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Demonstração da Lei dos Senos e dos Cossenos

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DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS COSSENOS 
 
Construção: 
Triângulo qualquer ABC; 
Altura relativa ao vértice C. 
 
Demonstração: 
Pelo Teorema de Pitágoras (página 78 do livro Geometria Euclidiana Plana) temos que: 
i) �² = �² + ℎ² 
ii) �² = �² + ℎ² 	 ℎ² = �² − �² 
Também sabemos (por definição) que 
iii) cos �� = �
�
 
	 � = �. cos �� 
e (por construção) que 
iv) � = � − �. 
 
Substituindo a equação ii) na i) obtemos: 
�² = �² + �² − �² 
 
Agora, trocando m por c-n, 
�² = �� − ��� + �² − �² 
= �² − 2�� + �² + �² − �² 
= �² − 2�� + �² 
= �² + �² − 2�� 
 
Por fim, substituindo a equação iii) nessa última, conseguimos: 
�² = �² + �² − 2���. cos ��� 
�² = �² + �² − 2��. cos �� 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO DA LEI DOS SENOS 
 
Construção: 
Triângulo qualquer ABC; 
Circunferência circunscrita ao triângulo; 
Diâmetro a partir de um vértice (neste caso, vértice B); 
Ponto D na outra extremidade do diâmetro construído; 
Segmento ������. 
 
Demonstração: 
Os ângulos �� e �� são congruentes, pois correspondem ao mesmo arco (��� ). (Corolário 
6.15) 
(Ver Arcos de Circunferências, página 90 do livro Geometria Euclidiana Plana) 
O triângulo BCD é retângulo em � porque esse ponto pertence à circunferência de raio 
������. (Corolário 6.14) 
Como ∆��� é retângulo, temos que 
sen �� =
�
2!
 
 
Da congruência dos ângulos, obtemos: 
sen �� =
�
2!
 
	 2! =
�
sen ��
 
Ao traçar diâmetros partindo dos outros vértices, chegamos analogamente às seguintes 
relações: 
2! =
�
sen �"
 
2! =
�
sen ��
 
Juntando todas as igualdades obtemos: 
2! =
�
sen ��
=
�
sen �"
=
�
sen ��

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