Prova Cálculo 2ª unidade Prof. Arlane GABARITO

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Universidade Federal do Maranha˜o
Coordenac¸a˜o de Cieˆncia & Tecnologia
Gabarito da Segunda Avaliac¸a˜o - Turma 01
25 · 05 · 2015
Disciplina : Ca´lculo Integral Professor: Arlane Manoel Silva Vieira
Aluno(a): Matr´ıcula:
Instruc¸o˜es:
• Na˜o sera´ permitido uso do telefone celular e/ou similares;
• As respostas devera˜o ser fundamentadas e primar pela clareza, coesa˜o, coereˆncia.
Esses elementos sera˜o considerados na atribuic¸a˜o da pontuac¸a˜o da questa˜o.
• A interpretac¸a˜o das questo˜es, bem como as instruc¸o˜es, faz parte da prova.
[1] (2 pontos) Quantos metros de arame sa˜o necessa´rios para construir um arco AB, de forma
parabo´lica, sendo A e B sime´tricos com relac¸a˜o ao eixo de simetria da para´bola e com as
seguintes dimenso˜es: 2m a distaˆncia de A ate´ B e 1m do ve´rtice ao segmento AB? Fac¸a
um esboc¸o detalhado da para´bola.
Soluc¸a˜o. Na figura abaixo apresentamos um esboc¸o detalhado da para´bola, em um sis-
tema de coordenadas conveniente.
Ainda da figura, concluimos que a para´bola em questa˜o e´ o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x2,
com −1 ≤ x ≤ 1. Com isso, o comprimento do arco AB e´ dado por
L =
∫ 1
−1
√
1 + f ′(x)2dx =
∫ 1
−1
√
1 + 4x2dx =
√
5 + ln(2 +
√
5) ≈ 2, 96 m
[2] (2 pontos) Considere a func¸a˜o g definida por g(x) =

1− cosx
x
, x 6= 0,
0, x = 0.
Defina a func¸a˜o
f por f(x) =
∫ x
0
g(t)dt, x ≥ 0. Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o. Como lim
x→0
1− cosx
x
= 0 = g(0) segue-se que g e´ cont´ınua, e consequentemente,
o Teorema Fundamental do Ca´lculo II nos diz que f e´ diferencia´vel e f ′(x) = g(x) para
todo x > 0. Portanto, os pontos cr´ıticos de f sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o 1 − cosx = 0,
com x > 0, e o ponto x = 0. Logo, esses pontos sa˜o da forma 2kpi, para todo k inteiro
na˜o-negativo.
[3] (2 pontos) Verifique se a integral impro´pria
∫ pi/2
0
1
sinx
dx e´ divergente.
Soluc¸a˜o. Para todo x positivo, temos 0 < sinx < x, e portanto,
0 <
1
x
<
1
sinx
.
Como
∫ pi/2
0
dx
x
e´ divergente, segue-se do Crite´rio da Comparac¸a˜o que
∫ pi/2
0
1
sinx
dx tambe´m
diverge.
[4] (2 pontos) Usando Transformadas de Laplace, determine a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
y′′ + 4y = sinx, que satisfaz as seguintes condic¸o˜es iniciais y(0) = y′(0) = 1.
Soluc¸a˜o. Suponha que Y (s) = L{y}. Como
L{y′′ + 4y} = L{y′′}+ L{y} = s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + 4Y (s) = (s2 + 4)Y (s)− s− 1
e
L{sinx} = 1
s2 + 1
,
para s > 0, temos
Y (s) =
s3 + s2 + s+ 2
(s2 + 4)(s2 + 1)
=
1
3
· 1
s2 + 1
+
2
3
· 1
s2 + 4
+
s
s2 + 4
2
Por outro lado, sabemos que
1
s2 + 1
= L{sinx}, 1
s2 + 4
=
1
2
L{sin 2x} e s
s2 + 4
= L{cos 2x}.
Com isso,
Y (s) = L
{
1
3
sinx+
2
3
· sin 2x
2
+ cos 2x
}
,
e portanto,
y =
1
3
sinx+
1
3
sin 2x+ cos 2x.
[5] Considere a curva (na figura abaixo) de equac¸a˜o cartesiana x4 + y4 = x2 + y2 .
(a) (1 ponto) Encontre a equac¸a˜o polar para a curva dada;
Soluc¸a˜o. Substituindo x = r cos θ e y = r sin θ na equac¸a˜o cartesiana da curva,
obtemos sua equac¸a˜o polar:
r =
1√
cos4 θ + sin4 θ
, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(b) (1 ponto) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pela curva e os eixos cartesianos.
Soluc¸a˜o. Da figura, observamos que a curva e´ sime´trica em relac¸a˜o aos eixos coor-
denados, e portanto, a a´rea A da regia˜o delimitada por esta curva e´ dada por
A = 4 · 1
2
∫ pi/2
0
r2dθ = 2
∫ pi/2
0
dθ
cos4 θ + sin4 θ
= 2
∫ +∞
0
1 + u2
1 + u4
du = pi
√
2 (u. a.)
3