Resumo series

Prévia do material em texto

1. Resumo: Sequeˆncias e Se´ries
Aqui, entramos num vilarejo matema´tico, comum e intermitente, o infinito.
Forc¸osamente, enxergaremos apenas aquilo que se acha, que se acredita, que, poucamente, desconfia-
mos. Um vilarejo de terra inso´lita, entretanto, doce... aquele amargor, pesado e ranc¸oso, que, a princ´ıpio,
impregna-nos os olhos...e´ apenas o relance daquilo que vemos e detestamos...e´ o paladar de quem regurgita,
mas nunca deixa-se deleitar pelo sabor do verdadeiro...
Talvez, muito talvez, a maioria de no´s enxergue a matema´tica com os olhos distantes.
Eu a via assim. Mas, quando nos debruc¸amos, e nos rendemos aos seus encantamentos, a feia face, que
vislumbramos por entre o ve´u teˆnue da ignoraˆncia, torna-se terna, infinita, inebriante.... Os modos grosseiros,
que idealiza´vamos, apresentam-se os mais sutis e delicados...
Apo´s o espantamento, apo´s o que se acostuma,...as janelas se abrem. As portas escancaram-se.
O encantamento, que, outrora, fora furtivo e intoca´vel, espreitava-nos, agora, o rosto. Debruc¸a-se, enfim,
na janela e nos acena. A partir dali, ja´ na˜o ha´ apenas contentamento... a partir dali, a matema´tica
impregnou-nos as veias...e ja´ na˜o ha´ sangue inco´lume...
2. Sequeˆncias
Uma sequeˆncia, denotada por an, n ∈ N, e´, a grosso modo, uma disposic¸a˜o qualquer de nu´meros. Ex-
plicando, de um modo matematicamente mais correto, uma sequeˆncia e´ uma func¸a˜o cujo o domı´nio e´ um
subconjunto infinito dos nu´meros naturais e cuja imagem e´ um subconjunto dos nu´meros reais.
Muitas vezes, o estudo do comportamento da sequeˆncia confunde-se com o estudo do comportamento de
func¸o˜es e o seu limite tendendo ao infinito. Rotineiramente, e´ poss´ıvel, dada uma sequeˆncia an, n ∈ N,
escrever a lei de formac¸a˜o da sequeˆncia a partir de uma func¸a˜o f(x) = f : R+ −→ R, tal que f(n) = an,
n ∈ N. Nos casos em que isso e´ poss´ıvel, o estudo do comportamento da se´rie quando n tende ao infinito,
reduz-se ao estudo do comportamento da func¸a˜o f(x) quando x ∈ R tende ao infinito. Note que na˜o ha´
necessidade de que f(n) = an para todo n ∈ N, mas e´ fundamental que isto ocorra para todos os n ≥ N ,
para algum N ∈ N.
Como no caso do limite de func¸o˜es reais, dizemos que a sequeˆncia an, n ∈ N, converge quando n tende ao
infinito se an tende a um certo valor L ∈ R.
Nos casos em que an na˜o tende a nenhum valor quando n tende ao infinito ou, ainda, que an tende ao
infinito quando n tende ao infinito, dizemos que a sequeˆncia an diverge. So´ um comenta´rio, se an tende ao
infinito (positivo ou negativo) quando n vai para o infinito, dizemos que an diverge para o infinito (positivo
ou negativo).
Temos alguns resultados importantes:
(1) Se dada uma sequeˆncia an, n ∈ N, pudermos encontrar uma func¸a˜o f(x), tal que f(n) = an para
todo n ≥ N com N ∈ N, enta˜o se lim
x−→∞ f(x) = L implica que limn−→∞ an = L.
Dessa forma, estudar o comportamento de an quando n tende ao infinito, reduz-se em estudar o
comportamento de f(x) quando x tende ao infinito. E podemos usar todo ferramental que conhece-
mos (inclusive L’Hospital) para encontrar o limite de f(x) quando x −→∞.
(2) Temos que lim
n−→∞ an = 0 se, e somente se, limn−→∞ |an| = 0, no qual |an| representa o mo´dulo da
sequeˆncia an.
(3) Teorema do Confronto (ou Sandu´ıche-´ıche-´ıche). Sejam treˆs sequeˆncias an, bn e cn satisfazendo
an ≤ bn ≤ cn e se lim
n−→∞ an = L e limn−→∞ cn = L, enta˜o temos que limn−→∞ bn = L.
Dizemos que uma sequeˆncia an e´ mono´tona se ela for crescente ou decrescente. Uma sequeˆncia an sera´
crescente se an < an+1 para todo n ∈ N. Uma sequeˆncia an sera´ decrescente se an > an+1 para todo n ∈ N.
Dizemos tambe´m que uma sequeˆncia e´ limitada superiormente se existe um M ∈ R tal que an ≤ M
para todo n ∈ N. Dizemos que uma sequeˆncia e´ limitada inferiormente se existe um m ∈ R tal que
an ≥ m para todo n ∈ N.
Sob tais aspectos temos os seguintes resultados:
(1) Uma sequeˆncia an crescente e limitada superiormente e´ convergente.
(2) Uma sequeˆncia an decrescente e limitada inferiormente e´ convergente.
Uma observac¸a˜o relevante aqui e´ que para a demonstrac¸a˜o que uma sequeˆncia e´ crescente ou decrescente e´
poss´ıvel, em muitos casos, encontrar a func¸a˜o f(x) tal que f(n) = an, para n ∈ N. Note, que, novamente,
1
2
aqui nestes resultados na˜o ha´ necessidade que a func¸a˜o seja mono´tona para todo n ∈ N, mas que o seja para
todo n ≥ N para algum N ∈ N.
Observac¸a˜o NUNCA derive a func¸a˜o an diretamente. Isto estara´ errado. Para poder utilizar derivadas
voceˆ devera´ obter uma func¸a˜o f(x) com x ∈ R a partir da func¸a˜o an. Apo´s isso, sim, voceˆ podera´ deri-
var. Antes disso, na˜o. Se derivar a func¸a˜o com an, diretamente, sinto muito, muito mesmo...mas na˜o vou
considerar NADA...nem o choro.
3. Se´ries
Seja a sequeˆncia de termos an, n ∈ N. A se´rie representa a soma de todos esses termos, i.e., represen-
tamos a se´rie como
∞∑
i=1
an.
Uma se´rie pode convergir, quando assume um determinado valor, ou divergir, quando vai para∞ ou −∞
ou ainda quando na˜o tende para nenhum valor espec´ıfico.
3.0.1. Crite´rios de Convergeˆncia.
(1) Teste da Divergeˆncia para o termo geral. Este teste e´ o mais simples de todos. Se tivermos
uma se´rie
∞∑
i=1
an ela so´ ira´ convergir se lim
n−→∞ an = 0. Portanto, se o limite da sequeˆncia na˜o for para
zero a se´rie COM CERTEZA divergira´. Note, entretanto, que o fato de lim
n−→∞ an = 0 na˜o garante,
imediatamente, que a se´rie converge. E´ necessa´rio apelar para outros crite´rios (mais abaixo).
(2) Crite´rio da Integral. Este crite´rio sera´ u´til se pudermos definir a partir do termo geral an da se´rie∞∑
i=1
an uma func¸a˜o f = f(x) : R+ −→ R+, de modo que an = f(n) para todo n ∈ N com f(x) tendo
as seguintes propriedades:
• f(x) e´ sempre positiva.
• f(x) e´ decrescente.
Sob tais condic¸o˜es, o crite´rio da integral reduz-se:
• Se ∫∞
1
f(x)dx (no sentido da integral impro´pria) existir e for finita enta˜o
∞∑
i=1
an converge.
• Se ∫∞
1
f(x)dx (no sentido da integral impro´pria) for infinita enta˜o
∞∑
i=1
an diverge.
(3) Crite´rio da Comparac¸a˜o. O t´ıtulo do crite´rio e´ bem sugestivo. Note aqui, que iremos comparar
duas se´ries de termos positivos
∞∑
i=1
an e
∞∑
i=1
bn (an e bn positivos para todo n ∈ N. Tal crite´rio
sera´ usado, em geral, quando queremos provar a convergeˆncia ou divergeˆncia de uma se´rie e ja´
“desconfiamos”, a priori, que a se´rie converge ou diverge. Tal teste e´ resumido pela seguinte forma:
• Se an ≤ bn para um certo n ≥ N , no qual este N grande e´ qualquer nu´mero natural, e se
soubermos que
∞∑
i=1
bn converge, enta˜o, teremos tambe´m que
∞∑
i=1
an converge.
• Se an ≤ bn para um certo n ≥ N , no qual este N grande e´ qualquer nu´mero natural, e se
soubermos que
∞∑
i=1
an diverge, enta˜o, teremos tambe´m que
∞∑
i=1
bn diverge.
Uma observac¸a˜o va´lida do teste da comparac¸a˜o e´ que os termos das se´ries na˜o precisam ser com-
para´veis para todo n ∈ N, mas devem ser compara´veis a partir de um certo N ∈ N. Isto deve-se
ao fato de que e´, demasiadamente importante, o comportamento da se´rie para termos tendendo ao
infinito. Lembre-se, o importante e´ o comportamento da se´rie para n tendendo ao infinito. So´ mais
uma vez: ”Lembre-se, o importante e´ o comportamento da se´rie para n tendendo ao infinito”. :-)
Sob tal ide´ia podemos tambe´m definir o seguinte crite´rio, tambe´m de comparac¸a˜o, muito u´til
quando temos uma divisa˜o de polinoˆmios como termos da se´rie (abaixo)...E Lembre-se... :-).
(4) Crite´rio da Comparac¸a˜o-2. O Crite´rio neste caso, resume-se:
3
Seja
∞∑
i=1
an e
∞∑
i=1
bn se´ries de termos positivos, enta˜o tais que:
lim
n−→∞
an
bn
= L > 0, L ∈ R,
enta˜o ou ambas as se´ries,
∞∑
i=1
an e
∞∑
i=1
bn, convergem ou ambas asse´ries divergem.
(5) Crite´rio da se´rie alternada. Uma se´rie alternada e´ uma se´rie da forma
∞∑
i=1
an, no qual os termos
sucessivos va˜o trocando de sinal, ou seja, seguem-se termos positivos, apo´s negativos, depois positivos,
negativos...infinitamente. Este crite´rio e´ bastante simples e e´ escrito como:
Seja
∞∑
i=1
an uma se´rie alternada satisfazendo as seguintes propriedades:
• |an+1| < |an|, aqui | · | representa o mo´dulo, ou seja, o mo´dulo dos termos e´ decrescente;
• lim
n−→∞ |an| = 0 ou, equivalentemente, limn−→∞ an = 0;
enta˜o a se´rie
∞∑
i=1
an converge.
(6) Crite´rio da se´rie absolutamente convergente. Uma se´rie
∞∑
i=1
an, qualquer, sera´ dita absolu-
tamente convergente se esta´ se´rie convergir em mo´dulo. Para se´rie apenas de termos positivos se a
se´rie convergir ela convergira´ em mo´dulo e portanto sera´ absolutamente convergente, mas para se´ries
que podem ter termos positivos e negativos tal definic¸a˜o e´ bastante importante. Sob tais aspectos,
podemos enunciar o seguinte resultado importante:
Se a se´rie
∞∑
i=1
an for absolutamente convergente, enta˜o ela sera´ convergente.
Uma se´rie
∞∑
i=1
an que e´ convergente, mas na˜o e´ absolutamente convergente e´ dita ser condi-
cionalmente convergente. Um exemplo t´ıpico de se´rie condicionalmente convergente, mas na˜o
absolutamente convergente e´ a se´rie alternada
∞∑
i=1
(−1)n
n
. Utilizando-se o teste da se´rie alternada, e´
poss´ıvel verificar, facilmente (e muito facilmente, ta˜o facilmente que o professor, qualquer que seja,
teria vergonha de colocar uma coisa dessas na prova...eu teria... :-)) que tal se´rie converge. Entre-
tanto, tomando o mo´dulo dessa se´rie, o que seria
∞∑
i=1
1
n
, a se´rie tornar-se-ia (portugueˆs mode on) uma
se´rie harmoˆnica. E todo mundo sabe (todo mundo MESMO???) que tal se´rie diverge. Portanto, ela
sera´ apenas condicionalmente convergente.
(7) Crite´rio da raza˜o Este crite´rio e´ fundamentalmente u´til quando estamos trabalhando com tipos
de se´ries:
• Se´ries contendo fatoriais (neste caso sa˜o muito u´teis).
• Se´ries contendo poteˆncias n-e´simas.
O Crite´rio da raza˜o pode ser escrito como:
Seja
∞∑
i=1
an uma se´rie, enta˜o temos 3 possibilidades:
• Se lim
n−→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L com L < 1. Enta˜o a se´rie ∞∑
i=1
an converge absolutamente.
• Se lim
n−→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L com L > 1. Enta˜o a se´rie diverge.
• Se lim
n−→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L com L = 1. Enta˜o nada podemos afirmar.
4
(8) Crite´rio da raiz Este crite´rio e´ fundamentalmente u´til quando estamos trabalhando com se´ries
envolvendo poteˆncias n-e´simas.
Seja
∞∑
i=1
an uma se´rie, enta˜o temos 3 possibilidades:
• Se lim
n−→∞
n
√
|an| = L com L < 1. Enta˜o a se´rie
∞∑
i=1
an converge absolutamente.
• Se lim
n−→∞
n
√
|an| = L com L > 1. Enta˜o a se´rie diverge.
• Se lim
n−→∞
n
√
|an| = L com L = 1. Enta˜o nada podemos afirmar.
4. Algumas observac¸o˜es e exemplos
(1) A se´rie geome´trica
n∑
i=1
a1r
n−1 converge se r < 1, com soma dada por S =
a1
1− r e diverge se r ≥ 1.
(2) A se´rie
n∑
i=1
1
np
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1 (pode ser provado pelo crite´rio da integral).
Exemplos:
•
n∑
i=1
n− 1
2n+ 1
. Teste para a divergeˆncia. ·
n∑
i=1
√
n3 + 1
3n3 + 4n2 + 2
. Teste da Comparac¸a˜o.
•
n∑
i=1
ne−n
2
. Teste da integral. ·
n∑
i=1
(−1)n n
3
n4 + 1
. Se´rie alternada.
•
n∑
i=1
2n
n!
. Teste da raza˜o. ·
n∑
i=1
1
2 + 3n
. Teste da comparac¸a˜o.
5. Exerc´ıcios
. Teste a divergeˆncia ou a convergeˆncia das se´ries
1)−
∞∑
n=1
n− 1
n2 + n
, 2)−
∞∑
n=1
(−1)n−1 n− 1
n2 + n
, 3)−
∞∑
n=1
(−3)n+1
23n
, 4)−
∞∑
n=1
1
n
√
ln(n)
, 5)−
∞∑
n=1
n2
en
,
6)−
∞∑
n=1
(−1)n+1
n ln(n)
, 7)−
∞∑
n=1
n2 − 1
n2 + n
, 8)−
∞∑
n=1
1
n2 + n
, 9)−
∞∑
n=1
(
3n
1 + 8n
)n
, 10)−
∞∑
n=1
2nn!
(n+ 2)!
,
11)−
∞∑
n=1
n2
en3
, 12)−
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
n2 + 25
, 13)−
∞∑
n=1
3nn2
n!
, 14)−
∞∑
n=1
sen(n), 15)−
∞∑
n=1
n!
2 · 5 · 8 · · · (3n+ 2) ,
16)−
∞∑
n=1
n2 + 1
n3 + 1
, 17)−
∞∑
n=1
(−1)n
21/n
, 18)−
∞∑
n=2
(−1)n−1√
n− 1 , 19)−
∞∑
n=1
(−1)n ln(n)√
n
, 20)−
∞∑
n=1
n+ 5
5n
,
21)−
∞∑
n=1
(−2)2n
nn
, 22)−
∞∑
n=1
√
n2 − 1
n3 + 2n2 + 5
, 23)−
∞∑
n=1
tg(1/n), 24)−
∞∑
n=1
cos(n/2)
n2 + 4n
, 25)−
∞∑
n=1
n!
en2
,
26)−
∞∑
n=1
n2 + 1
5n
, 27)−
∞∑
n=1
(
n ln(n)
(n+ 1)3
)
, 28)−
∞∑
n=1
e1/n
n2
, 29)−
∞∑
n=1
tg−1n
n
√
n
, 30)−
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 5
,
31)−
∞∑
n=1
5n
3n + 4n
, 32)−
∞∑
n=1
(2n)n
n2n
, 33)−
∞∑
n=1
sen(1/n)√
n
, 34)−
∞∑
n=1
1
n+ ncos2(n)
, 35)−
∞∑
n=1
(
n
n+ 1
)n2
,
36)−
∞∑
n=1
1
ln(n)ln(n)
, 37)−
∞∑
n=1
(
n
√
2− 1
)n
, 38)−
∞∑
n=1
(
n
√
2− 1
)
,