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Cálculo Diferencial Prof. Cassiano Aula 4 – Função Exponencial e Logarítmica Nesta aula estudaremos as propriedades das Funções Exponenciais e das Funções Logarítmicas. Este estudo vai ser dividido da seguinte maneira: Apresentação e determinação do número e. Gráfico das Funções Exponenciais e Logarítmicas Determinação do Domínio e da Imagem das funções Cálculo dos Limites das funções quando x se aproxima de zero e quando x vai para o infinito Apresentação e determinação do número e • O número e é determinado pelo calculo do seguinte limite: • e = lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 • Use sua calculadora para expressar o valor do número e • e = __________ • Feito isso efetue as contas abaixo • De a sua resposta usando todas as casas da calculadora para podermos concluir de forma correta como é formado o número e • para x = 10 temos 1 + 1 𝑥 𝑥 = ____________________________ • para x = 100 temos 1 + 1 𝑥 𝑥 = ____________________________ • para x = 1000 temos 1 + 1 𝑥 𝑥 = ____________________________ • para x = 10000 temos 1 + 1 𝑥 𝑥 = ____________________________ • para x = 100000 temos 1 + 1 𝑥 𝑥 = ____________________________ função 𝑓 𝑥 = ex • Esta é a função exponencial e tem fundamental importância no estudo de varias áreas do conhecimento e podemos pegar como exemplo o estudo do crescimento populacional, a propagação de bactérias em uma cultura, a propagação de um vírus em um corpo hospedeiro entre outros. • Vamos ver abaixo o gráfico da função exponencial • Analisando o gráfico da função exponencial responda o que se pede. • 𝑎) 𝐼𝑚𝑓 = __________ 𝑏) 𝐷𝑓 = __________ • 𝑐) lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = __________ 𝑑) lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = __________ • Agora usando o conhecimento que você acabou de adquirir construa os gráficos das funções abaixo e determine 𝑎) 𝐼𝑚𝑓, 𝑏) 𝐷𝑓, 𝑐) lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 , 𝑑) lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 • 𝐼) 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 + 1 𝐼𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 2 • Verifique se cada uma destas funções tem raiz e caso ela tenha raiz como isso pode ser determinado? Função f x = loga x e f(x) = ln(x) • 𝑦 = log𝑎 𝑥 ⟺ 𝑎 𝑦= 𝑥 𝑎 ≠ 1 e 𝑥 > 0 • A função ln 𝑥 é chamada de logaritmo natural e nada mais é que: • ln x = loge x • Vamos ver abaixo o gráfico da função f x = loga x Propriedades do logaritmo • I) log(𝑎. 𝑏) = log 𝑎 + log 𝑏 • II) log 𝑎 𝑏 = log𝑎 − log 𝑏 • III) log 𝑎𝑛 = 𝑛. log 𝑎 • IV) mudança de base • log𝑐 𝑎 = log𝑛 𝑎 log𝑛 𝑐 onde n é uma base qualquer • Analisando o gráfico da função logarítmica responda o que se pede. • 𝑎) 𝐼𝑚𝑓 = __________ 𝑏) 𝐷𝑓 = __________ • 𝑐) lim 𝑥→0+ 𝑓 𝑥 = __________ 𝑑) lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 = __________ • Agora usando o conhecimento que você acabou de adquirir construa os gráficos das funções abaixo e determine 𝑎) 𝐼𝑚𝑓, 𝑏) 𝐷𝑓, 𝑐) lim 𝑥→0+ 𝑓 𝑥 , 𝑑) lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 • 𝐼) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥) + 1 𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥) + 2 • Verifique se cada uma destas funções tem raiz e caso ela tenha raiz como isso pode ser determinado? • Agora você já deve ser capaz de responder esta pergunta mas vamos analisar esta questão e não se esqueça de determinar a raiz da função 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 2 pois não tínhamos ferramentas para determinar na situação onde foi pro posto
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