08 INTEGRAIS - CÁLCULO 1

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Aula 28
Integração de Funções
Racionais por Frações
Parciais
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Primeiramente, vamos considerar funções racionais próprias,
ou seja,
f (x) =
R(x)
Q(x)
,
em que R(x) e Q(x) são polinômios tais que o grau de R seja
menor que o grau de Q.
Estratégia:
I Expressar o denominador Q como produto de fatores:
I lineares da forma ax + b,
I quadráticos irredutíveis da forma ax2 + bx + c, com
b2 − 4ac < 0.
I Escrever a função racional como uma soma de frações
parciais da forma
A
(ax + b)i
ou
Ax + B
(ax2 + bx + c)j
.
Exemplo 1
Encontre ∫
1
x2 − a2dx ,
para a 6= 0.
Exemplo 1
Encontre ∫
1
x2 − a2dx ,
para a 6= 0.
Resposta:
1
2a
ln
∣∣∣∣x − ax + a
∣∣∣∣+ c.
Exemplo 2
Calcule ∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x dx .
Exemplo 2
Calcule ∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x dx .
Resposta:
1
2
ln |x |+ 1
10
ln |2x − 1| − 1
10
ln |x + 2|+ c.
No caso em que
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
em que P(x) e Q(x) são polinômios mas o grau de R não é
menor que o grau de Q, devemos escrever
f (x) =
P(x)
Q(x)
= S(x) +
R(x)
Q(x)
,
com o grau de R menor que o grau de Q e aplicar a estratégia
anterior.
Exemplo 3
Encontre ∫
x3 + x
x − 1 dx
Exemplo 3
Encontre ∫
x3 + x
x − 1 dx
Resposta:
x3
3
+
x2
2
+ 2x + 2 ln |x − 1|+ c.
Exemplo 4
Encontre ∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1 dx
Exemplo 4
Encontre ∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1 dx
Resposta:
x2
2
+ x − 2
x − 1 + ln
∣∣∣∣x − 1x + 1
∣∣∣∣+ c.
Exemplo 5
Calcule ∫
2x2 − x + 4
x3 + 4x
dx
Exemplo 5
Calcule ∫
2x2 − x + 4
x3 + 4x
dx
Resposta:
ln |x |+ 1
2
ln(x2 + 4)− 1
2
tg−1
(x
2
)
+ c.
Exemplo 6
Calcule ∫
4x2 − 3x + 2
4x2 − 4x + 3dx
Exemplo 6
Calcule ∫
4x2 − 3x + 2
4x2 − 4x + 3dx
Resposta:
x +
1
8
ln(4x2 − 4x + 3)− 1
4
√
2
tg−1
(
2x − 1√
2
)
+ c.
Exemplo 7
Calcule ∫ √
x + 4
x
dx
Exemplo 7
Calcule ∫ √
x + 4
x
dx
Resposta:
2
√
x + 4 + 2 ln
∣∣∣∣√x + 4− 2√x + 4 + 2
∣∣∣∣+ c.