Algebra Linear Apol 3. pdf

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29/03/2016 AVA UNIVIRTUS
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APOL 3
PROTOCOLO: 2016030512839836F6B48SIRLAINE MOTA DE BRITO - RU: 1283983 Nota: 80
Disciplina(s):
Álgebra Linear
Data de início: 05/03/2016 19:47
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 05/03/2016 21:00
Questão 1/10
Dado um conjunto “V”, deseja-se verificar se “V” é ou não um espaço vetorial. Qual alternativa a seguir descreve como esta
verificação pode ser feita, levando-se em conta a definição de espaço vetorial.
A De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve­se
verificar se V atende a esta condição. Em seguida, deve­se verificar se os dez axiomas listados na
definição de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada
genericamente.
B De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve­se verificar se V
atende a esta condição. Em seguida, deve­se verificar se os dez axiomas listados na definição de espaço
vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente.
C De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto não vazio, portanto, deve­se verificar
se V atende a esta condição. Em seguida, deve­se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição
de espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada genericamente.
D De acordo com a definição de espaço vetorial, V deve ser um conjunto vazio, portanto, deve­se verificar se V
atende a esta condição. Em seguida, deve­se verificar se alguns dos dez axiomas listados na definição de
espaço vetorial são verdadeiros para V – esta verificação deve ser realizada globalmente.
Questão 2/10
Analise as proposições abaixo, marcando V para as verdadeiras e F para as falsas em relação ao conjunto A = {(4,7);(1,3);(1,1)} ,
depois assinale a alternativa correta:
(   ) A é linearmente dependente.
(   ) A gera todo o espaço R².
(   ) A é uma base de R².
(   ) O vetor v = (3,5) é escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de A.
A V F F F
B
Você acertou!
alternativa “a”

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V F V V 
C V V F F 
D F F V V
Questão 3/10
Analise se o conjunto R² com a operação usual de adição, mas com a operação de produto por escalar definida como a seguir, é
ou não um espaço vetorial:
Produto escalar: k.(x,y) = (k.x,0)
Após essa análise, escolha a alternativa que apresenta a resposta correta:
A R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende
ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não­nulo.
B R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado é um espaço vetorial pois atende
ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for nulo.
C R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial
pois não atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que não é verdade quando y for não­nulo.
D R² com a operação de produto por escalar tal como indicado no enunciado não é um espaço vetorial pois não
atende ao axioma 10 da definição de espaços vetoriais:
(axioma 10) 1.u = u à 1.(x,y) = (1.x,0) = (x,0) o que é verdade quando y for não­nulo.
Questão 4/10
Dados os sistemas de equações lineares S e S a seguir, avalie as proposições e marque V para as verdadeiras ou F para as
falsas, depois assinale a alternativa correta: 
Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: é linearmente dependente todo conjunto de vetores de R² que contenha mais do que dois vetores.
Item ii) Verdadeiro: o conjunto A é gerador de R².
Item iii) Falso: A não é uma base de R², já que o conjunto A é linearmente dependente.
Item iv) Falso: já que A é linearmente dependente, há inúmeras combinações lineares possíveis dos vetores de A que
resultam em v.

Você acertou!
alternativa “c”

1 2
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(   ) O conjunto das soluções de S é um subespaço vetorial de R³.
(   ) O conjunto das soluções de S é um subespaço vetorial de R³.
(   ) S é um sistema de equações lineares homogêneo.
(   ) S é um sistema de equações lineares homogêneo.
A V F V F
B V V F F 
C F V F V  
D F F V V
Questão 5/10
Analise as 4 alternativas a seguir e marque a que apresenta uma explicação errada em relação à espaço vetorial:
A O conjunto de todas as matrizes reais de duas linhas e uma coluna, M , é um subespaço vetorial do
conjunto de todas as matrizes reais de “m” linhas e “1” coluna, M , sendo “m” um número inteiro maior do
que 2.
B O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial real. 
C O conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um subespaço vetorial do conjunto de todos os
polinômios reais de grau 4. 
D O conjunto de todos os polinômios reais de grau 2 é um espaço vetorial, mas o mesmo não se pode
dizer do conjunto de todos os polinômios reais de grau 3.
1
2
1
2
Você acertou!
S  é um sistema não­homogêneo e o conjunto de suas soluções não é um espaço vetorial de R³.
S  é um sistema homogêneo e o conjunto de suas soluções é um espaço vetorial de R³.
Sendo assim, são verdadeiras apenas as proposições 2 e 4.

1
2
2x1
mx1
Você acertou!
Resolução:
A alternativa “d” é falsa, pois, o conjunto de todos os polinômios reais de grau 3 é um espaço vetorial.

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Questão 6/10
Analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale alternativa correta: 
(   ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e polinômios de primeiro grau, a expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7)
pode ser entendida como (2 + 3x) + (1 + 4x) = 3 + 7x. 
(   ) Pela analogia existente entre vetores de duas componentes e matrizes com duas linhas e uma coluna, a expressão (2, 3) + (1,
4) = (3, 7) pode ser entendida como:  
(   ) A expressão (2, 3) + (1, 4) = (3, 7) evidencia o fato de que o vetor (3, 7) pode ser escrito como combinação linear dos vetores
(2, 3) e (1, 4).
A V F V
B F F V 
C V V F 
D V V V
Questão 7/10
Dada a expressão c .u + c .v = w , analise as afirmativas a seguir e depois assinale a alternativa correta: 
a) Se existirem c e c reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w é uma combinação linear de u e de v. 
b) Se não existirem c e c reais tais que a expressão dada seja verdadeira, então w não é uma combinação linear de u e de v. 
c) Se w for uma combinação linear de u e de v, existem c e c reais tais que a expressão dada é verdadeira.
A Nenhuma das afirmativas acima está correta.
B Somente a afirmativa “a” acima está correta.
C Somente as afirmativas “a e c” acima estão corretas. 
D Todas as afirmativas acima estão corretas.
Questão 8/10
Considere o sistema de equações lineares gerado pela combinação linear: c .(1,2)+ c .(0,1) + c .(2,3) = (0,0). Classifique o tipo
de sistema em relação as soluções.
Você acertou!
Todas as proposições estão corretas...

1 2
1 2
1 2
1 2
As três afirmativas estão corretas
1 2 3
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A Sistema Homogêneo, somente com a solução trivial.
B Sistema Impossível. 
C Sistema Possível e Determinado. 
D Sistema Possível e Indeterminado.
Questão 9/10
Analise os conjuntos descritos nas alternativas abaixo e marque a alternativa que apresente a resposta correta em
relação à reta gerada:
A Dado S = {(1,2)} tem­se ger(S) = R².
B Dado S = {(1,2);(2,4)} tem­se ger(S) = R². 
C Dado S = {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} tem­se ger(S) = R³. 
D Dado S = {(1,2,3);(2,4,6);(3,6,9)} tem­se ger(S) = R³.
Questão 10/10
Analise os conjuntos a seguir e marque a alternativa correta:
A A = {(1,2)} é linearmente dependente.
B B = {(1,2),(2,4)} é linearmente independente.
Resolução:
O sistema de equações lineares dado pela equação
c .(1,2) + c .(0,1) + c .(2,3) = (0,0)
certamente possui soluções, pois será homogêneo e, além disso, possui inúmeras soluções – observe que o sistema
gerado pela equação (abaixo), quando reduzido por linhas à forma escada, terá no máximo dois pivôs e, então, será
certamente SPI:

1 2 3
Você acertou!
Somente a alternativa c está correta: os conjuntos das alternativas a e b geram apenas uma reta em R² e o conjunto
da alternativa d gera uma reta em R³.

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C C = {(1,2);(0,0)} é linearmente independente. 
D D = {(1,2);(0,3);(5,1)} é linearmente dependente.
Você acertou!
Resolução:
De acordo com a definição de conjunto linearmente dependente e de conjunto linearmente independente, está correta
somente a alternativa d.
