Lista de Exercícios - Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Campus Prof. Jose´ Alo´ısio de Campos
Departamento de Matema´tica
6a. Lista de exerc´ıcios - Calculo I - 2012.1, 04/04/2012
0)Encontre a derivada da func¸a˜o dada usando a definic¸a˜o. Estabelec¸a os domı´nios da func¸a˜o e de sua
derivada.
a) f(x) = 12 + 7x b)f(x) =
3 + x
1− 3x
1)Seja f(x) = x+
√
x, calcule, usando a definic¸a˜o, f ′(1).
2)Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados
a)f(x) =
1
x
, p = −2 b)f(x) = sen(x) + cos(3x), p = pi/3.
3) Deˆ exemplo (por meio de um gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R tal que f ′(x) > 0
para todo x.
4)Deˆ exemplo (por meio de um gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e cont´ınua em R tal que f ′(1) na˜o
exista.
5)Deˆ exemplo (por meio de um gra´fico) de uma func¸a˜o f , definida e deriva´vel em R tal que f ′(x) > 0,
para x < 1 e f ′(x) < 0, para x > 1.
6) Mostre que a func¸a˜o
f(x) =
{
2x+ 1, x < 1
−x+ 4, x ≥ 1
na˜o e´ deriva´vel em x = 1. Esboce o gra´fico de f .
7) Considere a func¸a˜o
g(x) =
{
x2 + 2, x < 1
2x+ 1, x ≥ 1
a) Mostre que g e´ deriva´vel em x = 1 e calcule g′(1). Esboce o gra´fico de g.
8) Considere o gra´fico da func¸a˜o h,
-1-3
1
3 5
a)Em quais pontos a func¸a˜o e´ descont´ınua?Por que?
b) Quais pontos a func¸a˜o na˜o e´ deriva´vel? Por que?
1
c)Observando o gra´fico de h, esboce o gra´fico da derivada de h apenas para x > 5
9)Mostre que f(x) = |x− 2| na˜o e´ deriva´vel em x = 2.Esboce o gra´fico de f .
10)Ache os pontos da curva y = f(x) = x4 − 6x2 + 4 onde a reta tangente e´ horizontal.
11) Use a regra que for conveniente para derivar as seguintes func¸o˜es
a)f(x) = 4pi/3 b)f(x) = x
√
2x
c)f(x) =
2
3x4
+ 3x3 d)f(x) =
√√√
x
e)f(x) = 4sen(3x) f)f(x) = (e2x + x)3
g)f(x) = (x2 + x)(2x− 5x7)4 h)f(x) =
√
x+ 1√
x− 1
i)f(x) = tg(tg(x)) j)f(x) = cossec(2x)sec(x2)
k)f(x) = 3cotg(x3) l)f(x) = 53x
m)f(x) =
senx+ ex√
x
n)f(x) =
√
x+
√
x+
√
x
o)f(x) = x senx cosx p)f(x) = 23
x2
q)f(x) = lnx r) f(t) =
t2 − 1
2t
s)g(x) = (1 + ex)
√
x
−x3 − 1
t)f(s) = 3 5
√
x2
12)A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de ga´s e´ comprimida a uma temperatura constante,
o produto da pressa˜o e o volume permanece constante, ou seja, PV = C. Encontre a taxa de variac¸a˜o do
volume em relac¸a˜o a` pressa˜o.
13)Um part´ıcula move-se segundo a lei do movimento s = f(t) = t4 − 4t− 1, t ≥ 0, onde t e´ medido em
segundos e s em metros. Responda:
a) Qual a velocidade depois de 4 segundos.
b)Quando a part´ıcula esta´ em repouso?
c)Qual a acelerac¸a˜o em 5 segundos?
d)Encontre a distaˆncia percorrida depois de 6 segundos.
e)Qua˜o longe a part´ıcula estara´ do ponto de partida quando sua velocidade atingir 8 m/s?
14)Encontre y′ diferenciando implicitamente
a)f(x) = xy + 2x+ x3 = 4 b)f(x) =
1
x
+
1
y
c)f(x) = x2y + xy2 = 3x d)y − seny = x
e)f(x) = x2 + y2 = 9
15)Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo
a)y = arctg(
√
x) b)y = arcsen(4x) c)y = arccos(x2)
d)y = arccossec(ex) e)y = arccotg(2x) f)y = arcsec(3x3)
g)y = log3(x) h)y = log5(x2 + 1) i)y = ln(x1/5)
j)y = ln|x3 − 1| k)y = senh(2x) y = cosh(x5)
l)y = tgh(x) m)y = cotgh(x9) n)y = sech(4x) o)y = cossech(8x2).
16) Deˆ as derivadas de todas as func¸o˜es hiperbo´licas inversas.
17)Encontre a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o g, dada por g(x) = (1 + x)1/3 em x = 0 e use-a para aprox-
imar os nu´meros (0, 95)1/3 e (1, 1)1/3. Ilustre fazendo os gra´ficos de g e da reta tangente.
18)Encontre a diferencial da func¸a˜o f(x) = xlnx.
19)(a)Encontre a diferencial dy. (b)Calcule dy para os valores dados de x e dx.
y = x2 + 2x, x = 3, dx = 1/2
2
20)Calcule os valores de 4y e dy para os valores de x e 4x = dx dados
y = 6− x2, x = −2,4x = 0, 4
21) Use as diferenciais para aproximar
√
99, 8.
22) Encontre a derivada segunda das func¸o˜es
a)f(x) = a
√
x+
b√
x
b) g(x) =
2x+ 1
x− 3
c)h(x) = cos−1(2x)
23) Seja h(x) = cos(3x) + sen3(x). Encontre h′′(0).
24) Encontre uma fo´rmula para f (n)(x), onde f(x) = xn.
25)Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padra˜o que
ocorre
a) D74senx b)D103cos(2x)
26)Encontre os valores de λ para os quais y = eλx satisfaz a equac¸a˜o y + y′ = y′′.
27)Diferencie
a) y = ln(x3 + 2) b)y = ln(sen2x)
c) y = loga(3x) d)y = ln
(
(2t+ 1)3
(3t− 1)4
)
e)y = tg(ln2x)
28) Encontre a primeira e segunda derivadas
a) y =
lnx
x2
b)y = ln(secx+ tgx)
29) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = ln(x3 − 7) no ponto (2, 0)
30) Use a derivac¸a˜o logaritmica para encontrar dy/dx nas equac¸o˜es abaixo
a)y =
√
xex
2
(x2 + 1)10 b)y =
(
x2 + 1
x2 − 1
)1/4
c)xy = yx
31) Encontre
a) senh(0) b)cosh(0) c)tgh(0)
32) Encontre as derivadas
a) y = tgh(4x) b)y = senhx2
c)y = tgh−1(2x) d)y = cosh−1(x3)
3