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•Cálculo de ângulo de torção •Eixos maciços •Eixos de paredes finas 1. Apresentação 2. Conceitos / tensões normal e cisalhante 3. Tensão admissível / fator de segurança 4. Propriedades mecânicas dos materiais 5. Tensão axial (tração) 6. Tensão axial (compressão) 7. Torção (potência e torque) 8. Ângulo de torção 9. Revisão para AP1 10. AP1 11. Flexão 12. Momento Fletor 13. Cisalhamento 14. Tensão cisalhante 15. Diagramas de esforço e momento 16. Equação diferencial da linha elástica 17. Equação diferencial da linha elástica 18. Revisão para AP2 19. AP2 20. Substitutiva AP1 e AP2 21. AF Ângulo de torção • Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos • Considerando que o material é homogêneo, G é constante, logo • A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita. ( ) ( )∫= L GxJ dxxT 0 φ Φ = ângulo de torção T(x) = torque interno J(x) = momento polar de inércia do eixo G = módulo de elasticidade ao cisalhamento JG TL =φ O cálculo do ângulo de torção se dá da seguinte forma: Exercício 1 Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm. Exercício 1 Solução: Do diagrama de corpo livre, ( ) ( ) Nm 5,22075,0300 N 30015,0/45 == == xDT F O ângulo de torção em C é ( )( ) ( )( ) ( )[ ] rad 0269,01080001,02 5,15,22 94 +=+== piφ JG TL DC C Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas, ( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 ⇒=Bφ Exercício 1 Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB causada pelo torque de 45 Nm, ( )( ) ( )( ) ( )[ ] rad 0716,01080010,02 245 94/ += + == pi φ JG LT ABAB BA A rotação da extremidade A é portanto (Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA φφφ Eixos maciços não circulares • A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são: Exercício 2 O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. Qual é a intensidade do torque que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a mesma quantidade de material? Gal = 26 GPa. Solução: Por inspeção, o torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T. ( )( ) ( )[ ] (Resposta) Nm 12,24102640 102,146 ,020 ;46 Nm 2,779.1 40 2056 ;20 34 3 al 4adm 33adm =⇒== =⇒== TT Ga T TT a T σ τ Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção. Exercício 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] (Resposta) Nm 10,33102685,142/ 102,102,0 ; Nm 06,288 85,142/ 85,1456 ; 34 3 al adm 4adm =⇒== =⇒== TT JG TL TT J Tc pi φ pi τ Para seção transversal circular, temos ( )( ) mm 85,1460sen4040 2 1 ; 2triângulocírculo =⇒°== ccAA pi As limitações de tensão e ângulo de torção exigem Novamente, o ângulo de torção limita o torque aplicado. Exercício 2 • Fluxo de cisalhamento q é produto entre a espessura do tubo e a tensão de cisalhamento longitudinal média. • A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é • Para o ângulo de torção, tq médτ= mtA T 2méd =τ τméd = tensão de cisalhamento média T = torque interno resultante na seção transversal t = espessura do tubo Am = área média contida no contorno da linha central ∫= t ds GA TL m 24 φ Eixos de paredes finas Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento. Considere Gal = 26 GPa. Exercício 3 Solução: Por inspeção, o torque interno é T = 85 Nm. ( ) ( )( ) (Resposta) N/mm 7,1500.2102 1085 2 2 3 méd === mtA T τ Para tensão de cisalhamento média, 22 mm 500.250 ==mAA área sombreada é . Exercício 3 ( )( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∫∫∫ −−=== ds ds t ds GA TL m 14 32 33 2 mm 10196,0101026500.24 105,11085 4 φ Para ângulo de torção, A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim, ( ) ( )[ ] ( ) (Resposta) rad 1092,350410196,0 34 −− ==φ Exercício 3
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