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Capítulo 9 EXEMPLOS DIVERSOS Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ, por ceder, gentilmente estes exercícios. 9.1 Limites [1] Determine o valor da constante ����� para que exista ����� � � � ������������� � �ff� �flfi e calcule o limite. Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: � ���ffi��� ����� � �ff� � fi ! � ���ffi��� ����� � �ff� � fi � ���ffi�"�#����� � �$� � ���ffi�"�#����� � �$� ! ���ffi�%� ����� � �$� fi �flfi&� � ���ffi�"�'����� � �ff�(� ! �*) �+�-, � � � fi � � fi � � ���.�"�#����� � �$�(�0/ ! �+�-, � �1�2� �3�.�"�#����� � �$�(� � � fi �2� ���.�"�#����� � �$�(�54 Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é, � !76 fi ; então: ����� � � � �3�ffi��� ����� � �ff� � fi ! ����� � � �8� 9 � � ���.�"�#����� � �$�(� ! � � : 4 [2] Calcule: ����� � 8� )�;0<>= �?�ff� � /A@CBCDFEHGJI GLKM@?BCD�EHGJI . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão: ;0<>= �?�$� �%� ;N<F= �?�ff� ! OQPSR T �U �V� OQPSR T �U 4 Fazendo W ! � � OQPSR T �U , temos que � � W ! OSPQR T �U . Por outro lado observamos que se ��X Y , então W XZY e: ;0<>= �?�ff� �%� ;0<>= �?�$� ! �V� W W ! � W �A� 4 347 348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Logo: ��� � � � )�;0<>= �?�ff� � /A@CBCDFEHGJI GLKM@?BCD�EHGJI ! ����� � 8� ���V� W ��� ��� 6 ! � ��� � � ���V� W ��� � ���V� W � � 6 ! < � 6 4 [3] Calcule: ��� � � �� ) W� �?�$� / � � T fi �U . Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo W ! �$� W� fi �?�$� , temos que W� �?�ff� ! � �V� W e W� � , �$� ! , W� �?�ff� �+� W� fi �?�$� ! , � � � W W 4 Por outro lado observamos que se � X � � , então W XZY e: ����� � �� ) W� �?�ff� / � � T fi �U ! ����� � 8� ) � �+� W / ��� � K � � ! ����� � 8� )�� �+� W�� � � / /�� 6 � � ! < � fi 4 [4] Determine as constantes �fiffffifl � � tais que ����� � �"! ) � � � fl � � 6 �(�(� ��� �ffi#$#$#3��� / ! Y 4 Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão: ) � � � fl � � 6 �(�(� �#� �ffi#$#$#3��� / ! � � 6 �(�(� � � � � fl � #$#$# � fl � � 6 �(�(� ��� �ffi#$#$#3�#� ! � 6 �(�(� � � ����� � fl � #$#$# � � � � fl �A� � #$#$# �#� 4 Sabemos que ����� � �"! % �?�ff� & �?�ff� ! Y se �' ��( � & �*) �' �+( � % � . Logo, � ��� ! Y e fl ! Y , ou seja � ! � e fl ! Y . [5] Calcule: ����� � �"! , � �.- �"� � �%� � � 4 Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão: , � � - � � � �%� � � ! ) , � � - �"� � �%� � � / ) - � �./ � � � � � � � - � �./ � � � � � � � / ! � �./ �"� � ��� � - �"� / � � � � � � � ! / �"� � � - �"� / �"� � � � � � ! � 0� � � 1 0� � 0� � � ��� ! , ��� - 6 �3� , 6 � - 6 �2 ��� 4 9.1. LIMITES 349 Logo: ����� � �"! , � � - � � � �%� � � ! ��� � � �"! , �3� - 6 ��� , 6 � - 6 2 �#� ! � , 4 [6] Determine a função definida por: � �?�$� ! � ��� R �"! � R � fi � , fi R �ffi� fi R � ����Y 4 Solução : Observe que, se � ! Y , então � �CY � ! Y ; se � ! , temos: � � , � ! ����� R �"! , R � fi � , fi R �A, fi R ! ����� R �"! , fi , R � , , R ! , � , 4 Se Y��A��� , , temos: ����� R �"! � R � fi � , fi R ��� fi R ! ����� R �"! D � � fi D - �3� � fi � fi R ! Y ff logo � �?�$� ! Y se Y �A��� , . Agora estudemos o caso � ) , : ����� R �"! � R � fi � , fi R �ffi� fi R ! � ��� R �"! D � � D - �3� � fi � fi R ! ����� R �"! � fi - �3� � fi � fi R ! � fi 4 Então: � �?�ff� ! � � � Y se Y��A��� , , � , se � ! , � fi se � )�, 4 [7] Calcule: � ��� � 6 � R �.� R � 6 �ffi� R � fi � 4>4>4F4>4>4 �ffi� fi �ffi�%� = �%��� 4 Solução : Dividindo os polinômios: � R �ffi� R � 6 ��� R � fi � 4>4>4�4>4>4 �ffi� fi �.�%� = ! �?������� % R �?�$� ff onde % R �?�ff� ! � R � 6 �A, � R � fi ��� � R ��� � 4>4>4 �'� = �-, � � fi ��� = �A��� � � = . Logo: ��� � � 6 � R �ffi� R � 6 �ffi� R � fi � 4>4>4F4>4>4 �ffi� fi �.��� = ����� ! � ��� � 6 % R �?�ff� ! % R ����� 4 Por outro lado, % R ����� ! �3�A, ���V� 4>4>4F4>4>4 �'� = �-, � �#� = ����� � = ! R T R � 6 U fi . [8] Calcule: ����� � 8� ����� ; �?�ff� ����� ;N<F= �?�ff��ff�ff � ff ��fi , �A���flfi , . 350 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : Seja � �?�$� ! ��� ; �?�ff� ����� ;N<F= �?�ff��ff�ff . Se � � fi ������Y , então �8� � ;0<>= �?�$� ��Y e ��� ;N<F= �?�ff��ff�ff ! ! �8� , logo � �?�$� ! ��� ; �?�$��� � . Se Y � � � � fi então Y � ;0<>= �?�$� � � e ��� ;N<F= �?�ff��ff�ff ! Y , logo � �?�ff� ! � � ; �?�ff� . Se � ! � fi , então ��� ;N<F= � � fi � ff�ff ! � e � � � fi � ! �8� . Logo � �?�$� ! � � � ��� ; �?�$� ��� se � � fi �A��� Y ��� ; �?�$� se Y��A��� � fi �8� se � ! � fi 4 Então ��� � � � � � �?�$� ! ����� � � � ��� ; �?�ff� ! � ff ����� � � K � �?�$� ! ��� � � � K � � ; �?�ff� �#� ! , 4 Consequentemente, ����� � � � ��� ; �?�ff�&����� ;0<>= �?�$��ff�ff � não existe. [9] Calcule: ����� � � � ;0<>= � �"��� � � � � � W� � �?�ff� � � ��� W� �?�$� 4 Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador: ;0<>= � � ��� fi � � ! ;N<F= �?�ff� ��� ; ��� fi � � � ;0<>= � � fi � � ��� ; �?�$� ! � , ) � � ; �?�ff�&� � � ;N<F= �?�ff� / ! ;N<F= �?�ff� , ) � � W� �?�ff� � � � / ff pois ;0<>= �?�ff�� ! Y , então: ;N<F= � �"� � � � � ��� W� � �?�$� � � ���W� �?�$� ! ;0<>= �?�ff� ����� W� �?�$� � � � � , � � W� �?�ff� � ��� W� �?�ff�&� � � � � ��� W� �?�ff� � � � � ! ;N<F= �?�ff� , � � W� �?�ff� � ��� W� �?�$� � � � � 4 Logo: ����� � � � ;0<>= � � � � � � � ��� W� � �?�ff�&� � � � W �?�ff� ! ����� � � � ;0<>= �?�$� , ��� W� �?�ff� � ��� W� �?�$� � � � � ! � , 9 4 9.2 Continuidade Analise a continuidade das seguintes funções: [1] � �?�$� ! � OSPQR T �U se �� ! Y � se � ! Y 4 Solução : Claramente, o problema é determinar se � é contínua em Y . Reescrevamos a função: � �?�$� ! � � � � OSPSR T �U se � ��Y � se � ! Y OSPSR T �U se � )�Y 4 9.2. CONTINUIDADE 351 Logo, ����� � � K � �?�$� ! � ����� � � � ;0<>= �?�$� � ! �8� e ��� � � 8� � � �?�ff� ! ��� � � � � ;N<F= �?�ff� � ! � 4 Então � não é contínua em Y . -6 -4 -2 2 4 6 -1 -0.5 0.5 1 Figura 9.1: Gráfico de � . [2] � �?�$� ! , 6�� � � , 6�� �#� . Solução : Reescrevamos a função: � �?�ff� ! , 6�� ��� , 6�� ��� ! �Q, 6�� �#� � �-, , 6�� ��� ! �+� , , 6�� ��� 4 Sabendo que ����� � � K 6 ! ��� e ����� � � � 6 ! ��� , temos: ����� � � K � �?�$� ! ��� � � � K ) �+� , , 6�� �#� / ! �8� e ����� � � � � �?�$� ! ����� � � � ) �V� , , 6�� ��� / ! � 4 Então, � não é contínua em Y . -2 -1 1 2 -1 -0.5 0.5 1 Figura 9.2: Gráfico de � �?�$� ! fi ��� G � 6 fi ��� G � 6 . [3] � �?�$� ! ����� � �"! ��� �(��� < � � ��� � ��� < � � 352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : Se ����Y , então, ����� � �"! < � ! Y e � ��� � �"! ����� < � � ! ��� . Logo, � ��� � �"! ��� �J��� < � � ��� � ��� < � � ! Y 4 Se � )�Y , então: ��� � �3� < � � ! ��� � < � � �3� � < � � � ! ��� � < � � � ��� � ��� � < � � ! � W � ��� � �3� � < � � ��� �J�3� < � � ! ��� � < � �(��� � < � ��� ! � � � < � � � ��� �(��� � < � � ! W � � � �J��� � < � � 4 Logo: ����� � �"! ��� � �3� < � � ��� �J�3� < � � ! ��� � � �"! �"� ��� � 6 � � B G � � � ��� ��� � 6 � � B � � � ! � 4 Se � ! Y , então ��� � � �"! , ��� � ��� < � � ! Y . Reescrevendo a função: � �?�ff� ! � Y se ����Y � ff se � ) Y 4 Então, � é contínua em � . -3 3 3 Figura 9.3: Gráfico de � . Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas: [1] � �?�$� ! � � � � �"��� se ���'� � � � ; � � � � se � � �A����� = �"� � se � )�� 4 Solução : Se � ! � � , então � ��� � � ! � � ; ��� fi � ! � � . Por outro lado: � ��� � ��� K � �?�$� ! � ��� � ��� � � � ��� � ! � � � ��� e ����� � ��� � � �?�ff� ! ����� � ��� ��� ; � fi � � � ! �8� 4 9.2. CONTINUIDADE 353 Como os limites laterais devem ser iguais, temos que � � � ��� ! �8� , isto é, � ! � � . Se � ! � , então � � � � ! � � ; � fi � ! �8� . Por outro lado: ����� � � K � �?�$� ! ����� � � ��� ; � fi � � � ! �8� e ����� � � � � �?�$� ! ����� � � � = �"� � � ! � = ��� 4 e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que � = ��� ! �8� , isto é, = ! � � � . Logo: � �?�$� ! � � � � � ��� se ���'� � ��� ; � � � � se � � �A��� � � � � ��� se � )�� 4 -3 3 -1 1 Figura 9.4: Gráfico de � . [2] � �?�$� ! � � � OQPSR T 6(6 � fi(fi U � � � se ��� , � se � ! , 2 � � � ��� fi 0� � � 2 ��� � � � se � ) , 4 Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: � � � � � fi � �M, � ��� � � � � � � fi � 9 ! �?����, � fi �?� ��� � �?����, � fi �?� ����� 4 Por outro lado: OQPSR T 6(6 � fi(fi U � � � ! OSPQR � 6(6 T � fi U U � T � fi U , fazendo W ! ���-, , temos que � X , � , então W XZY � , e: ;0<>= ���M�ff���-,M, � � �%� � ! ;N<F= �(�M� �?���-, �(� �+�?���-, � ! ;0<>= � �M� W � � W ! �M� � ) ;N<F= �(�M� W � �M� W / 4 Se � ! , , então � � , � ! � . Logo: ����� � fi K � �?�ff� ! ����� � fi K ;0<>= �(�M� �?� �-, �(� �+�?���-, � ! ����� � � K �M� � ) ;0<>= �J�M� W � �M� W / ! �M� � � ��� � fi � � �?�ff� ! � ��� � fi � � � � � � fi � �M, � ��� � � � � � � fi � 9 ! ����� � fi � � ��� � ��� ! �M� � 4 354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Então, � ! 6(6 � e: � �?�ff� ! � � � OSPQR T 6(6 � fi(fi U � � � se ��� , 6(6 � se � ! , 2 � � � ��� fi 0� � � 2 ��� � � � se � ) , 4 -1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 Figura 9.5: Gráfico de � . [3] � �?�$� ! � � � P @CBCDFEHGJI � 6 se ����Y � � � ; � fi �ff� � = se Y��A����� 2 � 6(6 � � # � 0� 6 � � 2 � � � ��� 0� 6�� se � )�� 4 Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios: � � ���M�ff� fi � � � � ��� � � � � � 9 � fi � � � ��� : ! �?��� � � fi �?� �����M� �?��� � � fi �?� �A, � 4 Se � ! Y , então � �CY � ! � � = , e: ����� � 8� K � �?�ff� ! ����� � � K < OQPSR T �U �A� � ! ����� � � K )�< OSPQR T �U ��� ;0<>= �?�$� / )S;0<>= �?�ff� � / ! � ff � ��� � 8� � � �?�ff� ! � ��� � 8� � � � ��� ; � fi �$�$� = � ! � � = ff logo, � � = ! � . Se � ! � , então � � � � ! � � � = , e: ����� � � K � �?�$� ! ����� � � K � � ��� ;� fi �ff� � = � ! � � � = ff ����� � � � � �?�ff� ! ����� � � � �?��� � � fi �?� �����M� �?��� � � fi �?� �A, ��! ����� � � � � ����� �"�A, ! 9 ff logo, � � � = ! 9 . Então, temos o sistema: � � � = ! � � � � = ! 9 ff que tem soluções � ! � � fi e = ! � fi . � �?�$� ! � � � P @?BCD�EHGJI � 6 se ����Y � ����� O T � �U fi � � fi se Y ������� 2 � 6(6 � � # � 0� 6 � � 2 � � � ��� 0� 6�� se � )�� 4 9.2. CONTINUIDADE 355 -2 2 4 6 1 2 3 4 Figura 9.6: Gráfico de � . [4] � �?�$� ! � � � � � 0� T�� � � � U � ����� � � � T 6(6 �U se ���AY � ��� se � ! Y OSPQR T R �U ��� T 6 � 6 �(� �U se � )AY 4 Solução : Se � ! Y , então � �CY � ! � � � . Logo, necessáriamente devemos ter que: ����� � � K � �?�$� ! � fi � 9 � ! � �CY � ! � ��� ff isto é, � ! 9 . Por outro lado: � ��� � 8� � � �?�ff� ! � ��� � 8� � ) ;0<>= � = �$� = � / ) = � ��� �������>YMY&�$� / ! = ����� � � � ) � ��� �������>YMY&�$� / ! = � ��� � 8� � ) � ��� �������>YMY&�ff� � G / 4 Como: ����� � 8� � ��� �����#�>YMY&�$� � G ! ��� � ��� � � � � ��� ���>YMY&�ff� � G � ! ��� � < 6 �(� � ! �>YMY , temos, � ��� � � � � �?�ff� ! = �>YMY ; por outro lado, ����� � 8� � � �?�ff� ! � �CY � , temos que = ! � YMY e: � �?�ff� ! � � � � � 0� 6 fi � ����� � � � T 6(6 �U se ����Y � se � ! Y OQPSR T � �(� �U ��� T 6 � 6 �(� �U se � )�Y 4 -0.1 -0.05 0.05 0.1 Figura 9.7: Gráfico de � . 356 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 9.3 Derivada [1] Considere a função � �?�$� ! � � fl � � ; � , �ff�L� � ��� ; � 9 �ff� , onde � ffffifl ff � � � . Sabendo que � � � fi � ! � , � �CY � ! ��� �CY � ! ��� � �CY � ! � T � U �CY � ! Y e que � pode ser escrita na forma � �?�ff� ! ;0<>= R �?�ff� , = ��� , determine � fffifl0ff � e = . Solução : Primeiramente note que � �CY � ! � � fl ��� , ��� � �CY � ! fl � 9 � e � � � fi � ! � � fl � � ; logo, obtemos o sistema: � � � � � fl � � ! Y � � fl � � ! � fl � 9 � ! Y ff cuja solução é � ! � � , fl ! � 6 fi e � ! 6 � ; então: � �?�ff� ! � : � ��� ; � , �$� , � ��� ; � 9 �$� : 4 Por outro lado, ��� ; � 9 �ff� ! , ��� ; fi � , �ff�&��� e ��� ; � , �$� ! �V��, ;N<F= fi �?�ff� , logo: � �?�ff� ! � : � � � ; � , �ff� , � � � ; � 9 �ff� : ! � 9 � � � ; � , �ff� , � � � ; fi � , �ff� 9 ! ;0<>= � �?�ff� 4 Então � ! � � , fl ! � 6 fi , � ! 6 � e = ! 9 . [2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva � ! � ' � ;N<F= � � 6 fi � no ponto onde a curva intersecta o eixo dos � . Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos � . Se � ! Y , temos: � ' � ;N<F= � �%� � , � ! Y � �%� � , ! Y � � ! � 4 Logo, o único ponto de interseção é ��� ff Y � . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta tangente e da reta normal à curva são, respectivamente: � 6 ! � � ! � � � �A, ��� � fi � � 6 ����� ! � , � fi ! � � � � ! � / �V�A, ��� � fi � � fi ����� ! � , 4 Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente: � ! � , �?������� � �%�-, � ! � � ! � ,+�?���A��� � , � � � ! , 4 [3] Determine a equação da reta normal à curva � ! � � = �?�ff� , que é paralela à reta , �&� , � � � ! Y . 9.3. DERIVADA 357 Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente angular da reta , ���-, � ��� ! Y é � 6 ! � . O coeficiente angular da reta normal à curva é: � fi ! � � � � ! � � �3� � = �?�ff� 4 Como as retas são paralelas, temos que � 6 ! � fi , isto é: � � �3� � = �?�ff� ! � � � = �?�ff� ! � , � � � ! < � fi � logo, temos que � � ! < � fi � = � < � fi � ! � , < � fi . A equação da reta normal à curva que passa pelo ponto � < � fi ff � , < � fi � é: � �A, < � fi ! �%� < � fi � � � � ! � � < � fi 4 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 Figura 9.8: A reta � � � ! � � < � fi . [4] Determine os parâmetros � , fl e � �*� tais que a parábola � ! � � fi � fl � � � tangencie a reta � ! � no ponto de abscissa � e passe pelo ponto ���8� ff Y � . Solução : Como o ponto ���8� ff Y � deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos que: ����� � � fl ��� ! Y 4 Como a parábola deve tangenciar a reta � ! � no ponto de abscissa � , temos que se � ! � , então � ! � . Isto é, o ponto ��� ff ��� é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que: � , � � � fl ��� ! � 4 O coeficiente angular da reta é � 6 ! � e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é � fi ! � � ! , � � � fl , logo � fi ����� ! , � � fl . Como � 6 ! � fi : � � � , � � fl ! � 4 Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema: � � � � � fl � � ! Y � � fl � � ! � , � � fl ! � ff 358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS cuja solução é: � ! � ! 6 � e fl !76fi . 1 1 2 Figura 9.9: Exemplo [4]. [5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação � ! �+� fi � ��� �*� � � , sendo � � � � �M� . Um caçador, munido de um rifle está localizado no ponto � , ff Y � . A partir de que ponto da colina, a fauna estará �>YMY � segura? Solução : Denotemos por % � ! �?� � ff � � � o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo caçador, situado no ponto � , ff Y � . A fauna estará a salvo, além do ponto % � onde a reta que liga � , ff Y � à colina seja tangente à mesma. 2 Figura 9.10: Vista bidimensional do problema. Observe que � � ! � , � �#��� é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo, no ponto % � , temos � � ! � , � � �#��� e a equação da reta tangente é: � � � � ! ��� , � � �����M�ff�?��� � � � 4 Como a reta passa por � , ff Y � , temos: ����� � � � ! ��� , � � �#���M�ff� , � � � �4 O ponto % � também pertence à parábola; então: � , � � � ! �V� fi � ����� � � � � � 4 9.3. DERIVADA 359 Igualando (1) e (2): � fi � � 9 � � � �M, ! �?� � � : �ff�?� � � 9 � ! Y � � � ! : e � � ! � 4 Então, % � ! � : ff � � e a fauna estará a salvo a partir de � ) : . [6] A reta tangente à curva � ! �V� � � , � fi � � no ponto ��� ff , � é também tangente à curva em um outro ponto. Ache este ponto. Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é � � ! � 9 � � � 9 � � � , como ��� ff , � é um ponto comum à reta e a curva, temos � � ����� ! � . A equação da reta tangente que passa pelo ponto ��� ff , � é: � ! � � � . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente, resolvemos o sistema: � � ! �+� � ��, � fi �ffi� � ! �"�#� ff obtendo � � �-, � fi ��� ! �?� fi ����� fi ! Y e � !�� � . O ponto procurado é ���8� ff Y � . -1 1 2 Figura 9.11: Exemplo [6] [7] O ponto % ! � � ff � � pertence à parábola � fi ! 9 � . Determine todos os pontos & da parábola tais que a normal em & passe por % Solução : Um ponto arbitrário da parábola é & ! � � ff � � � � e o coeficiente angular da reta normal à curva é: � 6 ! � 6 ��� ! � fi . A equação da reta normal à curva no ponto & é: � � � fi 9 ! � , � �?��� � � 4 Mas a normal passa pelo ponto � � ff � � , logo: � � � fi 9 ! � , � � � � � � � � � � , : � � 9 : ! � � � � �ff� � ��, �ff� � � 9 � ! Y 4 Os pontos procurados são & 6 ! ��� 9 ff 9 � , & fi ! ��� , ff ��� e & � ! � � ff � � . 360 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS -4 -2 6 1 4 9 Figura 9.12: Exemplo[7]. [8] Nos pontos de interseção da reta � � � �'� ! Y com a curva � ! � fi � 9 � � � , traçam-se as normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende os referidos pontos de interseção. Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta ��� � ��� ! Y com a curva: � � ! � fi � 9 � � � � ! �"��� 4 Obtemos � fi � � �+� 9 ! �?� � ���ff�?� � 9 � ! Y ; então � ! � e � ! 9 ; logo temos os pontos % 6 ! ��� ff , � e % fi ! � 9 ff � � . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por: � ! � � � � ! � � , ��� 9 � � ����� !76 fi e � � 9 � ! � 6 � . As equações das normais em % 6 e % fi , são respectivamente: , � � � ! � ff 9 � �ffi� ! , 9 4 Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais: � , � ! �"��� 9 � ! �+�"��, 9 � obtemos � ! # fi e � ! � . Seja % � ! � � ff # fi � . A área do triângulo de vértices % 6 , % fi e % � é dada por � ! � fi , onde: � ! � � � � � � � � � 9 � , � ��� , � � � � � ! � � � , � � ! � � 9 ( 4 � 4 9.3. DERIVADA 361 1 4 6 2 4 6 Figura 9.13: Exemplo [8]. [9] Esboce o gráfico da curva � fi ! � fi �?� ��� � . Solução : Primeiramente observamos que se mudamos � por � � , a equação da curva não muda; logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos � . Por outro lado, � ! � �?�$� ! � �"� �"��� , logo � � � � � � ! � � � ff ����� . Se � ! � � , então � ! Y e se � ! Y , então � ! Y ou � ! � � . A curva intersecta os eixos coordenados nos pontos �CY ff Y � e ��� � ff Y � . Determinemos os pontos críticos, derivando � ! � �?�ff� e igualando a zero: � � ! �+�?� ��, � , � �"��� ! Y � � ! � , 4 Note que � � ��� � � não existe e � é contínua em � ! � � ; como � � � � � � ! � � � ff � ��� , no ponto � ! � � a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinal de � � ao redor do ponto � ! � , : � � )�Y � � )'� , � � ��Y � ���'� , ff logo, � ! � , é ponto de mínimo local e � ! � , . Pela simetria em relação ao eixo dos � , se consideramos � ! �+� � �"��� , o ponto ��� , ff , � é de máximo. A curva não possui pontos de inflexão ou assíntotas. -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 Figura 9.14: Exemplo [9]. [10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a soma desse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima? 362 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : yy r x Figura 9.15: Exemplo [9]. Com as notações do desenho, � fi � � fi ! ' fi ; então � ! � ' fi � �flfi . O comprimento da corda é � ! , � ; logo � ! , � ' fi � �flfi . Logo, a função que devemos maximizar é: � �?�ff� ! � � , � ' fi � � fi . Derivando e igualando a zero: � � �?�ff� ! �+� , � � ' fi � � fi ! Y � , � ! / ' fi � � fi � � � fi ! ' fi � � � ! ' � � 4 Derivando novamente: � � � �?�ff� ! , ' fi � ' fi � �flfi�� � � fi � � � � � ' � � � ! � � � � 9 ' ��Y 4 Logo, � � � é ponto de máximo e � � � � � � ! � � ' . [11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num cone circular reto. Solução : B E C D A x y Figura 9.16: Seção bidimensional do problema. Com as notações do desenho, sejam ' e � o raio e a altura do cone, respectivamente; � e � o raio a altura do cilindro. Por outro lado, o � ��� � é semelhante ao � ��� � ; temos: ��� ��� ! � � � � � � � ! ' ' � � � � ! � ' � ' � �ff� ����� 4 9.3. DERIVADA 363 O volume do cilindro é � ! fi � fi � ; logo, de ����� temos que a função a maximizar é: � �?�$� ! fi � ' � ' � fi � � � � 4 Derivando e igualando a zero: � � �?�$� ! fi � ' � , ' � � �ff� � ! Y � � ! Y ou � ! , ' � 4 como �� ! Y , o único ponto crítico é � ! fi � � . Estudemos o sinal de , ' � � � : , ' � � � ) Y � Y �A��� , ' � , ' � � ��� Y � � ) , ' � 4 Então � ! fi � � é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem raio da base igual a ,�� � do raio da base do cone e altura igual a � � � da altura do cone. [12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio ' . Solução : B CD A n 2r y x h Figura 9.17: O triângulo � � � é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que � ! , ' ��, = . Sabe- mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobrea hipotenusa; logo: � fi ! , ' = � = ! � fi , ' e � ! , ' �-, = ! , ' � � fi ' 4 Então, o perímetro % , é: % �?�ff� ! , � �A, ' � � fi ' �A, ' � % �?�ff� ! 9 ' �A, ��� � fi ' 4 Derivando e igualando a zero: % � �?�$� ! � , � ' �A, ! Y � � ! ' 4 364 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Derivando novamente: % � � �?�ff� ! � , ' � % � � � ' � ��Y 4 Logo, % ! � ' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio ' tem base maior igual a , ' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' . 9.4 Integração [1] Calcule � ! � ��� � W� �?�$� � ;0<>= �?�ff� ��� ; �?�ff��� � . Solução : Fazendo : ( ! ��� � W� �?�ff� � � � ( ! OSP � � T �U � � T �U � � � � ( ! � OSPQR T �U ��� O T �U . Então: � ! � ( � ( ! ( fi , � � ! ��� fi � W� �?�ff� � , � � 4 [2] Calcule � ! � ;0<>= �?�ff� ��� ; �?�ff� �3� ;0<>= � �?�ff��� � . Solução : Fazendo : W ! ;N<F= �?�ff� � � W ! ��� ; �?�$� � � . Então: � ! � W �3� W � � W ! � W ��� � W fi � fi � W ! � ' � W� � W fi � , � � ! � ' � W� � ;0<>= fi �?�$� � , � � 4 [3] Calcule � ! � � - �3�ffi�flfi3� / �����.� fiF� � � � . Solução : Note que ���ffi� fi � / �����ffi� fi � � ! ���.� fi �'�����ffi� fi � � ����� fi ! �����.� fi �ff����� � ���ffi� fi � , então; - �3�ffi� fi3� / �����ffi� fiF� � ! / ���ffi� fi - ��� / ���ffi�flfi 4 Agora, fazendo: ( ! ��� / �3�ffi� fi � � ( ! � � ���ffi� fi � � � logo, � ! � � ( � ( ! , � ( � � ! , - ��� / ���ffi� fi � � 4 [4] Calcule � ! � � � ' � W� �?�$� � = �?� fi ����� � � . Solução : Integramos por partes: ( ! � = �?� fi �#��� � � ( ! , � ���ffi� fi � � ��� ! � � ' � W� �?�$� � � � � ! � � � ' � W� �?�ff� � � 4 9.4. INTEGRAÇÃO 365 Denotemos por � 6 ! � � � ' � W� �?�$� � � . Para achar � , novamente integramos por partes: ( ! � ' � W� �?�ff� � � ( ! � � ���.� fi � � ! � � � � � ! � fi , 4 Logo: � 6 ! � fi � ' � W� �?�ff� , � � , � � fi ���.� fi � � ! � fi � ' � W� �?�$� , � � , � � �V� � ���.� fi�� � � ! � fi � ' � W� �?�ff� , � � , ) �%� � ' � W� �?�$� / ! �?� fi ����� � ' � W� �?�$� , � � , 4 Voltando a � : � � ( ! � � 6 ) �?� fi ����� � ' � W� �?�ff� � � / ! � � ' � W� �?�ff�&� � � � 6 e: � � � ( ! � 6 � � ' � W� �?�ff�&� � ff Então: � ! ( � � � � � ( ! � , )C�����ffi� fi � � ' � W� �?�ff�&� � / ) � = �?� fi ����� �A� / � � ' � W� �?�ff� �ffi� � � 4 [5] Calcule � ! � � � � ;0<>= �?�$� ��� ��� ; fi �?�ff��� � . Solução : Fazendo � ! fi � W , � � ! � � W ; se � ! Y , então W ! fi e se � ! fi , então W ! Y . Por ouro lado: � ;N<F= �?�ff� �3� ��� ; fi �?�ff� ! � fi � W � ;N<F= � fi � W � ��� ��� ; fi � fi � W � ! � fi � W � ;N<F= � W � �3� ��� ; fi � W � 4 Logo: � ! � � � � � fi � W � ;0<>= � W � �3��� � ; fi � W � � W ! � � � fi ;N<F= � W � ��� ��� ; fi � W ��� W � � � , � ! � � � fi ;N<F= �?�ff� ��� ��� ; fi �?�ff��� � 4 Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo ( ! ��� ; �?�ff� , então � ( ! � ;N<F= �?�ff� � � e: , � ! � fi � � 6 6 � ( ��� ( fi ! fi � 6 � 6 � ( �3� ( fi ! fi ) � ' � W� ����� � � ' � W� ���8��� / ! fi fi , 4 Logo � ! � � � . [6] Verifique que: � 6 � ��� � � fi � R � � ! , fi R � =�� � fi � , = ����� � ff = � � 4 366 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Solução : Fazendo � ! ;0<>= � W � , � � ! ��� ; � W � � W ; se � ! Y , então W ! Y e se � ! � , então W ! � fi . Por outro lado, ���V� � fi � R � � ! �(�V� ;N<F= fi � W � � R ��� ; � W � � W ! ��� ; fi R � 6 � W � � W , então: � R ! � 6 � ���V� � fi � R � � ! � � � fi � ��� ; fi R � 6 � W � � W � integrando por partes: � R ! ��� ; fi R � W � ;N<F= � W � � � � � � � fi � �A, = � � � fi � ��� ; fi R � 6 � W � ;0<>= fi � W � � W ! , = � � � fi � ��� ; fi R � 6 � W � � W �-, = � � � fi � ��� ; fi R � W � � W ! , = � � � fi � ��� ; fi R � 6 � W � � W �-, = � R ff isto é � R ! , = , = ��� � R � 6 , como � � ! � � � fi � ��� ; � W � � W ! � , logo: � 6 ! , � � � ! , � ! ��� , ��� � � fi ! 9 � � 6 ! ��� ,�� 9 ��� ��� � � � ! � � � fi ! ��� ,�� 9 � � ��� ��� � � � � � ! : � � � ! ��� ,�� 9 � � � : ��� ��� � � ��� � ... � R ! ���*,�� 9 � � � 4>4>4 � � , = �-, ���*, = ��� ��� � � ��� 4>4>4 �-� , = �A�����-� , = ����� ����� 4 Multipliquemos ����� por ��� ,�� 9 � � � 4>4>4 �-� , = ��, ��� , = ��� ,�� 9 � � � 4>4>4 �-� , = ��, ��� , = , então: � R ! �J����� , �ff� ,�� , �ff� , ��� �ff� , � 9 � 4>4>4 � ,+� = ������� , = � fi ��� , � ��� 9 � � � 4>4>4 �-� , = �-, ��� , = � , = ����� ! , fi R � ��� ,�� ��� 9 � � � 4>4>4 ��� = ������� = � fi �Q, = �#� � � ! , fi R � =�� � fi �2, = ����� � 4 [7] Determine a área da região limitada pelas curvas � fi ! ,� � e � fi � ! fi �� �� � � , onde � � . Solução : Se mudamos � por �+� , as equações não mudam, logo as curvas são simétricas em relação ao eixo dos� . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se 9.4. INTEGRAÇÃO 367 � ! Y , então � ! Y e fi �� � � � ! Y ; se � ! Y , então � ! Y ; logo os pontos �CY ff Y � e �CY ff ff� são os pontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo � ! � fi�� e � ! � 2 � � � � , determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema: � � ! � fi�� � ! � 2 � � � � ff donde, � � � fi � fi �A,� � ! Y ; fazendo ( ! � fi temos ( fi � fi ( �A,� � ! Y e � ! � . Note que � ! Y é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e para a outra curva é um ponto de máximo. Figura 9.18: Região do exemplo [7]. Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por 2: � ! , � � � � � � fi � fi � � fi ,� � � � ! fi ) fi , � � � / ( 4 � 4 [8] Determine a área da região limitada pela curva � � � � � � � fi ! Y e pelos eixos coordenados. Solução : Se mudamos � por �V� e � por � � , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos � e dos � . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixos coordenados. Se � ! Y , então � ! Y e se � ! Y , então � � �?� fi � ��� ! Y ; logo os pontos �CY ff Y � , ���8� ff Y � e ��� ff Y � são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos � ! � fi � �V� � fi ; logo � � � �8� ff � ff . Não é difícil ver que em � ! Y a curva possui um ponto de mínimo local e que � ! � � � � são pontos de máximo local. -1 1 0.4 -1 1 0.4 Figura 9.19: Região do exemplo [8]. 368 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultado por , . � ! , � 6 � � fi / �V� � fi � � 4 Fazendo � ! ;0<>= � W � , então � � ! ��� ; � W � � W e � fi � �V� � fi � � ! ;0<>= fi � W � ��� ; fi � W � � W ; então: � ! , � � � fi � ;0<>= fi � W � ��� ; fi � W � � W ! � , � � � fi � �S, ;N<F= � W � ��� ; � W � � fi � W ! � , � � � fi � ;0<>= fi � , W � � W ! � 9 � � � fi � � �V� ��� ; � 9 W � � � W ! fi : ( 4 � 4 [9] Determine a área da região limitada pelas curvas � � ��� fi � : � ! Y , 9 � � � fi � � � ! Y , � � � fi �A� ! Y e o eixo dos � . Solução : Determinemos as interseções das curvas: ����� � � � � � fi ! : � 9 � � � fi ! � � � , � � � � � � fi ! : � � � � fi ! � � � � � 9 � � � fi ! � � � � � fi ! � De ����� obtemos � ! � � , logo � ! � ; de � , � obtemos � ! �>Y , logo � ! � e de � � � obtemos � ! � , logo � ! , . 1 2 3 4 5 6 4 5 9 10 1 2 3 4 5 6 4 5 9 10 Figura 9.20: Região do exemplo [9]. Logo: � ! , � � � / � � 9 � � � � 6 � � / � ��� � � � � � 6 � # / � � � � � ! , Y ( 4 � 4 [10] Determine o volume da calota esférica de altura � se a esfera tem raio � . 9.4. INTEGRAÇÃO 369 h R Figura 9.21: Região do exemplo [10]. Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos � ! � � fi � � fi e a seguinte região: R R-h Figura 9.22: Logo: � ! fi ��� � ��� � / � fi � � fi � fi � � ! fi ��� � ��� � � fi � � fi � � � ! fi ) � fi ��� � � � � � � � � � ��� / ! fi � fi � � � � � � � ( 4 � 4 Em particular, se � ! � , então � ! fi � � 2 � é o volume da semi-esfera de raio � ; se � ! , � então � ! � � � 2 � é o volume da esfera de raio � . [11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelas curvas � ! < � fi ��� , � ! < � �#� e o eixo dos � , em torno do eixo dos � . Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas: � � ! < � fi ��� � ! < � ��� � < � fi � < � � , ! Y � < � ! , � � ! � � = � , � 4 370 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 1 2 3 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 1 2 3 Figura 9.23: Região do exemplo [11]. Logo: � ! fi � � ��� R T fi U � � < � ��� � fi � � < � fi ��� � fi � � � ! fi � � ��� R T fi U ) � < � � ��� < � fi �A, < � / � � ! �M� fi 9 ( 4 � 4 [12] Calcule o comprimento de arco da curvas � � � ! � fi situado dentro do círculo � fi � � fi ! � . Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas: � � � � ! � fi � fi � � fi ! � � � � � � � fi � � ! � � �����ff� � � fi � � � � � � ! Y � � ! � 4 -1-2 1 2 -1 -2 1 2 Figura 9.24: Região do exemplo [12]. Pela simetria da curva, consideremos � ! � � � � � fi , derivando � � ! � � � fi � 6�� fi ; então: � ! , � 6 � , ��� 9 � � 9 � � 4 Fazendo ( ! ��� � � � � , obtemos: � ! : 9 � � 6 � � � � � 6 � ( � ( ! � � 9 , � ( 4 � 4 9.4. INTEGRAÇÃO 371 [13] Calcule a área da região determinada por � fi ! 2 fi ��� e sua assíntota, � ! Y . Solução : Se mudamos � por � � , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos � . Note que a curva intersecta os eixos na origem. Figura 9.25: Região do exemplo [13]. A equação da assíntota é � ! , � ; então consideramos � ! - �2 fi ��� e: � ! , � fi � � , � � , � � � � � ! , ����� �( fi � K � � � , � � , � � � � � 4 Fazendo � ! , � ;N<F= fi � W � , temos que � � ! 9 � ;0<>= � W � ��� ; � W � � W . Por outro lado: , � � , � � � � � ! � � � � , � � � � � ! : � fi ;0<>= � � W � � W 4 Temos, � ! Y � W ! Y e � !�� � ;0<>= fi � W � ! � fi � ; se � XZ, � � � W ! � fi . Então: , � � � , � � , � � � � � ! � fi , ) ;N<F= � 9 W �&� : ;N<F= � , W � ���F, W / � � ! � fi , ) ;N<F= � 9 � �� : ;N<F= � , � � �#�F, � / 4 Logo: � ! ����� �( � � fi � fi , ) ;N<F= � 9 � � � : ;N<F= � , � � �#�F, � / ! � � fi fi ( 4 � . [14] Calcule a área da região limitada pela curva � ! � � fi �?� ����� , ���'� e o eixo dos � . Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada: 372 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS Figura 9.26: Região do exemplo [14]. Logo: � ! � �"! 6 � � � fi �?� �#��� ! ����� � �"! � � 6 � � � fi �?� ����� ! � ��� � �"! � � 6 � � � � � � �flfi � � � ��� � � � ! ��� � � �"! ) � � = � fl � � � fl ���3� � = � fl ����� � � = � , � / ! � ��� � �"! ) � = � fl ��� fl � � � fl ���V� � = � , � / ! � ��� � �"! ) � = � ��� � fl � � � fl ��� � � = � , � / ! � �V� � = � , � � ( 4 � 4
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