao determinante de A, multiplicado por ija 1 , ou seja, ( ) ( )Adet a Mdet ij 1 = , e, portanto, ( ) ( )MdetaAdet ij= . Exemplo: considerando-se, novamente, a matriz A do exemplo anterior, calcular-se-á seu determinante utilizando-se o elemento 331 =a (supondo que não houvesse nenhum elemento INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru igual a 1 na matriz A). Portanto, multiplica-se a terceira linha de A por 3 1 e obtém-se a matriz M: − −= 3 2 3 4 1 231 021 M . Aplica-se, assim, a regra de Chió para essa nova matriz, tomando-se como referência o elemento 131 =c . Para tanto, eliminam-se a terceira linha e a primeira coluna da matriz C e constrói-se a matriz B, de ordem 2, a partir dos elementos que restaram na matriz C: ( ) ( ) − = −⋅−−⋅ −− ⋅−⋅ −− = 3 8 3 5 3 2 3 10 1 3 2 21 3 4 3 1 3 2 01 3 4 2 B . ( ) ( ) ( ) 10 3 8 3 5 3 2 3 10 11 13 = − ⋅=⋅−=∴ + BdetMdet . Assim, conclui-se que: ( ) 301033 =⋅== Mdet)Adet( , resultado que já foi obtido através dos métodos anteriores. 2.5 Propriedades dos Determinantes Seja A uma matriz quadrada ordem n. 1) Tem-se ( ) 0=Adet se: • A possui uma fila (linha ou coluna) nula; • A apresenta duas filas paralelas iguais; • A possui duas filas paralelas proporcionais (isto é, os elementos de uma fila são múltiplos dos elementos da outra fila) ou se uma das filas é uma soma algébrica de múltiplos das outras filas. 2) Se A é triangular (superior ou inferior) ou se A é diagonal, seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 3) Multiplicando-se uma fila de A por um escalar não nulo α , seu determinante ficará multiplicado por α . 4) Permutando-se duas filas paralelas de A, seu determinante ficará multiplicado por ( )1− . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 5) Se B é uma matriz obtida de A somando-se uma fila com um múltiplo de outra fila paralela, ou seja, se A e B são equivalentes, então ( ) ( )AdetBdet = . 6) ( ) ( )AdetAdet t = . 7) ( ) ( )AdetAdet 11 =− , desde que ( ) 0≠Adet . 8) ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . 9) Se = nnnn n n aaa aaa aaa A L LLLL L L 21 22221 11211 e, a partir de A, constrói-se a matriz + + + = nnnnn n n aaxa aaxa aaxa B L LLLL L L 21 222221 112111 , então: nnnn n n nnnn n n nnnnn n n aax aax aax aaa aaa aaa aaxa aaxa aaxa L LLLL L L L LLLL L L L LLLL L L 2 2222 1121 21 22221 11211 21 222221 112111 += + + + . Observação: é claro que esta propriedade é verdadeira se, ao invés de se somarem números reais à primeira coluna de A, como explicitado acima, somarem-se números reais a qualquer outra coluna de A. Exemplos: 1) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 tal que ( ) 0≠Adet . Calcular ( )Adet , sabendo que 022 =− AA . Se 0A2A2 =− , então AA 22 = . Das propriedades dos determinantes, vem: ( ) ( )AdetAdet 22 = . Um erro muito comum que se comete é afirmar que ( ) ( )AdetAdet 22 = . Isso não é verdade, pois a matriz A2 é obtida multiplicando-se todos os elementos de A por 2, ou seja, multiplicando-se cada uma das duas linhas de A por 2; assim pela propriedade 3 vista anteriormente, o determinante de A fica multiplicado por 22 ⋅ . Então: ( ) ( ) ( ) ( )⇒⋅⋅=⋅⇒= AdetAAdetAdetAdet 2222 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 0444 22 =−⇒=⇒=⋅⇒ AdetAdetAdetAdetAdetAdetAdet INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Tem-se uma equação do 2º grau, cuja “variável” é ( )Adet . Assim, vem: ( ) ( )( ) 04 =−AdetAdet , de onde se segue que ( ) 0=Adet ou ( ) 4=Adet . Uma vez que, por hipótese, sabe-se que ( ) 0≠Adet , conclui-se que ( ) 4=Adet . 2) Considerem-se as matrizes = 311 232 041 A e −− − = 101 222 211 B . (a) Mostrar que é verdadeira a propriedade 8, ou seja,mostrar que: ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . Calculam-se, inicialmente, os determinantes de A e de B: ( ) ( ) 9342112130012124331 311 232 041 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2112102122 202121121 101 222 211 =−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅− +⋅⋅+−⋅⋅−+−⋅⋅= −− − =Bdet . Por outro lado, efetuando-se a multiplicação de A por B, obtém-se: = −− − = 110 846 1079 101 222 211 311 232 041 AB ; assim, seu determinante é: ( ) ( ) ( ) 29181761890410 1016077149 110 846 1079 ⋅−=−=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅− +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ABdet Vê-se, assim, que ( ) ( ) 2918 ⋅−=−=⋅ BAdet , ou seja, ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet ⋅=⋅ . (b) Verifique se é verdadeira a afirmação: ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet +=+ . Já se sabe que ( ) 9−=Adet e que ( ) 2=Bdet . Portanto: ( ) ( ) 729 −=+−=+ BdetAdet (1) Calcula-se, então, a soma BA + , para depois calcular seu determinante: =+ 210 454 232 BA ; então: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru ( ) ( ) 4234214052214043252 210 454 232 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==+ BAdet Portanto, ( ) 4−=+ BAdet (2) De (1) e (2), conclui-se que não é verdadeira a igualdade dada, isto é, em geral: ( ) ( ) ( )BdetAdetBAdet +≠+ . 3) É possível mostrar que a área de um triângulo com vértices nos pontos ( )111 y,xP , ( )222 y,xP e ( )333 y,xP pode ser calculada através da expressão ( )AdetS ⋅= 2 1 , onde a matriz A é = 1 1 1 33 22 11 yx yx yx A . Usando essa expressão, calcular a área do triângulo com vértices nos pontos ( )111 ,P , ( )312 ,P e ( )023 ,P . Primeiramente, constrói-se a matriz com as coordenadas dos pontos, isto é: = 102 131 111 A ; seu determinante é: ( ) ( ) 2111101231211101131 102 131 111 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet . Assim, a área do triângulo é: ( ) 12 2 1 2 2 1 2 1 =⋅=−⋅=⋅= AdetS unidade de área. 2.6 Aplicação do Determinante no Cálculo da Matriz Inversa Sabendo-se, agora, como calcular o determinante de uma matriz quadrada, pode-se ver uma das formas de determinar a matriz inversa de A, se existir, isto é, se A for inversível. Para isso, utilizam-se as definições de menor complementar e de cofator, vistas anteriormente, além da matriz cofatora, definida a seguir. Matriz cofatora. Dada uma matriz quadrada A de ordem n ( )2≥n , chama-se matriz cofatora de A a matriz cujos elementos são os cofatores de cada elemento da matriz dada. Notação: ( )Acof . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Exemplo: dada a matriz − − = 042 310 201 A , os cofatores de seus elementos são: ( ) 12 04 31 1 1111 −= − ⋅−= +A ( ) 6 02 30 1 2112 =⋅−= +A ( ) 2 42 10 1 3113 = − ⋅−= +A ( ) 8 04 20 1 1221 −= − ⋅−= +A ( ) 4 02 21 1 2222 = − ⋅−= +A ( ) 4 42 01 1 3223 −=⋅−= +A ( ) 2 31 20 1 1331 −=− − ⋅−= +A ( ) 3 30 21 1 2332 −= − ⋅−= +A ( ) 1 10 01 1 3333 −=− ⋅−= +A . Assim, a matriz cofatora de A é: ( ) −−− −− − = 132 448 2612 Acof . Matriz adjunta. Dada uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 2), chama-se matriz adjunta de A a transposta da matriz cofatora da matriz dada. Notação: ( )AAdj . Assim: ( ) ( )( )tAcofAAdj = . Pode-se, agora, usar o resultado seguinte para calcular a inversa de uma matriz inversível A. Proposição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2), tal que ( ) 0≠Adet . Então, a matriz inversa de A é determinada por: ( ) ( )AAdjAdetA ⋅= − 11 . Observação: se ( ) 0=Adet , a matriz A não admite inversa, ou seja, é singular. Assim, uma matriz é singular se, e somente se, ( ) 0=Adet . Se ( ) 0≠Adet , A é dita não-singular. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Exemplo: Considere-se a matriz = 112 123 021 A . Determinar sua inversa através da matriz adjunta. Verificar-se-á que A é não-singular, ou seja, A admite inversa, calculando seu determinante. Tem-se: ( ) ( ) ( ) 1132111220130212121 12112 23123 21021 −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Adet Como ( ) 01 ≠−=Adet , A é não-singular e, portanto, admite inversa. Calculam-se, assim, os cofatores dos elementos de A, como segue: ( ) 1 11 12 1 1111 =⋅−= +A ( ) 1 12 13 1 2112 −=⋅−= +A ( ) 1 12 23 1 3113 −=⋅−= +A ( ) 2 11 02 1 1221 −=⋅−= +A ( ) 1 12 01 1 2222 =⋅−= +A ( ) 3 12 21 1 3223 =⋅−= +A ( ) 2 12 02 1 1331 =⋅−= +A ( ) 1 13 01 1 2332 −=⋅−= +A ( ) 4 23 21 1 3333 −=⋅−= +A . Assim, a matriz cofatora de A é: ( ) −− − −− = 412 312 111 Acof e, portanto, sua adjunta é: ( ) ( )( ) −− −− − == 431 111 221 tAcofAAdj . INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru Logo, a matriz inversa de A é: ( ) ( ) − − −− = −− −− − ⋅ − =⋅=− 431 111 221 431 111 221 1 111 AAdj Adet A . 3 Sistemas Lineares 3.1 Histórico Na matemática ocidental antiga, são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim, acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos deste procedimento encontram-se nos “Nove capítulos sobre a arte da Matemática”, um texto que data, provavelmente, do século 111 a.C. Definição: Chama-se equação linear a n variáveis toda equação do tipo: bxaxaxa nn =+++ L2211 , onde: • na,,a,a L21 são números reais, chamados coeficientes; • nx,,x,x L21 são as variáveis; • b é o termo independente. Observe que em uma equação linear as variáveis têm expoente 1 e não aparecem termos nos quais haja produto de duas ou mais variáveis entre si. Exemplos: 1) A equação bxaxa =+ 2211 pode ser escrita na forma 0=++ CByAx , onde as incógnitas 1x e 2x foram chamadas, respectivamente, de x e y e os coeficientes 1a e 2a , representados por A e B. O termo independente, neste caso, é C, o qual pode ser escrito no primeiro ou no segundo membro da equação. Esta representa, no plano Oxy, uma reta e é chamada equação geral da reta. 2) A equação linear 0=+++ DCzByAx , na qual os coeficientes A, B e C não se anulam ao mesmo tempo, tem como representação geométrica, no espaço tridimensional, um plano. Por exemplo, a equação 832 =+− zyx é linear, pois apresenta, em cada termo, apenas uma incógnita com expoente igual a 1. 3) A equação 0432 =−− xx não é linear, pois apresenta incógnita com expoente maior do que 1 (no caso, expoente 2). INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 4) A equação 5323 =−+ yxyx não é linear, pois apresenta o termo xy2 , que depende doproduto de duas incógnitas. 5) A equação 15 3 =+ y x não é linear, pois o expoente da variável x é -1. Definição: Dada a equação linear bxaxaxa nn =+++ L2211 , chama-se solução desta equação a sequência de n números reais (ou seja, uma n-upla) n,,, ααα L21 , tal que: baaa nn =+++ ααα L2211 é uma identidade verdadeira. Exemplos: 1) A equação geral da reta, dada por 0=++ CByAx também pode ser escrita na forma reduzida baxy += , onde B A a −= e B C b −= , desde que 0≠B . Assim, dada a equação 0532 =−+ yx , pode-se escrever 3 5 3 2 +−= xy . Quando se faz 0=y , obtém-se a equação linear 0 3 5 3 2 =+− x , cuja solução é um único valor de x: 2 5 3 5 3 2 0 3 5 3 2 =⇒−=−⇒=+− xxx . Logo, o par ordenado 0 2 5 , é uma solução da equação linear dada. 2) Dada a equação linear 832 =+− zyx , a terna ( ) ( )601 ,,z,y,x = , ou seja, 1=x , 0=y e 6=z , é solução da equação pois, substituindo-se esses valores na equação tem-se: 860312 =+⋅−⋅ , ou seja, 88 = , que uma identidade verdadeira. Já a terna ( )122 ,, não é solução desta equação, pois: 81812322 =−⇒=+⋅−⋅ , que é falso. 3) Dada a equação linear 1 2 1 2 =+− zyx , verifica-se que, para 2=x , 1=y e 2=z , tem-se: 12 2 1 122 =⋅+⋅− , ou seja, a terna de valores ( )212 ,, satisfaz a equação e, portanto, é uma solução da equação dada. Definição: Chama-se sistema linear a um conjunto formado por m equações lineares a n incógnitas nx,,x,x L21 , consideradas simultaneamente, como indicado: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn mxn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa :S L M L L 2211 22222121 11212111 . Os elementos ija , com { }m,,,i L21∈ e { }n,,,j L21∈ são os coeficientes das incógnitas e mb,,b,b L21 são os termos independentes das equações do sistema; nm × indica a ordem do sistema. Observação: pode-se, de forma mais simplificada, denotar-se um sistema linear por ( )S . Exemplo: são sistemas lineares os conjuntos de equações lineares: ( ) =−−+− =+−+ −=−+− 3 1 415 38 2 1 4 12532 4321 4321 4321 xxx,x xxxx xxxx :S (sistema de 3 equações a 4 incógnitas) ( ) −=− =+ 832 103 21 21 xx xx :S ou ( ) −=− =+ 832 103 yx yx :S (sistema de 2 equações a 2 incógnitas) Definição: Chama-se solução do sistema linear ( )S uma n-upla ( )n,,, ααα L21 de números reais que satisfaz, simultaneamente, as m equações do sistema ( )S . Então, resolver o sistema ( )S significa encontrar a n-upla ( )n,,, ααα L21 , cujos elementos satisfazem simultaneamente todas as suas equações. Exemplo: Considere o sistema linear: =+−− =++ −=−+ 2 1132 22 zyx zyx zyx . A terna ( )301 ,, é solução deste sistema linear, pois: =+−− =⋅++⋅ −=−⋅+ 2301 1133012 23021 , ou seja, a terna ( )301 ,, satisfaz todas as equações. Lembrando que 22 −=−+ zyx , 1132 =++ zyx e 22 =+−− zyx são equações de planos do 3ℜ , conclui-se que ( )301 ,, é o único ponto em comum desses planos, isto é, eles se interceptam nesse ponto. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 3.2 Forma Matricial de um Sistema Linear O sistema linear =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn mxn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa :S L M L L 2211 22222121 11212111 pode ser escrito na forma matricial, considerando-se: uma matriz ( ) mxnij aA = , com os coeficientes das equações do sistema; uma matriz coluna ( ) 1nxixX = , contendo as incógnitas do sistema; uma matriz coluna ( ) 1mxj bB = , contendo os termos independentes das equações. Assim, o sistema pode ser escrito na forma BXA =⋅ . Observe-se que esta equação matricial está bem definida, pois o produto das matrizes indicado no primeiro membro é possível, já que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de X e o resultado do produto é a matriz B, de dimensão 1×m . Explicitando-se essa equação, vem: = ⋅ mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa MM L MMMM L L 2 1 2 1 21 22221 11211 . 3.3 Classificação dos Sistemas Lineares O sistema linear ( )S pode ser impossível ou incompatível, quando não tem solução. Se ( )S admite pelo menos uma solução, ele é dito possível ou compatível. Neste caso, se a solução é única, ele é possível determinado ou compatível determinado. Se tem mais de uma solução, é chamado possível indeterminado ou compatível indeterminado. O esquema seguinte resume a classificação do sistema ( )S : ⇒ ⇒ )soluçãoumademais( )únicasolução( )soluçãotemquando( )soluçãotemnãoquando( adominerdetin adominerdetpossíveloucompatível impossívelouelincompatív linearSistema Para facilitar a classificação dos sistemas, é comum utilizar-se as siglas: • sistema impossível: SI; • sistema possível determinado: SPD; • sistema possível indeterminado: SPI. O sistema linear ( )S é chamado homogêneo quando todas as equações têm termo independente igual a zero. Exemplo: o sistema seguinte é homogêneo: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru =−+ =− =+− 07 2 1 3 054 0532 zyx yx zyx . Todo sistema homogêneo é compatível, pois admite, pelo menos, a n-upla ( )0,,0,0 L como solução, chamada solução trivial. Se esta solução for única, o sistema é compatível determinado. Se, além da solução trivial, admitir outra(s), é compatível indeterminado. Dois sistemas lineares ( )1S e ( )2S são equivalentes se, e somente se, toda solução de ( )1S é também solução de ( )2S e, reciprocamente, toda solução de ( )2S é também solução de ( )1S . Quando, em um dado sistema ( )S , se efetuam as seguintes transformações elementares: (a) permuta de duas (ou mais) equações entre si; (b) multiplicação de todos os termos de uma equação por um número real não nulo; (c) substituição de uma equação por outra, obtida pela soma algébrica desta equação com qualquer outra equação; (d) substituição de uma equação por outra, obtida pela soma algébrica desta equação com um múltiplo de qualquer outra equação, obtém-se um novo sistema ( )S ′ equivalente a ( )S , ou seja, ambos têm a(s) mesma(s) solução(ões). Observações: 1) Observe que essas transformações elementares são análogas às operações elementares que foram definidas para as matrizes. Viu-se que quando uma matriz B é obtida de uma matriz A através de operações elementares com suas filas (linhas ou colunas), as matrizes A e B são equivalentes. Uma vez que os sistemas lineares podem ser escritos na forma matricial, é natural que os sistemas ( )S e ( )S ′ sejam equivalentes. 2) Se ao se aplicar qualquer método de resolução de um sistema linear, aparecer uma (ou mais) equação do tipo 0000 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx L , esta(s) equação(ões) pode(m) ser eliminada(s) do sistema, pois é(são) verdadeira(s) para quaisquer valores de nx,,x,x L21 . Caso apareça uma (ou mais) equação(ões) do tipo α=⋅++⋅+⋅ nxxx 000 21 L , com 0≠α , que é(são) falsa(s)
Compartilhar