Transformação de tensões e critérios de falhas

Prévia do material em texto

Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Capítulo 7
Transformação de tensões e 
critérios de falhas
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis
componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento.
O estado de tensão (a) não é encontrado com frequência na prática da
engenharia. Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo,
a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico
seja analisado em um único plano. Quando isso ocorre, o material está
sujeito a tensões no plano.
7.1 – Tensões principais no plano-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kN/m.
Determine o estado de tensões na viga no ponto P, que se encontra na parte
superior da alma. I=67,4(10-6)m4
Exemplo 1-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
kNm 6,30 kN 84  MV
O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde
 
 
    
   
3
6 4
3
6 4
30,6 10 0,1
45,4 
67,4 10
84 0,1075 0,175 0,015
35,2 MPa 
67,4 10 0,01
Nm mMy MPa
I m
mVQ
It m m





   
  
No ponto P, Portanto, o resultado é o seguinte:
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
A figura abaixo, mostra as relações de tensões para dois pontos da viga
em balanço abaixo:
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
 DEC
 DMF
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Entre as cargas os pontos estão submetidos somente ao momento fletor.
Já entre o apoio e o carregamento os pontos estão submetidos a
combinação do momento fletor e do esforço cortante.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
 Ponto a
Tensões no sistema xy Tensões principais
 Ponto b
 Ponto c  Ponto d
Tensões no sistema xy Tensões principais
Tensões no sistema xy Tensões principais
Tensões no sistema xy Tensões principais
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Evolução da fissuração de uma viga T, para vários estágios do
carregamento.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso 
tenha uma orientação diferente.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de 
cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento.
Para determinar , basta substituir θ por θ+90°
na equação (1) 
'
' '
cos2 sen2 (1)
2 2
sen2 cos2 (2)
2
x y x y
x xy
x y
x y xy
   
   
 
   
 
  

  
7.2 –Equações gerais de transformação 
de tensão no plano
'y
' cos2 sen2 (3)2 2
 
x y x y
y xy
         
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Convenção de sinais:
Sentido anti-horário
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento
mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro
elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição
mostrada.
Exemplo 2-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Pela convenção de sinal, temos
Para obter as componentes de tensão no plano
CD,
80 MPa 50 MPa
25 MPa 30
x y
xy
 
 
  
    
'
'
' '
' '
cos2 sen2
2 2
80 50 80 50
cos2( 30 ) ( 25)sen2( 30 ) 25,8 MPa
2 2
sen2 cos2
2
80 50
2( 30 ) ( 25)cos2( 30 ) 68,8 MPa 
2
x y x y
x xy
x
x y
x y xy
x ysen
   
   

 
   

 
   
   
         

   
 
         
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Para obter os componentes de tensão no plano BC,
'
'
cos2 sen2
2 2
80 50 80 50
cos2( 30 ) ( 25)sen2( 30 )
2 2
4,15 MPa 
x y x y
y xy
y
   
   

 
   
   
       
 
Os resultados são mostrados na figura:
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
1)O estado plano de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver 
orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. 
Respostas:
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
2)O As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15° com a 
vertical. Determine para os estados de tensões indicados abaixo (a) a tensão 
de cisalhamento paralela às fibras, (b) a tensão normal às fibras. 
Respostas:
Exercício de fixação-
    ' ' '(a) 0,6 (b) 3,84x y xMPa MPa
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Tensões principais no plano
Tensões principais ocorrem nos planos de tensão principais com 
tensão de cisalhamento igual a zero
  2/
2tg
yx
xy
p 




21
2
2
2,1 onde 
22
 




 


 xy
yxyx
7.3- Tensões principais e tensões 
de cisalhamento máximo
' ' sen2 cos2 =0 (2)2
x y
x y xy
      
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Tensão de cisalhamento máxima no plano
A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da 
tensão de cisalhamento.
Nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal 
média.
 
xy
yx
s 


2/
2tg


2
2plano no
máx 
2
xy
yx 

 




 

méd 2
x y 


Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
3)O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no 
elemento mostrado na figura abaixo. 
(a) Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais 
(b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima 
no plano e a tensão normal média associada.
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Respostas:
(a)
(b)
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
4)O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as 
tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso. 
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
7.4- Círculo de Mohr – Tensão no 
plano
A transformação da tensão no plano tem uma solução gráfica que é fácil de 
lembrar, desenvolvida por Christian Otto Mohr (1835).
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Construção:
1)Defina um sistema de coordenadas tal que a abcissa represente a
tensão normal σ como positiva para a direita e a ordenada represente a
tensão de cisalhamento τ como positiva para baixo.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
2)Usando a convenção de sinais, marque o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de σméd=(σx+ σy)/2 da origem.
3)Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A(σx,τxy).
4)Ligue o ponto A ao centro C e determine CA por trigonometria. Essa
distância representa o raio R do círculo.
5)Desenhe o círculo.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
6) As tensões principais σ1 e σ2 (σ1 maior ou igual a σ2) são apresentadas
pelos dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ , isto é, onde
τ=0.
7)As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2
(sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
8) As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão
normal média são determinados pelo círculo como as coordenadas do
ponto E e F.
9) O ângulo 2 θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em
sentido horário.
10) As tensões em um ponto P arbitrário também podem ser conhecidas,
assim como o θ (de CA até CP).
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Para a viga mostrada no exemplo 1, determine as tensões principais na viga
no ponto P.
Exemplo 1-
 
  MPa 6,649,417,22
MPa 2,197,229,41
2
1




7,22
2
04,45


O centro do círculo é e o 
ponto A é (–45,4, –35,2). Portanto, o raio é 41,9.
O ângulo em sentido anti-horário é
 6,282,572 22 pp 
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
5)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine (a) as tensões principais e a orientação do
elemento sobre o qual elas agem e (b) a tensão de cisalhamento máxima
no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age.
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
6)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na
figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as
tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem.
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
7)Resolva o exercício de fixação 3 usando o Círculo de Mohr.
Exercício de fixação-
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Falha de um elemento submetido a um estado plano
de tensão não pode ser diretamente previsto a partir
de um ensaio uniaxial.
É conveniente determinar as tensões principais e
basear os critérios de falha a partir do estado de
tensão biaxial do elemento.
Critérios de falha existentes são baseados nos 
mecanismo de falha existentes.
Eles permitem a comparação das condições de falha 
de um ensaio de tensão uniaxial e um carregamento 
biaxial.
Falha para material dúctil falha pelo escoamento,
ao passo que se for frágil isso ocorrerá pela ruptura.
7.5- Critério de falha
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Discutiremos teorias frequentemente utilizadas na prática da engenharia para
prever a falha de uma material sujeito a um estado multiaxial. Estas teorias são
utilizadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitos
manuais, normas e códigos de projetos.
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou critério de escoamento de 
Tresca (Henri Tresca, 1868) é usada para prever a tensão de falha de um 
material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga.
Em referência a tensão do plano, a teoria da tensão de cisalhamento 
máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões 
principais.
7.5.1- Critério de escoamento de Tresca
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Teoria de energia de distorção máxima ou critério de von Mises é 
usada para prever a tensão de falha de um material dúctil. 
7.5.2- Critério de von Mises
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Teoria da tensão normal máxima ou critério de Coulomb (Charles
Augustin de Coulomb, 1736-1806) afirma que materiais frágeis tendem a
falhar repentinamente por ruptura, quando ocorre a tensão de tração
máxima. Material com diagramas tensão-deformação similares para
tração e compressão.
7.5.3- Critério de Coulomb
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Se um material frágil tiverdiagramas tensão-deformação diferentes sob
tração e sob compressão, então se aplica o critério de falha de Mohr.
7.5.4- Critério de Falha de Mohr
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
8) O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 0.5 cm e é feito de
aço com tensão de escoamento de σe = 360 MPa. Determine se as cargas
provocam a falha do eixo de acordo com o critério de Tresca e von Mises.
Respostas: (a) falha (b) não falha
Exercício de fixação:
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
9) Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao
estado de tensões indicado. O aço utilizado tem σe = 331 MPa. Determine
se vai ocorrer escoamento de acordo com o critério de Tresca.
(a) considerar σo = 210 MPa (b) considerar σo = 294 MPa.
Respostas: (a) não falha (b) falha
Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
10) O eixo maciço de ferro fundido está sujeito ao torque T=400lb ft.
Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha, de acordo com a
teoria da tensão normal máxima. Um corpo de prova de ferro fundido,
testado sob tração, tem limite de resistência (σr )t= 20ksi.
Resposta: r=0,535in