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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS COSSENOS Construção: Triângulo qualquer ABC; Altura relativa ao vértice C. Demonstração: Pelo Teorema de Pitágoras (página 78 do livro Geometria Euclidiana Plana) temos que: i) �² = �² + ℎ² ii) �² = �² + ℎ² ℎ² = �² − �² Também sabemos (por definição) que iii) cos �� = � � � = �. cos �� e (por construção) que iv) � = � − �. Substituindo a equação ii) na i) obtemos: �² = �² + �² − �² Agora, trocando m por c-n, �² = �� − ��� + �² − �² = �² − 2�� + �² + �² − �² = �² − 2�� + �² = �² + �² − 2�� Por fim, substituindo a equação iii) nessa última, conseguimos: �² = �² + �² − 2���. cos ��� �² = �² + �² − 2��. cos �� DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS SENOS Construção: Triângulo qualquer ABC; Circunferência circunscrita ao triângulo; Diâmetro a partir de um vértice (neste caso, vértice B); Ponto D na outra extremidade do diâmetro construído; Segmento ������. Demonstração: Os ângulos �� e �� são congruentes, pois correspondem ao mesmo arco (��� ). (Corolário 6.15) (Ver Arcos de Circunferências, página 90 do livro Geometria Euclidiana Plana) O triângulo BCD é retângulo em � porque esse ponto pertence à circunferência de raio ������. (Corolário 6.14) Como ∆��� é retângulo, temos que sen �� = � 2! Da congruência dos ângulos, obtemos: sen �� = � 2! 2! = � sen �� Ao traçar diâmetros partindo dos outros vértices, chegamos analogamente às seguintes relações: 2! = � sen �" 2! = � sen �� Juntando todas as igualdades obtemos: 2! = � sen �� = � sen �" = � sen ��
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