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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

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Capítulo 11
RESPOSTAS
11.1 Capítulo 1
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Falso _T`h��	�qt`u� . [4] ���flfi g ;��0����1 g �-vw!��fl1 g ,x&'� g ?'vw/y� g fiT3�� g ��z%ffi]fi){
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[8] Os pontos situados sobre a reta _~ffi q`j; , por exemplo ��1fl	$��� , �5�fl	[;'� , etc. [10] As retas são paralelas,
&€`��� . [11] ���flfi)qt�#_Kffi‚�X`ƒ�G���<qt�€fiy_„�h�…`ƒ�G!��fl,)q�#_„�€fi)�#`†�‡&<�<_ˆffijq€`ƒ�‰/y�<qt�cfi)_tffia�…`
�Ł3��<qG�‹_c`p� . [12] 1
q^ffijfiy_ˆ�‹;]`p� , [13] fiyqG��,y_ffic1X`p� , [15] �<��	�&<� parábola, ����	43��\	
@<� hipérbole,
!���	494��	4Cfl��	flJt��	flN0� círculo, /y��	fl=��\	�6fl� elipse, FŒ� um ponto. [17] �<�k�…1�g fi~€C‹1<g fi<	4���flCo`le|1<g fi , [18] Co`
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H , [19] ����!�S)Ž
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[25] ���<qA�f_��^1>`#�Ł���<qxffio_��~v“`€�‡!��<_��k_4”|`#�‡&<�<qA�fq)”�`���/y��1)qk` g 1fl�_�����03��<qk`�_AffiK�x6fl�<qŁ� g 1y_`��
9:�<qt`•� [26] a) – YX—c˜�—
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[28] – H [29] 7H [30] 1 g fi milhas
11.2 Capítulo 2
[1] ���<_
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381
382 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
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11.2. CAPÍTULO 2 383
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	�ffi�� �A!$�\	�&<��Vj�j*���.�/y�:*$_��cV��x7› �` – 8 ffi#N“{’	�N����+i�_ �` �fl.
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0.8
1
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-1
-0.5
0.5
1
[27] ��� �‰��� – 8 	 – I 	�� [29] a) �'Z�6�Ž�/�N09R�_:� é a função inversa da função Ž�/�N090��_:� ; q#`b�'Z�6�Ž�/�N09R�_:� se e
somente se _`cŽ$/�N09R�qfl� ; então: _`���-O�
����8 , que é equivalente a: /
8��
�…fi)/
�
_o� ��`�� equação quadrática
em /
�
, cujas soluções são: /
�
`‹_fe g _
8
ffi�� . Mas /
���
� ; então /
�
`‹_fffi g _
8
ffi�� e qk`€FN‡��_>ffi]g _
8
ffi���� ;
analogamente obtem-se as outras funções hiperbólicas inversas. Os respectivos gráficos são:
���
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
���
1 2 3 4
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1
1.5
2
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-1 -0.5 0.5 1
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0.5
1
1.5
2
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-4 -2 2 4
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-1
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0.5
1
1.5
2
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0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3��
-1 -0.5 0.5 1
-3
-2
-1
1
2
3
[30] 3��:3 é a identidade [31] 3x��_:�Ł`��Ł_Ri �<��	�����	[!�� não. [32] 3 O�7 �_:�A`fiff�O�fl
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[34] � S-J„�Œ3��‡`�V+	 �
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-1-2-3 1 2 3 4
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3
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-2 -1 1 2
-2
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1
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384 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
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[37] ��� �5fifl	��-� ��� �;4	���;'�|!�� �-7H 	��o™L � [38] 3x�_:�…` �2}
_ˆffiŸz e
6��_:��`hfi)_
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�]v-_^ffi]; [41] ffE�
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	��y� [42] �5�fl	[?)�Œi 3x�5?
�"`l� [43] !“`
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7�7
[46] Sim, periódica de periódo � ��� ,
� �`b� . [52] �-fi)�’JG6 [53] Aprox. �$1
;���fi anos. [54] 	 � ���G`s���
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1
� 1 dias [66] �$?�� �
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7
8��
11.3 Capítulo 3
[1] ���>�„,2�����A!��flfi%&'��fi2/y��g fi%3���;’6��B� 7
7
”[”�”
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����Ck`cfi�	fl1‡!$�flC~`€vy�Ł&'�flC^`€�
[3] ��� Não, os domínios são diferentes. ��� Sim. [4] ���<;%��� 7
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	�3���� �f6fl�flfi‡9:�flfi �:= ��fi(@<�"�G}ŁC��D�
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[15] a) 1
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4
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-0.5
0.5
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-0.25
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[21] �<�k� �R���fl}2!��\	4/-���0&'��fi%3��fl, . [22] ���\	4���\	�!���	�/y�\	43�� , g) não d) sim [23] ���\	�!���	�/y��V^��� , &'��V � *��fl.
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�|` � [28] 6 é contínua pois 6��_D��` � _ � [29] Por exemplo: 7› e
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› [31] Sim, considere a função
6��_:�A`�3x�_D�x�
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I [33]
11.4. CAPÍTULO 4 385
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1
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-4 -2 2 4
2
4
6
8
10
12
14
[35] Tome 6��_:�‡`c3x�_D�x�„_ e aplique o TVI a 6 . [36] Tome 9R�_D�Ł`c3x�_:�’� 6��_D� e aplique o TVI a 9 .
11.4 Capítulo 4
[1] ���<qfffi‹}
_G�€�$�G`a�>���flfiy_offi qfffij�k`a�Ł!��<q~� ,)_~ffi ;t`a�B&'��fiy_t�Xq~�]}G`a�>/-��qfffi _…`‚�Ł3���q~�…;
_X`¦�
6fl�<;
q�‹_ �#1]` �o94�flfi)q~ffi€_T�#,X` �^=���g 1)q��fiy_T�j�T`d�>@<�<qoffi¦�T`b�‰C��<qG�€fi)_ffijfiX` �~F5�<q�‹_ �
�š`m�~Jt��qoffil{�_h`†�‰N0��1)q�#_T��1‹`ƒ�oS)�<;
q‰ffic_T��1‹`†�BU:��fi g fi-q‰ffic_T��1‹`ƒ�oW)�flfi)qt�#_Kffi‚�…`†�
Z)�flfiyqoffi€;
_ˆ�#,…` � [2] �`be|} . [3] qG�‹}
_ffi€?…`p�fl	�qoffi�}
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�x6fl�<qt��_ˆffi‚�f��F�N‡�5fi
�t`m��	�qGffic_T�¦�>�€F�N‡�5fi
�t`ƒ�t94��q�cz)_ˆffijz‹`s�fl	flz)q‰ffij_„�h�]`ƒ� [6] Uma reta
passando pela origem é da forma qš` C+_ ; use o fato que _4q���� qš` � . �����
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386 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
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11.5 Capítulo 5
[1] ��� n8 ��� fi !��
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[3] a) Não existe, b)
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8 , c) � , d) ��� , e) � , f) Não existe, g) �fl	��21 , h) – 8 ffi‹C<{ , i) C<{ , j)
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Não existe , n) Não existe. o) _G`h�
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I
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� , b) Cres. em ������	�� 78 �K� 78 	\ffi��]� , decres.
em ��� 78 	 78 � , c) Cres. em �5�fl	\ffi��]� , decres. em ������	[�
� , d) Cres. em ����	�ffi�� � , decres. em ������	[�'� , e)
Cres. em �B7
P
	\ffi��]� , decres. em �5�fl	o7
P
� , f) Cres. em ������	[�'� , decres. em ���fl	\ffi��š� , g) Cres. em V , h)
Decres. em V , i) Cres. em �����
	�ffi�� � , decres. em ������	����-� , j) Cres. em ������	��%fi
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	�ffi�� � , decres.
em ���%fi�	
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� , k) Cres. em �����#	$� 	 nI �<�„ff 	 nI 	�ffi�� � , decres. em ��� 	 nI 	 	 nI � , l) Cres. em ���
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	\ffi��]� , p) Cres.
������	[�'���„�5fi�	\ffi��]� decres. �5�fl	$�����„���
	�fi
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[5] a) Mín.
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, não existe máx. b) Máx fi , não existe mín. c) Mín. � . máx. ��v , d) Mín � , não existe máx. e)
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8
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, f) Não existem, g) Mín. �
I
8 h) Mín. �%fi , máx fi , i) Não existem, j) Mín. �
H
M , máx. �%fi , k) Mín. � ,
máx
Y
H
M , l) Mín. � . m) Mín. g fi|�‹� , máx ��g fi“� � , n) Mín. � , máx eBg fi , o) Mín. � , máx ��; p) Máx fi , não
existe mín. q) Mín. ��� , não existe máx. r) Mín. ef� , não existe máx.
[6] a) Inf.
M
I , côncava para cima em �����#	
M
I
� , côncava para baixo em �
M
I
	\ffi��]� . b) Inf. �7I 	�fi , côncava
para cima em ������	��7I ��	0�5fifl	�ffi�� � , côncava para baixo em ���7I 	�fi
� . c) Não existem; côncava para cima
em ����;�	�ffi�� � , côncava para baixo em �����#	$��;'� . d) Inf.
8
I , côncava para cima em �
8
I
	�ffi�� � , côncava
para baixo em �����#	$�
8
I
� . e) Inf. ef� , côncava para cima em ������	����-�x� ���
	\ffi��]� , côncava para baixo
em ������	��������š�����
	\ffi��]� . f) Inf. �2} , côncava para cima em ���2}fl	$�21
���„��1�	�ffi�� � , côncava para baixo em
������	��2}'� . g) Inf. e P
8
8 , concava para cima em �����#	$� P
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8
�$�“�
P
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8
	�ffi�� � ;côncava para baixo em ��� P
8
8
	
P
8
8
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h) Inf. �2} , côncava para cima em ���2}fl	\ffi��]� , côncava para baixo em ������	��2}
� . i) Não possui pontos de
inf. côncava para cima em ���fl	\ffi��]� , côncava para baixo em �����#	��
� . j) Inf. � e e 	
I
8 , côncava para cima
11.5. CAPÍTULO 5 387
em �����
	��
� , côncava para baixo em �5�fl	$��� . k) Inf. C � ! , côncava para cima em �5fi
CB� �
	�fi
Cfl� , côncava para
baixo em �Œfi
CD	�fi
Cxffit�-� . l) Inf. � e fi . côncava para cima em ����	�fi
� ; côncava para baixo em ������	[�'�-�B�5fifl	�ffi�� � .
m) Inf. C2ffi 78 com C � ! , côncava para cima em �5fi
C|�
I
8
	�fi
C�� 7
8
� ; côncava para baixo em �Œfi
C|�
M
8
	�fi
C��
I
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� .
n) Não possui pontos de inf. côncava para cima em todo V .
[7]
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0.2
0.4
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0.1
0.2
0.3
0.4
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-1 -0.5 0.5 1
-0.2
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0.1
0.2
0.3
0.4
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0.5
0.75
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1.25
1.5
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0.2
0.4
0.6
0.8
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0.5
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-3 -2 -1 1 2 3
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0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
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0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
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0.1
0.2
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0.2
0.4
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1 , [10] � 7H 	[�'� , [11] Quadrado de lados g � , [12] Comprimento de cada cateto
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8 , [13] 9c`bZX`
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J , [14] � , [15] �6�� ˜ �|` P
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8 , [16] Z`•9„` � . [17]largura
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I , altura
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P
8
P
I [18] largura
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I , altura
388 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
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I [19] �$� e ���$� , [20] n
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[26] a) F�N‡��1'�’�XFN‡�Œfi
� , b) a droga é completamente
eliminada. [27] �$z�� fi
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[28]
L’Hôpital:
1) ��� , 2) � , 3)] � , 4) � , 5) � , 6) � , 7) ffi�� , 8) � , 9) � , 10) � , 11) � , 12) � , 13) /
8
, 14) � , 15) /
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, 16) � , 17) ffi�� , 18)
ffi�� , 19) /
8
, 20) / O �œ , 21) 78 , 22) � , 23) � , 24) �%fi , 25) �
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I , 26) � , 27) � , 28) fl
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11.6 Capítulo 6
[2] a)
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11.7. CAPÍTULO 7 389
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11.7 Capítulo 7
[1] Método de substituição:
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� [5] �^`���	�3x�_D�‡`h� [6] Pontos críticos: _G`�N�{ .
Se N par N�{ é ponto de mínimo; se N ímpar N�{ é ponto de máximo. [7] �<� 78 	 ���flfi c) fi)FN‡�Œfi
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f) /A� fi [8] Use ���<_
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[10] a) � , b) � , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12] {~�ˆfi
[14] �Œfiy_‰ffij�-�flfi O
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390 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS
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0.05
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0.5 1 1.5 2 2.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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15
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-0.2
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0.1
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11.8. CAPÍTULO 8 391
Logarítmos
[2] Sugestão: Escreva 7
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[8] Da segunda lei de Coulomb 3x�_:�“` 
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11.8 Capítulo 8
[1] a) fi b) –
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[4] a) Ž
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� b) Para todo Ž
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� c) Ž
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� d) Ž
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� e) Ž
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� f) Ž
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� g) Sugestão: Faça 7\O
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h) Sugestão: Faça � –” fl
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� e na segunda integral faça _K`c{t��� . Utilize
limites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprópias. ŽBc�
[6] �K` 7
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L [7] Utilize que a função 3x� ���%`¦/��
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é par. CK` �%fi [9] � �_
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_ [10] a) }
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392 CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

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