08 - Ângulo de torção

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•Cálculo de ângulo de torção
•Eixos maciços
•Eixos de paredes finas
1. Apresentação
2. Conceitos / tensões normal e cisalhante
3. Tensão admissível / fator de segurança
4. Propriedades mecânicas dos materiais
5. Tensão axial (tração)
6. Tensão axial (compressão)
7. Torção (potência e torque)
8. Ângulo de torção
9. Revisão para AP1
10. AP1
11. Flexão
12. Momento Fletor
13. Cisalhamento
14. Tensão cisalhante
15. Diagramas de esforço e momento
16. Equação diferencial da linha elástica
17. Equação diferencial da linha elástica
18. Revisão para AP2
19. AP2
20. Substitutiva AP1 e AP2
21. AF
Ângulo de torção
• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo
• A convenção de sinal é determinada pela regra 
da mão direita.
( )
( )∫=
L
GxJ
dxxT
0
φ
Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JG
TL
=φ
O cálculo do ângulo de torção se dá da seguinte forma:
Exercício 1
Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o 
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos 
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 
20 mm.
Exercício 1
Solução:
Do diagrama de corpo livre,
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xDT
F
O ângulo de torção em C é
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad 0269,01080001,02 5,15,22 94 +=+== piφ JG
TL DC
C
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas,
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 ⇒=Bφ
Exercício 1
Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad 0716,01080010,02
245
94/ +=
+
==
pi
φ
JG
LT ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA φφφ
Eixos maciços não circulares
• A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção 
transversal não circular são:
Exercício 2
O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um 
triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à
extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o 
ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. Qual é a 
intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal 
circular feito com a mesma quantidade de material? Gal = 26 GPa.
Solução:
Por inspeção, o torque interno resultante em qualquer seção 
transversal ao longo da linha central do eixo também é T.
( )( )
( )[ ] (Resposta) Nm 12,24102640
102,146
,020 ;46
Nm 2,779.1
40
2056 ;20
34
3
al
4adm
33adm
=⇒==
=⇒==
TT
Ga
T
TT
a
T
σ
τ
Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
Exercício 2
( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )[ ] (Resposta) Nm 10,33102685,142/
102,102,0 ;
Nm 06,288
85,142/
85,1456 ;
34
3
al
adm
4adm
=⇒==
=⇒==
TT
JG
TL
TT
J
Tc
pi
φ
pi
τ
Para seção transversal circular, temos
( )( ) mm 85,1460sen4040
2
1
 ; 2triângulocírculo =⇒°== ccAA pi
As limitações de tensão e ângulo de torção exigem
Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado.
Exercício 2
• Fluxo de cisalhamento q é produto entre a espessura do tubo e a tensão de 
cisalhamento longitudinal média. 
• A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
• Para o ângulo de torção,
tq médτ=
mtA
T
2méd
=τ
τméd = tensão de cisalhamento média
T = torque interno resultante na seção 
transversal
t = espessura do tubo
Am = área média contida no contorno 
da linha central
∫= t
ds
GA
TL
m
24
φ
Eixos de paredes finas
Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de 
cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. 
Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
Exercício 3
Solução:
Por inspeção, o torque interno é T = 85 Nm.
( )
( )( ) (Resposta) N/mm 7,1500.2102
1085
2
2
3
méd ===
mtA
T
τ
Para tensão de cisalhamento média,
22 mm 500.250 ==mAA área sombreada é .
Exercício 3
( )( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ∫∫∫ −−=== ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2 mm 10196,0101026500.24
105,11085
4
φ
Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. 
Assim,
( ) ( )[ ] ( ) (Resposta) rad 1092,350410196,0 34 −− ==φ
Exercício 3