Lista3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
3a LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1
1) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição
x = 3 + 2t� t2; t � 0.
a) Qual a velocidade no instante t?
b) Qual a aceleração no instante t?
c) Esboce o grá…co da função de posição.
2) Calcule a diferencial 4y � dy.
a) y = x3 b) y = x2 � 2x c) y = x
x+ 1
d) y = 3
p
x
3) Uma pipa está voando a uma altura de 40m. Uma criança está
empinando-a de tal forma que ela se mova horizontalmente, a uma ve-
locidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a
linha estará sendo dada, quando o comprimento da linha desenrolada
for de 50m?
4) Uma bola de never está se formando de tal modo que seu volume
cresça a uma taxa de 8 cm3=min. Ache a taxa segundo a qual o raio
está crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro.
5) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10
m3=min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre
o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando
o monte tiver 8m de altura?
6) Ache os extremos absolutos.
a) f(x) =
x
x+ 2
; [�1; 2] b) f(x) = x+ 5
x� 3; [�5; 2]
c) f(x) = (x+ 1)2=3; [�2; 1] d) f(x) = 1
x
; [�2; 3]
7) Ache as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado
com 100m de cerca.
8) Ache o número no intervalo [0,1] tal que a diferença entre no
número e seu quadrado seja um máximo.
9) Ache um valor adequado de c que satisfaça o teorema de Rolle.
a) f(x) = x2 � 4x+ 3; [1; 3] b) f(x) = x3 � 2x2 � x+ 2; [1; 2]
10) Ache um valor adequado de c que satisfaça o teorema do valor
médio.
a) f(x) = x2 + 2x� 1; [0; 1] b) f(x) = x3 + x2 � x; [�2; 1] c) f(x) = x2=3; [0; 1]
11) Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; deter-
1
mine os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; faça um esboço
do grá…co.
a) f(x) = x2 � 4x� 1 b) f(x) = 3x2 � 3x+ 2 c) f(x) = x3 � x2 � x
d) f(x) = 2x3 � 9x2 + 2 e) f(x) = x4 + 4x f) f(x) = px� 1p
x
g) f(x) =
x� 2
x+ 2
h) f(x) = x+
1
x2
12) Encontre os pontos de in‡exão do grá…co da função dada, se
existirem. Determine onde o grá…co é côncavo pra cima e onde ele é
côncavo pra baixo. Faça um esboço do grá…co.
a) f(x) = x3 + 9x b) f(x) = (x+ 2)3 c) f(x) =
2
x2 + 3
d) f(x) =
x
x2 + 4
e) f(x) = x4 � 2x3 f) f(x) = (x� 1)3
g) f(x) = x3 � 6x2 + 20 h) f(x) = (x+ 2)1=3
13) Ache os extremos relativos da função dada usando o teste da
derivada segunda quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use
o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar
os pontos de in‡exão do grá…co da função e determine onde o grá…co
é côncavo pra cima e onde é côncavo pra baixo. Faça um esboço do
grá…co.
a) f(x) = 3x2 � 2x+ 1 b) f(x) = x3 � 5x+ 6 c) f(x) = (x+ 2)3
d) f(x) = x(x� 1)3 e) f(x) = xpx+ 3 f) f(x) = x(x+ 2)3
g) f(x) = 5x3 � 3x5 h) f(x) = 9
x
+
x2
9
14) Faça o esboço do grá…co das seguintes funções utilizando as téc-
nicas de derivadas primeira e segunda.
2
a) f(x) =
x2
x2 � 4 b) f(x) = 2x
3 � 6x+ 1
c) f(x) =
x2
x� 1 d) f(x) =
x2 � 8
x� 3
e) f(x) = x4 � 2x3 f) f(x) = x
3 � 4
x2
g) f(x) = x2
p
4� x
15) Calcule os seguintes limites utilizando a regra de L’Hospital.
a) lim
x!�1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
b) lim
x!0+
(1� cosx) ln x
c) lim
x!+1
e3x
x2
d) lim
x!+1
x3e�4x
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