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Aula 24 Volumes por Cascas Cilíndricas. O Logarítmo como uma Integral. Integração de Funções Simétricas. MA111 - Cálculo I Turmas O, P e Q Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Exemplo 1 A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante. Exemplo 1 A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante. Resposta: V = 2pi/15. Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R do exemplo anterior em torno do eixo y . I Resolveremos usando dois métodos diferentes! Exemplo 2 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R do exemplo anterior em torno do eixo y . I Resolveremos usando dois métodos diferentes! Resposta: V = pi/6. Método das Cascas Cilíndricas Definição 3 (Método das Cascas Cilíndricas) O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = f (x) de a até b é dado por V = ∫ b a 2pix︸︷︷︸ circumferência f (x)︸︷︷︸ altura dx︸︷︷︸ espessura . Exemplo 4 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y = 2x2 − x3 e y = 0. Exemplo 4 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y = 2x2 − x3 e y = 0. Resposta: V = 16pi/5. Exemplo 5 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x − x2 e y = 0, em torno da reta x = 2. Exemplo 5 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x − x2 e y = 0, em torno da reta x = 2. Resposta: V = pi 2 . O Logaritmo como uma Integral A função logaritmo pode ser definida como segue usando a noção de integral: Definição 6 (Logaritmo Natural) A função logaritmo natural é definida pela equação ln x = ∫ x 1 1 t dx , x > 0. Observação: A integral existe porque f (t) = 1/t é contínua nos intervalos de integração [x ,1] e [1, x ], para qualquer x > 0. Além disso, ln 1 = ∫ 1 1 1 t dt = 0. Corolário 7 Pelo teorema fundamental do cálculo - parte 1, temos d dx [ln x ] = 1 x . Propriedades: Se x e y forem reais positivos e r for um racional, então 1. ln(xy) = ln x + ln y . 2. ln(x/y) = ln x − ln y . 3. ln(x r ) = r ln x . Demonstração do item 1. Considere a função f (x) = ln(ax), para a > 0. Pela regra da cadeia, d dx [f (x)] = 1 ax d dx [ax ] = 1 x . Logo, f (x) = ln(ax) também é uma primitiva de 1/x . Consequentemente, existe uma constante c tal que f (x) = ln(ax) = ln x + c. Tomando x = 1, obtemos lna = ln 1 + c = c. Além disso, se a = y , encontramos ln(xy) = ln x + ln y . Função Exponencial A função exponencial é definida como a inversa da função ln. Definição 8 (Função Exponencial) A função exponencial é definida de modo que: y = ex ⇐⇒ ln y = x . Propriedades: Se x e y forem reais e r for um racional, então 1. ex+y = exey . 2. ex−y = ex − ey . 3. (ex)r = erx . 4. d dx [ex ] = ex . Simetria Teorema 9 (Integrais de Funções Simétricas) Seja f : [−a,a]→ R uma função contínua. I Se f é par, então∫ a −a f (x)dx = 2 ∫ a 0 f (x)dx . I Se f é ímpar, então ∫ a −a f (x)dx = 0. Simetria Exemplo 10 Calcule ∫ 2 −2 (x6 + 1)dx . Simetria Exemplo 10 Calcule ∫ 2 −2 (x6 + 1)dx . Resposta: 2 ( 27 7 + 2 ) = 284 7 . Simetria Exemplo 11 Determine ∫ 1 −1 tg x 1 + x2 + x4 dx . Simetria Exemplo 11 Determine ∫ 1 −1 tg x 1 + x2 + x4 dx . Resposta: 0.
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