Apontamentos sobre Dinâmica para a MEC0404 T02 em 2016.1 Segunda Parte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
APONTAMENTOS SOBRE DINÂMICA-PARTE 2
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
11-Cinética – Impulso e Momento
Parte A - Partículas
11.1-INTRODUÇÃO
Os princípios de força, massa e aceleração foram desenvolvidos a partir da segunda lei do movimento de Newton, e sua aplicação a problemas de cinética foi ilustrada no Capítulo 9. No Capítulo 10, o princípio do trabalho e energia cinética foi derivado das leis do movimento de Newton e aplicado à análise de problemas em cinética. Os princípios do impulso e momento, que são também baseados nas leis do movimento de Newton, serão desenvolvidos e exemplificados neste capítulo. Como cada um dos três métodos apresenta vantagens para alguns tipos de problemas, é interessante entender todos eles.
Quando em um determinado instante deve ser obtida uma aceleração ou uma força, o método da força, massa e aceleração é normalmente o mais direto. Quando uma ou mais forças envolvidas são variáveis e podem ser expressas em função da posição do corpo, o método do trabalho e energia cinética é geralmente melhor. Se uma ou mais das forças envolvidas são variáveis e podem ser expressas como funções de tempo, os princípios do impulso e momento proporcionam de maneira geral a solução mais direta. Os princípios do impulso e momento são particularmente efetivos para problemas envolvendo um impacto ou colisão entre dois corpos, para problemas que tratam de fluidos, e para problemas onde a massa varia com o tempo, tais como foguetes e cabos de aceleração. Muitos problemas podem ser resolvidos rapidamente por mais de um dos três métodos. Em tais casos, soluções por dois métodos proporcionam um excelente meio de conferir o resultado.
11.2-PRINCÍPIO DO IMPULSO LINEAR E DO MOMENTO LINEAR
O impulso linear IL de uma força F, durante um intervalo de tempo de ti a tf é definido como a integral definida do produto da força e do tempo dt de ti a tf isto é,
O impulso linear é um vetor e tem dimensões fundamentais de FT (ou mLT−1) com unidades usuais de newton-segundos. Se a força F é constante em direção, o impulso linear tem a mesma linha de ação da força. Quando a força varia em direção, a expressão dada pela Eq. (11.1) pode ser usada para obter-se as componentes do vetor impulso linear para o intervalo de tempo considerado. A componente x é
com expressões semelhantes para as componentes y e z. A expressão da Eq. (11.1) é conveniente para indicar a relação entre a força e o tempo, graficamente. Na Fig. 11.1, as grandezas da componente x da força são colocadas em gráfico contra os valores correspondentes de tempo. A área hachurada sob a curva da Fig. 11.1 representa a grandeza da componente x do impulso linear da força F durante o intervalo de tempo que vai de ti a tf .
O impulso linear na direção x pode ser também escrito como
onde (Fx)m é o valor médio temporal de Fx. Deve-se verificar que este valor médio normalmente não é o mesmo que o valor médio da força usada, tomada sobre a distância, na determinação do trabalho realizado por uma força. O Problema 11.6 ilustra a afirmação anterior.
No capítulo anterior, foi mostrado que uma força somente realiza trabalho quando apresenta uma componente na direção de seu deslocamento. Entretanto, toda força que age durante um intervalo de tempo apresenta um impulso linear, realize trabalho ou não.
O impulso linear de um sistema de forças durante um intervalo de tempo é a soma vetorial dos impulsos lineares das forças do sistema, tomadas separadamente, durante este intervalo de tempo.
O momento linear (ou quantidade de movimento linear) de uma partícula de massa m em qualquer instante é definido como o produto da massa da partícula pela sua velocidade em qualquer instante; isto é,
G = mv (11.2)
onde G é o momento linear da partícula.
O momento linear de uma partícula é uma quantidade vetorial com a mesma direção que a velocidade da partícula. O vetor que representa o momento de uma partícula tem uma linha de ação que passa pela partícula, e assim é um vetor localizado. As dimensões do momento linear são obtidas como se segue:
mv = m(LT−1) = (FT2L−1)(LT−1) = FT
Assim, as dimensões, e conseqüentemente as unidades do momento linear e do impulso linear, são as mesmas.
O momento linear de um sistema de n partículas em qualquer instante é o vetor soma dos momentos lineares das partículas do sistema em qualquer instante. Esta soma, como dada pela Eq. (9.8), é
onde m é a massa total do sistema de partículas e vG é a velocidade do centro de massa do sistema de partículas.
A Eq. (11.3) fornece a grandeza e a direção do momento linear de qualquer sistema de partículas. O vetor momento linear normalmente não passa pelo centro de massa do sistema de partículas. A posição do vetor momento linear resultante de um corpo rígido pode ser obtida através do princípio dos momentos como explicado no Art. 11.9.
Pelo princípio do movimento do centro de massa para um sistema de partículas tendo massa total m, a equação do movimento dada pela Eq. (9.10) pode ser escrita como
onde R é a resultante de todas as forças externas agindo sobre o sistema de partículas. Esta equação pode ser escrita como
A integral definida da Eq. (11.4) é
onde os subscritos i e f significam valores inicial e final de tempo e velocidade.
O princípio do impulso linear e do momento linear, como expresso matematicamente na Eq. (11.5), pode ser estabelecido em palavras como se segue: O impulso linear de um sistema de forças agindo sobre um sistema de partículas durante um intervalo de tempo é igual à variação do momento linear do sistema de partículas durante este intervalo de tempo.
A Eq. (11.4) com m constante pode também ser escrita como
que indica que a força resultante agindo sobre um sistema de partículas é igual à taxa de variação em relação ao tempo do momento linear do sistema de partículas. A segunda lei do movimento de Newton para uma partícula é algumas vezes enunciada desta forma. Embora a Eq. (11.6) não seja em geral aplicável diretamente a um sistema de partículas que ganha ou perde matéria, há ocasiões para as quais ela pode ser corretamente empregada em problemas com massa variável. A Eq. (11.6) pode ser aplicada em dois casos: se as partículas adicionadas ao sistema não possuem velocidade antes de a adição ser feita ou se a velocidade das partículas que são ejetadas do sistema é zero após a ejeção. 
As Eqs. (11.5) são equações vetoriais e podem ser empregadas na forma das componentes. Entretanto, deve-se empregar uma convenção de sinais consistente tanto para impulsos (ou forças) como para momentos (ou velocidades). Se as direções não são dadas, elas serão consideradas positivas, e os erros serão freqüentemente evitados se os eixos positivos são mostrados nos diagramas.
O princípio do impulso linear e do momento linear aplica-se a qualquer sistema de partículas, incluindo um sistema de corpos rígidos. Entretanto, em virtude das quantidades vetoriais envolvidas, normalmente é melhor desenhar-se diagramas de corpo livre de cada corpo rígido do que empregar combinações de corpos, como é comumente feito quando se usa o princípio do trabalho e energia cinética.
Os exemplos seguintes ilustram a aplicação do princípio do impulso e momento linear.
11.3-CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
No Art. 11.2, foi mostrado que o impulso linear de um sistema de forças que age sobre qualquer sistema de partículas durante um intervalo de tempo é igual à variação no momento linear do sistema de partículas durante aquele intervalo de tempo. O princípio da conservação do momento linear estabelece que quando o impulso linear exercido sobre um sistema de partículasé zero, a variação do momento linear do sistema de partículas é zero, e desta maneira o momento linear do sistema é conservado. Assim sendo, quando não há impulso linear sobre um sistema de partículas em uma dada direção, o momento linear é inalterado nesta direção, mesmo se o momento linear total não for constante.
Quando duas partículas ou corpos A e B colidem, o impulso linear de A sobre B é igual em grandeza e oposto em sentido ao impulso linear de B sobre A. Assim, se nenhuma outra força está agindo sobre os dois corpos em uma dada direção, o momento linear do sistema composto dos dois corpos é conservado naquela direção durante o impacto. Os dois blocos A e B na Fig. 11.6 estão se movendo ao longo da mesma trajetória em um plano liso, quando eles colidem. Desde que não há forças horizontais externas ao sistema composto dos blocos A e B agindo sobre os blocos durante a colisão, o momento linear do sistema na direção horizontal é constante. Isto é,
onde os subscritos i e f indicam as velocidades inicial e final, respectivamente. Quando se emprega a Eq. (11.7), deve ser selecionada uma direção positiva, e todas as velocidades na direção oposta devem ser tratadas como quantidades negativas.
Quando o impulso linear em uma dada direção não é zero, mas é conhecido ser muito pequeno, normalmente ele pode ser desprezado de maneira a se obter uma solução aproximada, suficientemente precisa para muitas finalidades. Se o impulso linear de um sistema composto de A e B na Fig. 11.6 é grande comparado ao impulso linear da força de atrito, a Eq. (11.7) é aproximadamente verdadeira mesmo se existir atrito entre o plano e os blocos. As forças de atrito não devem exceder N, e o tempo de impacto será pequeno; desta forma, o impulso do atrito nos blocos, durante o período de impacto, não deve alterar o momento linear dos blocos.
Não se deve confundir conservação de momento linear com conservação de energia cinética, a qual foi discutida no Art. 10.4. O momento linear de um corpo ou sistema de corpos é conservado quando o impulso linear que atua sobre o corpo é zero. A energia cinética de um corpo é conservada quando não se realiza trabalho sobre ele. É possível ter-se conservado o momento linear de dois corpos mesmo se parte ou toda a energia cinética é dissipada na deformação dos corpos, aumentando a temperatura e produzindo som ou outras vibrações. Por outro lado, quando uma bola de aço elástica bate contra uma grande placa de aço e retorna, parte da energia cinética é conservada, embora o momento linear da bola possa variar por uma reversão total em sentido e com pequena variação em grandeza.
11.4-CHOQUE ELÁSTICO
Uma colisão entre dois corpos que ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno e onde existem forças de reação relativamente grandes é chamada choque ou impacto. Quando dois corpos elásticos colidem, eles são comprimidos até que seus centros de massa alcancem uma velocidade comum, e então eles se movem separadamente quando as forças dentro dos corpos agem para restaurá-los às suas formas originais. Tem havido um estudo considerável das forças que agem durante o impacto e as resultantes tensões e deformações nos corpos. Entretanto, o conceito primário na engenharia mecânica elementar é o de obter relações entre as velocidades dos corpos antes e após o impacto. Algumas definições adicionais serão bastante úteis para esta finalidade.
Quando dois corpos colidem, a linha reta normal às superfícies de contato e passando pelo ponto de contato é denominada linha de choque. Quando o contato ocorre em uma área em lugar de um ponto, a linha de choque é definida como a linha de ação da força normal resultante exercida pelos corpos um sobre o outro. Quando os centros de gravidade dos dois corpos que colidem estão sobre esta linha, o choque é definido como choque central. O choque excêntrico ocorre quando o centro de gravidade de um dos dois corpos não está sobre a linha de choque. Quando as velocidades dos pontos de contato dos dois corpos que colidem estão sobre a linha de choque, o choque é direto. O choque direto implica uma colisão frontal para distingui-lo do caso em que um corpo encontra outro corpo com uma inclinação, o que é definido como choque oblíquo. A Fig. 11.9 mostra vistas do topo de vários tipos de impacto de discos circulares lisos deslizando sobre superfícies horizontais e barras que giram nas mesmas superfícies, ao redor de eixos verticais. Só choque central, tanto direto como oblíquo, pode ocorrer entre partículas. O choque excêntrico é discutido no Art. 11. 12.
Quando dois corpos colidem, o princípio da conservação do momento linear pode freqüentemente ser aplicado para uma ou mais direções, fornecendo uma ou mais relações entre as velocidades dos corpos antes e após o choque. As velocidades dos corpos após o choque também dependem das propriedades dos materiais que constituem os corpos. Experiências indicam que a grandeza da velocidade relativa de afastamento de duas esferas que colidem em choque central direto depende basicamente de sua velocidade relativa de aproximação e das propriedades dos materiais das esferas. A afirmação anterior não é válida se as forças de impacto são tão grandes que os corpos sejam excessivamente deformados ou despedaçados. A razão da grandeza da velocidade relativa de afastamento dos pontos de contato de dois corpos que colidem com choque direto para sua velocidade relativa de aproximação é definida como o coeficiente de restituição para os dois corpos. Esta razão é uma medida das propriedades elásticas dos corpos e deve ser determinada experimentalmente. Em forma matemática,
onde e é o coeficiente de restituição, A e B são os pontos de contato dos dois corpos que colidem e i e f indicam as velocidades inicial e final, respectivamente. As velocidades relativas de aproximação e afastamento são sempre de sentidos opostos; desta forma, deve ser incluído o sinal negativo antes da fração, se o valor de e deve ser positivo.
Para corpos perfeitamente elásticos, o coeficiente de restituição é aproximadamente um, e para corpos inelásticos, que permanecem juntos após o impacto, o coeficiente é zero. Uma colisão na qual a velocidade relativa final é zero é freqüentemente chamada choque plástico. Se o coeficiente de restituição é unitário, a energia cinética do sistema é conservada durante o choque (veja o Problema 11.68), mas uma vez que alguma energia é usada na produção de sons, vibrações dos corpos, deformações permanentes dos corpos e possivelmente em outras formas, o coeficiente é sempre menor que um. Desta maneira, o valor de e para quaisquer dois corpos está entre os limites de zero e da unidade.
A tabela seguinte de valores aproximados de coeficientes de restituição para choque central direto de esferas de vários materiais fornece uma indicação da faixa de valores.
Quando o choque de dois corpos é oblíquo, as componentes das velocidades dos pontos de contato, normais à superfície de contato, são usadas na Eq. (11.8), e considera-se que o coeficiente de restituição seja o mesmo que para o choque direto. O coeficiente de restituição para corpos não-esféricos depende da forma dos corpos e das posições dos mesmos em relação à linha de choque, bem como dos materiais que os constituem. Para o choque oblíquo de corpos lisos, as componentes das velocidades, tangentes às superfícies em contato, não são alteradas pelo choque, porque não há impulso linear em cada corpo na direção tangencial.
11.5-MOMENTO ANGULAR DE UMA PARTÍCULA-CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
O momento linear G de uma partícula tendo massa m e uma velocidade v é G = mv. O vetor G é localizado e passa pela partícula, como mostrado na Fig. 11.11. Seja o ponto fixo O tomado como a origem de um sistema de referência newtoniano Oxyz. O momento angular de uma partícula em relação ao ponto fixo O é o momento do momento linear em relação a O. Usando-se o símbolo HO para momento angular, ele pode ser escrito como
HO = r x mv(11.9)
onde r é o vetor posição de O até a partícula. O vetor momento angular HO é perpendicular ao plano formado pelo vetor posição r e o vetor velocidade v, como mostrado na Fig. 11.11.
Quando a Eq. (11.9) é diferenciada em relação ao tempo, a taxa de variação temporal do momento angular é
O primeiro termo da direita é zero, e o segundo termo é o mesmo que r x F, onde F é a força resultante que age sobre a partícula. Assim, a taxa de variação temporal do momento angular pode ser escrita como
onde MO é o momento em relação ao ponto O da força resultante que age sobre a partícula. A Eq. (11. 10) é uma equação vetorial e pode ser resolvida em equações componentes escalares como
onde Hx, Hy, Hz e Mx, My Mz são os momentos angulares e os momentos da força resultante, em relação aos eixos fixos x, y e z.
As Eqs. (11.10) e (11.10a) são a forma matemática do princípio do momento angular para partículas, o qual estabelece que a taxa de variação temporal do momento angular de uma partícula em relação a um ponto fixo O (ou um eixo fixo) é igual ao momento em relação a O (ou em relação a um eixo fixo) da força resultante que age sobre a partícula.
Quando o momento MO pode ser expresso como uma função do tempo em um sistema de referência newtoniano, a Eq. (11.10) pode ser integrada desde um tempo inicial ti até um certo tempo final tf, dando
onde S:( Mo â: é o impulso angular, em relação a O, da força resultante que age sobre a partícula. A Eq. (11.11) é a forma matemática do princípio do impulso angular e do momento angular para uma partícula, e estabelece que durante o intervalo de tempo ti a tf a variação no momento angular em relação a qualquer ponto fixo O é igual ao impulso angular que age sobre a partícula, em relação ao ponto O. A Eq. (11.11) pode ser resolvida em três expressões componentes da mesma maneira como explanado para a Eq. (11.10).
Se MO é zero, a Eq. (11.10) torna-se
Como a derivada de HO é zero, HO deve ser constante durante o intervalo de tempo em que MO é zero, e
O princípio da conservação do momento angular para uma partícula estabelece que se o momento, em relação a qualquer ponto fixo O, da força resultante que age sobre uma partícula é zero, o momento angular da partícula em relação a este ponto é conservado.
A Eq. (11.10) é uma equação vetorial, e embora o momento total MO possa não ser zero, freqüentemente ocorre que uma componente de MO é zero, sobre algum eixo fixo que passa pelo ponto O. Em tal caso, embora o momento angular total HO não seja conservado, a componente de HO na direção de momento zero é conservada. Este fato é ilustrado no Exemplo 11.8.
11.6-MOVIMENTO SOB AÇÃO DE UMA FORÇA CENTRAL
Uma força central é definida como urna força cuja linha de ação passa sempre por um ponto fixo, conhecido como o centro de força. Alguns exemplos comuns de sistemas com forças centrais incluem o movimento de planetas ao redor do Sol, o movimento da Lua (bem como de satélites artificiais) ao redor da Terra, o movimento de um elétron ao redor do núcleo de um átomo e o movimento de uma partícula alfa nas vizinhanças de uma carga nuclear.
Considere o movimento da partícula P de massa m na Fig. 11.14 sob a ação da força central F, dirigida sempre na direção do ponto fixo O. Pela Eq. (11.10),
porque F não apresenta momento em relação a O. Como é zero, a integral de deve ser uma constante; isto é,
O momento angular de uma partícula em relação a um ponto fixo O foi definido como o momento do momento linear (mv) em relação àquele ponto; desta maneira,
Desde que é uma constante tanto em grandeza como em direção, e pela definição de produto vetorial é perpendicular ao plano de r e v, segue-se que r e v devem permanecer no mesmo plano. Logo, o movimento sob ação de uma força central é um movimento plano. O plano é determinado pelo centro de força, a posição da partícula e sua velocidade naquela posição.
A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força de atração F, entre duas massas M e m separadas pela distância r, tem uma grandeza
onde G é a constante de gravitação universal. O valor de G determinado experimentalmente é
G = 6,670(10−11) N.m2.kg−2 ou G = 6,670(10−11) m3.kg−1.s−2 = 66,70 pm3.kg−1.s−2
Se a massa de um dos dois corpos é muito maior que aquela do outro corpo, a massa maior pode ser considerada fixa no espaço porque a massa menor exercerá um efeito desprezível sobre o movimento do corpo mais pesado. As massas do Sol, Terra e Lua são apresentadas como referência neste ponto. São elas
MSol = 2,87(1030) kg, MTerra = 5,97(1024) kg e MLua = 7,37(1022) kg
A Fig. 11.15(a) mostra uma grande massa M, uma outra massa m muito menor que M, movendo-se em um plano xy, e a força F exercida por M sobre m. Empregando-se coordenadas polares e considerando-se que M está fixa no espaço, as equações do movimento de m na forma das componentes são, a partir da Eq. (8.17),
e
Quando a Eq. (b) é multiplicada por r/m e integrada, o resultado é
Observe que a área varrida pelo raio vetor quando o mesmo gira de um ângulo d no tempo dt é dA = r (r d)/2; desta maneira,
A quantidade dA/dt = h/2 é chamada velocidade areal, e, como mostrado aqui, é uma constante para qualquer sistema sob ação de uma força central. A Eq. (11.12) exprime a segunda lei de Kepler do movimento planetário, que estabelece que o raio vetor descreve áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
A equação da trajetória do movimento pode ser obtida pela eliminação do parâmetro t a partir das Eqs. (a) e (c) como se segue: Seja u = 1/r, por onde se tira du = - dr/r2, e com a Eq. (11.12),
Também
A substituição da Eq. (11.12), da Eq. (d) e de u por 1/r na Eq. (a) fornece
A Eq. (e) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes e com o lado direito diferente de zero. Ela pode ser resolvida por diferentes métodos; provavelmente o mais usual é considerar uma solução e verificá-la por substituição na equação diferencial. Como u e sua derivada segunda em relação a estão envolvidas, deseja-se uma função de cuja derivada segunda é igual à função original negativa mais ou menos uma constante. Algumas funções exponenciais e trigonométricas apresentam esta propriedade, e pode ser usada a seguinte solução considerada:
A sua substituição na Eq. (e) fornece
e a solução geral da equação diferencial é
onde C e β são constantes de integração com valores determinados pelas condições iniciais. O valor de h é dado pela Eq. (c). O ângulo + β pode ser substituído por ,medindo-se o ângulo polar a partir de um eixo x1 como mostrado na Fig. 11.15(b), em lugar de medi-lo a partir do eixo x; assim, a Eq. (f) torna-se
A Eq. (11.13a) é a equação de uma seção cônica na forma polar com a origem em um dos focos. Para o caso mais simples com C igual a zero, r é uma constante e a curva é um círculo. Uma seção cônica é definida como a trajetória de um ponto P (Fig. 11.16) que se move de tal forma que
onde O é um ponto fixo, AB é uma linha fixa, OP é a distância que vai de O até P, PD é a distância perpendicular de P à linha fixa e e é a excentricidade. Esta relação pode ser escrita como
donde
A Eq. (11.l3b) é a mesma que a Eq. (l1.13a) quando a excentricidade da seção cônica é
e
Desta maneira
As Eqs. (l1.13a) ou (11.13b) podem ser agora escritas como
A Eq. (f) pode ser também escrita como
que é a equação da trajetória da partícula na forma polar.
A análise anterior prova a primeira lei de Kepler, que estabelece que a trajetória ou órbita de uma partícula que se move sob a ação de uma força central é uma seção cônica com o centro de força em um dos focos. Quando e é menor que 1, o lugar geométrico é uma trajetória fechada (uma elipse ou círculo quando e = 0), uma vez que o denominador da Eq. (11.14a) nunca é zero para qualquer valor de . Para valores de e 1, a trajetória não é fechada porque, para certos valores de o denominador torna-se zero e r torna-se infinito. Para e = 1 a curva é uma parábola, e parae > 1 ela é uma hipérbole.
Para o movimento planetário ao redor do Sol, e para satélites artificiais da Terra, as órbitas são elipses e e é menor que 1. A mínima distância do centro de atração (em um dos focos) à partícula, correspondendo a = 0, é chamada perigeu (rp), e a máxima distância (para uma órbita elíptica), ocorrendo quando = , é chamada apogeu (ra). Quando = 0 na Fig. 11.16, a velocidade da partícula é perpendicular ao raio vetor, e pela Eq. (c)
Esta equação torna possível calcular a constante h se a velocidade e a distância no perigeu são conhecidas.
Para uma órbita elíptica, a Eq. (l1.14a) mostra que as distâncias de perigeu e apogeu são
Estas duas equações podem ser resolvidas para e pela eliminação de h2/GM, e o resultado é
o semi-eixo maior da elipse é
o qual, pela Eq. (h), torna-se
o semi-eixo menor é
A área de uma elipse é
A velocidade areal, dA/dt = h/2, pela Eq. (11.12), fornece A = (h/2)T, onde T é o período (o tempo para uma órbita) e
o valor de 1 – e2 pode ser obtido pela Eq. (j), e o período torna-se
Observe que o período é independente da massa do corpo em órbita. A Eq. (11.15) demonstra a terceira lei de Kepler do movimento planetário; explicitamente, os quadrados dos períodos dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas.
A órbita da Lua ao redor da Terra é muito aproximada a uma elipse (o Sol a perturba ligeiramente) com e = 0,056. Suas distâncias de perigeu e apogeu são 357 Mm e 407 Mm, respectivamente. Alguns dados sobre os planetas são apresentados na tabela abaixo.
Quando um satélite é “lançado” com uma velocidade vp paralela à superfície da Terra, a uma distância rp do centro da Terra, a constante C pode ser determinada por intermédio da Eq. (11.14b). O ângulo é zero, e o valor de C é
Quando o valor de C é substituído na Eq. (g), a excentricidade torna-se
A constante GM para os satélites terrestres pode ser determinada pela força da gravidade que age sobre uma partícula de massa m localizada na superfície da Terra. Pela lei da gravitação universal,
onde R, o raio da Terra, é 6.370 km ou 6,37 Mm; desta maneira,
O valor de gR2 é também comumente usado como
A Eq. (k) pode ser usada para determinar a mínima velocidade que o satélite deve possuir para escapar do campo gravitacional terrestre. A mínima velocidade ocorrerá quando o satélite está em uma trajetória parabólica, isto é, quando e = 1. Quando e = 1 é substituído na Eq. (k), acha-se o valor abaixo para a velocidade de escape
Quando a excentricidade é zero, a partícula terá uma órbita circular, e a velocidade correspondente, pela Eq. (k), é
As duas equações anteriores mostram que 
11.7-SISTEMAS COM MASSA VARIÁVEL
Em artigos anteriores, a massa do sistema considerado permaneceu constante. Entretanto, há muitos problemas dinâmicos, tais como aqueles que envolvem foguetes, cabos de suspensão e partículas com alias velocidades, nos quais a massa do sistema varia com o tempo, ou nos quais algumas partes do sistema ganham ou perdem massa de outras partes do sistema. Os problemas com massa variável podem ser divididos em dois tipos:
Problemas nos quais a massa do sistema varia em virtude de o número de partículas individuais do sistema variar (cada partícula com mesma massa).
Problemas nos quais as massas individuais das partículas variam com o tempo, enquanto que o número de partículas permanece constante.
O primeiro sistema de massa variável é comumente encontrado em problemas de foguetes, onde o sistema a ser estudado é definido como o corpo do foguete mais o combustível não-queimado.
O segundo tipo ocorre quando as velocidades das partículas individuais do sistema tornam-se tão grandes que devem ser consideradas variações relativísticas de massa com velocidades. Normalmente, as variações relativísticas em massa não são importantes, a menos que as velocidades envolvidas sejam uma fração significativa da velocidade da luz. Tais velocidades são obtidas por partículas carregadas em cíclotrons, máquinas de raios X e tubos de imagem de televisão. Neste texto, somente serão considerados problemas de massa variável do primeiro tipo.
O procedimento geral desenvolvido será aplicado a qualquer corpo que esteja adquirindo ou perdendo massa. São feitas as seguintes considerações para simplificar a derivação da equação diferencial do movimento e a análise subseqüente:
O movimento do sistema está sobre uma linha reta; conseqüentemente, a resultante das forças externas aplicadas ao sistema está sobre a trajetória do movimento.
A aceleração da gravidade, g, é constante.
A primeira consideração exclui qualquer movimento lateral do sistema, mas permite investigação das equações fundamentais relacionando aceleração, velocidade e distância percorrida ao longo da trajetória. Estas equações são dependentes da variação de massa do corpo. Como a aceleração devido à gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro da Terra, a segunda consideração é válida ao redor de 5% para altitudes menores que cerca de 160 km acima da Terra.
Na Fig. 11.19 estão ilustradas quatro possíveis situações em que uma grande massa m está ganhando ou perdendo massa de um fluxo de partículas. Todas as velocidades são consideradas estarem à direita, e qualquer velocidade à esquerda será indicada com um sinal negativo. As Figs. 11.19(a) e 11.19(b) representam situações na qual uma grande massa m está sendo aumentada, primeiro porque o fluxo de partículas (com velocidade ve) está à esquerda de m e ve é maior que vm, e segundo porque o fluxo está à direita de m e está sendo alcançado por m (vm é maior que ve). As Figs. 11.19(c) e 11.19(d) representam casos nos quais está sendo expelida massa de m e poderiam ocorrer quando m estivesse sendo acelerada pela queima do motor de um foguete [Ver Fig. 11.19(c)] ou desacelerada pela queima de um retrofoguete [Fig. 11.19(d)].
A equação do movimento será derivada para a situação mostrada na Fig. 11.19(a), mas será válida para qualquer dos quatro casos, quando são empregados sinais consistentes para velocidades e para a taxa de variação de massa. A Fig. 11.20(a) mostra o sistema a um tempo t, quando a massa m tem uma velocidade vm e o incremento de massa m tem uma velocidade ve. As forças T1 e T2 são as reações reais ou mútuas entre m e m, e R é a resultante das forças externas (tal como o peso e o arrasto aerodinâmico) agindo sobre o sistema. O diagrama na Fig. 11.20(b) ilustra o sistema no tempo (t + t) quando m foi incorporada a m, com uma velocidade comum de vm + vm. O momento linear do sistema no tempo t é
e o momento em t + t é
O impulso das forças externas (observe que T1 e T2 são internas ao sistema) é igual à variação do momento do sistema; isto é,
Quando o intervalo de tempo se aproxima de zero, as quantidades incrementais t, m e vm tornam-se quantidades diferenciais dt, dm e dvm, respectivamente, e a equação pode ser escrita como
O último termo desta expressão é uma diferencial de segunda ordem e pode ser desprezado. Quando a equação é dividida por dt, transforma-se em
Se vm é maior que ve (a massa maior está alcançando m), a equação fica
Quando m está sendo expelida como na Fig. 11.19(c) ou (d), m será negativa nas Eqs. (11.16) e (l1.16a).
Observe que, em geral, ve não é zero, embora possa ser em casos especiais; por exemplo, quando m está em repouso antes de ser “apanhada”. Se a segunda lei do movimento de Newton é escrita na forma
vê-se que esta expressão concorda com a Eq. (11.16) ou (11,16a) somente quando ve é zero, isto é, quando a velocidade inicial da massa adicionada ou a velocidade final da massa expelida é zero.
O empuxo T pode ser obtido aplicando-se a equação do impulso-momento à massa m na Fig. 11.20. Quando i é usado como o vetor unitário à direita, a equação do impulso-momento é
donde
quando se omite o termo de ordem mais elevada m(vm). Desta maneira 
onde T1 é a grandeza da força de empuxo, e como e são ambas positivas quando ve é maiorque vm, T1 é positiva e está na direção mostrada (para a esquerda) na Fig. 11.20(a). A expressão vetorial para a força de arrasto é .A força que tem a mesma grandeza de , mas agindo para a direita, é
A última equação pode ser combinada com a Eq. (11.16) para dar
Deve ser ainda verificado que quando a massa está sendo expelida de m, como em um foguete, o fator é negativo nas equações anteriores.
Considere o foguete na Fig. 11.21 com massa inicial m0 e que queima combustível a uma taxa constante b, isto é, . A velocidade dos gases queimados em relação ao foguete é e considerada constante. A massa do foguete no tempo t é
e a grandeza do empuxo é
Observe que e que é dirigida para baixo; desta maneira, a força T2 é oposta a ; isto é, T2 age para cima sobre o foguete.
As forças externas na direção vertical são o peso P = mg = (mo − bt)g e a força de empuxo aerodinâmico Fd, ambas para baixo. A Eq. (l1.16b) torna-se
Quando qualquer foguete é disparado verticalmente, sujeito às condições estabelecidas acima, se o empuxo é conhecido, pode-se aplicar a Eq. (11.18a), ou se a velocidade relativa dos gases de escape é conhecida, pode-se usar a Eq. (11.18b). Se o foguete é lançado horizontalmente sobre um trilho, o peso e a reação do trilho serão normais à velocidade, e assim serão omitidos da equação. A força de arrasto será zero na ausência de forças de atrito e aerodinâmica, ou pode ter uma grandeza kvn na presença de uma atmosfera, onde n varia com a velocidade do foguete, mas geralmente tomado como 1 ou 2. Durante a análise, normalmente é útil o emprego de símbolos tanto para as constantes como para as variáveis. Os valores numéricos devem ser substituídos quando a fórmula a ser desenvolvida pode apresentar os resultados desejados.
11.8-RESUMO
O princípio do impulso linear e do momento linear equaciona o impulso linear das forças que agem sobre um corpo ou sistema de partículas à variação do momento linear do corpo ou sistema de partículas. O princípio do impulso angular e do momento angular equaciona o impulso angular das forças que agem sobre um corpo ou sistema de partículas em relação a um ponto fixo no espaço à variação do momento angular da partícula em relação ao ponto correspondente. Quando tanto o impulso linear ou angular é zero, o momento linear ou angular correspondente não varia ou se conserva.
O princípio do momento angular equaciona a taxa de variação temporal do momento angular da partícula, em relação a um ponto fixo no espaço, à soma dos momentos das forças externas que agem sobre a partícula, em relação ao ponto. Quando o momento resultante é zero em relação a qualquer ponto fixo, o momento angular é constante ou conservado em relação ao ponto.
Os conceitos de impulso e momento linear e angular são particularmente úteis na análise de problemas de massa variável e de problemas que envolvam choque elástico e movimento sob a ação de uma força central. Como impulso e momento são quantidades vetoriais, normalmente é desejável cortar cordas, soltar pinos e realizar outras ações para liberar partes do sistema, bem como trabalhar com diagramas de corpo livre de corpos separados.
O coeficiente de restituição é a razão da grandeza da velocidade relativa de afastamento de dois corpos que colidem para a grandeza de suas velocidades relativas de aproximação.
Nos Caps. 9, 10 e 11 foram desenvolvidos três métodos para a solução de problemas em cinética. O método de força, massa e aceleração pode ser usado para obter valores instantâneos de forças e aceleração. Os princípios de força, massa e aceleração, juntamente com as equações de cinemática, podem também ser usados quando estão envolvidos um intervalo de tempo, uma distância percorrida e/ou uma variação em velocidade.
O princípio do trabalho e energia cinética equaciona o trabalho realizado pelas forças que agem sobre um corpo ou sistema de corpos à variação da energia cinética do sistema. Assim, é o método lógico quando o problema envolve forças, distâncias e velocidades. É particularmente útil quando as forças e a aceleração do corpo variam com a posição do corpo, por exemplo, um corpo que é acionado por uma mola ou um corpo oscilando na extremidade de uma corda.
O método do impulso e momento refere-se a forças, intervalos de tempo e variações em velocidade. Pode ser aplicado a problemas que envolvam estas quantidades, tanto para forças constantes ou variáveis, embora seja particularmente útil quando uma força é especificada como uma função do tempo. Este método é o único cuja aplicação foi discutida a problemas de escoamento de fluidos e de massa variável, embora o método da força, massa e aceleração possa ser usado para tais problemas com as modificações necessárias.
Nem o método do impulso e momento, nem o do trabalho e energia cinética dão valores instantâneos de' aceleração, e o método do trabalho e energia não fornece um valor médio das forças que não realizam trabalho. Em qualquer problema, é importante que seja feita uma análise cuidadosa para verificar os dados fornecidos e as quantidades desconhecidas a serem obtidas, antes de se selecionar um método de solução. Muitas vezes, podem ser usados dois dos métodos, os quais se suplementam mutuamente. Por exemplo, em um pêndulo balístico, os princípios do trabalho e energia cinética e da conservação do momento linear podem ambos ser usados com boas vantagens. Quando o problema pode ser resolvido completamente por dois métodos diferentes, eles proporcionam uma verificação confiável da solução.
Parte B - Corpos Rígidos
11.9-MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO OU SISTEMA DE PARTÍCULAS
O momento angular de uma partícula em relação a um ponto fixo foi definido no Art. 11.5. Em geral, o momento angular de uma partícula em relação a um dado ponto, fixo ou que se mova, é o momento do momento linear da partícula em relação àquele ponto. O momento angular de um sistema de partículas em relação a qualquer ponto é a soma dos momentos angulares das partículas individuais. A Fig. 11.24 representa um sistema de n partículas (somente a i-ésima partícula Pi é mostrada no diagrama) onde G é o centro de massa das partículas. Os eixos XYZ são fixos no espaço, e O’ é qualquer ponto no espaço. O momento linear de Pi é mivi, como mostrado, e o momento angular de Pi em relação ao ponto O’ é o vetor
A velocidade de Pi em função do seu vetor posição é
O momento angular do sistema de partículas em relação a O’ é
Quando O’ se move para G, o vetor R2 torna-se zero, e o momento angular do sistema de partículas em relação a G fica igual a
O primeiro termo da equação anterior é zero, uma vez que o somatório é o primeiro momento de massa em relação a seu centro de massa. O vetor é a velocidade da i-ésima partícula em relação a G. Assim, o momento angular do sistema em relação ao centro de massa torna-se
Quando O’ é selecionado como o ponto fixo O, R2 é igual a R, e a Eq. (11.19) se torna
O somatório , é zero no segundo e terceiro termos da equação anterior, e quando a Eq. (b) é substituída pelo último termo, chega-se a
A Eq. (c) demonstra que o momento angular de qualquer sistema de partículas em relação a um ponto fixo O é a soma do momento do momento linear de massa do sistema, quando se considera a massa concentrada no centro de massa e movendo-se com a velocidade do centro de massa, mais o momento angular das partículas do sistema em relação ao centro de massa.
A Eq. (11.19) foi desenvolvida para qualquer sistema de partículas. Quando as partículas constituem um corpo rígido, as velocidades das várias partículas podem ser expressas em função da velocidade angular do corpo e da velocidade linear do centro de massa. A Fig. 11.25 representa um corpo rígido no qual P é uma partícula de massa dm e G é o centro de massa do corpo. Os eixos XYZ estão fixos no espaço, e o sistema de coordenadas xyz é fixo no corpo, com sua origem em G.
Pela Eq. (8.27), a velocidade absoluta da partícula P é
onde é a velocidade relativa de P, em relação aos eixos que se movem,sendo zero quando P não se move em relação aos eixos xyz, e w é a velocidade angular do corpo (eixos xyz). O momento angular da partícula P em relação ao ponto O’ (movendo-se ou não) é
O momento angular do corpo rígido pode ser obtido por integração da equação anterior. As quantidades são constantes para todos os elementos de massa, e podem assim serem removidas das integrais. O momento angular do corpo é
A quantidade é zero, desde que r seja medido a partir do centro de massa do corpo, e reduz-se a
A Eq. (11.20) fornece o momento angular de um corpo rígido para qualquer instante, em relação a um ponto qualquer O'. Se O' se move para O, R2 torna-se R, e a Eq. (11.20) torna-se
Se O' se move para G, R2 torna-se zero, e a Eq. (11.20), para momentos em relação ao centro de massa, é
Embora as Eqs. (11.20) e (11.21) proporcionem expressões convenientes para o momento do momento de um corpo rígido, elas são mais adequadas quando a integral é expressa em termos dos momentos e produtos de inércia. A quantidade r pode ser escrita como
e w como
e desta forma é igual a
O triplo produto vetorial reduz-se a
A Eq. (11.22) para pode ser agora escrita como
Observe que a Eq. (11.21) pode ser escrita como
onde é dado pela Eq. (11.22a).
A Eq. (11.22a) para , em termos dos momentos e produtos de inércia do corpo e das componentes retangulares da velocidade angular do corpo para o movimento geral, é um pouco mais complicada. Para a maioria dos casos práticos, entretanto, muitos dos termos são nulos. A título de referência, alguns casos especiais importantes são apresentados aqui.
Para translação, w = 0, e
Quando um corpo possui movimento plano paralelo ao plano xy (observe que isto inclui rotação ao redor de um eixo paralelo ao eixo z), wx e wy são ambos iguais a zero, e a Eq. (11.22a) fica na forma
Esta equação será simplificada posteriormente, se o plano xy é um plano de simetria, ou se o eixo z é um eixo de simetria, uma vez que os termos em produto de inércia serão iguais a zero. Neste caso, o momento angular ao redor de G torna-se
Observe que a Eq. (11.23c) é aplicada a corpos que possuam rotação ao redor de um eixo paralelo ao eixo z ou movimento plano paralelo ao plano xy, visto que o eixo z é um eixo de simetria ou o plano xy é um plano de simetria.
Quando um corpo gira ao redor de um eixo fixo (Z), wX e wy são ambos zero. Se o ponto O é selecionado como a interseção do eixo Z e o plano de movimento, o momento angular do corpo em relação a O, a partir das Eqs. (l1.21a) e (11.22a), fica
onde e referem-se a eixos que passam por G e é o momento de inércia em relação ao eixo fixo de rotação. Observe que R e k são mutuamente perpendiculares, tanto que R x (k x R) = R2k.
Se o corpo é simétrico em relação ao plano de movimento ou ao eixo z, os termos em produto de inércia são zero, e o valor de reduz-se a
onde o subscrito ER refere-se ao eixo de rotação.
O momento angular de uma partícula é definido (ver Eq. 11.9) como o momento de seu momento linear. O momento angular de um sistema de partículas, rígido ou não-rígido, em relação a um ponto qualquer é a soma dos momentos dos momentos lineares de todas as partículas do sistema, em relação ao mesmo ponto considerado, como apresentado na Fig. (11.19). Entretanto, o momento angular de um corpo rígido é igual ao momento do momento linear do corpo somente quando são encontradas certas condições de simetria, conforme mostrado no parágrafo seguinte.
O corpo rígido da Fig. 11.26 está girando ao redor do eixo Z passando por O e paralelo ao eixo z em movimento. Os eixos xyz são fixos no corpo e orientados como mostrado. O momento linear do corpo é
e o vetor posição que vai do centro de massa à interseção de G e o plano xz é
O momento de G em relação ao centro de massa é
Pela Eq. (l1.23b), o momento angular em relação ao centro de massa para este exemplo é
Desde que não contenha coeficientes em j, estas quantidades podem ser iguais somente quando é zero.
Quando o plano xy, na Fig. 11.26, é um plano de simetria, a expressão para reduz-se a . Neste caso, será igual a se G está no plano xy (isto é, se z e zero), e o valor de x, distância do centro de massa à linha de ação de G, é
onde é a distância de O até G. A distância que vai do eixo de rotação ao vetor momento angular é
que é idêntica ao valor obtido no Art. 9.10 para a distância do centro de percussão. Conseqüentemente, o vetar momento linear age através do centro de percussão de um corpo rígido em rotação, que é simétrico em relação ao plano do movimento.
No Art. 10.6 foi desenvolvida uma expressão para a energia cinética de um corpo rígido com movimento plano. Empregando a Eq. (11.22) para o momento angular de um corpo rígido em relação ao seu centro de massa, pode ser desenvolvida uma expressão compacta para a energia cinética de um corpo rígido com movimento geral.
Como visto anteriormente, a velocidade de qualquer partícula de um corpo rígido na Fig. 11.25 é
e, pelo Art. 10.3, a energia cinética de uma partícula é
Como não variam no corpo, a energia cinética do corpo tomado como um todo pode ser escrita como
O termo é zero, desde que r seja medido a partir do centro de massa. A identidade
pode ser provada, escrevendo-se os três vetores em função das componentes i, j e k, e expandindo-se (consultar qualquer texto de análise vetorial). Quando a é substituída por w, b por r, e c por w x r, a identidade mostra que o último termo da integral pode ser escrito como
a partir da Eq. (11.22). Com estes resultados, a Eq. (d) reduz-se a
11.10-PRINCÍPIO DO MOMENTO ANGULAR
A Eq. (11.19) é uma expressão para o momento angular de um sistema de partículas em relação a qualquer ponto. Pode-se desenvolver uma relação útil para a taxa de variação temporal do momento diferenciando-se a Eq. (11.19) da forma seguinte:
Quando O’ é o ponto fixo O, R2 torna-se R, e
Desta maneira, a Eq. (a) pode ser escrita
Pela Eq. (9.3)
e a Eq. (b) reduz-se a
onde MO é a soma dos momentos em relação a O das forças externas que agem sobre o sistema de partículas. A Eq. (11.24) mostra que a taxa de variação temporal do momento angular de qualquer sistema de partículas, em relação a um ponto fixo no espaço, é igual ao momento das forças externas que agem sobre o sistema em relação àquele ponto. Esta relação é conhecida como o princípio do momento angular para um ponto fixo.
O princípio do momento angular pode ser derivado para momentos em relação ao centro de massa fazendo-se com que O’ seja G, na Fig. 11.24. Neste caso, R2 é zero, e a Eq. (a) torna-se
pois
Na Eq. (c)
e o último termo da Eq. (c) pode ser escrito
uma vez que o somatório não envolve ou d/dt. Os vetores são todos medidos a partir do centro de massa; assim sendo, o somatório é zero, e a Eq. (c) fica
Quando as partículas do sistema constituem um corpo rígido, a Eq. (11.22a) e as várias formas da Eq. (11.23) podem ser empregadas para simplificar os cálculos.
As Eqs. (11.24) e (11.25) serão utilizadas para desenvolver rigorosamente conceitos relacionados aos próximos três artigos, que são úteis na resolução de uma variedade de problemas.
11.11-PRINCÍPIO DO IMPULSO ANGULAR E DO MOMENTO ANGULAR
No Art. 11.10, foi derivada a relação , onde o ponto de referência foi tomado como um ponto fixo no espaço ou o centro de massa de um sistema de partículas. O sistema de partículas pode ser um corpo rígido ou simplesmente um grupo de partículas. Esta relação é útil na forma desenvolvida no Art. 11.10 e também conduz ao princípio do impulso angular e do momento angular. Pela Eq. (11.24),
O lado direito da Eq. (11.26a) é definido como o impulso angular das forças que agem sobre um sistema de partículas em relação ao ponto fixo O, e o lado esquerdo é a variação no momento angular do sistema de partículas em relação ao mesmo ponto durante o intervalo de tempo de ti e tf.
Partindo-se da Eq. (11.25), o mesmo desenvolvimento que forneceu a Eq. (11.26a),conduz a
onde G é o centro de massa do sistema de partículas.
As Eqs. (11.26a) e (11.26b) são válidas para qualquer sistema de partículas. Se as partículas estão bastante unidas de tal forma que constituam um corpo rígido, a Eq. (11.22a) é útil para a determinação do momento angular do corpo. Quando o corpo possui movimento plano paralelo ao plano xy, pode-se substituir a Eq. (11.23b) na Eq. (l1.26b), dando
Se o corpo é simétrico em relação ao plano do movimento, os termos em produto de inércia são zero, e a equação reduz-se a
onde , é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo, passando por G e perpendicular ao plano do movimento.
Quando um corpo gira em relação a um plano fixo (por exemplo, o plano Z) a Eq. (11.26a) é válida se O é um ponto qualquer sobre o eixo Z. Se O é a interseção do eixo Z e do plano do movimento, a Eq. (11.23d) pode ser substituída na Eq. (11.26a) e dar
Quando o corpo é simétrico em relação ao plano do movimento ou ao eixo Z, o momento angular é dado pela Eq. (l1.23e), e a Eq. (l1.26a) reduz-se a
Em complementação às equações de impulso angular e momento angular, as equações de impulso linear e momento linear desenvolvidas no Art. 11.2 fornecem informação adicional, que pode ser necessária à resolução de alguns problemas. A equação geral para momento e impulso linear é
que pode ser resolvida em duas ou três equações das componentes, conforme seja necessário.
Quando uma roda simétrica rola sem deslizamento sobre uma superfície plana, como na Fig. 11.27, pode ser desenvolvida uma relação especial para o impulso e momento angular usando-se o conceito de centro instantâneo de velocidade zero. Este ponto move-se de ponto a ponto durante um intervalo de tempo, e assim não é nem um ponto fixo nem o centro de massa. A aceleração do centro instantâneo é perpendicular ao plano sobre o qual a roda rola, e desta forma está dirigida para o centro de massa do corpo simétrico. Pelo Capo 9, a Eq. (9.20) é
e quando o ponto A é o centro instantâneo, é paralelo a e o primeiro termo da direita é zero. Como a roda é considerada simétrica em relação ao plano do movimento, os termos em produto de inércia são iguais a zero. Assim sendo, a equação reduz-se a
Quando esta equação é integrada em relação ao tempo, ela fica
Esta equação indica que o impulso angular das forças externas que agem sobre o corpo, em relação ao centro instantâneo (que se move), é igual à variação do momento angular do corpo em relação a este eixo. Entretanto, deve ser enfatizado que esta equação é válida somente para uma roda simétrica que rola sem deslizamento sobre uma superfície plana.
Quando o princípio do impulso angular e do momento angular é empregado, normalmente é melhor desenhar diagramas de corpo livre separados para cada corpo rígido envolvido do que empregar combinações de corpos, como é comumente feito quando se emprega o princípio do trabalho e energia cinética.
11.12-CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Foi mostrado no Art. 11.10 que para qualquer sistema de partículas, rígido ou não-rígido, a taxa temporal de variação do momento angular, com relação tanto a um ponto fixo no espaço ou ao centro de massa do sistema de partículas, é igual ao momento resultante das forças externas que agem sobre o sistema em relação àquele mesmo ponto. Quando o momento das forças externas que agem sobre um sistema de partículas em relação tanto a um ponto fixo quanto ao centro de massa é zero, a taxa temporal de variação do momento angular em relação ao ponto correspondente é zero, a partir da Eq. (11.24 ou (11.25), e o momento angular é constante, ou em outras palavras, é conservado. Desta maneira, o momento angular em relação a um ponto fixo, ou ao centro de massa, é conservado ou permanece constante quando o momento das forças externas em relação àquele ponto é zero. Numa forma matemática, esta afirmação fica
Se o momento resultante em relação a qualquer ponto fixo ou ao centro de massa é relativamente pequeno, e o intervalo de tempo durante o qual o momento age é muito grande, o impulso angular pode ser usualmente desprezado, e o momento angular do sistema de corpos pode ser considerado como sendo constante sem introdução de erro apreciável. O princípio da conservação do momento angular pode ser observado por intermédio de um filme de mergulhões em câmera lenta. Quando um destes pássaros deseja virar no ar por diversas vezes, ele se dobra, conservando seus joelhos próximo a seu peito. Seu momento de inércia em relação a um eixo passando por seu centro de massa é pequeno, e sua velocidade angular é relativamente grande. Exatamente antes de o mergulhão entrar na água, ele se abre, aumentando seu momento de inércia e diminuindo sua velocidade angular, tanto que quase pára no momento em que isto acontece.
Uma aplicação prática importante da conservação do momento angular ocorre na eliminação da rotação de um veículo espacial em vôo. O conhecido estabilizador ioiô empregado no foguete de reconhecimento fotográfico Hugo III da Marinha Norte-Americana é um exemplo de um aparelho destinado a fazer uso da conservação do momento angular. Com este equipamento, a velocidade angular do foguete que está girando pode ser reduzida a zero ou a qualquer quantidade específica pela transferência de momento angular da massa em rotação a um par de pequenas massas conectadas que tendem a se separar do corpo principal.
Quando dois corpos colidem ou reagem de alguma maneira e o impulso angular sobre o sistema é zero com relação a algum ponto fixo, o momento angular do sistema em relação ao mesmo ponto é conservado. Deve ser enfatizado, entretanto, que alguma energia cinética do sistema normalmente é perdida durante o impacto ou reação.
Freqüentemente, é interessante escrever-se equações indicando que o momento linear de um corpo ou sistema de corpos é conservado em uma ou mais direções, de forma a complementar a conservação do momento angular. Se os corpos são elásticos e retornam após o impacto, o coeficiente de restituição pode ser empregado para relacionar a velocidade relativa de afastamento dos pontos de contato à sua velocidade relativa de aproximação (ver Art. 11.4). Deve ser notado que, em geral, as velocidades dos pontos de contato são diferentes das velocidades dos centros de massa dos corpos. Quando o choque oblíquo é envolvido, o coeficiente de restituição relaciona as componentes das velocidades relativas ao longo da linha de choque.
11.13-PIÕES SIMÉTRICOS E GIROSCÓPIOS
No estudo global da dinâmica, nenhum movimento seja talvez mais interessante do que aquele realizado por um pião simétrico ou giroscópio. Os giroscópios desde há muito tempo deixaram o estágio de brinquedos para crianças para agora encontrar aplicação em instrumentos tais como pilotos automáticos, plataformas estabilizadoras de canhões e sistemas inerciais de guiagem de aviões, mísseis e submarinos. Os efeitos do giroscópio são notáveis em uma variedade de exemplos onde uma peça móvel de um mecanismo contém elementos giratórios, tal como um motor ou rotor da turbina de um avião, as rodas de motocicletas e bicicletas e projéteis rotativos.
O corpo da Fig. 11.33 é simétrico em relação ao eixo z e é sustentado por uma articulação esférica, com atrito desprezível, em O. Se o corpo é liberado do repouso a partir da posição mostrada, ele girará ao redor do eixo x possuindo um momento devido ao peso P ao redor de O igual a
Entretanto, se o corpo está girando ao redor do eixo z com uma velocidade angular grande w = wk, quando é liberado, ele não girará ao redor do eixo x, e em lugar disto, girará ou sofrerá precessão ao redor do eixo y. Neste caso, o eixo x é chamado eixo do momento, o eixo y é chamado eixo de precessão e o eixo z é chamado eixo de rotação própria. Esta tendência que um corpo tem de sofrer uma rápida rotação ao redor de um segundo eixo não-paralelo ao eixo de rotação própria, quando submetido a um binário ou torque ao redor de um terceiro eixo, é denominada ação giroscópica.
Uma outra importante característicado corpo quando gira rapidamente é sua rigidez espacial, tão eficazmente empregada em navegação. Se o corpo na Fig. 11.33 é sustentado por suportes sem atrito denominados eixos de suspensão (veja a Fig. 11.34), que evitam qualquer momento externo que seja aplicado ao corpo, o eixo de rotação permanecerá fixo no espaço. Tanto a ação giroscópica como a rigidez espacial podem ser explicadas por intermédio da Eq. (11.24),
onde O é um ponto qualquer fixo no espaço.
Considere que uma segunda articulação esférica seja colocada em A na Fig. 11.33 e que ao corpo seja dada uma velocidade angular constante w = wk. Como o corpo não está livre para girar ao redor de qualquer eixo que não seja o eixo z, wx, e wy são zero. Em virtude da simetria, tanto Ixz e Iyz são nulos, e o centro de massa tem velocidade zero, visto que está sobre o eixo de rotação. Por esta condição, a Eq. (11.21ª) torna-se
A ação giroscópica atuará quando o suporte A é gradualmente removido, permitindo que o momento externo sobre o giroscópio em relação a O seja
Sob estas condições iniciais, a Eq. (11.24) transforma-se em
onde w é a velocidade angular de k, isto é, do eixo z. A Eq. (b) impõe que w x k esteja na direção de i. Desta maneira
o valor de wy pode ser obtido pela substituição da expressão anterior na Eq. (b) e é igual a
A Eq. (11.30) mostra que o movimento inicial é aquele definido como ação giroscópica. Uma vez que o movimento se inicia, a Eq. (a) não está mais correta para , porque wy e vG não são mais iguais a zero. O fato de que o movimento continua a ser uma ação giroscópica será demonstrado com um caso mais geral.
Quando um giroscópio é sustentado por eixos de suspensão (veja a Fig. 11.34), o momento externo em relação a qualquer ponto será zero, e o princípio do momento angular fornece
O momento angular será constante somente se o giroscópio continua a girar ao redor do eixo fixo z, e assim permanecerá rígido no espaço.
As duas principais características do movimento dos giroscópios foram explicadas para um caso simples. A derivação para um movimento mais geral será desenvolvido como se segue.
O corpo A na Fig. 11.35 é simétrico em relação ao eixo z e suportado em uma articulação esférica com atrito desprezível, de tal forma que pode girar ao redor de qualquer eixo que passe pelo ponto fixo O. O sistema de coordenadas XYZ é fixo no espaço, e o sistema de coordenadas xyz gira ao redor de O de maneira tal que o eixo z é sempre o eixo de simetria de A e o eixo x está sempre no plano XY. O fato de que o eixo x está sempre no plano XY de nenhuma forma restringe ou limita a orientação do eixo z. O eixo x está restrito ao plano XY por simplicidade e conveniência.
A velocidade angular relativa do corpo A em relação ao sistema de coordenadas xyz é w = wk e é comumente denominada a taxa de rotação própria. A velocidade angular do eixo x em relação ao sistema de coordenadas XYZ é e é a velocidade angular de precessão. A velocidade angular (veja a Fig. 11.35) é denominada nutação. As equações gerais do movimento do giroscópio, nas quais podem variar com o tempo, representam assim um grande desafio à solução exata, muito embora esta solução esteja sendo tentada por séculos. A nutação é indesejável em quase todas as aplicações de giroscópios em instrumentos e tem sido desenvolvido muito esforço para que ela possa ser eliminada.
Na análise que se segue é considerado igual a zero, e tanto são considerados constantes. Se é zero, não haverá nutação, e será constante. Conseqüentemente, a análise é limitada à precessão estacionária.
A equação de movimento para um giroscópio, com as condições especificadas, é derivada da relação geral . O corpo A é simétrico em relação ao eixo z; assim sendo,
Com estas simplificações, a Eq. (l1.21a) para o momento angular em relação ao ponto fixo O torna-se
Observe que os vetores unitários i, j, e k estão na direção de x, y e z, e que os vetores unitários i', j' e k' estão na direção dos eixos X, Y e Z, respectivamente. O vetor é perpendicular ao eixo x porque este eixo está no plano XY; logo, o eixo Z está no plano yz. As grandezas das componentes de nas direções y e z são , respectivamente, e as componentes da velocidade angular absoluta do corpo A nas direções x, y e z são
Quando a Eq. (c) é expandida, usando estes valores, ela se torna
Como zero, a velocidade angular do sistema de coordenadas rotativo é ; assim,
Todas as quantidades na Eq. (e) são constantes em relação ao tempo, exceto j e k, e a derivada temporal da Eq. (e) fornece
Desde que , a expressão para transforma-se em
O momento das forças externas em relação à origem O é (veja a Fig. 11.35)
e, pelo princípio do momento angular,
que se transforma em
e
Observe que .
A Eq. (11.32) pode ser usada para determinar a velocidade angular de precessão,, em função da grandeza da velocidade angular de rotação própria, w, e o ângulo . Como a equação é uma quadrática em para valores de maiores que 90o, em geral haverá dois valores distintos de . Para uma análise mais detalhada envolvendo estabilidade, pode ser mostrado que, exceto em alguns casos mais usuais, a velocidade angular de precessão observada será o menor valor obtido através da Eq, (11.32).
Para = 90°, cos é zero, e a Eq. (11.32) reduz-se à Eq. (11.30); assim,
A Eq. (11.30) mostra que quando w aumenta, a velocidade angular de precessão diminui. Para a maioria das aplicações em instrumentos, é desejável ter-se a velocidade de precessão tão pequena quanto possível, o que requer o uso de uma grande razão de rotação própria, w. Quando w é muito grande comparada com , a Eq. (11.30) aproxima-se da solução exata da Eq. (11.32) para diferente de 90o.
Geralmente, os problemas giroscópicos caem em dois tipos: (1) São dados as forças e os momentos aplicados, e tanto w ou é necessário com os outros valores conhecidos. (2) São dados w e , e são necessários os momentos e as reações nos mancais. Em ambos os casos, é necessário um diagrama de corpo livre como um primeiro passo para a solução. Quando o momento é dado, são sugeridas as seguintes etapas adicionais:
Mostre a representação vetorial de em um diagrama de corpo livre.
Calcule e mostre no diagrama de corpo livre as componentes y e z de . Uma ou ambas as componentes estarão em termos de uma velocidade angular desconhecida.
Determine a direção de rotação de ou w pelo uso do fato de que o giroscópio deve sofrer precessão de tal maneira que a extremidade de ou o vetor H se mova na direção de M quando ou H é desenhado com sua extremidade em O.
Determine a grandeza da velocidade angular desconhecida a partir de ou a partir da Eq. (11.30) ou (11.31).
Quando ambas as velocidades angulares são fornecidas, são sugeridas as seguintes etapas adicionais:
Determine e mostre sua componente z no diagrama de corpo livre. Empregue quando nenhum ponto é fixado.
Determine o sentido de a partir da direção de precessão e determine a partir da equação .
Se são necessárias as reações nos mancais, empregue as relações força-massa-aceleração, conforme haja necessidade.
Os exemplos seguintes ilustram estes procedimentos.