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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 10 Apendice

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Capítulo 10
APÊNDICE
10.1 Limites
Proposição 10.1. (Unicidade do limite)
Se
�����
�����
	�
���������
e
�����
�����
	�
�������fiff
; (
����flffi�fiff �"!
), então
�����#�fiff
. Em outras palavras se o limite existe (é um
número real), ele é único.
Prova: Se
�����
�����
	�
���fi�����
, então para todo $ %'&)( existe *
�
&)( , tal que se (,+.-
�0/21
-3+)*
�
então
-
	�
����/0�4�
-5+76
ff . Se
�����
�����
	�
8�����9�fiff
, então para todo 6ff &�( existe *
ff
&�( , tal que se (:+,-
�;/"1
-<+�*
ff
então
-
	�
���fi/"�
ff
-�+
6
ff . Seja * o menor entre *
�
e *
ff
. Em particular,
=1�/
*
flffi1�>
*
�@?0
BA9/DCE1�F��3G�,H
; logo, existe
I
�JA
tal que (K+L- I
/M1
-N+D* e -
�
�
/O�
ff
-
�
-
�
�
/M	�
I
�P>Q	�
I
�@/O�
ff
-SRL-
�
�
/0	�
I
�
-
>
-
	�
I
�@/M�
ff
-S+
+T6
ff
>
6
ff
�
$
; logo, -
����/O��ff
-S+
$
, para todo
$
&D( ; consequentemente,
���U���fiff
.
Proposição 10.2.
1. Se
�����
�����
	�
���fi���
&V( , então existe *W&V( tal que
	�
���
&7X
ff , para todo
�Y�M
B1�/
*
flffi1Z>
*
�P?Q[=A�/\CE1�F�]
.
2. Se
�����
���3�
	�
8���fi�9�
+V( , então existe *W&V( tal que, para todo
�Y�M
B1�/
*
fl^1_>
*
�`?J[8Aa/bCE1�F�]
tem-se
	�
���
+
�
% .
Prova: 1. Seja
$
�
�
% ; então, existe *K&Q( tal que para todo
�a�0
B1�/
*
flffi1�>
*
�P?
[
A�/QC�1�F
]
; logo,
-
	�
���Z/O�
-S+
�
% ou
�
%
+
	�
���
+dc
�
%,e
2. Exercício.
Proposição 10.3. Se
�����
����f
	�
8���
e
�����
����fhg
���
, existem, então para todo i
fl5jO�a!
:
1.
�����
����flk
i
	�
���m>0j
g
���onp�
i
�����
����f
	�
8���q>"j
�����
����fhg
���
e
2.
�����
����f
k
	�
8���
g
���onp�
k
�����
����f
	�
���rn
k
�����
����f
g
���rn
e
3.
�����
����f
	�
8���
g
���
�
�����
����f
	�
8���
�����
����f
g
��� , se
�����
����f
g
8���sG�
(
e
4.
�����
����f
k
	�
8���
nut
�
k
�����
����f
	�
8���
nut
, se v
�Jw
.
373
374 CAPÍTULO 10. APÊNDICE
5.
�����
����f��
�
	�
8���l�
�
�
�����
����f
	�
���
, se
�����
����f
	�
�����
( e v é qualquer natural, ou
�����
����f
	�
���
+2( e v é um natural
ímpar.
6.
�����
����f��
v
k
	�
8���
n
�
�
v
k
�����
����f
	�
8���
n
fl
se
�����
����f
	�
���
&Q( e
7. Se
�����
����f	�
8��� � �����
����fhg
���p�d�
e existe *J&,( tal que
�
8���
R
	�
8���
R
g
8���
, para (a+ -
� /�
-q+,* , então
�����
����f
	�
8���fi���
.
Prova: Provaremos
%
e � . As demais propriedades ficam como exercícios.
2. Sejam
�����
����f
	�
���fi���
e
�����
����f g
8������
, de definição:
-
	�
���
g
8���Z/M��
-
�
-
	�
8���
g
���Z/0	�
����
 >Q	�
����
 /O��
-NRL-
	�
���
-u-
g
8����/�
-
>
-
- -
	�
8����/M�
- .
Como
�����
����f
	�
���O�)�
, dado
$
& ( existe *
�
& ( tal que -
	�
���s/9�
- +
$
se ( + -
�M/�
- + *
�
; logo,
-
	�
���
-<+ -
�
-
>��
se (K+ -
�;/�
-S+Q*
�
. Por outro lado também existe *
ff
&Q( tal que -
	�
����/M�
-S+
+
6
ff���� �ff� fim�ffifl se ( + -
�J/�
-@+#*
ff
; analogamente, existe * �b&#( tal que -
g
8���4/!
-q+
6
ff"���
X
� fim�ffifl . Seja * um
número menor que *
��fl
*
ff
e * � ; então: -
	�
8���
g
����/M��
-NR -
	�
���
- -
g
���Z/�
-
>
-
-u-
	�
���@/O�
-SR
R
[
-
�
-
>#�
]%$
�Z>
-
-
$
ff
+ 6
ff
>
6
ff
�
$
, se (K+ -
�;/�
-S+V* , onde
$
�U�
[
6
ff����
X
� fi@�&fl
]
e
$
ffl�
[
6
ff"��� �ff� fim�ffifl
]
.
7. Para todo
$
&7( , existem *
�Efl
*
ff
&T( tal que se (M+'-
�a/�
-Z+7*
�
, então,
�V/
$
+
�
���
+
�">
$
e se
(J+7-
�b/'
-�+ *
ff
, então,
�"/
$
+
g
���
+
�0>
$
; considere * menor que *
�
e *
ff
; logo, se (J+7-
�b/(
-P+2* ;
então,
�O/
$
+
�
8���
R
	�
���
R
g
���
+
� >
$
.
Teorema 10.1. Seja
	�
8���
uma função com domínio ) nas condições das definições. Então
�����
����f
	�
8�����9�
se e
somente se os limites laterais existem e
�����
����f+*
	�
�����
�����
����f-,
	�
�������
.
Prova: A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e
�����
����f
*
	�
���fi�
�����
����f
,
	�
8�����9�
, temos que dado
$
&2( existem *
�Efl
*
ff
& ( , tais que se
+
�
+
�>
*
�
então
-
	�
���q/Y�
-N+
$
e se
s/
*
ff
+
�
+
, então -
	�
���q/Y�
-N+
$
. Note que *
�
e *
ff
podem ser iguais ou diferentes,
(arranje exemplos). Caso *
�3G�
*
ff
, considere *
�
mín
C
*
��fl
*
ffEF
; então se -
��/.
-_+V* temos que -
	�
8����/ �
-<+
$
.
10.2 Funções Deriváveis
Teorema 10.2. Se
	
é derivável em
��/
então f é contínua em
�"/
.
Prova: Como
	
é derivável em
�
/
, temos:
	�0=
�
/
���
�����
����� 1
	�
8����/0	�
�
/
�
�;/O��/ . Devemos provar que
�����
��� � 1
	�
����� 	�
�
/
�
, o que é equivalente a
�����
��� � 1
B	�
8����/0	�
�
/
� �fi�
( .
�����
��� �-1
B	�
8����/M	�
8��/�� �fi�
�����
��� �-1
8�;/O��/��`[
	�
���Z/M	�
8��/��
� / �
/
]l�
�����
��� �-1
8�;/O��/E�
�����
��� �-1
	�
8����/0	�
�"/��
�;/O�
/
�
(�2
logo,
�����
��� �-1
	�
���fi� 	�
�
/
�
. A recíproca do teorema é falsa.
Proposição 10.4. Sejam 3
�
3
���
e 4
�
4
8���
funções deriváveis; então:
1. Regra da soma: As funções 365(4 são deriváveis e
365�4
�&0o
8���fi�
3
0=
���
5(4
0=
���
10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 375
2. Regra do produto: A função 3�� 4 é derivável e
3�� 4
�
0
�����
3
0
8���
�+4
8���m>
3
���
�+4
0
8���
3. Regra do quociente: A função
3
4
é derivável, e
�
3
4��
0
8���fi�
3
0
���
�+4
����/
3
8���
� 4
0
���
4
��� �
ff se 4
���sG�
(
Provaremos a segunda propriedade; as outras provas são análogas.
3��+4
� 0 
���fi� �����
�
�
/
3�� 4
�u
�:>	� ��/D
3��+4
� 
���
�
e
3�� 4
� 
�:>	� �Z/V
3�� 4
� 
�����
3
8�W>	� �
�+4
�K>
� ��/
3
8���
� 4
���
; somando e subtraindo o termo
3
�K>
� �
� 4
���
, obtemos:
3�� 4
� 
�:>	� �Z/V
3�� 4
� 
�����
3
8�W>	� �
�+4
�K>
� ��/
3
8�W>	� �
� 4
8���q>
3
�K>
� �
� 4
���Z/
3
8���
� 4
8���
; logo,
3�� 4
� 
�:>	� �Z/V
3�� 4
� 
�����
3
8�W>	� �
�
4
� >	� ��/
4
���ffi�q>
4
8���
�
3
�K>
� ��/
3
8��� �
e
Então:
3�� 4
�
0�����
�����
�
�
/
3
8�K>
� � 
4
�:>	� ��/
4
��� �m>
4
8��� 
3
8� >
� �@/
3
��� �
� ; logo,
3�� 4
�
0
�����
3
���
�
�����
�
�
/
4
8�K>	� �Z/
4
���
�
>
4
8���
�
�����
�
�
/
3
�K>
� ��/
3
8���
�
fl
pois,
�����
�
�
/
3
�W>
� �fi�
3
���
( 3 é derivável, logo contínua). Logo
3��+4
�
0
���fi�
3
8���
� 4
0
���m>
4
8���
� 3
0
���
.
Teorema 10.3. Regra da Cadeia
Sejam
	
e
g
funções, tais que
g��
	
esteja bem definida. Se
	
é derivável em
�
e
g
é derivável em
	�
���
, então
g
�
	
é derivável em
�
e:
g
�
	 �&0=
�����
g
0B
=	�
��� �
�
	�0B
8���
e
Prova: Se
�
/
�
)����
B	 �
, provaremos que
g��
	 �
0
�
/
�;�
g
0
B	�
8�
/
� �
�
	
0
�
/
�
. Consideremos a seguinte
função: �
�� �fi���
� �
g
�� ��/
g
=	�
�
/
� �
��/0	�
�"/�� se
�pG��	�
8��/E�
g
0
=	�
��/E� �
se
����	�
8��/E�
e
�
é contínua em
�
/
�9	�
8�
/
�
, de fato:
�����
�
���
�
�-1
fl
�
�� �fi�
�����
�
���
�
� 1
fl
g
�� �@/
g
B	�
8��/E� �
�@/M	�
8�
/
�
�
g
0
B	�
8��/E� ���
�
B	�
�"/�� �
e
�
também é contínua em
���9	�
8���sG�9	�
�
/
�
, pois para ff
G��	�
8�
/
�
, temos:
�����
fi �
�
�
ff
�fi�
�����
fi �
�
g
ff
��/
g
=	�
��/�� �
ff
/0	�
��/��
�
g
�� ��/
g
=	�
��/�� �
��/0	�
��/��
�
�
�� �
e
	
é diferenciável, logo contínua; então,
�
�
	
é contínua em )����
=	 �
, e:
�����
����� 1
�
=	�
��� ���
�
B	�
8�
/
� �fi�
g
0
B	�
8�
/
� �
e
376 CAPÍTULO 10. APÊNDICE
Por outro lado, se
�MG���"/
: g
B	�
8��� ��/
g
B	�
8� / � �
�;/ �"/
�
�
B	�
8��� � [
	�
8����/0	�
� / �
�;/O��/
]
.
No caso que
	�
�����9	�
8�"/��
se
�0G���"/
, ambos os lados da ultima igualdade são nulos.
g
�
	 �
0
8� / ��� �����
��� �-1
g
=	�
��� �Z/
g
B	�
�"/�� �
�;/O��/
� �����
��� �-1
�
B	�
8��� � [
	�
8����/0	�
�"/��
�;/O��/
] �
g
0
B	�
8� / � �_	
0
� / �
e
Proposição 10.5. Se
	
é uma função derivável no intervalo
�
hfl^1 �
e
� / �M
 
�flffi1 �
é um extremo relativo de
	
, então
	
0
��/E���
( .
Prova: Suponha que
�"/
é um ponto de máximo relativo de
	
; como
	
é derivável em
 
�fl^1 �
, temos:
	 0 
�"/���� �����
��� � 1
	�
���Z/M	�
8��/��
� / � /
e
Mais ainda:
	
0
8��/E���
�����
��� �-1
*
	�
����/0	�
� / �
�;/O�
/
�
�����
��� �-1
,
	�
����/0	�
� / �
�;/O�
/ .
i) Se
��� �
fi
/ , então
�;/ �
/
&V( e
	�
8����/0	�
�
/
�
RD( , logo
	
0
8�
/
�
RQ( .
ii) Se
��� �"/��
, então
�;/O�"/
+V( e
	�
����/0	�
��/��
RV( , logo
	
0
�"/�� �
( .
De i) e ii) temos que
	
0
8��/E���
( . A prova para mínimo é análoga.
Teorema 10.4. (do Valor Médio)
Seja
	���� 
�flffi1	�m/
� !
contínua e derivável em
 
�flffi1u�
. Então existe pelo menos um
��/ �0
�
hfl^1 �
tal que:
	
0
8��/E���
	�
=1 �@/0	�
 
<�
1�/�
Prova: Considere a função �
8���fi�9	�
���Z/0	�
 
<�@/V
8�;/�
S�:[
	�
B1u�@/M	�
�
S�
1�/ 
]
. � é contínua em
� 
�flffi1��
, derivável
em
�
�flffi1 �
e �
�
<�s�
�
=1 �
; �
0
���fi��	
0
���Z/
	�
B1 �@/0	�
 
<�
1�/�
 . Pelo Teorema de Rolle aplicado a � , existe
�
/
�
 
�fl^1 �
tal que �
0
8�
/
���
( ; então:
	
0
�
/
���
	�
B1u�@/M	�
�
S�
1�/ 
e
Interpretação geométrica da função auxiliar 
i) A equação da reta que passa pelos pontos
A9�,
�
�flffi	�
 
<� �
e �
�,
B1�fl^	�
B1 � �
é:
�
�
�
	�
 
<��/0	�
B1u�
1�/ 
�
� / 
<�P>Q	�
 
<�
e
ii) �
�����9	�
8���E/
� , ou seja, �
���
representa a diferença das ordenadas do gráfico de
	
e da reta que passa
pelos pontos
A
e � para os pontos de mesma abscissa. Observe que no desenho anterior, �
���
RV( , para
todo
�Y��� 
�flffi1��
, pois o gráfico de
	
está abaixo da reta que passa por
A
e � .
Teorema 10.5. (Teorema do Valor Médio Generalizado )
Sejam
	
e
g
funções contínuas em
� 
�flffi1��
e deriváveis em
 
�flffi1u�
. Se
g
0
���sG�
( para todo
�a�0
�
hfl^1 �
, então existe pelo
menos um
�"/��0
�
hfl^1 �
tal que:
	
0
�"/��
g
0
8�
/
�
�
	�
B1u�@/M	�
�
S�
g
B1u�@/
g
 
<�
e
10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 377
Prova: i) Observemos, primeiramente, que a expressão do enunciado do Teorema está bem definida. De
fato, se
g
�
S�U�
g
=1 �
, considerando
�
��� �
g
8���fi/
g
�
<�
, obtemos
�
�
S� �
�
=1 � �
( ; como
�
é contínua em
� 
hfl^1	�
e derivável em
 
�fl^1 �
, pelo Teorema de Rolle temos que existe
��/;��
�
�flffi1 �
tal que
�
0
�"/��l�
( ; então
g
0
8��/E�fi�
( , o que é uma contradição com a hipótese do Teorema. Logo,
g
 
<�pG�
g
B1u�
.
ii) Definamos a seguinte função: �
���fi� [ 	�
=1 �@/M	�
�
<� ] [
g
���Z/
g
 
<� ] / [ 	�
����/0	�
 
<� ]l[
g
B1 �@/
g
 
<� ]
e
� é contínua em
� 
hfl^1	�
e derivável em
 
�flffi1 �
, �
 
<���
�
B1 �
e:
�
0 
8���fi�
g
0 
8���Z[o	�
B1 �Z/M	�
�
S� ]�/0	 0 
8���Z[
g
B1 �@/
g
�
<� ]
e
Pelo Teorema de Rolle, existe
��/\�7
 
�flffi1u�
tal que �
0
�"/�� �
( . Usando a expressão da derivada de �
obtemos o resultado.
Teorema 10.6. (L’Hôpital)
Sejam
	
e
g
funções deriváveis num domínio ) que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos
abertos, exceto possivelmente num ponto
e
g
���pG�
( , para todo
�MG�#
.
1. Se
�����
����f
	�
8�����
�����
����fhg
�����
( e
�����
����f
	
0
���
g
0
���
���
, então:
�����
����f
	�
���
g
8���
�
�����
����f
	
0
���
g
0
���
���
e
2. Se
�����
����f
	�
8�����
�����
����fhg
�������
e
�����
���3f
	
0
���
g
0
8���
�9�
, então:
�����
����f
	�
���
g
8���
�
�����
����f
	
0
���
g
0
���
���
e
Prova: 1. Provaremos que:
�����
���3f *
	�
���
g
8���
�
�����
����f *
	
0
���
g
0
8��� , o outro caso é analogo. Consideremos as funções:
�
���fi�
�
	�
���
se
�MG��
( se
� ��
e
�
���fi�
�
g
���
se
�MG��
( se
� ��
e
Seja
j
&
, � e
�
são deriváveis em
 
�fl jm�
e
�����
����f
*
�
8���fi�
�����
����f
*
	�
���fi�
�����
����f
*
�
8���fi�
�����
����f
*
g
�����
(
e
�
0
�7	
0
e
�
0
�
g
0
em
 
�fl jm�
. Se
�D� 
�
hfl jm�
; então � e
�
são contínuas em
� 
�fl ���
; logo, pelo teorema do
valor médio generalizado, existe�
/
�0
 
�fl ���
tal que:
�
����/
�
�
<�
�
����/
�
�
<�
�
�
0
�"/��
�
0
�
/
�
fl
como �
�
S���
�
 
<�fi�
( , temos
�
���
�
���
�
�
0
8�
/
�
�
0
8��/E� se
�"/��M
 
�fl ���
. Então:
�����
���3f *
	�
���
g
8���
�
�����
����f *
�
8���
�
8���
�
�����
�
1
��f *
�
0
8��/E�
�
0
8��/E�
�
�����
����f *
�
0
���
�
0
���
�
�����
����f+*
	
0
8���
g
0
���
2
pois se
� � 
fi
; então
�
/
� 
fi
.
Fazendo
���
�
� ; então
	
0
���fi� /l	
0
[
�
�
]
�
�
ff e
g
0
�����L/
g
0
[
�
�
]
�
�
ff ; logo
�����
���
fi��
	�
8���
g
���
�
�����
�
�
/
*
	
[
�
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]
g
[
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�
]
�
�����
�
�
/
*
	
0
[
�
�
]
g
0
[
�
�
]
�
�����
���
fi��
	
0
���
g
0
8���
e
378 CAPÍTULO 10. APÊNDICE
10.3 Funções Integráveis
Proposição 10.6. Se
	
e
g
são funções integráveis em
� 
hfl^1	�
, então:
1. Linearidade da Integral. i
	 >0j
g
é função integrável em
� 
�flffi1	�
, para todo i
fl_j0�b!
e:
�
�
f
[
i
	�
���m>0j
g
��� ]��`� �
i
�
�
f
	�
����� � >"j
�
�
f
g
����� �
e
2. Monotonicidade da Integral. Se
	�
8��� �
g
8���
em
� 
�flffi1	�
; então,
�
�
f
	�
�����`� �
�
�
f
g
�����`�
e
3. -
	
- é integrável e: �
�
�
�
�
�
f
	�
����� �
�
�
�
�
R
�
�
f
�
�
	�
8���
�
�
� �
e
4. Sejam
+��p+
1
e
	
uma função integrável em
� 
�fl
�
�
e
�
�
flffi1��
respectivamente. Então
	
é integrável em
� 
�flffi1	�
e:
�
�
f
	�
8����� �b�
���
f
	�
�����`� >
�
�
�
	�
8����� �
e
Prova: 1. Provaremos que para toda partição 	 de
� 
�flffi1	�
e para todo ��
� � �
�
�
fl �
�
teremos que
�����
� �
��
�
�
/
t
�
��
�
[
i
	 >0j
g
]
�
���W�
 existe. De fato:
�����
� �
�
�
�
/
t
�
��
�
[
i
	K>"j
g
] 
�
���3�
�
�����
� �
�
�
�
/
�
t
�
��
�
i
	�
�
���3�
>
t
�
��
�
j
g
�
���3�
�
�
�
i
�����
� �
��
�
�
/
t
�
��
�
	�
�
���W�
>"j
�����
� �
��
�
�
/
t
�
��
�
g
�
���3�
�
i
�
�
f
	�
�����`�:>0j
�
�
f
g
�����`�mfl
pois
	
e
g
são integravéis em
� 
�fl^1	�
; logo:
�
�
f
[
i
	�
���q>0j
g
8���
]
�`�J�
i
�
�
f
	�
8����� �K>"j
�
�
f
g
8����� �
e
2. Por 1. provaremos que se
�
�2	 /
g
; então,
�
�
f
�
�����`� �
( . Para toda partição 	 de
� 
�flffi1��
e para todo
�
��� �
�
� fl �
�
temos que
�
�
� �
( ; logo,
t
�
��
�
�
�
���W�
�
( e:
�
�
f
�
����� �J�
�����
� �
�
�
�
/
t
�
��
�
�
��
���3�
�
(
e
4. Para toda partição 	 de
� 
�flffi1	�
tal que �
�D�
 para algum � ; então
� 
�fl
�
�
é subdividido em � subintervalos
e
�
�
flffi1��
em v
/
� subintervalos; logo:
10.3. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS 379
t
�
��
�
	�
��
���W�
� �
�
��
�
	�
� 
���W�
>
t
�
�
�
��
�
	�
� 
���W�
 e
Então:
�
�
f
	�
����� �b� �����
� �
� 
�
�
/
t
�
��
�
	�
� 
���W�
� �����
� �
� 
�
�
/
�
�
��
�
	�
� 
���W�
> �����
� �
� 
�
�
/
t
�
�
�
��
�
	�
� 
���W�
 ; logo:
�
�
f
	�
�����`�b�
� �
f
	�
����� � >
�
�
�
	�
�����`�
e
Teorema 10.7. Fundamental do Cálculo.
Se
	
é uma função integrável em
� 
hfl^1	�
e admite uma primitiva �
8���
em
� 
hfl^1	�
, então:
�
�
f
	�
����� �b�
�
=1 ��/
�
 
<�
e
Prova: Suponhamos que
	
seja uma função integrável em
� 
�flffi1	�
e que existe uma primitiva �
8���
de
	�
���
em
� 
�flffi1	�
. Consideremos a seguinte partição de
� 
�fl^1	�
:
 � ��/
+
���
+
��ff
+
e�e�e�e�e�e�e�e�e
+
�
t
�)1
.
Não é difícil ver que: �
B1 �Z/
�
�
S���
t
�
��
�
�
�
�Z/
�
8�
�
� � �
. (Por exemplo, faça v
���
e desenvol-
va a soma). Do teorema do Valor Médio para �
8���
em
� �
�
� fl �
�
, temos que para cada � existe � 
�
�
�
�`fl �
�
tal que �
8�
�l/
�
�
�
�u�a�
�
0
�
� 
8�
/��
�
� �a� 	�
�
���W�
 , pois � é primitiva de
	
. Logo:
�
B1u��/
�
�
<���
t
�
��
�
	�
�
���W�
e
Se para cada partição do intervalo os � 
 são escolhidos como antes; então,
�����
� �
�
�
�
/
t
�
��
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	�
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� �3�
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B1 ��/
�
 
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e:
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	�
8����� �b�
�
=1 ��/
�
 
<�
.
Teorema 10.8.
Seja
	 ��� 
�flffi1	�m/ � !
uma função contínua. A função
g
���fi�
�
�
f
	�
�� ��� �
é derivável e:
g
0
������	�
��� fl
ou
fl
g
0
8���fi�
�
�`�
�
�
f
	�
�� ��� �Z� 	�
���
e
Prova: Seja
�
�J!
tal que
�K>
�
��� 
�flffi1	�
:
g
8�W>
�
��/
g
8���fi�
�
�
fi��
f
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�� ��� �m/
�
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f
	�
�� ��� �Z�
�
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fi��
f
	�
�� ��� �q>
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f
�
	�
�� ��� �Z�
�
�
fi��
�
	�
�� ��� �
e
Suponha que
�
&7( . Como
	
é contínua no intervalo
� �qfl �b>
�
�
, pelo teorema de Weierstrass, existem
3
fl
4
� � �qfl �K>
�
�
tal que
	�
3
�
R
	�
�� �
R
	�
4
�
, então
�
�
fi��
�
	�
3
��� �
R
�
�
fi��
�
	�
�� ��� �
R
�
�
fi��
�
	�
4
��� �
2
logo,
�
	�
3
�
R
�
�
fi��
�
	�
�� ��� �
R
�
	�
4
�
, e
	�
3
�
R
�
�
�
�
fi��
�
	�
�� ��� �
R
	�
4
�
. Por outro lado, se
�
�
( , então
3
� �
e 4
� �
, e:
�����
�
�
/
	�
3
���
�����
�E� �
	�
3
���9	�
8��� fl
�����
�
�
/
	�
4
�fi�
�����
� � �
	�
4
�fi��	�
8��� fl
pois
	
é contínua; então:
	�
8���
R
�����
�
�
/
g
8�K>
�
�@/
g
8���
�
R
	�
���
, donde
g
0
���a� 	�
���
. Analogamente se
�
+D( .
380 CAPÍTULO 10. APÊNDICE

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