AD1-MD2-2016_gabarito (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 20/03/2016
Questa˜o 1 [2,0pts] Se f(x) = x−2
x+2
e g(x) = 3x+1
2x−1 enta˜o encontre o valor de x tal que (f ◦g)(x) = 1.
Soluc¸a˜o: Vamos calcular a composic¸a˜o
(f ◦ g)(x) =
3x+1
2x−1 − 2
3x+1
2x−1 + 2
=
(
3x+ 1− 4x+ 2
2x− 1
)(
2x− 1
3x+ 1 + 4x− 2
)
=
3− x
7x− 1 .
Resolvendo (f ◦ g)(x) = 1 obtemos
3− x
7x− 1 = 1⇒ 7x− 1 = 3− x⇒ 8x = 4⇒ x = 1/2.
Questa˜o 2 [2,0pts] Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = 3x− 5 e
g(x) =

−2x+ 3 se x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2
. Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: Antes de darmos a expressa˜o observe que 1 < f(x) < 2⇔⇒ 2 < x < 7/3. Da´ı temos
g(f(x)) =

−2f(x) + 3 se f(x) ≤ 2
1 se 2 < f(x) < 7/3
2f(x)− 3 se f(x) ≥ 7/3
=

−6x+ 13 se x ≤ 2
1 se 2 < x < 7/3
6x− 13 se x ≥ 7/3
Questa˜o 3 [1,0pt] Se h(x) = 2x−3
1−2x . fac¸a o estudo da variac¸a˜o do sinal de h(x) e encontre a expressa˜o
de h−1.
Soluc¸a˜o: Para calcular o sinal veja que
Figura 1: Estudo do sinal de h(x)
Ale´m da ana´lise do sinal verificamos que o dom´ınio de h sa˜o x ∈ R−{1
2
}
. E h(x) ≥ 0 se 1
2
< x ≤ 3
2
.
No restantes dos valores de x, h(x) < 0.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Procedimento de inversa˜o:
2x− 3
1− 2x = y ⇒ 2x− 3 = y − 2xy ⇒ (2y + 2)x = y + 3⇒ x =
y + 3
2x+ 2
.
Questa˜o 4 [1,0pt] Determine o valor de x que satisfaz a equac¸a˜o log3(x− 7) + log3(x− 1) = 3.
Soluc¸a˜o: Queremos resolver log3(x−7)+log3(x−1) = 3. Para que exista o logaritmo, precisamos
que x > 7 e x > 1, sendo assim devemos supor que x > 7. Lembrando que
log3(x− 7) + log3(x− 1) = log3(x2 − 8x+ 7).
log3(x− 7) + log3(x− 1) = log3(x2 − 8x+ 7) = 3⇔ x2 − 8x+ 7 = 33 ⇔ (x− 10)(x+ 2) = 0.
Como precisamos que x > 7, segue que a u´nica soluc¸a˜o e´ x = 10.
Questa˜o 5 [1,0pt] Se g(x) = 1+e
x
1−ex . Obtenha a fo´rmula para a func¸a˜o inversa g
−1(x) e encontre o
dom´ınio de g−1(x).
Soluc¸a˜o: Fazendo o procedimento para inverter obtemos
1 + ex
1− ex = y ⇒ y − ye
x = 1 + ex ⇒ ex = y − 1
y + 1
⇒ x = ln
(
y − 1
y + 1
)
.
Logo, g−1(x) = ln
(
x−1
x+1
)
. Vamos determinar o seu dom´ınio.
Figura 2: Estudo do sinal de x−1
x+1
Portanto, o dom´ınio de g−1(x) sa˜o todos os valores de x < −1 ou x > 1.
Questa˜o 6 [1,5pt] Calcule o lim
t→0
√
9− t2 − 3
2t2
.
Soluc¸a˜o: Calculando o valor f(t) =
√
9−t2−3
2t2
para t = 0 temos uma indeterminac¸a˜o, portanto,
lim
t→0
√
9− t2 − 3
2t2
= lim
t→0
√
9− t2 − 3
2t2
(√
9− t2 + 3√
9− t2 + 3
)
= lim
t→0
9− t2 − 9
2t2(
√
9− t2 + 3)
= lim
t→0
−t2
2t2(
√
9− t2 + 3) = −
1
2× 6 = −
1
12
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3
Questa˜o 7 [1,5pt] Calcule o lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2 .
Soluc¸a˜o: Observe que se g(x) = x
2+x−2
x2−3x+2 e avaliarmos em x = 1 teremos uma indeterminac¸a˜o
0/0. Por outro lado, se dividirmos x2 + x− 2 por x− 1 obtemos x+ 2 e zero de resto e, tambe´m,
se dividirmos x2 − 3x+ 2 por x− 1 obtemos x− 2 e zero de resto.
lim
x→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2 = limx→1
(x− 1)(x+ 2)
(x− 1)(x− 2) = limx→1
x+ 2
x− 2 =
3
−1 = −3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ