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Capítulo 10 APÊNDICE 10.1 Limites Proposição 10.1. (Unicidade do limite) Se ����� ����� � ��������� e ����� ����� � �������fiff ; ( ����flffi�fiff �"! ), então �����#�fiff . Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Prova: Se ����� ����� � ���fi����� , então para todo $ %'&)( existe * � &)( , tal que se (,+.- �0/21 -3+)* � então - � ����/0�4� -5+76 ff . Se ����� ����� � 8�����9�fiff , então para todo 6ff &�( existe * ff &�( , tal que se (:+,- �;/"1 -<+�* ff então - � ���fi/"� ff -�+ 6 ff . Seja * o menor entre * � e * ff . Em particular, =1�/ * flffi1�> * �@?0 BA9/DCE1�F��3G�,H ; logo, existe I �JA tal que (K+L- I /M1 -N+D* e - � � /O� ff - � - � � /M � I �P>Q � I �@/O� ff -SRL- � � /0 � I � - > - � I �@/M� ff -S+ +T6 ff > 6 ff � $ ; logo, - ����/O��ff -S+ $ , para todo $ &D( ; consequentemente, ���U���fiff . Proposição 10.2. 1. Se ����� ����� � ���fi��� &V( , então existe *W&V( tal que � ��� &7X ff , para todo �Y�M B1�/ * flffi1Z> * �P?Q[=A�/\CE1�F�] . 2. Se ����� ���3� � 8���fi�9� +V( , então existe *W&V( tal que, para todo �Y�M B1�/ * fl^1_> * �`?J[8Aa/bCE1�F�] tem-se � ��� + � % . Prova: 1. Seja $ � � % ; então, existe *K&Q( tal que para todo �a�0 B1�/ * flffi1�> * �P? [ A�/QC�1�F ] ; logo, - � ���Z/O� -S+ � % ou � % + � ��� +dc � %,e 2. Exercício. Proposição 10.3. Se ����� ����f � 8��� e ����� ����fhg ��� , existem, então para todo i fl5jO�a! : 1. ����� ����flk i � ���m>0j g ���onp� i ����� ����f � 8���q>"j ����� ����fhg ��� e 2. ����� ����f k � 8��� g ���onp� k ����� ����f � ���rn k ����� ����f g ���rn e 3. ����� ����f � 8��� g ��� � ����� ����f � 8��� ����� ����f g ��� , se ����� ����f g 8���sG� ( e 4. ����� ����f k � 8��� nut � k ����� ����f � 8��� nut , se v �Jw . 373 374 CAPÍTULO 10. APÊNDICE 5. ����� ����f�� � � 8���l� � � ����� ����f � ��� , se ����� ����f � ����� ( e v é qualquer natural, ou ����� ����f � ��� +2( e v é um natural ímpar. 6. ����� ����f�� v k � 8��� n � � v k ����� ����f � 8��� n fl se ����� ����f � ��� &Q( e 7. Se ����� ����f � 8��� � ����� ����fhg ���p�d� e existe *J&,( tal que � 8��� R � 8��� R g 8��� , para (a+ - � /� -q+,* , então ����� ����f � 8���fi��� . Prova: Provaremos % e � . As demais propriedades ficam como exercícios. 2. Sejam ����� ����f � ���fi��� e ����� ����f g 8������ , de definição: - � ��� g 8���Z/M�� - � - � 8��� g ���Z/0 � ���� >Q � ���� /O�� -NRL- � ��� -u- g 8����/� - > - - - � 8����/M� - . Como ����� ����f � ���O�)� , dado $ & ( existe * � & ( tal que - � ���s/9� - + $ se ( + - �M/� - + * � ; logo, - � ��� -<+ - � - >�� se (K+ - �;/� -S+Q* � . Por outro lado também existe * ff &Q( tal que - � ����/M� -S+ + 6 ff���� �ff� fim�ffifl se ( + - �J/� -@+#* ff ; analogamente, existe * �b&#( tal que - g 8���4/! -q+ 6 ff"��� X � fim�ffifl . Seja * um número menor que * ��fl * ff e * � ; então: - � 8��� g ����/M�� -NR - � ��� - - g ���Z/� - > - -u- � ���@/O� -SR R [ - � - >#� ]%$ �Z> - - $ ff + 6 ff > 6 ff � $ , se (K+ - �;/� -S+V* , onde $ �U� [ 6 ff���� X � fi@�&fl ] e $ ffl� [ 6 ff"��� �ff� fim�ffifl ] . 7. Para todo $ &7( , existem * �Efl * ff &T( tal que se (M+'- �a/� -Z+7* � , então, �V/ $ + � ��� + �"> $ e se (J+7- �b/' -�+ * ff , então, �"/ $ + g ��� + �0> $ ; considere * menor que * � e * ff ; logo, se (J+7- �b/( -P+2* ; então, �O/ $ + � 8��� R � ��� R g ��� + � > $ . Teorema 10.1. Seja � 8��� uma função com domínio ) nas condições das definições. Então ����� ����f � 8�����9� se e somente se os limites laterais existem e ����� ����f+* � ����� ����� ����f-, � ������� . Prova: A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e ����� ����f * � ���fi� ����� ����f , � 8�����9� , temos que dado $ &2( existem * �Efl * ff & ( , tais que se + � + �> * � então - � ���q/Y� -N+ $ e se s/ * ff + � + , então - � ���q/Y� -N+ $ . Note que * � e * ff podem ser iguais ou diferentes, (arranje exemplos). Caso * �3G� * ff , considere * � mín C * ��fl * ffEF ; então se - ��/. -_+V* temos que - � 8����/ � -<+ $ . 10.2 Funções Deriváveis Teorema 10.2. Se é derivável em ��/ então f é contínua em �"/ . Prova: Como é derivável em � / , temos: �0= � / ��� ����� ����� 1 � 8����/0 � � / � �;/O��/ . Devemos provar que ����� ��� � 1 � ����� � � / � , o que é equivalente a ����� ��� � 1 B � 8����/0 � � / � �fi� ( . ����� ��� �-1 B � 8����/M � 8��/�� �fi� ����� ��� �-1 8�;/O��/��`[ � ���Z/M � 8��/�� � / � / ]l� ����� ��� �-1 8�;/O��/E� ����� ��� �-1 � 8����/0 � �"/�� �;/O� / � (�2 logo, ����� ��� �-1 � ���fi� � � / � . A recíproca do teorema é falsa. Proposição 10.4. Sejam 3 � 3 ��� e 4 � 4 8��� funções deriváveis; então: 1. Regra da soma: As funções 365(4 são deriváveis e 365�4 �&0o 8���fi� 3 0= ��� 5(4 0= ��� 10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 375 2. Regra do produto: A função 3�� 4 é derivável e 3�� 4 � 0 ����� 3 0 8��� �+4 8���m> 3 ��� �+4 0 8��� 3. Regra do quociente: A função 3 4 é derivável, e � 3 4�� 0 8���fi� 3 0 ��� �+4 ����/ 3 8��� � 4 0 ��� 4 ��� � ff se 4 ���sG� ( Provaremos a segunda propriedade; as outras provas são análogas. 3��+4 � 0 ���fi� ����� � � / 3�� 4 �u �:> � ��/D 3��+4 � ��� � e 3�� 4 � �:> � �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W> � � �+4 �K> � ��/ 3 8��� � 4 ��� ; somando e subtraindo o termo 3 �K> � � � 4 ��� , obtemos: 3�� 4 � �:> � �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W> � � �+4 �K> � ��/ 3 8�W> � � � 4 8���q> 3 �K> � � � 4 ���Z/ 3 8��� � 4 8��� ; logo, 3�� 4 � �:> � �Z/V 3�� 4 � ����� 3 8�W> � � � 4 � > � ��/ 4 ���ffi�q> 4 8��� � 3 �K> � ��/ 3 8��� � e Então: 3�� 4 � 0����� ����� � � / 3 8�K> � � 4 �:> � ��/ 4 ��� �m> 4 8��� 3 8� > � �@/ 3 ��� � � ; logo, 3�� 4 � 0 ����� 3 ��� � ����� � � / 4 8�K> � �Z/ 4 ��� � > 4 8��� � ����� � � / 3 �K> � ��/ 3 8��� � fl pois, ����� � � / 3 �W> � �fi� 3 ��� ( 3 é derivável, logo contínua). Logo 3��+4 � 0 ���fi� 3 8��� � 4 0 ���m> 4 8��� � 3 0 ��� . Teorema 10.3. Regra da Cadeia Sejam e g funções, tais que g�� esteja bem definida. Se é derivável em � e g é derivável em � ��� , então g � é derivável em � e: g � �&0= ����� g 0B = � ��� � � �0B 8��� e Prova: Se � / � )���� B � , provaremos que g�� � 0 � / �;� g 0 B � 8� / � � � 0 � / � . Consideremos a seguinte função: � �� �fi��� � � g �� ��/ g = � � / � � ��/0 � �"/�� se �pG�� � 8��/E� g 0 = � ��/E� � se ���� � 8��/E� e � é contínua em � / �9 � 8� / � , de fato: ����� � ��� � �-1 fl � �� �fi� ����� � ��� � � 1 fl g �� �@/ g B � 8��/E� � �@/M � 8� / � � g 0 B � 8��/E� ��� � B � �"/�� � e � também é contínua em ���9 � 8���sG�9 � � / � , pois para ff G�� � 8� / � , temos: ����� fi � � � ff �fi� ����� fi � � g ff ��/ g = � ��/�� � ff /0 � ��/�� � g �� ��/ g = � ��/�� � ��/0 � ��/�� � � �� � e é diferenciável, logo contínua; então, � � é contínua em )���� = � , e: ����� ����� 1 � = � ��� ��� � B � 8� / � �fi� g 0 B � 8� / � � e 376 CAPÍTULO 10. APÊNDICE Por outro lado, se �MG���"/ : g B � 8��� ��/ g B � 8� / � � �;/ �"/ � � B � 8��� � [ � 8����/0 � � / � �;/O��/ ] . No caso que � �����9 � 8�"/�� se �0G���"/ , ambos os lados da ultima igualdade são nulos. g � � 0 8� / ��� ����� ��� �-1 g = � ��� �Z/ g B � �"/�� � �;/O��/ � ����� ��� �-1 � B � 8��� � [ � 8����/0 � �"/�� �;/O��/ ] � g 0 B � 8� / � �_ 0 � / � e Proposição 10.5. Se é uma função derivável no intervalo � hfl^1 � e � / �M �flffi1 � é um extremo relativo de , então 0 ��/E��� ( . Prova: Suponha que �"/ é um ponto de máximo relativo de ; como é derivável em �fl^1 � , temos: 0 �"/���� ����� ��� � 1 � ���Z/M � 8��/�� � / � / e Mais ainda: 0 8��/E��� ����� ��� �-1 * � ����/0 � � / � �;/O� / � ����� ��� �-1 , � ����/0 � � / � �;/O� / . i) Se ��� � fi / , então �;/ � / &V( e � 8����/0 � � / � RD( , logo 0 8� / � RQ( . ii) Se ��� �"/�� , então �;/O�"/ +V( e � ����/0 � ��/�� RV( , logo 0 �"/�� � ( . De i) e ii) temos que 0 8��/E��� ( . A prova para mínimo é análoga. Teorema 10.4. (do Valor Médio) Seja ���� �flffi1 �m/ � ! contínua e derivável em �flffi1u� . Então existe pelo menos um ��/ �0 � hfl^1 � tal que: 0 8��/E��� � =1 �@/0 � <� 1�/� Prova: Considere a função � 8���fi�9 � ���Z/0 � <�@/V 8�;/� S�:[ � B1u�@/M � � S� 1�/ ] . � é contínua em � �flffi1�� , derivável em � �flffi1 � e � � <�s� � =1 � ; � 0 ���fi�� 0 ���Z/ � B1 �@/0 � <� 1�/� . Pelo Teorema de Rolle aplicado a � , existe � / � �fl^1 � tal que � 0 8� / ��� ( ; então: 0 � / ��� � B1u�@/M � � S� 1�/ e Interpretação geométrica da função auxiliar i) A equação da reta que passa pelos pontos A9�, � �flffi � <� � e � �, B1�fl^ � B1 � � é: � � � � <��/0 � B1u� 1�/ � � / <�P>Q � <� e ii) � �����9 � 8���E/ � , ou seja, � ��� representa a diferença das ordenadas do gráfico de e da reta que passa pelos pontos A e � para os pontos de mesma abscissa. Observe que no desenho anterior, � ��� RV( , para todo �Y��� �flffi1�� , pois o gráfico de está abaixo da reta que passa por A e � . Teorema 10.5. (Teorema do Valor Médio Generalizado ) Sejam e g funções contínuas em � �flffi1�� e deriváveis em �flffi1u� . Se g 0 ���sG� ( para todo �a�0 � hfl^1 � , então existe pelo menos um �"/��0 � hfl^1 � tal que: 0 �"/�� g 0 8� / � � � B1u�@/M � � S� g B1u�@/ g <� e 10.2. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 377 Prova: i) Observemos, primeiramente, que a expressão do enunciado do Teorema está bem definida. De fato, se g � S�U� g =1 � , considerando � ��� � g 8���fi/ g � <� , obtemos � � S� � � =1 � � ( ; como � é contínua em � hfl^1 � e derivável em �fl^1 � , pelo Teorema de Rolle temos que existe ��/;�� � �flffi1 � tal que � 0 �"/��l� ( ; então g 0 8��/E�fi� ( , o que é uma contradição com a hipótese do Teorema. Logo, g <�pG� g B1u� . ii) Definamos a seguinte função: � ���fi� [ � =1 �@/M � � <� ] [ g ���Z/ g <� ] / [ � ����/0 � <� ]l[ g B1 �@/ g <� ] e � é contínua em � hfl^1 � e derivável em �flffi1 � , � <��� � B1 � e: � 0 8���fi� g 0 8���Z[o � B1 �Z/M � � S� ]�/0 0 8���Z[ g B1 �@/ g � <� ] e Pelo Teorema de Rolle, existe ��/\�7 �flffi1u� tal que � 0 �"/�� � ( . Usando a expressão da derivada de � obtemos o resultado. Teorema 10.6. (L’Hôpital) Sejam e g funções deriváveis num domínio ) que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, exceto possivelmente num ponto e g ���pG� ( , para todo �MG�# . 1. Se ����� ����f � 8����� ����� ����fhg ����� ( e ����� ����f 0 ��� g 0 ��� ��� , então: ����� ����f � ��� g 8��� � ����� ����f 0 ��� g 0 ��� ��� e 2. Se ����� ����f � 8����� ����� ����fhg ������� e ����� ���3f 0 ��� g 0 8��� �9� , então: ����� ����f � ��� g 8��� � ����� ����f 0 ��� g 0 ��� ��� e Prova: 1. Provaremos que: ����� ���3f * � ��� g 8��� � ����� ����f * 0 ��� g 0 8��� , o outro caso é analogo. Consideremos as funções: � ���fi� � � ��� se �MG�� ( se � �� e � ���fi� � g ��� se �MG�� ( se � �� e Seja j & , � e � são deriváveis em �fl jm� e ����� ����f * � 8���fi� ����� ����f * � ���fi� ����� ����f * � 8���fi� ����� ����f * g ����� ( e � 0 �7 0 e � 0 � g 0 em �fl jm� . Se �D� � hfl jm� ; então � e � são contínuas em � �fl ��� ; logo, pelo teorema do valor médio generalizado, existe� / �0 �fl ��� tal que: � ����/ � � <� � ����/ � � <� � � 0 �"/�� � 0 � / � fl como � � S��� � <�fi� ( , temos � ��� � ��� � � 0 8� / � � 0 8��/E� se �"/��M �fl ��� . Então: ����� ���3f * � ��� g 8��� � ����� ����f * � 8��� � 8��� � ����� � 1 ��f * � 0 8��/E� � 0 8��/E� � ����� ����f * � 0 ��� � 0 ��� � ����� ����f+* 0 8��� g 0 ��� 2 pois se � � fi ; então � / � fi . Fazendo ��� � � ; então 0 ���fi� /l 0 [ � � ] � � ff e g 0 �����L/ g 0 [ � � ] � � ff ; logo ����� ��� fi�� � 8��� g ��� � ����� � � / * [ � � ] g [ � � ] � ����� � � / * 0 [ � � ] g 0 [ � � ] � ����� ��� fi�� 0 ��� g 0 8��� e 378 CAPÍTULO 10. APÊNDICE 10.3 Funções Integráveis Proposição 10.6. Se e g são funções integráveis em � hfl^1 � , então: 1. Linearidade da Integral. i >0j g é função integrável em � �flffi1 � , para todo i fl_j0�b! e: � � f [ i � ���m>0j g ��� ]��`� � i � � f � ����� � >"j � � f g ����� � e 2. Monotonicidade da Integral. Se � 8��� � g 8��� em � �flffi1 � ; então, � � f � �����`� � � � f g �����`� e 3. - - é integrável e: � � � � � � f � ����� � � � � � R � � f � � � 8��� � � � � e 4. Sejam +��p+ 1 e uma função integrável em � �fl � � e � � flffi1�� respectivamente. Então é integrável em � �flffi1 � e: � � f � 8����� �b� ��� f � �����`� > � � � � 8����� � e Prova: 1. Provaremos que para toda partição de � �flffi1 � e para todo �� � � � � � fl � � teremos que ����� � � �� � � / t � �� � [ i >0j g ] � ���W� existe. De fato: ����� � � � � � / t � �� � [ i K>"j g ] � ���3� � ����� � � � � � / � t � �� � i � � ���3� > t � �� � j g � ���3� � � � i ����� � � �� � � / t � �� � � � ���W� >"j ����� � � �� � � / t � �� � g � ���3� � i � � f � �����`�:>0j � � f g �����`�mfl pois e g são integravéis em � �fl^1 � ; logo: � � f [ i � ���q>0j g 8��� ] �`�J� i � � f � 8����� �K>"j � � f g 8����� � e 2. Por 1. provaremos que se � �2 / g ; então, � � f � �����`� � ( . Para toda partição de � �flffi1�� e para todo � ��� � � � fl � � temos que � � � � ( ; logo, t � �� � � � ���W� � ( e: � � f � ����� �J� ����� � � � � � / t � �� � � �� ���3� � ( e 4. Para toda partição de � �flffi1 � tal que � �D� para algum � ; então � �fl � � é subdividido em � subintervalos e � � flffi1�� em v / � subintervalos; logo: 10.3. FUNÇÕES INTEGRÁVEIS 379 t � �� � � �� ���W� � � � �� � � � ���W� > t � � � �� � � � ���W� e Então: � � f � ����� �b� ����� � � � � � / t � �� � � � ���W� � ����� � � � � � / � � �� � � � ���W� > ����� � � � � � / t � � � �� � � � ���W� ; logo: � � f � �����`�b� � � f � ����� � > � � � � �����`� e Teorema 10.7. Fundamental do Cálculo. Se é uma função integrável em � hfl^1 � e admite uma primitiva � 8��� em � hfl^1 � , então: � � f � ����� �b� � =1 ��/ � <� e Prova: Suponhamos que seja uma função integrável em � �flffi1 � e que existe uma primitiva � 8��� de � ��� em � �flffi1 � . Consideremos a seguinte partição de � �fl^1 � : � ��/ + ��� + ��ff + e�e�e�e�e�e�e�e�e + � t �)1 . Não é difícil ver que: � B1 �Z/ � � S��� t � �� � � � �Z/ � 8� � � � � . (Por exemplo, faça v ��� e desenvol- va a soma). Do teorema do Valor Médio para � 8��� em � � � � fl � � , temos que para cada � existe � � � � �`fl � � tal que � 8� �l/ � � � �u�a� � 0 � � 8� /�� � � �a� � � ���W� , pois � é primitiva de . Logo: � B1u��/ � � <��� t � �� � � � ���W� e Se para cada partição do intervalo os � são escolhidos como antes; então, ����� � � � � � / t � �� � � � � �3� � � B1 ��/ � <� e: � � f � 8����� �b� � =1 ��/ � <� . Teorema 10.8. Seja ��� �flffi1 �m/ � ! uma função contínua. A função g ���fi� � � f � �� ��� � é derivável e: g 0 ������ � ��� fl ou fl g 0 8���fi� � �`� � � f � �� ��� �Z� � ��� e Prova: Seja � �J! tal que �K> � ��� �flffi1 � : g 8�W> � ��/ g 8���fi� � � fi�� f � �� ��� �m/ � � f � �� ��� �Z� � � fi�� f � �� ��� �q> � f � � �� ��� �Z� � � fi�� � � �� ��� � e Suponha que � &7( . Como é contínua no intervalo � �qfl �b> � � , pelo teorema de Weierstrass, existem 3 fl 4 � � �qfl �K> � � tal que � 3 � R � �� � R � 4 � , então � � fi�� � � 3 ��� � R � � fi�� � � �� ��� � R � � fi�� � � 4 ��� � 2 logo, � � 3 � R � � fi�� � � �� ��� � R � � 4 � , e � 3 � R � � � � fi�� � � �� ��� � R � 4 � . Por outro lado, se � � ( , então 3 � � e 4 � � , e: ����� � � / � 3 ��� ����� �E� � � 3 ���9 � 8��� fl ����� � � / � 4 �fi� ����� � � � � 4 �fi�� � 8��� fl pois é contínua; então: � 8��� R ����� � � / g 8�K> � �@/ g 8��� � R � ��� , donde g 0 ���a� � ��� . Analogamente se � +D( . 380 CAPÍTULO 10. APÊNDICE
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