Prova de Álgebra Linear - Matrizes e Determinantes

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A´lgebra Linear - 2012.2
Prof. Israel Galva˜o
1a PROVA
ALUNO:
DATA: 13/09/2012
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERA˜O
DESCONSIDERADAS.
1. (2,0 pontos) Classifique as afirmac¸o˜es em VERDADEIRO OU FALSO,
e em cada caso deˆ um argumento que justifique sua resposta.
1.1. Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o o produto AB tambe´m e´
uma matriz sime´trica;
1.2. Se A =
[
1 1
1 1
]
e B2×2 satisfaz AB = BA = B, enta˜o B e´ a matriz
nula;
1.3. Se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem, enta˜o
det(A+B) = detA+ detB;
1.4. Existe sistema linear homogeˆneo imposs´ıvel.
2. (2,0 pontos) Mostre que para todo a ∈ R, a matriz A =
 1 1 a0 1 1
0 0 1
 e´
invert´ıvel. Encontre A−1.
3. (2,0 pontos) Sendo λ ∈ R, considere o sistema linear x + y + z + 3w = −12x + y + λz + 5w = −2
y + w = 2
.
3.1. Mostre que este sistema possui soluc¸a˜o se, e somente se, λ 6= 2.
3.2. Supondo λ 6= 2, determine o conjunto-soluc¸a˜o do sistema.
4. (2,0 pontos) Calcule os determinantes:
4.1.
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 3
2 −1 0 1
3 1 2 3
2 0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣; 4.2.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −27 −23 3 −34 9 0
1 18 1 23 2 −6 27
−5 −33 2 12 1 11 2
7 −12 1 12 −1 4 −4
9 3 −44 −12 −1 −1 0
2 −6 2 0 0 2 17
−1 3 1 99 0 −1 −88
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
1
5. (1,0 ponto) Sejam A, B e P matrizes quadradas de mesma ordem onde P
e´ invert´ıvel. Mostre que se A = PBP−1, enta˜o detA = detB.
6. (1,0 ponto) Prove que se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o detA 6= 0.
Comenta´rio: A prova foi elaborada na˜o visando constatar sua capacidade de
realizar ca´lculos simples e amontoados que chegam a ser inconstrutivos
para os objetivos do curso, mas sim para explorar a capacidade do aluno
em lidar com os conceitos apresentados sobre Matrizes, Sistemas lineares
e Determinantes e o grande sentido que essas teorias teˆm. Enta˜o, antes
de fazer algo, reflita sobre! Vai dar tudo certo!
BOA PROVA!
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