Prova 4

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A´lgebra Linear - 2012.2
Prof. Israel Galva˜o
4a PROVA
ALUNO:
DATA: / /
JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS!
1. (3,0 pontos) Calcule os autovalores e autovetores corresppndentes a cada
operador linear dada.
1.1.
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ T (x, y) = (x+ y, 2x+ y);
1.2.
T : M(2, 2) −→ M(2, 2)
A 7−→ T (A) = At;
1.3.
T : R4 −→ R4
(x, y, z, w) 7−→ T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w).
2. (1,5 pontos) Determine o polinoˆmio minimal de cada um dos operadores
apresentados na primeira questa˜o.
3. (2,0 pontos) Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos e diferentes de zero do
operador linear T : R2 −→ R2. Prove que
3.1. Os autovetores v1 e v2 correspndentes sa˜o L.I. (DICA: Supondo que
eles sejam L.D., o que acontece?);
3.2. T (v1) e T (v2) sa˜o L.I. (DICA: Use 3.1)
4. (2,0 pontos) Seja T : V −→ V um operador linear. Mostre que
4.1. Se λ = 0 e´ autovalor de T, enta˜o T na˜o pode ser injetora;
4.2. Se T na˜o for injetora, enta˜o λ = 0 e´ autovalor de T .
5. (1,5 pontos) Seja A =
[
0 2
1 1
]
. Ache os autovalores de A e de A−1. O
que se observa em seus autovetores correspondentes.
VAI DAR TUDO CERTO!
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