Apontamentos sobre Resistência dos Materiais para a MEC0404 T02 em 2016.1 Segunda Parte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
APONTAMENTOS SOBRE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-PARTE 2
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
7.1-Estados de tensão
Seja o corpo da Figura 7.1 em equilíbrio e submetido a um conjunto de esforços.
Estado triplo de tensão
No sistema de coordenadas cartesianas, o estado de tensão de um ponto B qualquer do corpo, Figura 7.1, é definido conhecendo-se as seis componentes indicadas no elemento de tensão, Figura 7.2a. Este é o estado triplo de tensão, com as tensões principais 1 > 2 > 3 ocupando qualquer posição no eixo e definindo o diagrama de Mohr da Figura 7.2b.
A situação em que as três tensões principais são iguais é denominada estado hidrostático de tensão, Figura 7.3.
Estado plano de tensão
Admitindo as tensões (z, xz, yz) da Figura 7.2a nulas ou desprezadas em relação às demais tensões, tem-se o estado plano de tensão definido no plano (x, y) com as tensões x, y e yz = Figura 7.4a.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.4b, a posição do centro C(a, 0) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Dependendo do valor de a, o centro C(a, 0) pode ocupar qualquer posição no eixo , Figura 7.4b.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinadas por meio da Equação (2.43).
Barras submetidas à força normal
Barra tracionada
Seja a barra da Figura 7.5 solicitada por forças axiais F e em equilíbrio.
Admite-se distribuição uniforme para a tensão normal na seção transversal S, que resulta de um corte imaginário na barra, Figura 7.6.
Nos trechos com força normal e área da seção transversal constantes, a tensão normal é determinada por meio da Equação (4.2).
Todos os pontos da seção S são submetidos a um estado simples de tensão, denominado tração simples, Figura 7.7.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.8b, a posição do centro C(a, 0) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinadas por meio da Equação (2.43).
Barra comprimida
Seja a barra da Figura 7.9 solicitada por forças axiais F e em equilíbrio.
Admite-se distribuição uniforme para a tensão normal na seção transversal S, que resulta de um corte imaginário na barra, Figura 7.10.
Nos trechos com força normal e área da seção transversal constantes, a tensão normal é determinada por meio da Equação (4.2).
Todos os pontos da seção S são submetidos a um estado simples de tensão, denominado compressão simples, Figura 7.11.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.12b, a posição do centro C(a, 0) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinadas por meio da Equação (2.43).
Torção em barras de seção circular
Seja o eixo de seção circular cheia, Figura 7.13, solicitado por momentos torçores T e em equilíbrio.
Na seção transversal S, que resulta de um corte imaginário no eixo, admite-se a tensão de cisalhamento r perpendicular ao raio r e variando linearmente, sendo nula no centro e máxima nos pontos da borda r = , Figura 7.14.
Por semelhança de triângulos:
Nos pontos da borda da seção transversal, a tensão de cisalhamento é determinada por meio da Equação (5.8), válida em trechos com (Mt. wt) constantes.
O módulo de resistência à torção das seções transversais da Figura 7.15 é determinado por meio das Equações (5.9), (5.15) e (5.20).
Seção transversal cheia
Tubo de parede grossa
Tubo de parede fina
onde dm = (D + d)/2 é o diâmetro médio.
Todos os pontos na borda da seção transversal s são submetidos a um estado simples de tensão, chamado cisalhamento puro, Figura 7.16.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.17b, a posição do centro C(a, O) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinadas por meio da Equação (2.43).
Vigas planas de seção transversal simétrica
Seja a viga em equilíbrio, Figura 7.18, solicitada pela carga transversal P.
Diagramas dos esforços solicitantes
Tensões
Esforços solicitantes na seção S:
A tensão normal e a tensão de cisalhamento são determinadas por meio das Equações (6.13) e (6.21), respectivamente.
Para a seção retangular, Figura 7.19b, o momento de inércia e o momento estático são calculados por meio das Equações (6.14) e (6.22), respectivamente.
Tensões nos pontos da fibra (j):
Os pontos da fibra (j), distante y do CG, têm o estado de tensão indicado na Figura 7.20.
A tensão de cisalhamento (j) na face da seção transversal tem o mesmo sentido da força cortante V, Figura 7.19a, e, nas demais faces, os sentidos são orientados seguindo o teorema de Cauchy, Figura 7.20. É importante observar que (j) é negativo no cálculo das tensões nas direções normal e paralela a um plano genérico (Capítulo 2).
A tensão normal (j) é de tração, porém pode ser de compressão, dependendo da posição do ponto na seção transversal, Figura 7.19.
O estado de tensão da Figura 7.20 é um caso particular do estado plano de tensão.
A tensão normal y é nula ou de valor desprezível em relação às demais.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.21b, a posição do centro C(a, 0) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinados por meio da equação (2.43).
Dependendo do valor de a, o centro C(a, 0) pode ocupar qualquer posição no eixo , Figura 7.21 b.
7.2-Resistência do material
Carregamento, temperatura e imperfeições do material são algumas das variáveis que dificultam decifrar, com exatidão, as causas do fenômeno de ruptura do material.
Para um determinado ponto do corpo no estado simples de tensão, a resistência do material pode ser avaliada comparando-se a tensão atuante com uma tensão limite obtida de ensaios.
Ensaio de tração simples
Seja a barra em equilíbrio da Figura 7.22, solicitada por forças axiais F que são aumentadas gradativamente até o valor Fr de ruptura.
A tensão normal é determinada por meio da Equação (4.2).
Na ruptura, a força normal N é igual à força de ruptura Fr.
Portanto, a tensão normal de ruptura é determinada por:
Todos os pontos da barra são submetidos a um estado simples de tensão, denominado tração simples, Figura 7.23.
Pelo método das tensões admissíveis, a tensão limite é a tensão admissível que pode ser determinada dividindo-se a tensão de ruptura por um coeficiente de segurança s superior à unidade.
O estado de tensão correspondente é indicado na Figura 7.24.
Solicitando a barra com uma força axial F qualquer, define-se o estado de tensão correspondente, Figura 7.25.
Verificação da resistência do material
O estado de tensão dos pontos da barra não deve exceder o limite de resistência do material.
Ao verificar se o estado de tensão do ponto considerado provoca ruptura do material, utiliza-se como limite de resistência a tensão de ruptura. Para verificar se o estado de tensão não excede o limite admissível de resistência do material, é utilizada a tensão admissível.
Tração simples
t < t,r – o estado de tensão não provoca ruptura do material.
t < t,adm – o estado de tensão não excede o limite admissível.
Os demais estados simples de tensão são analisados de modo similar.
Estado plano ou triplo de tensão
O estado de tensão do pontoconsiderado é definido por tensões normais (tração ou compressão) e tensões de cisalhamento, dificultando a realização de ensaios para determinar os limites de resistência do material. Nesses casos, são utilizados critérios de resistência desenvolvidos a partir de modelos matemáticos com hipóteses resultantes da tentativa de interpretar, da melhor maneira possível, o fenômeno de ruptura do material.
Os limites de resistência do material podem ser avaliados por meio de valores-limite da tensão normal de tração e de compressão, determinados a partir dos ensaios de tração simples e de compressão simples, respectivamente. O ângulo de atrito interno e a coesão do material também são dois parâmetros que definem os limites de resistência do material.
Por causa do comportamento diversificado dos materiais, surgiram vários critérios de resistência. São considerados apenas os critérios de von Mises e Tresca, apropriados aos materiais dúcteis, e os critérios de Rankine, Coulomb e envoltória de Mohr, apropriados aos materiais frágeis.
7.3 Critério de von Mises
Também chamado critério da energia de distorção máxima, é apropriado aos materiais dúcteis, em que t,lim c,lim.
Para um ponto qualquer do corpo, define-se o estado triplo de tensão com as respectivas tensões principais: 1 > 2 > 3, Figura 7.26.
Um estado triplo de tensão, representado pelas tensões principais, pode ser constituído a partir de outros dois estados de tensão. Por conveniência, as direções das tensões principais (1, 2, 3) são reorientadas, Figura 7.27.
	A tensão média m é definida por:
O estado de tensão com as três tensões principais iguais à tensão média m caracteriza o estado hidrostático de tensão, que não altera a forma do elemento nem interfere na ruptura do material.
Em decorrência do estado de tensão com as tensões (1 – m), (2 – m) e (3 – m), ocorre distorção alterando a forma do elemento, cuja energia de distorção máxima não deve exceder um determinado limite do material.
A teoria do critério de von Mises é desenvolvida avaliando quanto o estado de tensão considerado se afasta do estado hidrostático de tensão.
No estado hidrostático de tensão, o ponto T de coordenadas (1, 2, 3) pertence ao eixo médio, pois 1 = 2 = 3, Figura 7.28.
Em investigações experimentais, observou-se que a possibilidade de ruptura do material aumenta à medida que o estado de tensão do ponto considerado se afasta do estado hidrostático de tensão, ou seja, o ponto T(1, 2, 3) se afasta do eixo médio.
Esse afastamento é avaliado por meio do módulo do vetor , Figura 7.29.
ou
	Para gerar os vetores utiliza-se a base ortonormal , que são vetores de módulo unitário dos eixos (1, 2, 3), respectivamente, e dois a dois, ortogonais.
Vetor 
É gerado na base ortonormal , com as coordenadas (1, 2, 3) do ponto T, Figura 7.29.
Vetor 
É um vetor de módulo unitário na direção do eixo médio, gerado na base ortonormal , com as coordenadas (cos, cos, cos), Figura 7.29.
No eixo médio, = = e cos = cos = cos. Logo,
Identidade trigonométrica:
No eixo médio, = = e cos2 = cos2 = cos2.
Logo, a identidade trigonométrica torna-se:
Substituindo cos no vetor 
	Vetor 
O módulo do vetor é determinado fazendo o produto escalar dos vetores e Figura 7.29.
O vetor é de módulo unitário. Assim,
Substituindo as Equações (7.3) e (7.4) na Equação (7.6):
pois,
em que (i = 1,2,3 e j = 1,2,3)
Substituindo a Equação (7.1) na Equação (7.7):
Substituindo as Equações (7.3) e (7.8) na Equação (7.5):
Vetor 
Substituindo as Equações (7.3) e (7.9) na Equação (7.2): 
O módulo do vetor pode ser determinado por meio da Equação (7.11):
Substituindo a Equação (7.10) na Equação (7.11):
Substituindo a Equação (7.1) na Equação (7.12):
Verificação da resistência do material
Respeitando a condição da Equação (7.14), o estado de tensão de um ponto qualquer do corpo não excede o limite de resistência do material.
Por meio da Equação (7.13), o módulo é determinado para o estado de tensão do ponto considerado, podendo ser estado triplo de tensão, estado plano de tensão ou estado simples de tensão.
A fim de avaliar a resistência do material, o valor do módulo , que pode ser de ruptura ou admissível, é calculado a partir de um ensaio de tração simples.
Ensaio de tração simples
Seja a barra em equilíbrio da Figura 7.30 carregada gradativamente por forças axiais até o valor Fr de ruptura.
A tensão normal é determinada por meio da Equação (4.2).
Na ruptura, a força normal N é igual à Fr.
Portanto, a tensão normal de ruptura é determinada por:
Todos os pontos da barra são submetidos a um estado simples de tensão, denominado tração simples, Figura 7.31.
Para desenhar o diagrama de Mohr, Figura 7.32b, a posição do centro C(a, 0) e o raio b da circunferência são determinados por meio das Equações (2.41) e (2.42), respectivamente.
Tensões principais
Considera-se a tensão principal 3 nula, sendo 1 e 2 determinadas por meio da Equação (2.43).
Pelo método das tensões admissíveis, a tensão limite é a tensão admissível que pode ser determinada dividindo-se a tensão de ruptura por um coeficiente de segurança s superior à unidade.
O estado de tensão correspondente é indicado na Figura 7.33.
Tensões principais
Nos materiais dúcteis, são válidas as seguintes aproximações:
Portanto, considera-se:
em que,
O módulo é determinado por meio da Equação (7.13).
Substituindo as Equações (7.13) e (7.15) na Equação (7.14)
Denomina-se i tensão ideal, determinada por meio da Equação (7.17).
O estado de tensão do ponto considerado não excede os limites de resistência do material se a condição da Equação (7.18) for respeitada.
Estado plano de tensão
Considerando a tensão principal 3 nula, a condição da Equação (7.16) torna-se:
Elevando ambos os membros ao quadrado e dividindo por , resulta:
A condição da Equação (7.19) define uma região delimitada por uma elipse, Figura 7.34.
Os pontos na região delimitada pela elipse correspondem a estados de tensão que não excedem o limite de resistência do material, Figura 7.34.
Estado plano de tensão com y = 0
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Com y = 0 e fazendo x = tem-se:
ou
Substituindo essas tensões principais na condição da Equação (7.16):
A tensão i da Equação (7.21) é denominada tensão ideal, sendo válida apenas quando y = 0.
O estado de tensão com y = O de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se a condição da Equação (7.20) for respeitada.
7.4-Critério de Tresca
Também chamado critério da tensão de cisalhamento máxima, é apropriado aos materiais dúcteis, em que t,lim c,lim.
Para um ponto qualquer do corpo, define-se o estado triplo de tensão com as tensões principais respeitando a convenção 1 > 2 > 3.
Pelo critério de Tresca, o estado de tensão do ponto considerado não excede os limites de resistência do material se a tensão de cisalhamento máxima máx não ultrapassar a metade da tensão normal limite lim obtida a partir do ensaio de tração simples, Figura 7.36.
A tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio da maior circunferência (1, 3), Figura 7.36, e a tensão normal limite pode ser a tensão normal de ruptura t,r ou a tensão normal admissível t,adm.
Dependendo dos valores das tensões principais 1, 2 e 3, o diagrama de Mohr do estado de tensão do ponto considerado pode ocupar qualquer posição, Figura 7.36.
Estado plano de tensão
Ao considerar a tensão principal 0"3 nula, a convenção 1 > 2 > 3 deixa de ser respeitada.
As tensões principais (1, 2) podem ser determinadas por meio da Equação (2.29).
Conforme os sinais das tensões 1 e 2 podem ocorrer três possibilidades, que são analisadas utilizando o sistema ( x ), Figura 7.37, ou (1 x 2) Figura 7.38.
Sistema ( x )
A tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio da maiorcircunferência, considerando o estado triplo de tensão com Utilizando a condição da Equação (7.23), é possível avaliar o estado de tensão do ponto considerado nas três possibilidades da Figura 7.37.
i = máx − mín ≤ lim (7.23)
1a possibilidade (1 > 0 e 2 > 0) – Figura 7.37ª
Por meio da Equação (7.22):
Por meio da Equação (7.23):
2a possibilidade (1 < 0 e 2 < 0) – Figura 7.37b
Por meio da Equação (7.22):
Por meio da Equação (7.23):
3a possibilidade (1 > 0 e 2 < 0) – Figura 7.37c
Por meio da Equação (7.22):
Por meio da Equação (7.23):
O estado de tensão de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se a condição da Equação (7.22) ou da Equação (7.23) for respeitada.
Sistema (1 x 2)
No sistema (1 x 2) das três possibilidades resultam, respectivamente, pontos no 1o, 3o ou 4o quadrante, Figura 7.38. Não surgem pontos no 2o quadrante ao respeitar a convenção 1 > 2.
Os pontos na região delimitada pelo hexágono correspondem a estados de tensão que não excedem os limites de resistência do material, Figura 7.38.
t,lim c,lim = lim (materiais dúcteis)
No 4o quadrante da Figura 7.38, tem-se variação linear, pois Figura 7.37 c. Para uma determinada tensão 1 o valor de a, limite da tensão 2, é calculado por semelhança de triângulos.
Assim,
Estado plano de tensão com y = 0
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Com y = 0 e fazendo x = , tem-se:
ou
Essa situação (1 > 0 e 2 < 0) se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.37c, ou no 4o quadrante, Figura 7.38, na qual a condição da Equação (7.25) é utilizada.
Substituindo as tensões principais na condição da Equação (7.25):
ou
A tensão i da Equação (7.27) é denominada tensão ideal, sendo válida apenas quando y = 0.
Portanto, o estado de tensão com y = 0 de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se a condição da Equação (7.26) for respeitada.
7.5-Critério de Rankine
Também chamado critério das tensões normais máximas, é apropriado aos materiais frágeis, em que t,lim c,lim.
Para um ponto qualquer do corpo, define-se o estado triplo de tensão com as tensões principais respeitando a convenção 1 > 2 > 3.
Pelo critério de Rankine, o estado de tensão do ponto considerado não excede os limites de resistência do material se a máxima tensão normal de tração não ultrapassar a tensão normal de tração limite, obtida a partir do ensaio de tração simples, e a máxima tensão normal de compressão não ultrapassar a tensão normal de compressão limite, obtida a partir do ensaio de compressão simples, Figura 7.40.
A tensão normal limite pode ser a tensão normal de ruptura ou a tensão normal admissível.
Dependendo dos valores das tensões principais 1, 2 e 3, o diagrama de Mohr do estado de tensão do pomo considerado pode ocupar qualquer posição, Figura 7.40.
Estado plano de tensão
Ao considerar a tensão principal 3 nula, a convenção 1 > 2 > 3 deixa de ser respeitada.
As tensões principais (1, 2) podem ser determinadas por meio da Equação (2.29).
	Conforme os sinais das tensões 1 e 2, podem ocorrer três possibilidades, que são analisadas utilizando o sistema ( x ), Figura 7.41 ou (1 x 2), Figura 7.42.
	Sistema ( x )
1a possibilidade (1 > O e 2 > 0) – Figura 7.41a
Como 1 > 2, é suficiente verificar apenas a condição 1 t,lim.
2a possibilidade (1 < O e 2 < 0) – Figura 7.41b
Como |2| > |1| é suficiente verificar apenas a condição |2| c,lim.
3a possibilidade (1 > O e 2 < 0) – Figura 7.41c
O estado de tensão de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se as condições das Equações (7.28), (7.29) ou (7.30) forem respeitadas.
Sistema (1 x 2)
Das três possibilidades da Figura 7.41 resultam, respectivamente, pontos no 1o, 3o ou 4o quadrante da Figura 7.42. Não surgem pontos no 2o quadrante ao respeitar a convenção 1 > 2.
Os pontos na região delimitada pelo quadrado correspondem a estados de tensão que não excedem os limites de resistência do material, Figura 7.42.
c,lim t,lim (materiais frágeis)
Estado plano de tensão com y = 0
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Com y = 0 e fazendo x = , tem-se:
Essa situação (1 > O e 2 < O) se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.41c, ou no 4o quadrante, Figura 7.42, e deve ser verificada com as condições da Equação (7.30).
O estado de tensão com y = 0 de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se as condições da Equação (7.30) forem respeitadas.
7.6-Critério de Coulomb
É apropriado aos materiais frágeis, em que t,lim c,lim.
Para um ponto qualquer do corpo, define-se o estado triplo de tensão com as tensões principais respeitando a convenção 1 > 2 > 3.
Pelo critério de Coulomb, o estado de tensão do ponto considerado não excede os limites de resistência do material se a tensão de cisalhamento máxima não ultrapassar a tensão de cisalhamento limite, que varia linearmente, Figura 7.44.
A tensão de cisalhamento máxima máx é igual ao raio da maior circunferência (1, 3), Figura 7.44, e a tensão de cisalhamento limite lim é determinada por meio da reta limite.
Dependendo dos valores das tensões principais 1, 2 e 3, o diagrama de Mohr do estado de tensão do ponto considerado pode ocupar qualquer posição, Figura 7.44.
A equação da reta-limite pode ser obtida a partir dos ensaios de tração e compressão com as tensões normais t,lim e c,lim,Figura 7.44a, ou da coesão c e do ângulo de atrito interno , Figura 7.44b.
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39):
Considera-se a maior circunferência (1, 3) para determinar a posição do centro C(a, 0) e o raio b.
Equação da reta-limite
Substituindo a Equação (7.32) na Equação (2.39):
A partir da Equação (7.33), calcula-se o discriminante , Equação (7.34), que possibilita verificar se a circunferência intercepta a reta.
 0
Existem duas raízes reais para . A circunferência intercepta a reta-limite, indicando que o estado de tensão excede os limites de resistência do material.
 = 0
Existe uma raiz real dupla para . A circunferência tangencia a reta-limite, indicando que o estado de tensão está na iminência de exceder os limites de resistência do material.
 0
Não existem raízes reais para . A circunferência não intercepta a reta-limite, indicando que o estado de tensão não excede os limites de resistência do material.
Estado plano de tensão
Ao considerar a tensão principal 3 nula, a convenção 1 > 2 > 3 deixa de ser respeitada.
As tensões principais (1, 2) podem ser determinadas por meio da Equação (2.29).
Conforme os sinais das tensões 1 e 2, podem ocorrer três possibilidades, que são analisadas utilizando o sistema ( x ). Figura 7.45, ou (1 x 2), Figura 7.46.
	Sistema ( x )
A tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio da maior circunferência, Figura 7.45.
A partir da equação da circunferência de maior raio b e da equação da reta-limite, Figura 7.45, resulta uma equação do segundo grau do tipo da Equação (7.33), cujo discriminante , Equação (7.34), possibilita verificar se a circunferência intercepta a reta.
Sistema (1 x 2)
Das três possibilidades da Figura 7.45 resultam, respectivamente, pontos no 1o, 3o ou 4o quadrantes da Figura 7.46. Não surgem pontos no 2o quadrante ao respeitar a convenção 1 > 2.
Os pontos na região delimitada pelo hexágono correspondem a estados de tensão que não excedem os limites de resistência do material.
t,lim c,lim (materiais frágeis)
No 4o quadrante da Figura 7.46, tem-se variação linear, pois máx = (1 + |2|)/2, Figura 7.45c. Para uma determinada tensão 1, o valor de a, limite da tensão 2, é calculado por semelhança de triângulos.
Assim,
Dividindo ambos os lados por t,limc,lim:Estado plano de tensão com y = 0
No estado plano de tensão, considera-se a tensão principal 3 nula, e as tensões principais (1, 2) são determinadas por meio da Equação (2.29).
Com y = 0 e fazendo x = , tem-se:
ou
Essa situação (1 > O e 2 < O) se enquadra na 3a possibilidade, Figura 7.45c, ou no 4o quadrante, Figura 7.46.
O estado de tensão com y = 0 de um ponto qualquer do corpo não excede os limites de resistência do material se a condição da Equação (7.35) ou (7.36) for respeitada.
7.7-Critério da envoltória de Mohr
Para um ponto qualquer do corpo, define-se o estado triplo de tensão com as tensões principais respeitando a convenção 1 > 2 > 3.
Pelo critério da envoltória de Mohr, apropriado para solos, verifica-se a possibilidade de a maior circunferência (1, 3), Figura 7.48, do estado de tensão do ponto considerado interceptar a envoltória-limite que, em geral, é uma parábola determinada experimentalmente.
Dependendo dos valores das tensões principais 1, 2 e 3 o diagrama de Mohr do estado de tensão do ponto considerado pode ocupar qualquer posição, Figura 7.48.
Equação da envoltória-limite
É uma parábola simétrica, que pode ser determinada a partir de valores conhecidos de o e o, Figura 7.49, ou de t,lim e c,lim, Figura 7.50.
Com o e o conhecidos
As seguintes condições devem ser respeitadas:
Para = 0, tem-se = o.
Substituindo na Equação (7.37):
Para = 0, tem-se = o ou = – o.
Substituindo na Equação (7.37), com c1 = o:
Das Equações (7.38) e (7.39):
Portanto,
Chamando,
A Equação (7.40) da envoltória-limite pode ser escrita na forma da Equação (7.41), com 0.
Com t,lim e c,lim conhecidos
Equação da envoltória-limite
Utiliza-se a parábola simétrica da Equação (7.41), com 0:
Equação da circunferência do ensaio de tração simples
Substituindo at e bt, Figura 7.50:
Das Equações (7.41) e (7.42):
A envoltória-limite tangencia a circunferência do ensaio de tração simples, Figura 7.50, quando o discriminante da Equação (7.43) for nulo.
ou
Equação da circunferência do ensaio de compressão simples
Substituindo ac e bc, Figura 7.50: 
Das Equações (7.41) e (7.45):
A envoltória-limite tangencia a circunferência do ensaio de tração simples, Figura 7.50, quando o discriminante da Equação (7.46) for nulo.
ou
Das Equações (7.44) e (7.47):
Equação da circunferência
Utiliza-se a Equação (2.39):
Considera-se o centro C(a, 0) e o raio b da maior circunferência (1, 3) na Equação (2.39).
Da Equação (7.41):
Substituindo na Equação (2.39):
A partir da Equação (7.49), calcula-se o discriminante , Equação (7.50), que possibilita verificar se a circunferência intercepta a envoltória-limite.
com e determinados por meio da Equação (7.48), dependendo de t,lim e c,lim.
 > 0
Existem duas raízes reais para . A circunferência intercepta a envoltória-limite, indicando que o estado de tensão excede os limites de resistência do material.
 = 0
Existe uma raiz real dupla para . A circunferência tangencia a envoltória-limite, indicando que o estado de tensão está na iminência de exceder os limites de resistência do material.
c) < O
Não existem raízes reais para . A circunferência não intercepta a envoltória-limite, indicando que o estado de tensão não excede os limites de resistência do material.