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UTFPR - Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Pato Branco
Engenharias
Lista de Exerc´ıcios
Matizes e sistemas de equac¸o˜es lineares de primeira ordem
1-Escreva os sistemas abaixo em forma matricial.
a)

dx
dt
= 3x− 5y
dy
dt
= 4x+ 8y
b)

dx
dt
= 4x− 7y
dy
dt
= 5x
c)

dx
dt
= −3x+ 4y − 9z
dy
dt
= 6x− y
dz
dt
= 10x+ 4y + 3z
d)

dx
dt
= x− y
dy
dt
= x+ 2z
dz
dt
= −x+ z
e)

dx
dt
= x− y + z + t− 1
dy
dt
= 2x+ y − z − 3t2
dz
dt
= x+ y + z + t2 − t+ 2
f)

dx
dt
= dx
dt
= −3x+ 4y + e−tsen(2t)
dy
dt
= dy
dt
= 5x+ 9y + 4e−tcos(2t)
Gilson Tumelero 2
2- Nos problemas abaixo escreva o sistema dado sem utilizar matrizes.
a) X ′ =
(
4 2
−1 3
)
X +
(
1
−1
)
et
b) X ′ =
 7 5 −94 1 1
0 −2 3
X +
 02
1
 e−5t −
 80
3
 e−2t
c) ddt
 xy
z
 =
 1 −1 23 −4 1
−2 5 6
 xy
z
+
 12
2
 e−t −
 3−1
1
 t
d) ddt
(
x
y
)
=
(
3 −7
1 1
)(
x
y
)
+
(
4
8
)
sen(t) +
(
t− 4
2t + 1
)
e4t
3-Verifique se o vetor X e´ uma soluc¸a˜o do sistema dado.
a)

dx
dt
= 3x− 4y
dy
dt
= 4x− 7y
X =
(
1
2
)
e−5t
b)

dx
dt
= −2x+ 5y
dy
dt
= −2x+ 4y
X =
(
5 cos t
3 cos t− sin t
)
et
c) X ′ =
( −1 14
1 −1
)
X; X =
( −1
2
)
e
−3t
2
d) X ′ =
(
2 1
−1 0
)
X; X =
(
1
3
)
et +
(
4
−4
)
tet
e) dXdt =
 1 2 16 −1 0
−1 −2 −1
X; X =
 16
−13

f) X ′ =
 1 0 11 1 0
−2 0 −1
X; X =

sin t
−12 sin t− 12 cos t
− sin t + cos t

4- Os vetores dados sa˜o soluc¸o˜es de um sistema X ′ = AX. Determine se os vetores formam um
conjunto fundamental em (−∞,∞).
a) X1 =
(
1
1
)
e−2t, X2 =
(
1
−1
)
e−6t
b) X1 =
(
1
−1
)
et, X2 =
(
2
6
)
et +
(
8
−8
)
tet
Gilson Tumelero 3
c) X1 =
 1−2
4
+ t
 12
2
 , X2 =
 1−2
4
 , X3 =
 3−6
12
+ t
 24
4

d) X1 =
 16
−13
 , X2 =
 1−2
−1
 e−4t, X3 =
 23
−2
 e3t
5-Prove que a soluc¸a˜o geral de
X ′ =
 0 6 01 0 1
1 1 0
X
no intervalo (−∞,∞) e´
X = c1
 6−1
−5
 e−t + c2
 −31
1
 e−2t + c3
 21
1
 e−3t
6- Os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es, em (−∞,∞), para o
sistema dado. Forme uma matriz fundamental φ(t) e calcule φ−1.
a) X ′ =
(
4 1
6 5
)
X; X1 =
(
1
−2
)
e2t, X2 =
(
1
3
)
e7t
b) X ′ =
(
2 3
3 2
)
X; X1 =
( −1
1
)
e−t, X2 =
(
1
1
)
e5t
c) X ′ =
(
4 1
−9 −2
)
X; X1 =
( −1
3
)
et, X2 =
( −1
3
)
tet +
(
0
−1
)
et
d) X ′ =
(
3 −2
5 −3
)
X; X1 =
(
2 cos t
3 cos t + sin t
)
, X2 =
( −2 sin t
cos t− 3 sin t
)
7- Ache a matriz fundamental Ψ(t) que satisfaz Ψ(0) = I para o sistema dado no problema 6a.
8-Ache a matriz fundamental Ψ(t) que satisfaz Ψ(0) = I para o sistema dado no problema 6b.
9-Ache a matriz fundamental Ψ(t) que satisfaz Ψ(0) = I para o sistema dado no problema 6c.