INTEGRAIS - CÁLCULO 1

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Aula 20
A Integral Definida.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Definição 1
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função
contínua e não-negativa f no intervalo [a,b] é o limite da soma
das áreas dos retângulos aproximantes:
A = lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi)∆x ,
em que
∆x =
b − a
n
e xi = a + i∆x .
Definição 1
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função
contínua e não-negativa f no intervalo [a,b] é o limite da soma
das áreas dos retângulos aproximantes:
A = lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi)∆x ,
em que
∆x =
b − a
n
e xi = a + i∆x .
A Integral Definida
Definição 2
Seja f : [a,b]→ R uma função contínua. A integral de f de a e
b é ∫ b
a
f (x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (xi)∆x , (1)
em que
∆x =
b − a
n
e xi = a + i∆x .
Observação:
Sendo f uma função contínua, o limite em (1) sempre existe.
No caso geral, a definição de integral está condicionada a
existência do limite.
Algumas Fórmulas Úteis:
n∑
i=1
i =
n(n + 1)
2
,
n∑
i=1
i2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
,
n∑
i=1
i3 =
[
n(n + 1)
2
]2
,
n∑
i=1
cai = c
n∑
i=1
ai ,
n∑
i=1
(ai + bi) =
n∑
i=1
ai +
n∑
i=1
bi .
Exemplo 3
Calcule ∫ 3
0
(x3 − 6x)dx .
Exemplo 3
Calcule ∫ 3
0
(x3 − 6x)dx .
Resposta: −274 .
Exemplo 4
Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 1
0
√
1− x2dx .
Exemplo 4
Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 1
0
√
1− x2dx .
Resposta: pi/4.
Exemplo 5
Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 3
0
(x − 1)dx .
Exemplo 5
Calcule a integral interpretando-a em termos de áreas:∫ 3
0
(x − 1)dx .
Resposta: 3/2.
Propriedades:
1.
∫ b
a
[f (x)± g(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx .
2.
∫ b
a
cf (x)dx = c
∫ b
a
f (x)dx , ∀c ∈ R.
3.
∫ b
a
cdx = c(b − a), ∀c ∈ R.
Exemplo 6
Sendo
∫ 1
0 x
2dx = 1/3, calcule∫ 1
0
(4 + 3x2)dx .
Propriedades:
1.
∫ b
a
[f (x)± g(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx .
2.
∫ b
a
cf (x)dx = c
∫ b
a
f (x)dx , ∀c ∈ R.
3.
∫ b
a
cdx = c(b − a), ∀c ∈ R.
Exemplo 6
Sendo
∫ 1
0 x
2dx = 1/3, calcule∫ 1
0
(4 + 3x2)dx .
Resposta: 5.
Propriedades:
1.
∫ a
b
f (x)dx = −
∫ b
a
f (x)dx .
2.
∫ a
a
f (x)dx = 0.
3.
∫ c
a
f (x)dx =
∫ b
a
f (x)dx +
∫ c
b
f (x)dx .
Propriedades Comparativas:
1. Se f (x) ≥ 0,∀x ∈ [a,b], então∫ b
a
f (x)dx ≥ 0.
2. Se f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a,b], então∫ b
a
f (x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx .
Propriedade Comparativa:
Se m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a,b], então
m(b − a) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ M(b − a).
Exemplo 7
Use a última propriedade para estimar o valor de∫ 1
0
e−x
2
dx .
Exemplo 7
Use a última propriedade para estimar o valor de∫ 1
0
e−x
2
dx .
Resposta:
1
e
≤
∫ 1
0
e−x
2
dx ≤ 1.