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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 09 Exercícios Resolvidos

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Capítulo 9
EXEMPLOS DIVERSOS
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,
por ceder, gentilmente estes exercícios.
9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante ����� para que exista �����
	�
�
� �������������
�
�ff�
�flfi e calcule o
limite.
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
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�
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�
fi !
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�
�ff�
�
fi
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�$�
�
���ffi�"�#�����
�
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!
���ffi�%� �����
�
�$�
fi
�flfi&�
�
���ffi�"�'�����
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!
�*)
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fi
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�
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fi
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�
�$�(�54
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,
�
!76
fi ; então:
�����
	�
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�3�ffi��� �����
�
�ff�
�
fi !
�����
	�
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9
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���.�"�#�����
�
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!
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:
4
[2] Calcule: �����
	�
8�
)�;0<>=
�?�ff�
�
/A@CBCDFEHGJI
GLKM@?BCD�EHGJI
.
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
;0<>=
�?�$�
�%�
;N<F=
�?�ff�
! OQPSR
T
	�U
	
�V�
OQPSR
T
	�U
	
4
Fazendo W !
�
�
OQPSR
T
	�U
	
, temos que
�
�
W
!
OSPQR
T
	�U
	
. Por outro lado observamos que se
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,
então W
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e:
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�%�
;0<>=
�?�$�
!
�V�
W
W
!
�
W
�A�
4
347
348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Logo:
��� �
	�
�
)�;0<>=
�?�ff�
�
/A@CBCDFEHGJI
GLKM@?BCD�EHGJI
!
�����
�
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W
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���
6
!
� ���
�
�
���V�
W
���
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W
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6
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6
4
[3] Calcule: ��� �
	�
��	
)
W�
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/
�
�
T
fi
	�U
.
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo W !
�$�
W�
fi
�?�$�
, temos
que W�
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!
� �V�
W e
W�
� , �$�
!
,
W�
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W�
fi �?�$� !
,
�
� �
W
W
4
Por outro lado observamos que se
� X � �
, então W
XZY
e:
�����
	�
��
	
)
W�
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/
�
�
T
fi
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!
�����
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�����
�
8�
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W��
�
�
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6
�
�
! <
�
fi
4
[4] Determine as constantes �fiffffifl � � tais que
�����
	�
 �"!
)
�
� �
fl
�
�
6
�(�(�
���
�ffi#$#$#3���
/
!
Y
4
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
)
�
� �
fl
�
�
6
�(�(�
�#�
�ffi#$#$#3���
/
!
�
�
6
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fl
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6
�(�(�
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6
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fl
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#$#$#
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fl
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#$#$#
�#�
4
Sabemos que �����
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Y
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e
fl
!
Y
.
[5] Calcule:
�����
	�
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,
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�
�%�
�
�
4
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
,
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,
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-
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-
6
	
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6
	
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-
6
	�2
���
4
9.1. LIMITES 349
Logo:
�����
	�
 �"!
,
� � - � � � �%� � �
!
��� �
	�
 �"!
,
�3�
-
6
	
���
,
6
	
�
-
6
	 2
�#�
!
�
,
4
[6] Determine a função definida por:
�
�?�$�
!
� ���
R
 �"!
�
R
�
fi
�
, fi
R
�ffi� fi
R
�
����Y
4
Solução : Observe que, se
�
!
Y
, então
�
�CY �
!
Y
; se
�
!
,
temos:
�
� , �
!
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,
R
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,
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R
�A,
fi
R
!
�����
R
 �"!
,
fi
,
R
�
, ,
R
!
,
�
,
4
Se
Y��A��� ,
, temos:
�����
R
 �"!
�
R
�
fi
�
,
fi
R
���
fi
R
!
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R
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logo
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!
Y
se
Y	�A��� ,
. Agora estudemos o caso
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R
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R
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fi
R
!
�����
R
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fi
-
�3� �
fi
	
�
fi
R
!
�
fi
4
Então:
�
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!
�
�
�
Y
se
Y��A��� ,
,
�
,
se
�
!
,
�
fi
se
� )�,
4
[7] Calcule:
� ���
	�
6
�
R
�.�
R
�
6
�ffi�
R
�
fi
�
4>4>4F4>4>4
�ffi�
fi
�ffi�%�
=
�%���
4
Solução : Dividindo os polinômios:
�
R
�ffi�
R
�
6
���
R
�
fi
�
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�ffi�
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R
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6
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R
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R
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R
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4>4>4F4>4>4
�ffi�
fi
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=
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!
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	�
6
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R
�?�ff�
!
%
R
�����
4
Por outro lado,
%
R
�����
!
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4>4>4F4>4>4
�'�
=
�-, � �#�
=
����� �
=
!
R
T
R
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6
U
fi .
[8] Calcule: �����
	�
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�����
;
�?�ff� �����
;N<F=
�?�ff��ff�ff
�
ff
��fi
,
�A���flfi
, .
350 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Seja
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�?�$�
!
���
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fi
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. Se
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fi então
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;N<F=
�?�ff��ff�ff
!
Y
, logo
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. Se
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!
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fi , então
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;N<F=
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. Logo
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se
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fi
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���
;
�?�$�
se
Y��A��� �
fi
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se
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!
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fi
4
Então
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!
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K
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!
,
4
Consequentemente, �����
	�
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;
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;0<>=
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� não existe.
[9] Calcule:
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W�
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�?�ff� � � ���
W�
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4
Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
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fi
�
�
!
;N<F=
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;
���
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!
;N<F=
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4
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���
W�
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�
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!
�
,
9
4
9.2 Continuidade
Analise a continuidade das seguintes funções:
[1]
�
�?�$�
!
�
OSPQR
T
	�U
	
 se
��
!
Y
�
se
�
!
Y
4
Solução : Claramente, o problema é determinar se
�
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Y
. Reescrevamos a função:
�
�?�$�
!
�
�
�
�
OSPSR
T
	�U
	 se
� ��Y
�
se
�
!
Y
OSPSR
T
	�U
	
se
� )�Y
4
9.2. CONTINUIDADE 351
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�
K
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�����
	�
�
�
;0<>=
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�
;N<F=
�?�ff�
� !
�
4
Então
�
não é contínua em
Y
.
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.1: Gráfico de
�
.
[2]
�
�?�$�
!
,
6��
	
� �
,
6��
	
�#� .
Solução : Reescrevamos a função:
�
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!
,
6��
	
���
,
6��
	
���
!
�Q,
6��
	
�#�
�
�-,
,
6��
	
���
!
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,
,
6��
	
���
4
Sabendo que ����� 	�
�
K
6
	
!
���
e ����� 	�
� � 6
	
!
���
, temos:
�����
	�
�
K
�
�?�$�
!
��� �
	�
�
K
)
�+�
,
,
6��
	
�#�
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!
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e �����
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!
�����
	�
�
�
)
�V�
,
,
6��
	
���
/
!
�
4
Então,
�
não é contínua em
Y
.
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.2: Gráfico de
�
�?�$�
!
fi
���
G
�
6
fi
���
G
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6
.
[3]
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!
�����
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���
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�
���
�
���
<
�
�
352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Se
����Y
, então, �����
�
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<
	
�
!
Y
e � ���
�
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�����
<
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. Logo,
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<
	
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�
���
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<
�
�
!
Y
4
Se
� )�Y
, então:
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<
	
�
�
!
���
�
<
	
�
� �3�
�
<
	
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<
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W
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<
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�
4
Logo:
�����
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 �"!
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� �3�
<
	
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���
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<
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6
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B
G
�
�
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6
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�
B
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�
�
!
�
4
Se
�
!
Y
, então ��� �
�
 �"!
,
���
�
���
<
�
�
!
Y
. Reescrevendo a função:
�
�?�ff�
!
�
Y
se
����Y
�
ff se
� ) Y
4
Então,
�
é contínua em � .
-3 3
3
Figura 9.3: Gráfico de
�
.
Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
[1]
�
�?�$�
!
�
�
�
�
�"���
se
���'� �
� �
;
�
�
	
�
� se
� �	�A�����
=
�"� �
se
� )��
4
Solução : Se
�
!
� �
, então
�
��� � �
!
� �
;
���
fi
�
!
� �
. Por outro lado:
� ���
	�
���
K
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!
� ���
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���
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�
� ���
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!
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���
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���
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!
�����
	�
���
���
;
�
fi
�
�
�
!
�8�
4
9.2. CONTINUIDADE 353
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
� �
�
���
!
�8�
, isto é, � !
�
�
. Se
�
!
�
,
então
�
� � �
!
� �
;
�
fi
�
!
�8�
. Por outro lado:
�����
	�
�
K
�
�?�$�
!
�����
	�
�
���
;
�
fi
�
�
�
!
�8�
e �����
	�
�
�
�
�?�$�
!
�����
	�
�
�
=
�"� �
�
!
�
=
���
4
e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
�
=
���
!
�8�
, isto é, = !
�
�
�
. Logo:
�
�?�$�
!
�
�
�
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�
���
se
���'� �
���
;
� �
	
�
� se
� �	�A��� �
�
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se
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-1
1
Figura 9.4: Gráfico de
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[2]
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2
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Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
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Por outro lado:
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U
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, temos que
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W
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Se
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fi
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9
!
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fi
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!
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4
354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Então, � ! 6(6
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e:
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2
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���
	
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�
se
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4
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
Figura 9.5: Gráfico de
�
.
[3]
�
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!
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6
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2
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4
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
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fi
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9
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4
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Y
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fi
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�?��� � � fi �?� �A, ��!
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	�
�
�
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9
ff
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�
�
�
=
!
9
. Então, temos o sistema:
�
�
�
=
!
�
�
�
�
=
!
9
ff
que tem soluções � !
�
�
fi e = !
�
fi .
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6
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2
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�
���
	0�
6��
se
� )��
4
9.2. CONTINUIDADE 355
-2 2 4 6
1
2
3
4
Figura 9.6: Gráfico de
�
.
[4]
�
�?�$�
!
�
�
�
�
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T��
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6
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6
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se
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4
Solução : Se
�
!
Y
, então
�
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!
�
� �
. Logo, necessáriamente devemos ter que:
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	�
�
K
�
�?�$�
!
�
fi
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9
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!
�
�CY �
!
�
���
ff
isto é, � !
9
. Por outro lado:
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	�
8�
�
�
�?�ff�
!
� ���
	�
8�
�
) ;0<>=
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4
Como: �����
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8�
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���
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G
!
���
�
��� �
	�
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��� ���>YMY&�ff� �
G
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���
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6
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!
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, temos, � ���
	�
�
�
�
�?�ff�
!
=
�>YMY ;
por outro lado, �����
	�
8�
�
�
�?�ff�
!
�
�CY �
, temos que = !
� YMY
e:
�
�?�ff�
!
�
�
�
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6
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Y
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���
T
6
�
6
�(� 	�U
se
� )�Y
4
-0.1 -0.05 0.05 0.1
Figura 9.7: Gráfico de
�
.
356 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
9.3 Derivada
[1] Considere a função
�
�?�$�
!
�
�
fl
� �
;
� , �ff�L� � ���
;
�
9
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, onde � ffffifl ff
�
� � . Sabendo que
�
� �
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!
�
,
�
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!
���
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!
��� �
�CY �
!
�
T
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U
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!
Y
e que
�
pode ser escrita na forma
�
�?�ff�
! ;0<>=
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, = ��� ,
determine � fffifl0ff
�
e = .
Solução : Primeiramente note que
�
�CY �
!
�
�
fl
���
,
��� �
�CY �
!
fl
�
9
�
e
�
� �
fi
�
!
�
�
fl
� �
; logo,
obtemos o sistema:
�
�
�
�
�
fl
� �
!
Y
�
�
fl
� �
!
�
fl
�
9
�
!
Y
ff
cuja solução é � ! �
�
, fl !
�
6
fi e
�
! 6
�
; então:
�
�?�ff�
!
�
:
�
���
;
� , �$�
,
�
���
;
�
9
�$�
:
4
Por outro lado,
���
;
�
9
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!
, ���
;
fi
� , �ff�&���
e
���
;
� , �$�
!
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fi
�?�ff�
, logo:
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!
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:
�
� �
;
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,
�
� �
;
�
9
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:
!
�
9
�
� �
;
� , �ff�
,
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� �
;
fi
� , �ff�
9
!
;0<>=
�
�?�ff�
4
Então � ! �
�
, fl !
�
6
fi ,
�
!
6
�
e = !
9
.
[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva � ! � '
�
;N<F=
�
	
�
6
fi
�
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos
�
.
Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos
�
. Se � !
Y
, temos:
�
'
�
;N<F=
�
�%� �
,
�
!
Y �
�%� �
,
!
Y � �
!
�
4
Logo, o único ponto de interseção é
���
ff
Y �
. Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
�
6
!
�
�
!
�
�
� �A, ��� � fi �
�
6
�����
!
�
,
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fi
!
�
�
�
�
!
�
/
�V�A, ��� �
fi
�
�
fi
�����
!
� ,
4
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
�
!
�
,
�?�������
�
�%�-,
�
!
�
�
!
� ,+�?���A���
�
, � �
�
!
,
4
[3] Determine a equação da reta normal à curva � !
�	�
=
�?�ff�
, que é paralela à reta
, �&� ,
�
� �
!
Y
.
9.3. DERIVADA 357
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
angular da reta
, ���-,
�
���
!
Y
é �
6
!
�
. O coeficiente angular da reta normal à curva é:
�
fi
!
�
�
�
�
!
�
�
�3� �
=
�?�ff�
4
Como as retas são paralelas, temos que �
6
!
�
fi , isto é:
�
�
�3� �
=
�?�ff� !
�
�
�
=
�?�ff�
!
� ,
�
�
�
! <
�
fi
�
logo, temos que � � ! < �
fi
�
=
�
<
�
fi
�
!
� ,
<
�
fi
. A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto
�
<
�
fi
ff
� ,
<
�
fi
�
é:
�
�A,
<
�
fi
!
�%�
<
�
fi
� �
� �
!
� �
<
�
fi
4
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Figura 9.8: A reta �
� �
!
� �
<
�
fi
.
[4] Determine os parâmetros � , fl e
�
�*� tais que a parábola � ! �
�
fi
�
fl
� � �
tangencie a reta
�
!
�
no ponto de abscissa
�
e passe pelo ponto
���8�
ff
Y �
.
Solução : Como o ponto
���8�
ff
Y �
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
�����
�
�
fl
���
!
Y
4
Como a parábola deve tangenciar a reta � !
�
no ponto de abscissa
�
, temos que se � !
�
, então
�
!
�
. Isto é, o ponto
���
ff
���
é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
� , �
�
�
fl
���
!
�
4
O coeficiente angular da reta é �
6
!
�
e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
�
fi
!
�
�
!
,
�
� �
fl , logo � fi
�����
!
,
�
�
fl . Como �
6
!
�
fi :
� � � ,
�
�
fl
!
�
4
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
�
�
�
�
�
fl
� �
!
Y
�
�
fl
� �
!
�
,
�
�
fl
!
�
ff
358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
cuja solução é: � !
�
! 6
�
e fl !76fi .
1
1
2
Figura 9.9: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
�
!
�+�
fi
� ��� �*�
� �
, sendo
�
� � � �M�
. Um caçador, munido de um rifle está localizado no
ponto
� ,
ff
Y �
. A partir de que ponto da colina, a fauna estará
�>YMY
�
segura?
Solução : Denotemos por
%
�
!
�?�
�
ff �
�
�
o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
� ,
ff
Y �
. A fauna estará a salvo, além do ponto
%
� onde a reta que liga
� ,
ff
Y �
à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
Observe que �
�
!
� , � �#���
é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto
%
� , temos �
�
!
� , �
�
�#���
e a equação da reta tangente é:
�
�
�
�
!
��� , �
�
�����M�ff�?��� �
�
�
4
Como a reta passa por
� ,
ff
Y �
, temos:
����� �
�
�
!
��� , �
�
�#���M�ff� , � �
�
�4
O ponto
%
� também pertence à parábola; então:
� , �
�
�
!
�V�
fi
�
����� �
�
�
� �
4
9.3. DERIVADA 359
Igualando (1) e (2):
�
fi
�
�
9
�
�
� �M,
!
�?�
�
�
:
�ff�?�
�
�
9
�
!
Y
�
�
�
!
:
e � � !
�
4
Então,
%
�
!
�
:
ff
�
�
e a fauna estará a salvo a partir de
� )
:
.
[6] A reta tangente à curva � !
�V�
�
� , �
fi
� �
no ponto
���
ff
, �
é também tangente à curva em
um outro ponto. Ache este ponto.
Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é �
�
!
�
9
�
�
�
9
� � �
, como
���
ff
, �
é um ponto comum à reta e a curva, temos �
�
�����
!
�
. A equação da reta tangente que passa
pelo ponto
���
ff
, �
é: � !
� � �
. Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,
resolvemos o sistema:
�
�
!
�+�
�
��, �
fi
�ffi�
�
!
�"�#�
ff
obtendo
�
�
�-, �
fi
���
!
�?�
fi
�����
fi
!
Y
e
�
!��
�
. O ponto procurado é
���8�
ff
Y �
.
-1 1
2
Figura 9.11: Exemplo [6]
[7] O ponto
%
!
�
�
ff
� �
pertence à parábola
�
fi
!
9
� . Determine todos os pontos
&
da parábola
tais que a normal em
&
passe por
%
Solução : Um ponto arbitrário da parábola é
&
!
�
�
ff
�
�
�
� e o coeficiente angular da reta normal
à curva é: �
6
!
�
6
���
!
�
fi
	
. A equação da reta normal à curva no ponto
&
é:
�
�
�
fi
9
!
�
,
�
�?���
�
�
4
Mas a normal passa pelo ponto
�
�
ff
� �
, logo:
�
�
�
fi
9
!
�
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ,
:
�
�
9
:
!
�
�
�
�
�ff�
�
��, �ff�
�
�
9
�
!
Y
4
Os pontos procurados são
&
6
!
���
9
ff
9
�
,
&
fi
!
��� ,
ff
���
e
&
�
!
�
�
ff
� �
.
360 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
-4 -2 6
1
4
9
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta
� �
�
�'�
!
Y
com a curva � !
�
fi
�
9
� �
� , traçam-se as
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
���
�
���
!
Y
com a curva:
�
�
!
�
fi
�
9
� �
�
�
!
�"���
4
Obtemos
�
fi
�
�
�+�
9
!
�?� � ���ff�?� �
9
�
!
Y
; então
�
!
�
e
�
!
9
; logo temos os pontos
%
6
!
���
ff
, �
e
%
fi
!
�
9
ff
�
�
. Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
�
!
�
�
�
�
!
�
�
, ���
9
�
�
�����
!76
fi e �
�
9
�
!
�
6
�
. As equações das normais em
%
6
e
%
fi , são respectivamente:
,
�
� �
!
�
ff
9
�
�ffi�
!
,
9
4
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
�
,
�
!
�"���
9
�
!
�+�"��,
9
�
obtemos � !
#
fi e
�
!
�
. Seja
%
�
!
�
�
ff
#
fi
� . A área do triângulo de vértices
%
6
,
%
fi e
%
�
é dada por
�
!
 � 
fi , onde:
�
!
�
�
�
�
�
� � �
�
9
�
,
�
��� ,
�
�
�
�
�
!
�
�
�
,
�
�
!
�
�
9
(
4
�
4
9.3. DERIVADA 361
1 4 6
2
4
6
Figura 9.13: Exemplo [8].
[9] Esboce o gráfico da curva �
fi
!
�
fi
�?� ��� �
.
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos � por
�
� , a equação da curva não muda;
logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos
�
. Por outro lado, � !
�
�?�$�
! �
�"� �"���
, logo
�
�
�
�
�
�
!
� � �
ff
�����
. Se
�
!
� �
, então � !
Y
e se � !
Y
, então
�
!
Y
ou
�
!
� �
. A curva
intersecta os eixos coordenados nos pontos
�CY
ff
Y �
e
��� �
ff
Y �
. Determinemos os pontos críticos,
derivando � !
�
�?�ff�
e igualando a zero:
�
�
!
�+�?� ��, �
, � �"���
!
Y
�
�
!
� ,
4
Note que �
�
��� � �
não existe e
�
é contínua em
�
!
� �
; como
�
�
�
�
�
�
!
� � �
ff
� ���
, no ponto
�
!
� �
a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal
de �
�
ao redor do ponto
�
!
� ,
:
�
�
)�Y � � )'� ,
�
�
��Y � ���'� ,
ff
logo,
�
!
� ,
é ponto de mínimo local e � !
� ,
. Pela simetria em relação ao eixo dos
�
, se
consideramos � !
�+�
�
�"���
, o ponto
��� ,
ff
, �
é de máximo. A curva não possui pontos de
inflexão ou assíntotas.
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Figura 9.14: Exemplo [9].
[10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a soma
desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?
362 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução :
yy
r
x
Figura 9.15: Exemplo [9].
Com as notações do desenho,
�
fi
�
�
fi
!
'
fi
; então � !
�
'
fi � �flfi
. O comprimento da corda é
�
!
,
� ; logo
�
!
,
�
'
fi � �flfi
. Logo, a função que devemos maximizar é:
�
�?�ff�
!
� � ,
�
'
fi � � fi
.
Derivando e igualando a zero:
�
�
�?�ff�
!
�+�
, �
�
'
fi � � fi
!
Y � , �
!
/
'
fi � � fi �
�
�
fi
!
'
fi �
�
�
!
'
�
�
4
Derivando novamente:
�
� �
�?�ff�
!
,
'
fi
�
'
fi � �flfi��
�
�
fi
�
�
� �
�
'
�
�
�
!
�
�
�
�
9
'
��Y
4
Logo, �
�
�
é ponto de máximo e
�
�
�
�
�
�
!
�
�
' .
[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone
circular reto.
Solução :
B E C
D
A
x
y
Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.
Com as notações do desenho, sejam ' e � o raio e a altura do cone, respectivamente;
�
e � o raio
a altura do cilindro. Por outro lado, o �
���
�
é semelhante ao �
���
�
; temos:
���
���
!
�
�
�
�
�
�
�
!
'
'
� �
�
�
!
�
'
�
'
� �ff� �����
4
9.3. DERIVADA 363
O volume do cilindro é � ! fi
�
fi
� ; logo, de
�����
temos que a função a maximizar é:
�
�?�$�
!
fi
�
'
�
'
�
fi
� �
�
�
4
Derivando e igualando a zero:
�
�
�?�$�
!
fi
�
'
� ,
'
� � �ff� �
!
Y
�
�
!
Y
ou
�
!
,
'
�
4
como
��
!
Y
, o único ponto crítico é
�
!
fi
�
�
. Estudemos o sinal de
,
'
� � �
:
,
'
� � � ) Y � Y �A���
,
'
�
,
'
� � ��� Y � � )
,
'
�
4
Então
�
!
fi
�
�
é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem
raio da base igual a
,�� �
do raio da base do cone e altura igual a
� � �
da altura do cone.
[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio
' .
Solução :
B
CD
A
n
2r
y
x h
Figura 9.17:
O triângulo
�
�
�
é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que � !
,
'
��,
= . Sabe-
mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua
projeção sobrea hipotenusa; logo:
�
fi
!
,
'
=
�
=
!
�
fi
,
'
e � !
,
'
�-,
=
!
,
'
�
�
fi
'
4
Então, o perímetro
%
, é:
%
�?�ff�
!
, � �A,
'
�
�
fi
'
�A,
'
�
%
�?�ff�
!
9
'
�A, ���
�
fi
'
4
Derivando e igualando a zero:
%
�
�?�$�
!
�
, �
'
�A,
!
Y � �
!
'
4
364 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Derivando novamente:
%
� �
�?�ff�
!
�
,
'
�
%
� �
�
'
� ��Y
4
Logo,
%
! �
' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio
' tem base maior igual a
,
' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' .
9.4 Integração
[1] Calcule � !
�
���
�
W�
�?�$�
�
;0<>=
�?�ff� ���
;
�?�ff���
�
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Solução : Fazendo : ( ! ���
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W�
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�
�
T
	�U
�
�
�
�
(
! �
	
OSPQR
T
	�U
���
O
T
	�U
. Então:
�
!
�
(
�
(
!
(
fi
,
� �
!
���
fi
�
W�
�?�ff�
�
,
� �
4
[2] Calcule � !
�
;0<>=
�?�ff� ���
;
�?�ff�
�3�
;0<>=
�
�?�ff���
�
.
Solução : Fazendo : W ! ;N<F=
�?�ff�
�
�
W
!
���
;
�?�$�
�
�
. Então:
�
!
�
W
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W
�
�
W
!
�
W
��� �
W
fi
�
fi
�
W
!
�
'
�
W�
�
W
fi
�
,
� �
!
�
'
�
W�
�
;0<>=
fi
�?�$�
�
,
� �
4
[3] Calcule � !
�
�
-
�3�ffi�flfi3�
/
�����.� fiF�
�
�
�
.
Solução : Note que
���ffi�
fi
�
/
�����ffi�
fi
�
�
!
���.�
fi
�'�����ffi�
fi
�
�
�����
fi
!
�����.�
fi
�ff�����
�
���ffi�
fi
�
,
então;
-
�3�ffi� fi3�
/
�����ffi� fiF�
�
!
/
���ffi� fi
-
���
/
���ffi�flfi
4
Agora, fazendo:
(
!
���
/
�3�ffi�
fi
�
�
(
!
�
�
���ffi�
fi
�
�
�
logo,
�
!
�
�
(
�
(
!
,
�
(
� �
!
,
-
���
/
���ffi�
fi
� �
4
[4] Calcule � !
�
�
�
'
�
W�
�?�$� �
=
�?�
fi
�����
�
�
.
Solução : Integramos por partes:
(
!
�
=
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fi
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�
�
(
!
, �
���ffi�
fi
�
�
���
!
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'
�
W�
�?�$�
�
�
�
�
!
�
�
�
'
�
W�
�?�ff�
�
�
4
9.4. INTEGRAÇÃO 365
Denotemos por �
6
!
�
�
�
'
�
W�
�?�$�
�
�
. Para achar � , novamente integramos por partes:
(
!
�
'
�
W�
�?�ff�
�
�
(
!
�
�
���.� fi
� � !
�
�
�
�
� !
�
fi
,
4
Logo:
�
6
!
�
fi
�
'
�
W�
�?�ff�
,
�
�
,
�
�
fi
���.� fi �
�
!
�
fi
�
'
�
W�
�?�$�
,
�
�
,
�
�
�V�
�
���.� fi�� �
�
!
�
fi
�
'
�
W�
�?�ff�
,
�
�
,
)
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�
'
�
W�
�?�$�
/
!
�?�
fi
�����
�
'
�
W�
�?�$�
,
�
�
,
4
Voltando a � : � � ( !
	
	
�
�
6
)
�?�
fi
�����
�
'
�
W�
�?�ff� � �
/
!
�
�
'
�
W�
�?�ff�&�
	
�
	
�
�
6
e:
�
� �
(
!
�
6
�
�
'
�
W�
�?�ff�&� �
ff
Então:
�
!
(
�
�
�
� �
(
!
�
,
)C�����ffi�
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�
'
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W�
�?�ff�&� �
/
) �
=
�?�
fi
����� �A�
/
�
�
'
�
W�
�?�ff� �ffi� � �
4
[5] Calcule � !
�
�
�
�
;0<>=
�?�$�
��� ���
;
fi
�?�ff���
�
.
Solução : Fazendo
�
!
fi
�
W , �
�
!
�
�
W ; se
�
!
Y
, então W ! fi e se
�
!
fi , então W !
Y
. Por ouro
lado:
�
;N<F=
�?�ff�
�3� ���
;
fi
�?�ff�
!
�
fi
�
W
�
;N<F=
�
fi
�
W
�
��� ���
;
fi
�
fi
�
W
�
!
�
fi
�
W
�
;N<F=
�
W
�
�3� ���
;
fi
�
W
�
4
Logo:
�
!
�
�
�
�
�
fi
�
W
�
;0<>=
�
W
�
�3��� �
;
fi
�
W
� �
W
!
�
�
�
fi
;N<F=
�
W
�
��� ���
;
fi
�
W
���
W
�
�
�
,
�
!
�
�
�
fi
;N<F=
�?�ff�
��� ���
;
fi
�?�ff���
�
4
Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo ( !
���
;
�?�ff�
,
então � ( !
�
;N<F=
�?�ff�
�
�
e:
,
�
!
�
fi
�
�
6
6
�
(
���
(
fi !
fi
�
6
�
6
�
(
�3�
(
fi !
fi
)
�
'
�
W�
����� �
�
'
�
W�
���8���
/
!
fi
fi
,
4
Logo � !
�
�
�
.
[6] Verifique que:
�
6
�
��� � �
fi
�
R
�
�
!
,
fi
R
�
=��
�
fi
�
,
=
�����
�
ff
=
� �
4
366 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Fazendo
�
! ;0<>=
�
W
�
, �
�
!
���
;
�
W
�
�
W ; se
�
!
Y
, então W !
Y
e se
�
!
�
, então W !
�
fi . Por
outro lado,
���V� �
fi
�
R
�
�
!
�(�V�
;N<F=
fi
�
W
�
�
R
���
;
�
W
�
�
W
!
���
;
fi
R
�
6
�
W
�
�
W , então:
�
R
!
�
6
�
���V� �
fi
�
R
�
�
!
�
�
�
fi
�
���
;
fi
R
�
6
�
W
�
�
W
�
integrando por partes:
�
R
!
���
;
fi
R
�
W
�
;N<F=
�
W
�
�
�
�
�
�
�
fi
�
�A,
=
�
�
�
fi
�
���
;
fi
R
�
6
�
W
�
;0<>=
fi
�
W
�
�
W
!
,
=
�
�
�
fi
�
���
;
fi
R
�
6
�
W
�
�
W
�-,
=
�
�
�
fi
�
���
;
fi
R
�
W
�
�
W
!
,
=
�
�
�
fi
�
���
;
fi
R
�
6
�
W
�
�
W
�-,
=
�
R
ff
isto é �
R
!
,
=
,
=
���
�
R
�
6
, como � � !
�
�
�
fi
�
���
;
�
W
�
�
W
!
�
, logo:
�
6
!
,
�
�
�
!
,
�
!
��� ,
��� �
�
fi
!
9
�
�
6
!
��� ,��
9
��� ���
�
�
�
!
�
�
�
fi
!
��� ,��
9
�
�
��� ���
�
� �
�
�
!
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�
�
�
!
��� ,��
9
�
�
�
:
��� ���
�
� ��� �
...
�
R
!
���*,��
9
�
�
�
4>4>4
� � ,
=
�-, ���*,
=
��� ���
�
� ���
4>4>4
�-� ,
=
�A�����-� ,
=
�����
�����
4
Multipliquemos
�����
por
��� ,��
9
�
�
�
4>4>4
�-� ,
=
��, ��� ,
=
��� ,��
9
�
�
�
4>4>4
�-� ,
=
��, ��� ,
=
, então:
�
R
!
�J����� , �ff� ,�� , �ff� ,	��� �ff� ,	�
9
�
4>4>4
� ,+�
=
������� ,
=
�
fi
��� ,	� ���
9
�
�
�
4>4>4
�-� ,
=
�-, ��� ,
=
� ,
=
�����
!
,
fi
R
� ��� ,�� ���
9
�
�
�
4>4>4
���
=
�������
=
�
fi
�Q,
=
�#�
�
�
!
,
fi
R
�
=��
�
fi
�2,
=
�����
�
4
[7] Determine a área da região limitada pelas curvas
�
fi
!
,�
� e
�
fi
�
!
fi
��
��
�
�
, onde
� � .
Solução : Se mudamos
�
por
�+�
, as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em
relação ao eixo dos� . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se
9.4. INTEGRAÇÃO 367
�
!
Y
, então � !
Y
e
fi
��
 �
�
�
!
Y
; se � !
Y
, então
�
!
Y
; logo os pontos
�CY
ff
Y �
e
�CY
ff
ff�
são os
pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo � !
	
�
fi�� e � !
�
2
	
�
�
�
� ,
determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
�
�
!
	
�
fi��
�
!
�
2
	
�
�
�
�
ff
donde,
�
�
� 
fi
�
fi
�A,�
�
!
Y
; fazendo ( !
�
fi
temos (
fi
� 
fi
(
�A,�
�
!
Y
e
�
! �
. Note que
�
!
Y
é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para
a outra curva é um ponto de máximo.
Figura 9.18: Região do exemplo [7].
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado
por 2:
�
!
,
�
�
�
�
�
�
fi
� 
fi
�
�
fi
,�
�
�
�
!
fi
)
fi
,
�
�
�
/
(
4
�
4
[8] Determine a área da região limitada pela curva
�
�
� �
�
�
�
fi
!
Y
e pelos eixos coordenados.
Solução : Se mudamos
�
por
�V�
e � por
�
� , a equação não muda, logo a curva é simétrica
em relação ao eixo dos
�
e dos � . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixos
coordenados. Se
�
!
Y
, então � !
Y
e se � !
Y
, então
�
�
�?�
fi
� ���
!
Y
; logo os pontos
�CY
ff
Y �
,
���8�
ff
Y �
e
���
ff
Y �
são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos � !
�
fi �
�V� �
fi
; logo
�
�
� �8�
ff
� ff
. Não é difícil ver que em
�
!
Y
a curva possui um ponto de mínimo local e que
�
! �
�
�
�
são pontos de máximo local.
-1 1
0.4
-1 1
0.4
Figura 9.19: Região do exemplo [8].
368 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado
por
,
.
�
!
,
�
6
�
�
fi /
�V� � fi
�
�
4
Fazendo
�
! ;0<>=
�
W
�
, então �
�
!
���
;
�
W
�
�
W e
�
fi �
�V� � fi
�
�
! ;0<>=
fi
�
W
� ���
;
fi
�
W
�
�
W ; então:
�
!
,
�
�
�
fi
�
;0<>=
fi
�
W
� ���
;
fi
�
W
�
�
W
!
�
,
�
�
�
fi
�
�S,
;N<F=
�
W
� ���
;
�
W
�
�
fi
�
W
!
�
,
�
�
�
fi
�
;0<>=
fi
� ,
W
�
�
W
!
�
9
�
�
�
fi
�
� �V� ���
;
�
9
W
�
�
�
W
!
fi
:
(
4
�
4
[9] Determine a área da região limitada pelas curvas
�
�
���
fi
�
:
�
!
Y
,
9
�
� �
fi
� �
�
!
Y
,
�
� �
fi
�A�
!
Y
e o eixo dos � .
Solução : Determinemos as interseções das curvas:
�����
�
�
�
� �
fi
!
:
�
9
�
� �
fi
!
�
�
� , �
�
�
�
� �
fi
!
:
�
�
� �
fi
!
�
� � �
�
9
�
� �
fi
!
�
�
�
� �
fi
!
�
De
�����
obtemos � !
� �
, logo
�
!
�
; de
� , �
obtemos � !
�>Y
, logo
�
!
�
e de
� � �
obtemos � ! � ,
logo
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,
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1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
Figura 9.20: Região do exemplo [9].
Logo:
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9
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4
[10] Determine o volume da calota esférica de altura � se a esfera tem raio
�
.
9.4. INTEGRAÇÃO 369
h
R
Figura 9.21: Região do exemplo [10].
Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos � !
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fi
� �
fi
e a
seguinte região:
R
R-h
Figura 9.22:
Logo:
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4
Em particular, se � !
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, então � !
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é o volume da semi-esfera de raio
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; se � !
,
�
então
�
!
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�
�
2
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é o volume da esfera de raio
�
.
[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas
curvas � ! < �
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, � ! < �
	
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e o eixo dos
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, em torno do eixo dos
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.
Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
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370 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
Figura 9.23: Região do exemplo [11].
Logo:
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[12] Calcule o comprimento de arco da curvas � � � !
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situado dentro do círculo
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Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas:
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-1
-2
1
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Figura 9.24: Região do exemplo [12].
Pela simetria da curva, consideremos
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, derivando
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4
9.4. INTEGRAÇÃO 371
[13] Calcule a área da região determinada por �
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!
	
2
fi
���
	 e sua assíntota, �
!
Y
.
Solução : Se mudamos � por
�
� , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao
eixo dos
�
. Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.25: Região do exemplo [13].
A equação da assíntota é
�
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,
� ; então consideramos � !
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[14] Calcule a área da região limitada pela curva � !
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e o eixo dos
�
.
Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
372 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Figura 9.26: Região do exemplo [14].
Logo:
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