Lista 4 SubespacosGeradores

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Quarta lista de exerc´ıcios - A´lgebra Linear
28/03/2016
Prof. Fa´bio A. Matos
Assunto: Subespac¸os Vetoriais e Conjuntos Geradores.
1. Considere o seguinte sistema linear
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
com m equac¸o˜es e n inco´gnitas com aij ∈ R para todos i = 1, · · · ,m e j = 1, · · · , n.
Mostre que S ⊆ Rn, o conjunto de todas as soluc¸o˜es do sistema acima, e´ um subespac¸o
vetorial de Rn com as operac¸o˜es usuais.
2. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos U abaixo sa˜o subespac¸os de R3, com as
operac¸o˜es usuais.
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3; x = 0}.
(b) U = {(x, y, z) ∈ R3; y ∈ Z}.
(c) U = {(x, y, z) ∈ R3; z e´ irracional}.
(d) U = {(x, y, z) ∈ R3; x− 2y = 0}.
(e) U = {(x, y, z) ∈ R3; x ≤ y ≤ z}.
3. Considere V um espac¸o vetorial e S um subconjunto na˜o vazio de V. Mostre que a inter-
secc¸a˜o de todos os subespac¸os vetoriais de V que conteˆm S e´ um subespac¸o vetorial de
V. E ale´m disso, este e´ o menor subespac¸o de V que conteˆm S.
4. Considere U = {(x, y, z) ∈ R3; x = z}, V = {(x, y, z) ∈ R3; x = y = 0} e W =
{(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0}.
(a) Verifique que U, V e W sa˜o subespac¸os de R3.
(b) Mostre que U + V = U + W = V + W = R3.
(c) Em algum dos casos U + V, U + W ou V + W a soma e´ direta?
5. Encontre um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespac¸os de R3.
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3; x = 0}.
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3; x + z = 0 e x− 2y = 0}.
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3; x + z = 0 e x + 2y − 3z = 0}.
(d) U ∩ V.
(e) V + W.
6. Sejam u e v dois vetores na˜o nulos de R2. Se u 6= t · v, qualquer que seja t ∈ R, mostre
que R2 = U ⊕ V, onde U = [{u}] e V = [{v}].
7. Mostre que os conjuntos A = {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e B = {(−1,−1, 3), (3, 3,−4)} geram
o mesmo subespac¸o vetorial de R3, isto e´, [A] = [B].
Bons estudos!!!