Listas de Exercícios e de Aplicações

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aplicações/Semana 01.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 01
Temas abordados : Func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante
t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel
da a´gua s(t) no recipiente e´ dada por
s(t) =
{
2t, para 0 ≤ t ≤ 5
8t− 30, para 5 < t ≤ 6
onde a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
(b) Determine, caso existam, os instantes
τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ) = 15.
(c) Determine a imagem da func¸a˜o s.
12
6
10
10
2) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/√x. Pode-se mostrar que a
inclinac¸a˜o da reta La, que e´ tangente ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), e´ dada
por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o, a reta La e os pontos Qa e Ra
em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir,
justificando suas respostas.
(a) A reta La tem equac¸a˜o y =
−x
2a
√
a
+
3
2
√
a
.
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).
(c) A a´rea do triaˆngulo ∆OPaRa e´ igual a 1
2
2af(a).
(d) A a´rea do triaˆngulo ∆O PaQa e´ igual a 1
2
3
2
√
a
a.
(e) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo ∆OPaQa e´ o
dobro da a´rea do triaˆngulo ∆O PaRa.
Pa
Qa
O Ra
3) Uma amostra radioativa emite part´ıculas alfa e, consequentemente, sua massa M =
M(t) e´ uma func¸a˜o decrescente do tempo. Suponha que, para um determinado material
radioativo, essa func¸a˜o seja dada por M(t) = M0e
−k1t, onde M0 > 0 e´ a massa inicial,
k1 > 0 e´ uma constante e t > 0 e´ o tempo medido em anos. A meia-vida do material e´ o
tempo necessa´rio para que a massa se reduza a` metade da massa inicial.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 1 de 3
(a) Calcule k1 sabendo que, depois de um ano e meio, a massa restante e´ 1/8 da inicial.
(b) Usando o item anterior, determine a meia-vida do material.
(c) Calcule quantos anos devemos esperar para que 99% da amostra tenha se desinte-
grado (use as aproximac¸o˜es ln 2 = 0, 7 e ln 5 = 1, 6).
(d) Suponha que outra amostra radioativa tenha massa N(t) = M0e
−k2t, com k2 > 0.
Estabelec¸a uma relac¸a˜o entre k1 e k2 sabendo que a meia-vida desse segundo material
e´ igual ao triplo da meia-vida do primeiro.
4) Uma espira circular esta´ imersa em uma regia˜o de campo magne´tico uniforme e constante.
O fluxo magne´tico pela espira e´ dado por φ(α) = AB cos(α), onde A e´ a a´rea da espira,
B e´ a intensidade do campo e α ∈ [0, 2pi] e´ o aˆngulo entre o vetor normal ao plano da
espira e as linhas de campo. Supondo inicialmente que, em unidades f´ısicas apropriadas,
AB = 4, resolva os itens a seguir.
(a) Calcule o menor e o maior valor que o fluxo φ pode assumir.
(b) Determine um aˆngulo α0 ∈ [0, 2pi] tal que φ(α0) = 2.
(c) Se a espira tivesse o dobro do diaˆmetro e estivesse imersa no mesmo campo, qual
seria o valor do produto AB ?
(d) Para uma espira com o dobro do diaˆmetro, use o valor encontrado no item (c) para
determinar um aˆngulo α1 ∈ [0, pi] tal que o fluxo magne´tico seja igual a 4.
5) O objetivo desse exerc´ıcio e´ usar as propriedades da func¸a˜o exponencial ex para investigar
as propriedades das func¸o˜es cosseno e seno hiperbo´licos dadas por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
.
Lembrando que ex+y = exey, onde e e´ a base Neperiana, resolva os itens abaixo.
(a) Mostre que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
Fazendo x = cosh(t) e y = senh(t), isso mostra que
o ponto (x, y) esta´ sobre a hipe´rbole unita´ria dada
por
x2 − y2 = 1.
(b) Verifique a fo´rmula do cosseno hiperbo´lico da soma
cosh(s+ t) = cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t).
(c) Verifique a fo´rmula do seno hiperbo´lico da soma
senh(s+ t) = senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s).
(d) Verifique que cosh(t) e´ uma func¸a˜o par enquanto senh(t) e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(e) Prove que na˜o existe t ∈ R tal que senh(t) = cosh(t).
Compare as propriedades dos itens acima com as suas ana´logas para as func¸o˜es trigo-
nome´tricas.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a)
(b) τ = 45/8
(c) Im(s) = [0, 18]
2. Itens corretos: (a), (d)
3. (a) k1 = 2 ln 2
(b) meio ano
(c) 23/7 anos
(d) k2 = k1/3
4. (a) −4 e 4, respectivamente
(b) α0 = pi/3 ou α0 = 5pi/3
(c) 16
(d) α1 = arccos(1/4)
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 01 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 02.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricac¸a˜o esta´ sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que e´ ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em func¸a˜o de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro ma´ximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)−20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
2) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de servic¸o fixa de R$ 50,00 para pacotes
tur´ısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa e´ de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de servic¸o
cobrada por um pacote tur´ıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gra´fico da func¸a˜o T (x) conte´m o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, na˜o e´ poss´ıvel encontrar um pacote tur´ıstico de valor R$ x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Na˜o existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) na˜o depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
3) Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o. A` medida que o pista˜o
e´ comprimido, o volume do ga´s decresce com a func¸a˜o V (P ) = 200/P litros, ate´ atingir
a pressa˜o cr´ıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela func¸a˜o
V (P ) = −0, 01P + 2 ate´ que seja atingida a nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressa˜o de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P
−
0
V (P ) e lim
P→P
+
0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existeˆncia do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P pro´ximos de zero?
4) Considere o c´ırculo unita´rio da figura abaixo, em que α denota um aˆngulo no intervalo
(0, pi/2). O triaˆngulo ∆OAB, cuja altura esta´ representada por h, esta´ contido no setor
circular SOAB, que, por sua vez, esta´ contido no triaˆngulo
∆OCB de altura H .
(a) Determine, em termos de h, α e H , as expresso˜es
das a´reas do triaˆngulo ∆OAB, do setor circular SOAB
e do triaˆngulo ∆OCB. Em seguida, use a figura para
comparar tais grandezas.
(b) Determine, com ajuda de func¸o˜es trigonome´tricas
convenientes, uma equac¸a˜o que relaciona α e h; e
outra que relaciona α e H .
(c) Use os itens (a) e (b) para mostrar que se α ∈
(0, pi/2), enta˜o vale 0 < senα < α < tgα.
(d) Use o item (c) para mostrar que limα→0+ senα = 0.
(e) Usando o mesmo me´todo para aˆngulos pertencentes
ao intervalo (−pi/2, 0), mostre que limα→0− senα =
0. Em seguida, conclua que limα→0 senα = 0.
O
A
B
C
h
H
α
OA = OB = 1
5) Ainda com respeito a` figura do exerc´ıcio acima, vamos mostrar o Limite Trigonome´trico
Fundamental.
(a) Sabendo que cosα > 0 sempre que α ∈ (−pi/2, pi/2) fac¸a cosα =
√
1− (senα)2 e
conclua que limα→0 cosα = 1.
(b) Inverta a desigualdade senα < α < tgα, va´lida para α ∈ (0, pi/2).
(c) Lembrando que se α ∈ (0, pi/2) temos senα > 0 use o item acima para mostrar que,
nesse intervalo, vale cosα <
senα
α
< 1.
(d) Mostre que limα→0+
senα
α
= 1.
(e) Use um procedimento ana´logo para aˆngulos pertencentes ao intervalo (−pi/2, 0) e
mostre que limα→0−
senα
α
= 1. Em seguida, conclua que limα→0
senα
α
= 1.
Gabarito
1. (a) V (h) = 42pih
(b) h0 = 20/(4
2pi)
(c) 1/(10× 42pi)
(d) δ ≤ ε/(42pi)
2. Itens corretos: (a), (b), (c), (f)
3. (a)
V (P ) =


200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) limP→100− V (P ) = 2, limP→100+ V (P ) = 1. Na˜o existe o limite.
(c) limP→150− V (P ) = 1/2, limP→150+ V (P ) = 1/2. O limite existe e vale 1/2
(d) se torna cada vez maior
4. (a) a´rea ∆OAB = h/2; a´rea SOAB = α/2 ; a´rea ∆OBC = H/2
(b) h = senα ; H = tgα
5. (a)
(b)
cosα
senα
<
1
α
<
1
senα
Aplicações/Semana 03.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 03
Temas abordados : Continuidade
Sec¸o˜es do livro: 2.6
1) A al´ıquota da conta de a´gua e´ crescente! Isto quer dizer que quanto mais se consome,
mais caro fica o prec¸o do m3 de a´gua. Suponha que ao se consumir xm3 de a´gua/meˆs,
o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x e´ menor ou igual a 10; maior
que 10 e menor que 15; maior ou igual a 15, paga-se, respectivamente, 1, 60x; 3, 00x+ a;
6, 40x+ b, onde a e b sa˜o constantes reais. Assim,
q(x) =


1, 6x se 0 ≤ x ≤ 10,
3x+ a se 10 < x < 15,
6, 4x+ b se x ≥ 15.
(a) Determine o valor de a de forma que q(x) seja cont´ınua em x = 10.
(b) Usando o valor de a calculado acima, determine limx→15− q(x).
(c) Sabendo que q(x) e´ cont´ınua em x = 15, encontre o valor de b.
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de q(x) .
2) Suponha que um painel solar consiga gerar uma quantidade de energia E = Isen(α)
kilojoules, em que I e´ a intensidade luminosa e α o aˆngulo de incideˆncia entre os raios de
luz e o painel. Para um determinado dia, o aˆngulo α e a intensidade luminosa sa˜o dados
por α(t) = pi
12
t e I(t) = 6t − 1
2
t2, onde t e´ o tempo medido em horas a partir do nascer
do sol, 0 ≤ t ≤ 12. E´ claro que para valores de t ∈ (12, 24] a energia gerada e´ nula, pois
o painel solar na˜o funciona durante a noite.
(a) Obtenha a expressa˜o de E(t) em func¸a˜o de t, para todo t ∈ [0, 24].
(b) Determine os valores de E(2) e E(6). Em seguida, decida se existe t0 ∈ [2, 6] tal
que E(t0) = 13, justificando sua resposta .
(c) Decida se a func¸a˜o E e´ cont´ınua no ponto t = 12, justificando sua resposta.
3) Um dos elevadores mais ra´pidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subitamente, apo´s 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentac¸a˜o se partem. Felizmente, neste momento, na˜o ha´ ningue´m em
seu interior. A func¸a˜o que descreve a altura do elevador em relac¸a˜o ao solo e´ dada enta˜o
pela seguinte expressa˜o
s(t) =
{
10t+ 100, se 0 < t ≤ 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA e´ o tempo de aterrissagem, a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em
segundos.
(a) Calcule o seguinte limite lateral direito da posic¸a˜o
lim
t→5+
s(t).
(b) A func¸a˜o s e´ cont´ınua em t = 5?
(c) Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade
me´dia entre os instantes t e 5
lim
t→5+
s(t)− s(5)
t− 5
.
(d) Existe o limite da velocidade me´dia entre os instantes
t e 5 quando t tende a` 5?
4) Em um certo pa´ıs, o imposto de renda e´ cobrado da seguinte maneira: aqueles que ganham
ate´ R$10.000,00 sa˜o isentos; os que ganham mais de R$10.000,00 e ate´ R$20.000,00 pagam
10% sobre a renda, menos um valor fixo c e, de todos os demais, e´ cobrada uma taxa de
20% da renda. Nessas circunstaˆncias,
(a) determine a func¸a˜o I(x) que associa a renda x ao valor do imposto.
(b) calcule a parcela a deduzir c, de forma que I seja cont´ınua em x = 10.000.
(c) supondo que o valor de c e´ como acima, decida se existe algum contribuinte que
paga R$3.000,00 de imposto de renda, justificando sua resposta.
(d) ainda considerando o valor de c obtido no item (b), fac¸a um esboc¸o do gra´fico de
I(x).
5) As func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o cont´ınuas? A resposta e´ sim, conforme vamos verificar!
Lembre que, na lista da semana 2, provou-se na questa˜o 4 que a func¸a˜o seno e´ cont´ınua
na origem, ou seja, que
lim
t→0
sen(t) = sen(0) = 0.
(a) Use a relac¸a˜o sen2(t) + cos2(t) = 1 para isolar cos(t) em termos de sen(t), para
valores de t ∈ (−pi/2, pi/2). Lembre que, para tais valores de t, o cosseno e´ positivo.
(b) Com ajuda do item acima, mostre que a func¸a˜o cosseno e´ cont´ınua em x = 0.
(c) Note que, para uma dada func¸a˜o f , vale
lim
x→a
f(x) = lim
t→0
f(t+ a),
desde que o primeiro limite exista. Usando a expressa˜o acima com f(x) = sen(x) e
sabendo que sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x), mostre que a func¸a˜o seno e´
cont´ınua em todo ponto a ∈ R.
(d) Usando agora f(x) = cos(x) juntamente com a fo´rmula cos(x+y) = cos(x) cos(y)−
sen(x)sen(y), mostre que a func¸a˜o cosseno e´ cont´ınua em todo ponto a ∈ R.
Gabarito
1. (a) a = −14
(b) lim
x→15−
q(x) = 31
(c) b = −65
2. (a) E(t) =
(
6t− t
2
2
)
sen( pi
12
t) se 0 ≤ t ≤ 12; E(t) = 0 se 12 < t ≤ 24
(b) E(2) = 5, E(5) = 18 e existe t0
(c) e´ cont´ınua em t = 12
3. (a) lim
t→5+
s(t) = 150
(b) e´ cont´ınua em t = 5
(c) o limite pedido vale 10
(d) existe e vale 10
4. (a)
I(x) =


0 se 0 ≤ x ≤ 10000,
0, 1 x− c se 10000 < x ≤ 20000,
0, 2 x se x > 20000.
(b) 1000
(c) Na˜o existe.
Aplicações/Semana 05.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 05
Temas abordados : Retas Tangentes; Derivada e suas regras ba´sicas
Sec¸o˜es do livro: 2.7; 3.1 a 3.3
1) Para atacar posic¸o˜es inimigas, um avia˜o de cac¸a da´ um voˆo rasante, percorrendo a tra-
jeto´ria determinada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = 1 + (1/x), para x > 0. O avia˜o efetua
os seus disparos segundo a direc¸a˜o tangente, conforme figura abaixo.
(a) Determine, usando a definic¸a˜o de derivada, a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) em um
ponto gene´rico (a, f(a)).
(b) Se um disparo e´ efetuado da posic¸a˜o (1, 2), determine
a abscissa do ponto no eixo Ox atingido.
(c) Determine o ponto sobre o gra´fico de f(x) em que o
disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situ-
ado no ponto (8, 0).
y
= 1
2) Suponha que o eixo Ox representa o solo e uma montanha e´ modelada pela equac¸a˜o
g(x) = 4 − x2 = (2 + x)(2 − x), onde x ∈ [−2, 2]. Um avia˜o sobrevoa a montanha
horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta y = 9, de modo que, no instante t >
0 minutos, a posic¸a˜o do avia˜o no plano cartesiano abaixo e´ dada por (4t, 9). Considerando
que a luz se propaga em linha reta, resolva os ı´tens abaixo.
(a) Determine, usando a definic¸a˜o de derivada, a
equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g(x) em um
ponto gene´rico (a, g(a)).
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` monta-
nha que passa por um observador localizado em
(−5/2, 0).
(c) Determine o instante t0 em que o observador do item
b) perde a visa˜o do avia˜o devido a` montanha.
(−5/2, 0)
y = 9
y = 4− x2
3) Um gato esta´ no ponto G = (1, 0), descobre um rato situado na origem O = (0, 0) e
parte em sua perseguic¸a˜o. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo
a direc¸a˜o positiva do eixo Oy, com velocidade igual a` metade da do gato. A trajeto´ria
percorrida pelo gato para alcanc¸ar o rato e´ conhecida como curva de perseguic¸a˜o e tem
a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posic¸o˜es Q e P ilustradas na
figura abaixo, enta˜o a reta determinada pelos pontos P e Q e´ tangente a` curva no ponto
P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguic¸a˜o e´ o gra´fico da
func¸a˜o f : [0, 1]→ R dada por f(x) = √x
(x
3
− 1
)
+
2
3
.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 05 - Pa´gina 1 de 3
(a) Calcule, pela definic¸a˜o, a derivada de g(x) =
√
x
em um ponto a ∈ (0, 1). Para isso, vale lembrar a
igualdade x− a = (√x−√a) (√x+√a).
(b) Use o item anterior e as regras de derivac¸a˜o para
calcular a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f
no ponto (a, f(a)).
(c) Determine a posic¸a˜o Q = (0, y0) em que se encontra
o rato no instante em que o gato estiver na posic¸a˜o
P = (1/4, f(1/4)).
(d) Calcule o espac¸o total percorrido pelo rato antes de
ser apanhado pelo gato.
Q
P
GO
4) Suponha que um reservato´rio, inicialmente com 50 litros de a´gua pura, comece a ser
abastecido com a´gua salgada a` raza˜o de 5 litros/min e com uma concentrac¸a˜o de 1
grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de a´gua V (t) e a quantidade de sal Q(t)
no reservato´rio sa˜o func¸o˜es do tempo t ≥ 0, e portanto a concentrac¸a˜o de sal c(t) no
reservato´rio e´ tambe´m uma func¸a˜o do tempo.
(a) Obtenha as expresso˜es das func¸o˜es V (t), Q(t) e c(t).
(b) Calcule o limite c′(t) = lim
h→0
c(t + h)− c(t)
h
, simplificando antes o quociente.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t0 = 10 ou t1 = 30 a concen-
trac¸a˜o esta´ variando mais rapidamente.
5) Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fa´brica possa ser modelada em
func¸a˜o do nu´mero x de empregados, por uma func¸a˜o deriva´vel p(x), em que p(x) e´ medida
em milhares e x em centenas. A produtividade me´dia por empregado e´ enta˜o dada pela
func¸a˜o M(x) = p(x)/x, e pode-se mostrar que o nu´mero x0 de empregados que maximiza
a func¸a˜o M(x) e´ aquele para o qual M ′(x0) = 0.
(a) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule M ′(x) em termos da derivada p′(x).
(b) Use o item anterior para justificar a afirmac¸a˜o de que M ′(x0) = 0 se, e somente se,
p′(x0) = M(x0).
(c) Calcule p′(x) supondo que p(x) =
2 x2
x2 + 1
.
(d) Determine o nu´mero de empregados que maximiza a produtividade me´dia da fa´brica.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 05 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) y(x) =
−1
a2
(x− a) + 1 + 1
a
(b) 3
(c) (2, 3/2)
2. (a) ya(x) = −2a(x− a) + g(a)
(b) y(x) = 2x+ 5
(c) t0 = 1/2
3. (a) g′(a) = 1/(2
√
a)
(b) ya(x) =
a−1
2
√
a
(x− a) + f(a)
(c) y0 =
3
16
+ 5
24
(d) 2/3.
4. (a) V (t) = 50 + 5t, Q(t) = 5t, c(t) = t/(10 + t)
(b) c′(t) = 10/(10 + t)2
(c) no instante t0 = 10
5. (a) M ′(x) =
xp′(x)− p(x)
x2
(b) p′(x) =
4x
(x2 + 1)2
(c) x0 = 1
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 05 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 04.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 04
Temas abordados : Limites envolvendo o infinito; Ass´ıntotas
Sec¸o˜es do livro: 2.4
1) Duas part´ıculas carregadas com cargas de mo´dulos q1 e q2 interagem com uma forc¸a
eletrosta´tica. Segundo a Lei de Coulomb, o mo´dulo dessa forc¸a, em Newtons, e´ modelado
pela func¸a˜o F : (0,∞) −→ (0,∞) dada por F (x) = Kq1q2
x2
, onde K > 0 e´ uma constante
que depende do meio e x e´ a distaˆncia, em metros, entre as part´ıculas. Suponha que, em
unidades f´ısicas apropriadas, Kq1q2 = 10 e resolva os itens a seguir.
(a) Encontre δ > 0 suficientemente pequeno tal que se 0 < x < δ, enta˜o a forc¸a entre
as part´ıculas tem mo´dulo maior que 107N (dez milho˜es de Newtons).
(b) Encontre M > 0 suficientemente grande tal que se x > M , enta˜o a forc¸a entre as
part´ıculas tem mo´dulo menor que 10−6N (um milhone´simo de Newton).
(c) Determine limx→0+ F (x) e limx→∞ F (x).
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de F .
2) A figura abaixo ilustra um corpo de massa m > 0 pendurado no teto de um trem bala por
um fio inextens´ıvel de comprimento L > 0. Quando o trem possui acelerac¸a˜o a o peˆndulo
se encontra inclinado, fazendo um aˆngulo θ com a vertical. Pode-se provar que, se g e´
a acelerac¸a˜o da gravidade local, enta˜o a(θ) = g tg(θ). Como θ ∈ (−π/2, π/2), temos
que θ(a) = arctg(a/g), onde a func¸a˜o arctg : R −→ (−π/2, π/2) e´ a func¸a˜o inversa da
tangente. Supondo que g = 10 m/s2, resolva os itens seguintes.
(a) Sabendo que tg(θ) = sen (θ)/ cos(θ), encontre
lim
θ→−pi/2+
a(θ) e lim
θ→pi/2−
a(θ).
(b) Se a acelerac¸a˜o do trem tomar valores cada vez mai-
ores, o aˆngulo θ(a) se aproxima de que valor? E se
a→ −∞, enta˜o θ(a) tende para algum nu´mero?
(c) Fac¸a um esboc¸o dos gra´ficos de a(θ) e θ(a), com suas
ass´ıntotas.
θ L
m
~a
3) Considerando a func¸a˜o q(x) =
√
x2 + 1
2− x , definida para x 6= 2, resolva os itens abaixo.
(a) Calcule os limites no infinito da func¸a˜o q e, em seguida, determine a(s) ass´ıntota(s)
horizontal(is) do gra´fico da func¸a˜o q, se esta(s) existir(em).
(b) Calcule os limites laterais de q no ponto x = 2 e, em seguida, determine a(s)
ass´ıntota(s) vertical(is) do gra´fico da func¸a˜o q, se esta(s) existir(em).
(c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de q.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 04 - Pa´gina 1 de 3
4) Para cada a > 1, o nu´mero positivo ln a pode ser caracterizado como a a´rea da regia˜o
limitada pelo eixo Ox, pelas retas verticais x = 1 e x = a e pelo gra´fico da func¸a˜o
g(t) = 1/t. Por exemplo, o nu´mero ln 4 e´ a a´rea da regia˜o compreendida entre o gra´fico
da func¸a˜o g e as retas y = 0, x = 1 e x = 4. Na figura foram destacados ainda treˆs
retaˆngulos de base unita´ria cujas alturas sa˜o g(2), g(3) e g(4).
(a) Determine as a´reas A1, A2 e A3 dos retaˆngulos indicados,
e fac¸a sua soma.
(b) Usando o resultado anterior, justifique a desigualdade
ln 4 > 1.
(c) Dada uma constante M > 0 arbitrariamente grande,
mostre que se x > 4M , enta˜o ln x > M . Conclua da´ı que
limx→∞ ln x =∞.
(d) Sabendo que para todo x > 0 tem-se ex > ln x, investi-
gue a existeˆncia de limx→∞ e
x.
(e) Lembre que e−x = 1/ex e calcule limx→∞ e
−x. Esboce o
gra´fico das func¸o˜es ex, e−x e ln x.
0 1 2 3 4
1
A1 A2 A3
g(t)
y
x
5) Suponha que, em um ambiente com capacidade de sustentar um nu´mero limitado de
indiv´ıduos, a populac¸a˜o apo´s t anos, P (t), seja modelada pela func¸a˜o P (t) =
1100
1 + 9E(t)
,
em que E(t) = 3−t e´ uma func¸a˜o
exponencial, o tempo t ≥ 0 e´ medido em anos e
t = 0 corresponde a` populac¸a˜o inicial P (0). O gra´fico da func¸a˜o E(t), ilustrado na figura
abaixo, pode ser u´til no estudo do comportamento de P (t). A partir dessas informac¸o˜es,
julgue a veracidade dos itens a seguir, justificando suas respostas.
(a) A populac¸a˜o inicial e´ superior a 100 indiv´ıduos.
(b) A func¸a˜o f(t) = 1 + 9E(t) e´ tal que f(t1) < f(t2)
sempre que t1 < t2.
(c) P (t) e´ uma func¸a˜o decrescente da varia´vel t.
(d) Apo´s treˆs anos, a populac¸a˜o sera´ superior a 800.
(e) Existem valores de t > 0 para os quais a populac¸a˜o
apresenta um nu´mero superior a 1100 indiv´ıduos.
t
E
Gra´fico de E(t)
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 04 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) δ ≤ 10−3
(b) M ≥ 107/2
(c) +∞ e 0, respectivamente
2. (a) −∞ e +∞, respectivamente
(b) lim
a→+∞
θ(a) = π/2 e lim
a→−∞
θ(a) = −π/2
3. (a) lim
t→−∞
q(t) = 1 e lim
t→+∞
q(t) = −1. As retas y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais
(b) lim
t→2−
q(t) = +∞ e lim
t→2+
q(t) = −∞. A reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical
4. (a) A1 = 1/2, A2 = 1/3, A3 = 1/4
(b)
(c)
(d) lim
x→∞
ex = +∞
(e) lim
x→∞
e−x = 0
5. (a) Correto.
(b) Errado.
(c) Errado.
(d) Correto.
(e) Errado.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 04 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 07.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 07
Temas abordados : Regras da cadeia; Derivac¸a˜o impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas
Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Suponha que a relac¸a˜o entre o comprimento L, em metros, e o peso P , em kg, de um
determinado peixe seja dada por P (L) = 10L3. Suponha ainda que a taxa de variac¸a˜o
do comprimento em relac¸a˜o ao tempo, dado em anos, satisfaz a equac¸a˜o
d
dt
L(t) = 0, 2 (2− L(t)).
(a) Determine o comprimento do peixe no caso em que P = 20 kg.
(b) Determine a taxa de variac¸a˜o do peso em relac¸a˜o ao tempo.
(c) Use os itens anteriores para determinar a taxa de variac¸a˜o do peso do peixe, em
relac¸a˜o ao tempo, para um peixe de 20 kg.
2) Um avia˜o de cac¸a sobrevoa uma cidade percorrendo uma trajeto´ria retil´ınea conforme a
figura abaixo. Sua posic¸a˜o escalar sobre tal trajeto´ria e´ uma func¸a˜o do tempo x(t) = 3t−2
se t ≤ 1 e x(t) = t3 se t > 1, onde t e´ o tempo medido em minutos. A distaˆncia entre o
cac¸a e a cidade e´ dada por y(t) =
√
H2 + x2(t).
(a) Calcule os limites laterais
lim
h→0±
x(1 + h)− x(1)
h
e em seguida decida sobre a existeˆncia de
x′(1).
(b) Determine a velocidade escalar do avia˜o
v(t) = x′(t), para cada t real.
(c) Dada f(z) =
√
H2 + z2, encontre
d
dz
f(z).
(d) Sabendo que y(t) = f(x(t)), determine
d
dt
y(t).
(e) Em quais instantes o avia˜o se aproxima e em quais ele se afasta da cidade?
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 07 - Pa´gina 1 de 3
3) Indique por W (V ) o trabalho realizado por um ga´s ideal ao se expandir isotermicamente,
desde um volume inicial V0 ate´ o volume V . Pode-se mostrar que em unidades apropria-
das, W (V ) = C · ln
(
V
V0
)
, onde C > 0 e´ uma constante que depende da temperatura e
do nu´mero de mols do ga´s. Suponha que o volume seja uma func¸a˜o do tempo dada por
V (t) = 2t4 + 1, t ≥ 0. A poteˆncia gerada pelo sistema e´ a taxa de variac¸a˜o do trabalho
em relac¸a˜o ao tempo.
(a) Encontre as derivadas d
dV
W (V ) e d
dt
V (t).
(b) Encontre a expressa˜o da poteˆncia gerada pelo sistema, P (t) = d
dt
W (V (t)).
(c) Sabendo que C = 10, obtenha a poteˆncia do sistema quando o volume e´ 33.
4) Suponha que o nu´mero de indiv´ıduos de uma populac¸a˜o de bacte´rias seja dado, no ins-
tante t ≥ 0, por N(t) = 2N0/(1+ekt), onde k > 0 e´ uma constante e N0 > 0 e´ a populac¸a˜o
inicial. Sabendo que a derivada da exponencial e´ ela pro´pria, (ex)′ = ex, resolva os itens
seguintes.
(a) Determine o instante t0 em que o nu´mero de indiv´ıduos e´ metade do inicial.
(b) Determine a derivada d
dt
ekt.
(c) Determine a taxa de variac¸a˜o do nu´mero de indiv´ıduos em relac¸a˜o ao tempo.
(d) Sabendo que N0 = 1000 e k = 4, determine a taxa acima no instante t0 calculado
no item (a).
5) A func¸a˜o secante, com o domı´nio restrito ao intervalo [0, pi/2) e contradomı´nio restrito
ao intervalo [1,∞), e´ bijetiva sendo portanto invert´ıvel. Sua inversa arcsec : [1,∞) −→
[0, pi/2) e´ definida por
y(x) = arcsec(x) ⇔ y ∈ [0, pi/2) e sec(y(x)) = x.
Sabendo que ela e´ deriva´vel em (1,+∞), siga os passos abaixo para calcular y′(x).
(a) Use a regra do quociente (ou a da cadeia) para mostrar que d
dy
sec(y) = sec(y) tg(y).
(b) Aplique o operador de derivac¸a˜o d
dx
em ambos os lados da igualdade x = sec(y(x)),
na˜o esquecendo de usar a regra da cadeia para derivar o lado direito da igualdade.
(c) Isole o termo y′(x) na expressa˜o encontrada acima.
(d) Lembrando que x = sec(y) e sec2(y) = tg2(y) + 1, escreva tg(y) como func¸a˜o de x.
(e) Substitua sec(y) e tg(y) na resposta do item c) para obter a expressa˜o de y′(x) como
func¸a˜o apenas da varia´vel x.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 07 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) 21/3 (b) P ′(t) = 6L(t)2(2− L(t)) c) 6 · 22/3(2− 21/3)
2. (a) Os limites laterais existem e valem 3. Logo x′(1) = 3.
(b) x′(t) = 3 se t ∈ (0, 1]; x′(t) = 3t2 se t ∈ (1,+∞)
(c) f ′(z) =
z√
H2 + z2
(d) y′(t) =
x(t)x′(t)√
H2 + x(t)2
(e) se aproxima para t ∈ (0, 2/3) e se afasta para t ∈ (2/3,+∞)
3. (a) d
dV
W (V ) = C/V, d
dt
V (t) = 8t3 (b) P (t) = C × 8t3/(2t4 + 1) (c) 640/33
4. (a) t0 = (ln 3)/k (b) (e
kt)′ = kekt (c) N ′(t) = −2N0kekt/(1 + ekt)2 (d) −1500
5. (a) y′(x) = 1/(sec(y) tg(y)) (d) tg(y) =
√
x2 − 1 (e) y′(x) = 1
x
√
x2 − 1
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 07 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 08.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 08
Temas abordados : Taxas relacionadas; Extremos de func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 3.10, 4.1
1) Suponha que um barco seja puxado para o cais por uma corda presa a` sua proa, situada
6 m abaixo do apoio da corda no cais, conforme a figura abaixo. Suponha ainda que a
corda seja puxada com uma velocidade de 2 m/s. Nesse caso, o comprimento c(t) da
corda entre a proa e o apoio, a distaˆncia d(t) do barco ao cais e o aˆngulo θ(t) entre a
corda e a vertical sa˜o func¸o˜es do tempo t. Denote por τ o instante em que c(τ) = 10 m.
(a) Calcule o valor de d(τ).
(b) Calcule a derivada d′(τ).
(c) Calcule o valor de tg(θ(τ)).
(d) Usando os itens anteriores e a regra da cadeia,
calcule o valor de θ′(τ).
c(t)
d(t)
θ(t)
6
2) Considere um reservato´rio, na forma de um hemisfe´rio de raio R = 10 m, com a´gua ate´
uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de a´gua e´ dado por
V (h) = (pi/3)(3Rh2 − h3). Suponha que o reservato´rio esteja sendo abastecido com uma
vaza˜o de 16 pi m3/min. Portanto a altura h e o raio r da superf´ıcie da a´gua sa˜o func¸o˜es
do tempo. Observe que a forma esfe´rica do reservato´rio estabelece uma relac¸a˜o entre as
func¸o˜es h = h(t) e r = r(t).
(a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o
valor de h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.
(b) Obtenha a relac¸a˜o entre as func¸o˜es h(t) e r(t) menciona
acima.
(c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no
instante τ em que h(τ) = 4.
r
R
h
3) Suponha que, na construc¸a˜o de uma barraca com vista frontal na forma de um triaˆngulo
iso´sceles de altura h, as laterais devem ser feitas a partir
de uma lona com 6 m de
comprimento e 3 m de largura, conforme ilustra a figura.
(a) Determine o comprimento b da base do
triaˆngulo em func¸a˜o da altura h.
(b) Use o item anterior para expressar o volume
V (h) da barraca em func¸a˜o de h.
(c) Determine h de forma que o volume V (h)
seja ma´ximo, justificando a sua resposta.
3m
3m
b
h
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 08 - Pa´gina 1 de 3
4) Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual
a 5 cm. Suponha que uma certa quantidade de a´gua seja colocada nesse filtro e que ela
escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura
que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por x a altura da a´gua no filtro e
por y a altura da a´gua no recipiente.
(a) Sendo r o raio da superf´ıcie da a´gua no filtro,
use semelhanc¸a de triaˆngulos para determi-
nar r em func¸a˜o de x.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular
reto de raio r e altura x e´ igual a (1/3)pir2x,
determine o volume V1(x) da a´gua no filtro
como func¸a˜o de x.
y
x10
5
(c) Determine o volume V2(y) de a´gua no recipiente cil´ındrico.
(d) Considerando que x = x(t) e y = y(t), em que t > 0 denota o tempo, determine y′
no instante τ > 0 tal que x(τ) = 5 e x′(τ) = −0, 5.
5) Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de um cilindro
de sec¸a˜o circular de raio a, como ilustra a figura abaixo. A resisteˆncia R dessa viga e´
diretamente proporcional ao produto de sua largura x pelo quadrado de sua altura y.
Indique por K a constante de proporcionalidade e observe que a altura y = y(x) pode ser
obtida a partir da largura x, e portanto a resisteˆncia R = R(x) pode ser expressa apenas
em func¸a˜o da largura da viga x, onde x varia de 0 ate´ o diaˆmetro 2a do cilindro circular.
(a) Obtenha a expressa˜o de y = y(x) em termos de x.
(b) Obtenha a expressa˜o da resisteˆncia R = R(x) como
func¸a˜o de x.
(c) Calcule os pontos cr´ıticos de R(x) no domı´nio (0, 2a).
(d) Calcule o valor ma´ximo da resisteˆncia que pode ser
obtido entre as vigas cortadas do cilindro.
x
y
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 08 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) d(τ) = 8
(b) d′(τ) = −20/8
(c) tg(θ(τ)) = 8/6
(d) θ′(τ) = −12/80
2. (a) h′(τ) = 1/4
(b) 100 = r(t)2 + (10− h(t))2
(c) r′(τ) = 3/16
3. (a) b = 2
√
9− h2
(b) V (h) = 3h
√
9− h2
(c) h = 3/
√
2 m
4. (a) r = x/2
(b) V1(x) = (pi/12)x
3
(c) V2(y) = 25piy
(d) y′(τ) = 1/8
5. (a) y(x) =
√
4a2 − x2
(b) R(x) = K(4a2x− x3)
(c) x = 2a/
√
3
(d) 16a3
√
3 · (K/9)
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 08 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 09.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 09
Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio; Crescimento de func¸o˜es; Otimizac¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 4.2, 4.3, 4.6
1) Suponha que, na produc¸a˜o de uma lata de refrigerante, o custo do material da lateral
e do fundo e´ de uma unidade moneta´ria por cent´ımetro quadrado, mas para o material
da tampa esse custo e´ de 98/27 unidades moneta´rias por cent´ımetro quadrado. Suponha
ainda que a lata seja cil´ındrica de raio r cm e altura h cm, conforme ilustra a figura
abaixo, e que o volume seja constante e igual a 53 pi cm3. A ma´quina que fabrica as latas
e´ capaz de fazer latas com raio da base r entre 1 e 6 cm.
(a) Obtenha a expressa˜o da altura h em func¸a˜o do raio r e do
volume da lata.
(b) Obtenha a a´rea lateral L(r) da lata em func¸a˜o do raio r.
(c) Obtenha o custo de produc¸a˜o C(r) de uma lata de raio r.
(d) Calcule o raio r0 que minimiza o custo de produc¸a˜o.
r
h
2) Para construir um cone circular reto remove-se um setor de uma folha circular de cartolina
de raio 10pi cm e unem-se as duas margens retil´ıneas do corte, conforme a figura ao lado,
em que a indica o aˆngulo do setor circular restante em radianos. O objetivo desse exerc´ıcio
e´ determinar os aˆngulos a que fornecem os cones de maior volume. Uma vez montado o
cone, denote sua altura por h e seu raio da base por r, de modo que seu volume e´ dado
por (1/3)pir2h.
(a) Lembrando que o per´ımetro do setor circular ao lado e´ igual a
10pia, obtenha a expressa˜o de r em func¸a˜o do aˆngulo a.
(b) Determine o volume do cone obtido em func¸a˜o do aˆngulo a.
(c) Determine o aˆngulo a0 para o qual o volume do cone obtido seja
o maior poss´ıvel.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 09 - Pa´gina 1 de 6
3) Um meia-atacante avanc¸a em direc¸a˜o a` a´rea adversa´ria perpendicularmente a` linha de
fundo. Suponha que a bola esteja a uma distaˆncia de h metros da linha de fundo, que
o gol tenha 6 metros de comprimento e que a linha da bola esteja 2 metros distante da
trave direita. Conforme ilustra a figura, o aˆngulo θ de visa˜o do atleta depende de h.
(a) Utilizando uma func¸a˜o trigonome´trica in-
versa, determine o valor de α(h) e β(h).
(b) Observando que θ(h) = pi/2 − α(h)− β(h),
calcule θ′(h) e determine os pontos cr´ıticos
de θ(h) no intervalo (0,+∞).
(c) Determine os intervalos de crescimento e de-
crescimento de θ(h)
(d) Calcule os limites lim
h→0+
θ(h) e lim
h→+∞
θ(h).
(e) Determine o valor de h de modo que o
aˆngulo de visa˜o do jogador seja ma´ximo.
α
β
6 2
h
θ
4) Para uma bola arremessada verticalmente sem resisteˆncia do ar, temos que a energia
mecaˆnica
m
v(t)2
2
+mgs(t) = E
se conserva, onde s(t) e v(t) sa˜o, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade instantaˆneas,
m e´ a massa do bloco e g e´ a gravidade. Supondo que m = 1, g = 2 e que E = 8, temos
que s(t) e´ soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o
(∗)
s′(t)√
4− s(t)
= 2
Como ilustra os itens a seguir, a equac¸a˜o (∗) pode ser melhor entendida a partir do fato
de que, se a derivada de uma func¸a˜o for identicamente nula em um intervalo, enta˜o a
func¸a˜o e´ necessariamente constante.
(a) Calcule as derivadas das func¸o˜es −2
√
4− s(t) e 2t.
(b) Lembrando que se uma func¸a˜o tem derivada identi-
camente nula em um intervalo I, enta˜o ela e´ cons-
tante em I, use o item anterior e as informac¸o˜es
dadas para obter uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es
−2
√
4− s(t) e 2t.
(c) Use o item anterior e a condic¸a˜o inicial s(0) = 3 para
obter a expressa˜o de s(t).
(d) Determine a velocidade no instante t = 1.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 09 - Pa´gina 2 de 6
5) Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lanc¸ado verti-
calmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma forc¸a de resisteˆncia do ar
FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximac¸a˜o g = 10 m/s2 da acelerac¸a˜o da gravidade,
pode-se mostrar que v(t) e´ soluc¸a˜o do problema de valor inicial


v′(t)
1 + v(t)
= −10, t > 0,
v(0) = 63
Para encontrar a soluc¸a˜o v(t), resolva os itens seguintes.
(a) Calcule as derivadas das func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(b) Lembrando que se uma func¸a˜o tem derivada identicamente nula em um intervalo I,
enta˜o ela e´ constante em I, use o item anterior e as informac¸o˜es dadas para obter
uma relac¸a˜o entre as func¸o˜es ln(1 + v(t)) e −10 t.
(c) Use o item anterior e a condic¸a˜o inicial v(0) = 63 para obter a expressa˜o de v(t).
(d) Determine o instante em que o corpo alcanc¸a a altura ma´xima.
Gabarito
1. (a) h = 53/r2
(b) L(r) = (2pi53)/r
(c) C(r) = L(r) + pir2 + (98/27)pir2
(d) r0 = 3
2. (a) r = 5a
(b) V (a) =
25pi
3
a2(100pi2 − 25a2)1/2
(c) a0 = 2pi
√
2/3
3. (a) α(h) = arctan(h/8), β(h) = arctan(2/h)
(b) θ′(h) = −
8
64 + h2
+
2
4 + h2
, ponto cr´ıtico: h = 4
(c) cresce em (0, 4); decresce em (4,+∞)
(d) limh→0+ θ(h) = limh→+∞ θ(h) = 0
(e) h = 4 e´ ponto de ma´ximo
4. (a) 2 e s′(t)/
√
4− s(t), respectivamente
(b) −2
√
4− s(t) = 2t+K1, com K1 ∈ R
(c) s(t) = 3 + 2t− t2
(d) v(1) = 0
5. (a) v′(t)/(1 + v(t)) e −10, respectivamente
(b) ln(1 + v(t)) = −10t +K1, com K1 ∈ R constante
(c) v(t) = 64e−10t − 1
(d) 3 ln 2/5 ≃ 0, 414
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 09 - Pa´gina 3 de 6
Aplicações/Semana 12.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 12
Temas abordados : Integral Definida, Teorema Fundamental do Ca´lculo e A´reas
Sec¸o˜es do livro: 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4
1) Considere a func¸a˜o f : [0, 1] → R definida por f(x) = x3. Divida o intervalo [0, 1] em n
partes iguais como o indicado na figura abaixo e resolva os itens a seguir.
(a) Defina, para cada i = 1, 2, . . . , n, o ponto x∗
i
= i/n e calcule f(x∗
i
).
(b) Defina agora ∆xi = 1/n e calcule
n∑
i=1
f(x∗
i
)∆xi (1)
usando a seguinte fo´rmula
n∑
i=1
i3 =
(
n(n+ 1)
2
)2
.
1
n
2
n
3
n
f
(
1
n
)
f
(
2
n
)
f
(
3
n
)
x
y
(c) Lembrando que a integral
∫
1
0
f(x)dx e´ o limite, quando n→ +∞, do somato´rio em
(1), encontre a a´rea delimitada pelo gra´fico da func¸a˜o e o eixo Ox.
2) (O Teorema da Me´dia) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua. Considere m e M os
valores ma´ximo e mı´nimo de f em [a, b], respectivamente.
(a) Use as propriedades da integral para verificar que
∫
b
a
m dx ≤
∫
b
a
f(x) dx ≤
∫
b
a
M dx.
(b) Usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, conclua que existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) =
1
b− a
∫
b
a
f(x) dx.
(c) Usando o mesmo racioc´ınio mostre que, se p : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o na˜o negativa
tal que
∫
b
a
p(x)dx > 0, enta˜o existe c ∈ [a, b] tal que
f(c) =
∫
b
a
f(x)p(x) dx∫
b
a
p(x) dx
.
3) (O Teorema Fundamental do Ca´lculo) Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua e
defina
g(x) =
∫
x
a
f(t)dt, x ∈ [a, b].
(a) Para x ∈ (a, b) e h > 0 pequeno, use as propriedades da integral e o Teorema da
Me´dia para verificar que
g(x+ h)− g(x)
h
=
1
h
∫
x+h
x
f(t)dt = f(ch),
para algum ch ∈ [x, x+ h].
(b) Usando o item anterior e a continuidade de f , mostre que
lim
h→0+
g(x+ h)− g(x)
h
= f(x).
(c) Repita o argumento acima para h < 0, e conclua que a func¸a˜o g e´ deriva´vel e
g′(x) = f(x), x ∈ (a, b).
(d) Supondo agora que F e´ uma primitiva qualquer de f , mostre que
∫
b
a
f(t)dt = F (b)− F (a).
4) Suponha que, no instante t, a posic¸a˜o em relac¸a˜o a` origem de uma part´ıcula que se
desloca ao longo de uma reta seja dada por s(t) =
∫
t
0
v, em que v : [0, 9] → R e´ a
func¸a˜o velocidade, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Considere ainda que t seja dado
em segundos, que s(t) seja dada em metros e que, para 0 ≤ t ≤ 3, o gra´fico de v(t) seja
um segmento de reta. A partir do gra´fico da func¸a˜o velocidade, julgue os itens a seguir.
(a) A part´ıcula esta´ se afastando da origem
entre os instantes t = 5 e t = 6.
(b) A part´ıcula percorre menos de 4 metros
nos primeiros 3 segundos.
(c) No instante t = 6 a part´ıcula esta´ na ori-
gem.
(d) No instante t = 9 a posic¸a˜o da part´ıcula
e´ positiva.
(e) O espac¸o total percorrido pela part´ıcula
e´ igual a
∫
6
0
v −
∫
9
6
v.
–2
–1
0
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
v
t
5) A figura ao lado indica a a´rea delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es
f(x) = 2− 2x2
e
g(x) = | sen(pix)|,
com x ∈ [−1, 1]. Use a integral definida para
calcular o valor dessa a´rea.
6) Considere a curva g(x) =
1
1 + x2
, definida para 0 ≤ x ≤ t. Ao girarmos o gra´fico de g
em torno do eixo Oy obtemos um so´lido cujo volume e´ dado por
V (t) =
∫
t
0
2pixg(x) dx = pi
∫
t
0
2x
1 + x2
dx
(a) Verifique que a func¸a˜o G(x) = ln(1 + x2) e´ uma primitiva de (2x)/(1 + x2).
(b) Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo para calcular o volume do so´lido no caso em
que t = 2.
(c) Calcule V (t) para t ≥ 0.
(d) Calcule agora V ′(t) e, em seguida, determine limt→∞ V
′(t).
Gabarito
1. (a)
i3
n3
(b)
(n+ 1)2
4n2
(c)
1
4
2.
3.
4. Itens corretos: (a), (d), (e)
5. A a´rea e´ igual a
8
3
−
4
pi
6. (a)
(b) V (2) = pi ln(5)
(c) V (t) = pi ln(1 + t2)
(d) V ′(t) = (2pit)/(1 + t2) e limt→∞ V
′(t) = 0.
Aplicações/Semana 13.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 13
Temas abordados : Integral Indefinida; Regra da Substituic¸a˜o
Sec¸o˜es do livro: 5.5
1) No momento em que um carro esta´ a 72km/h o motorista aciona os freios, desacelerando
a uma taxa de 2.5m/s. Lembrando que 3.6km/h corresponde a 1m/s, e denotando por
t = 0 o instante em que o motorista comec¸a freiar, resolva os itens abaixo.
(a) Determine a velocidade v(t) para t ≥ 0. Calcule Tp, o tempo de parada do carro
apo´s o in´ıcio da frenagem.
(b) Encontre s(t), a func¸a˜o posic¸a˜o do ve´ıculo a partir do instante de frenagem. Mostre
que s′(t) > 0, 0 ≤ t < Tp.
(c) Supondo que o tempo de reac¸a˜o do motorista seja de 1 segundo e usando o item (b),
encontre a distaˆncia total percorrida pelo ve´ıculo ate´ parar.
(d) Repita os itens (a),(b) e (c), supondo que o veloc´ımetro marcasse 144km/h.
2) Inicialmente, 3g de so´dio sa˜o dissolvidos em um recipiente com 6l de a´gua. Uma soluc¸a˜o
so´dica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0, 5l por minuto,
sendo que depois de ser bem misturada e´ drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t)
a quantidade de sal apo´s t minutos segue que
Q′(t) = Te − Ts,
onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e sa´ıda de sal.
(a) Supondo que a concentrac¸a˜o que entra seja de 2g/l, mostre que Te − Ts = 1 −
Q(t)
12
para concluir que
Q′(t) = 1−
Q(t)
12
. (1)
(b) Multiplicando a equac¸a˜o (1) por et/12, mostre que
(
et/12Q(t)
)
′
= et/12. (2)
(c) Fac¸a substituic¸a˜o t = 12z para encontrar uma primitiva de et/12. Conclua da equac¸a˜o
acima que
Q(t) = Ce−t/12 + 12.
(d) Use que Q(0) = 3 para encontrar C na expressa˜o acima. Qual seria a quantidade de
sal no recipiente apo´s os primeiros 12 minutos?
(e) Encontre a quantidade de sal no recipiente apo´s um longo tempo.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 13 - Pa´gina 1 de 2
3) Suponha que a temperatura T (t) de um corpo imerso em um meio com temperatura
constante e igual a 20 seja tal que T (0) = 80 graus Celsius. Segundo a Lei do Resfriamento
de Newton, a taxa de variac¸a˜o T ′(t) e´ proporcional a` diferenc¸a entre as temperaturas T (t)
e 20. Supondo que a constante de proporcionalidade seja igual a −2, segue que
T ′(t) = −2(T (t)− 20), t > 0.
(a) A partir dos dados apresentados, determine a temperatura T (t).
(b) Determine o instante t0 em que T (t0) = 40.
(c) O que acontece com a temperatura T (t) apo´s muito tempo?
4) Uma part´ıcula de massa m > 0 se move retilineamente sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F que e´
proporcional a` velocidade v(t) da part´ıcula e atua em sentido contra´rio ao deslocamento.
Desse modo F = −k v(t), com k > 0 constante. Supondo que v(0) = v0 > 0 resolva os
itens a seguir.
(a) De acordo com a Segunda Lei de Newton,
temos que F = mv′(t), em que v′(t) e´
a acelerac¸a˜o da part´ıcula. Usando essa informac¸a˜o e a expressa˜o para F dada no
enunciado, obtenha a equac¸a˜o que relaciona m, k, v(t) e v′(t).
(b) Lembrando que a derivada de ln(v(t)) e´ igual a v′(t)/v(t), use o item anterior para
obter v(t) em termos de v0, k e m.
(c) Determine o espac¸o s(t) percorrido pela part´ıcula ate´ o instante t, supondo s(0) = 0.
(d) Calcule a distaˆncia total d percorrida pela part´ıcula, dada por d = lim
t→∞
s(t).
Gabarito
1. (a) v(t) = −2.5t + 20 e Tp = 8 segundos.
(b) s(t) = −
5
4
t2 + 20t
(c) 100 metros
(d) v(t) = −2.5 + 40, Tp = 16 segundos, s(t) = −
5
4
t2 + 40t e a distaˆncia de frenagem
sera´ de 360m.
2. (a)
(b)
(c)
(d) C = −9, Q(12) = −9/e + 12.
(e) 12g.
3. (a) T (t) = 20 + 60e−2t
(b) t0 =
ln 3
2
(c) se aproxima de 20 graus
4. (a) mv′(t) = −kv(t)
(b) v(t) = v0e
−kt/m
(c) s(t) =
mv0
k
(
1− e−kt/m
)
(d)
mv0
k
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 13 - Pa´gina 2 de 2
Aplicações/Semana 10.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 10
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos; regra de L’Hospital
Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.5
1) Durante o processo de tosse, provocado pela presenc¸a na traque´ia de algum corpo es-
tranho, a traque´ia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar atrave´s dela, e
assim tornar mais eficiente o me´todo de expulsa˜o do corpo estranho. Segundo Poiseuille,
indicando por r0 o raio da traque´ia em estado normal e por r ≤ r0 o seu raio durante a
tosse, o fluxo de ar V = V (r) na traque´ia pode ser modelado por
V (r) =


K
r0
2
r4 se 0 ≤ r ≤ r0/2,
K(r0 − r) r4 se r0/2 ≤ r ≤ r0,
onde K e´ uma constante positiva.
(a) Determine os pontos cr´ıticos de V (r) no intervalo (0, r0).
(b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V (r).
(c) Determine os intervalos em que o gra´fico de V (r) e´ coˆncavo para cima ou para baixo.
(d) Use os itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico de V (r) no caso em que K = 1.
2) Conforme ilustra a figura abaixo, as a´reas dos retaˆngulos inscritos na circunfereˆncia
x2+y2 = 16 podem ser calculadas por meio da func¸a˜o A(x) = 4 x
√
16− x2, com x ∈ [0, 4].
(a) Calcule os pontos cr´ıticos da func¸a˜o A(x) no intervalo (0, 4).
(b) Determine os intervalos de crescimento e os
de decrescimento da func¸a˜o A(x).
(c) Determine os intervalos em que a concavi-
dade do gra´fico de A(x) e´ voltada para baixo
e os intervalos em que concavidade e´ voltada
para cima.
(d) Esboce o gra´fico de A(x).
x
y
3) Suponha que o nu´mero de milhares de pessoas infectadas por um v´ırus seja modelado
pela func¸a˜o N(t) = −2t3+at2+bt+c, em que a, b e c sa˜o constantes e o tempo t e´ medido
em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0, nove mil pessoas estavam infectadas,
um ano depois esse nu´mero atingiu um valor mı´nimo e, em seguida, cresceu ate´ atingir
um valor ma´ximo para t = 2.
(a) Determine as constantes a, b e c a partir das informac¸o˜es dadas.
(b) Determine o nu´mero de pessoas infectadas 1, 2 e 3 anos depois do instante t = 0.
(c) Determine a concavidade de N(t) e, em seguida, esboce o seu gra´fico para t ∈ [0, 3].
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 1 de 3
4) O mecanismo de suspensa˜o dos automo´veis consiste num sistema composto de uma mola
e de um amortecedor. Denotando por s(t) a posic¸a˜o vertical de um ve´ıculo de massa
m em relac¸a˜o a posic¸a˜o de equil´ıbrio, temos que a forc¸a da mola e´ dada, pela lei de
Hooke, por F = −ks(t) e a forc¸a do amortecedor e´ dada por R = −bv(t), onde v(t) e´ a
velocidade instantaˆnea e a constante b e´ denominada viscosidade do amortecedor. Como
a forc¸a resultante e´ F +R, pela Segunda Lei de Newton, temos que
(∗) ma(t) = −ks(t)− bv(t)
para t > 0. Suponha que, em unidades adequadas, m = 1, b = 4 e k = 4 e considere
s(t) = −3te−2t.
(a) Calcule v(t) e a(t) e verifique que a equac¸a˜o (∗) e´
satisfeita.
(b) Calcule os pontos cr´ıticos de s(t) e determine seus
extremos locais e seus intervalos de crescimento e
decrescimento.
(c) Determine os pontos de inflexa˜o de s(t) e os interva-
los onde a concavidade e´ voltada para cima e onde e´
voltada para baixo.
(d) Determine as ass´ıntotas de s(t) e, em seguida, esboce
o seu gra´fico.
5) Considere duas cargas ele´tricas com carga unita´ria e positiva, fixadas num eixo perpen-
dicular a uma parede, como na figura abaixo. O potencial ele´trico gerado por essas
duas part´ıculas num ponto x ao longo desse eixo e´ dado, em unidades convenientes, pela
seguinte func¸a˜o
V (x) =
1
|x+ 1| +
1
|x− 1| , x > −1.
(a) Verifique que o potencial ele´trico e´ dado por
V (x) =


− 2
x2 − 1 , −1 < x < 1
2x
x2 − 1 , x > 1
(b) Calcule a forc¸a exercida numa part´ıcula de carga unita´ria posicionada em x, dada
por F (x) = −V ′(x).
(c) Calcule os pontos cr´ıticos de V (x) e determine seus extremos locais e seus intervalos
de crescimento e decrescimento. A forc¸a F (x) se anula em algum ponto?
(d) Determine os pontos de inflexa˜o de V (x) e seus intervalos de concavidade para cima
e para baixo.
(e) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais de V (x) e esboce seu gra´fico.
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 2 de 3
Gabarito
1. (a) {r0/2, 4r0/5}
(b) cresce em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 4r0/5); decresce em (4r0/5, r0)
(c) coˆncava para cima em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 3 r0/5); coˆncava para baixo em (3 r0/5, r0)
2. (a) {√8}
(b) cresce em (0,
√
8); decresce em (
√
8, 4)
(c) coˆncava para baixo em (0, 4)
3. (a) a = 9; b = −12; c = 9
(b) 4000, 5000 e 0, respectivamente
(c) coˆncava para cima em (0, (3/2)); coˆncava para baixo em ((3/2), 3)
4. (a) v(t) = s′(t) = −3(1− 2t)e−2t, a(t) = v′(t) = 12(1− t)r−2t
(b) ponto cr´ıtico: t = 1/2; cresce em (1
2
,∞); decresce em (0, 1
2
)
(c) ponto de inflexa˜o: t = 1; coˆncava para cima em (0, 1); coˆncava para baixo em
(1,∞)
(d) s = 0 e´ ass´ıntota horizontal
5. (a) lembre que |y| = y se y ≥ 0, e |y| = −y se y < 0
(b)
F (x) = −V ′(x) = −
{
4x(x2 − 1)−2, −1 < x < 1
−2(x2 + 1)(x2 − 1)−2, x > 1
(c) ponto cr´ıtico: x = 0 e´ mı´nimo local; cresce em (0, 1); decresce em (−1, 0)∪(1,+∞)
(d) coˆncava para cima em todo o domı´nio
(e) ass´ıntotas verticais: x = −1 e x = 1; ass´ıntota horizontal: y = 0
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 10 - Pa´gina 3 de 3
Aplicações/Semana 14.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 14
Temas abordados : Integrac¸a˜o por partes; Volumes
Sec¸o˜es do livro: 8.1; 6.1; 6.2
1) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por
V =
∫
b
a
pif(x)2 dx.
Calcule esse volume no caso em que f(x) = xex,
definida no intervalo [0, 1], conforme ilustra a
figura ao lado.
2) A figura ao lado ilustra o gra´fico da func¸a˜o f : [0,∞) → R, f(x) = e−
√
x. A a´rea A(R)
sob esse gra´fico entre x = 0 e x = R e´ dada pela integral
A(R) =
∫
R
0
e−
√
x dx.
(a) Use uma mudanc¸a de varia´veis para transformar a integral indefinida
∫
e−
√
x dx em
uma outra cujo integrando na˜o envolva a func¸a˜o raiz quadrada.
(b) Calcule a integral do item anterior usando integrac¸a˜o por partes.
(c) Usando os resultados anteriores, determine
explicitamente a func¸a˜o A(R).
(d) Calcule o limite lim
R→∞
A(R) usando a regra de
H’Loˆpital, e verifique se a a´rea sob o gra´fico
da f(x), para x ∈ [0,∞), e´ finita. R O
3) Considere um recipiente cil´ındrico de raio r = 5 cm, inicialmente em repouso com a´gua
ate´ a altura L = 10 cm. Em seguida, o recipiente comec¸a a girar ate´ que, juntamente com
a a´gua, alcance uma velocidade angular constante igual a ω rad/s. Nesse caso, a superf´ıcie
da a´gua corresponde a` rotac¸a˜o, em torno do eixo Oy, do gra´fico de uma func¸a˜o f(x),
com x ∈ [0, r]. Na˜o havendo perda de a´gua, pode-se mostrar que f(x) = h + ω2 x2/2g,
onde g = 980 cm/s2 e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e h e´ uma constante que depende de ω.
(a) O volume V do so´lido de rotac¸a˜o do gra´fico
de f(x) em torno do eixo Oy e´ igual a V =∫
r
0
2pi x f(x) dx. Use essa informac¸a˜o para
calcular o volume de a´gua no recipiente em
termos de ω e h.
(b) Usando o item anterior, obtenha h como
func¸a˜o de ω.
(c) Determine o valor de ω para que h seja igual
a` metade da altura da a´gua em repouso.
r
h L
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 14 - Pa´gina 1 de 2
4) Suponha que, juntamente com o combust´ıvel, um foguete tenha massa inicial de m0 kg,
e que o combust´ıvel seja consumido a uma taxa de r kg/s. Assim, a massa do foguete
no instante t ≥ 0 e´ dada por m(t) = m0 − r t. Suponha ainda que os gases de exausta˜o
sejam ejetados a uma velocidade constante de v0 m/s em relac¸a˜o ao foguete. Nesse
caso, indicando por g a acelerac¸a˜o da gravidade e considerando valores pequenos de t, a
velocidade do foguete em relac¸a˜o a` Terra pode ser modelada por
v(t) = −g t− v0 ln
(
m(t)
m0
)
.
(a) Determine uma primitiva para a func¸a˜o ln(x) usando integrac¸a˜o
por partes.
(b) Use o item anterior e substituic¸a˜o de varia´veis para determinar
uma primitiva para a func¸a˜o ln(m(t)/m0).
(c) Determine a altura s(t) do foguete em um instante t > 0, supondo
s(0) = 0.
(d) Seja t0 o instante em que m(t0) e´ igual a 90% da massa inicial
m0. Calcule a altura do foguete no instante t0 em termos das
constantes m0, r, v0, g e ln(9/10).
5) Suponha que uma pressa˜o sonora provoque a vibrac¸a˜o da membrana do t´ımpano de uma
pessoa e que a velocidade v(t) de um ponto da membrana seja dada por v(t) = 2e−t sen(t).
(a) Determine a integral indefinida da func¸a˜o v(t).
(b) Determine a posic¸a˜o s(t) do ponto da membrana supondo que s(0) = 0.
(c) Determine o comportamento de s(t) apo´s um longo per´ıodo de tempo, isto e´, lim
t→∞
s(t).
Gabarito
1. O volume e´ igual a pi(e2 − 1)/4.
2. (a)
∫
e−
√
x dx = 2
∫
te−t dt
(b) −2(t + 1)/et +K
(c) A(R) = 2− 2(
√
R + 1)/e
√
R
(d) a a´rea e´ igual a 2
3. (a) V = pirh2 + (piω2r4)/(4g)
(b) h(ω) = L− (ω2r2)/(4g)
(c) ω =
√
2Lg/r
4. (a) x(ln(x)− 1) +K
(b) −m(t)
r
(
ln
(
m(t)
m0
)
− 1
)
+K1
(c) −1
2
g t2 + v0
m(t)
r
(
ln
(
m(t)
m0
)
− 1
)
+ v0
m0
r
(d) s(t0) = −12 g
(
m0
10 r
)2
+ v0
9m0
10 r
(
ln
(
9
10
)− 1)+ v0m0r
5. (a) −e−t( sen(t) + cos(t))
(b) s(t) = 1− e−t( sen(t) + cos(t))
(c) lim
t→∞
s(t) = 1
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 14 - Pa´gina 2 de 2
Aplicações/Semana 15.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸o˜es – Semana 15
Temas abordados : Integrac¸a˜o por frac¸o˜es parciais; Comprimento de arco
Sec¸o˜es do livro: 8.4; 6.3
1) Numa reac¸a˜o qu´ımica do tipo X + Y → Z, a taxa de crescimento da concentrac¸a˜o de Z
e´ proporcional ao produto das concentrac¸o˜es de X e Y . Como a massa total do sistema
se conserva, essas concentrac¸o˜es sa˜o proporcionais a`s respectivas quantidades, de modo
que a taxa de formac¸a˜o de Z e´ proporcional ao produto das quantidades remanescentes
de X e Y . Supondo que 1g de X combina com 3g de Y para formar 4g de Z e denotando
por q(t) a quantidade de Z no instante t, temos que q(t)/4 corresponde a` quantidade
consumida de X e 3 q(t)/4 corresponde a` quantidade consumida de Y . Supondo que
existem inicialmente 50 g de X e 33 g de Y , as quantidades remanescentes de X e Y apo´s
t segundos sa˜o, respectivamente, 50 − q(t)/4 e 33 − 3 q(t)/4. Com essas considerac¸o˜es,
temos que a taxa de formac¸a˜o do composto Z e´ dada por
q′(t) = k
(
50−
q(t)
4
)(
33−
3q(t)
4
)
= K(200− q(t))(44− q(t)),
onde k e K sa˜o constantes positivas. A equac¸a˜o acima e´ enta˜o equivalente a
(∗)
q′(t)
(200− q(t))(44− q(t))
= K.
(a) Use a regra da substituic¸a˜o para transformar
∫
q′(t)
(200− q(t))(44− q(t))
dt em uma
outra integral que na˜o envolve a func¸a˜o q(t) nem a derivada q′(t). Calcule a integral
obtida usando o me´todo das frac¸o˜es parciais.
(b) Sabendo que 200 − q(t) > 0 e 44 − q(t) > 0, use a equac¸a˜o (∗) e os itens anteriores
para determinar uma expressa˜o de q(t) em termos da func¸a˜o exponencial e de uma
constante arbitra´ria.
(c) Determine essa constante usando a condic¸a˜o inicial q(0) = 0.
(d) Usando os itens anteriores, determine o que acontece com a quantidade q(t) apo´s
muito tempo decorrido, calculando o limite lim
t→∞
q(t). Sobrara´ algum reagente apo´s
muito tempo decorrido?
2) O comprimento do gra´fico de uma func¸a˜o f(x), definida no intervalo [a, b], e´ dado pela
integral C =
∫ b
a
√
1 + f ′(x)2 dx. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(1 − x2), definida para
−1/2 ≤ x ≤ 1/2.
(a) Verifique que
√
1 + f ′(x)2 e´ da forma
p(x)/q(x), em que p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios
do segundo grau.
(b) Verifique que
p(x)
q(x)
= A+
B
1− x2
, em que A
e B sa˜o constantes.
(c) Calcule o comprimento de arco da func¸a˜o
f(x).
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 15 - Pa´gina 1 de 4
3) Suponha que uma populac¸a˜o inicial de 200 mil feˆmeas de um determinado inseto habite
uma regia˜o agr´ıcola, e que esteja crescendo a uma taxa de 50% ao ano. Para retardar o
crescimento sem o uso de pesticidas, foram introduzidos 50 mil machos este´reis na regia˜o,
que cruzam com as feˆmeas mas na˜o produzem descendentes. Indique por p a populac¸a˜o,
em milhares, de feˆmeas desse inseto em um determinado instante. Nesse caso, o tempo
T (p), em anos, necessa´rio para que essa populac¸a˜o alcance o nu´mero p < 200 pode ser
modelado pela func¸a˜o
T (p) = −2
∫ p
200
x+ 50
x(x+ 100)
dx .
(a) Determine constantes A e B tais que
x+ 50
x (x+ 100)
=
A
x
+
B
x+ 100
.
(b) Usando o item anterior, obtenha uma expressa˜o expl´ıcita para T (p) em termos da
func¸a˜o logar´ıtmica.
(c) Usando a aproximac¸a˜o ln(3) = 11/10, determine o tempo necessa´rio para que a
populac¸a˜o de feˆmeas seja reduzida a` metade da populac¸a˜o inicial.
4) Podemos modelar a produc¸a˜o de iogurte atrave´s do modelo log´ıstico, onde uma populac¸a˜o
p(t) de bacte´rias cresce transformando uma quantidade L(t) de leite em iogurte. Segundo
esse modelo, a taxa de reproduc¸a˜o da populac¸a˜o por bacte´ria p′(t)/p(t) e´ proporcional
a` taxa de consumo de leite por bacte´ria −L′(t)/p(t), que e´ proporcional a` concentrac¸a˜o
de leite, que por sua vez e´ proporcional a L(t), uma vez que a massa total do sistema se
conserva. Deste modo, existem constantes positivas a e b tais que
(∗)
p′(t)
p(t)
= −a
L′(t)
p(t)
= bL(t).
(a) Utilizando a equac¸a˜o (∗), verifique que L′(t) = − 1
a
p′(t). Integrando essa equac¸a˜o e
utilizando as condic¸o˜es iniciais p(0) = p0 e L(0) = L0, mostre que L(t) =
1
a
(c− p(t)),
onde c = aL0 + p0.
(b) Substituindo a expressa˜o de L(t) obtida no item anterior na equac¸a˜o (∗), verifique
que
p′(t)
p(t)(c− p(t))
=
b
a
, denominada equac¸a˜o log´ıstica.
(c) Use a regra da substituic¸a˜o para transformar
∫
p′(t)
p(t)(c−
p(t))
dt em uma outra in-
tegral que na˜o envolve a func¸a˜o p(t) nem a derivada p′(t). Calcule a integral obtida
usando o me´todo das frac¸o˜es parciais.
(d) Sabendo que p(t) > 0 e c − p(t) > 0, use a equac¸a˜o log´ıstica e o item anterior para
determinar uma expressa˜o de p(t) em termos da func¸a˜o exponencial, das constantes
a, b, c, e de uma constante arbitra´ria.
(e) Usando o item anterior, determine o que acontece com a populac¸a˜o p(t) apo´s muito
tempo decorrido, calculando o limite lim
t→∞
p(t). Esse limite depende da constante
arbitra´ria?
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 15 - Pa´gina 2 de 4
5) Um modelo para o estudo da velocidade de queda v(t) de um pa´ra-quedista e´ supor que
a forc¸a de resisteˆncia do ar seja dada por R = b v(t)2, isto e´, proporcional ao quadrado
da velocidade. Como a forc¸a resultante e´ P + R, onde P = −mg e´ a forc¸a peso, pela
Segunda Lei de Newton, temos que
ma(t) = −mg + bv(t)2.
Suponha que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ g = 10 m/s2, a massa conjunta do pa´ra-quedas
e do pa´ra-quedista e´ m = 70 kg e que b = 700 kg/m. Da Segunda Lei de Newton segue
que
(∗)
v′(t)
v(t)2 − 1
= 10,
para todo tempo t ≥ 0.
(a) Use a regra da substituic¸a˜o para transformar a integral∫
v′(t)/(v(t)2 − 1) dt em uma outra que na˜o envolve a
func¸a˜o v(t) nem a derivada v′(t). Calcule a integral
obtida usando o me´todo das frac¸o˜es parciais.
(b) Sabendo que v(t)2 − 1 > 0, use a equac¸a˜o (∗) para
determinar uma expressa˜o de v(t) em termos da func¸a˜o
exponencial e de uma constante arbitra´ria.
(c) Se o salto for efetuado de uma altura suficientemente
grande, a velocidade com que o pa´ra-quedista alcanc¸a o
solo e´ aproximadamente igual ao limite lim
t→∞
v(t). Esse
limite depende da constante arbitra´ria?
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 15 - Pa´gina 3 de 4
Gabarito
1. (a)
∫
q′(t)
(200− q(t))(44− q(t))
dt =
∫
1
(200− x)(44− x)
dx =
1
156
ln
∣∣∣∣200− x44− x
∣∣∣∣+ L
(b) q(t) =
44De156Kt − 200
De156Kt − 1
(c) D = 200/44
(d) lim
t→+∞
q(t) = 44; sobram 39g do reagente X
2. (a)
√
1 + f ′(x)2 =
1 + x2
1− x2
(b)
1 + x2
1− x2
= −1 +
2
1− x2
(c) 2 ln(3)− 1 ≈ 1, 2
3. (a) A = B = 1/2
(b) T (p) = ln
(
200 · 300
p (p+ 100)
)
(c) aproximadamente 1,1 ano
4. (a)
(b)
(c)
∫
p′(t)
p(t)(c− p(t))
dt =
∫
1
x(c− x)
dx =
1
c
ln
∣∣∣∣ xc− x
∣∣∣∣+R
(d) p(t) =
cDe
cb
a
t
1 +De
cb
a
t
(e) limt→+∞ p(t) = c, independente de D
5. (a)
∫
v′(t)
v(t)2 − 1
dt =
∫
1
x2 − 1
dx =
1
2
ln
(∣∣∣∣x− 1x+ 1
∣∣∣∣
)
+R
(b) v(t) =
1 +De20t
1−De20t
(c) lim
t→+∞
v(t) = −1, independente de D
Lista de Aplicac¸o˜es da Semana 15 - Pa´gina 4 de 4
Exercícios/Semana 01.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01
Temas abordados : Introduc¸a˜o ao Ca´lculo e Revisa˜o
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) Se a posic¸a˜o de um carro no instante t > 0 e´ dada por s(t) = (4+ t2), enta˜o a velocidade
me´dia entre os instantes t = 2 e t = 2 + h e´ dada por (veja Texto 1 e/ou v´ıdeo)
s(2 + h)− s(2)
h
=
[4 + (2 + h)2]− [4 + 22]
h
= · · · = h(4 + h)
h
= 4 + h.
Quanto mais pro´ximo h estiver de zero, mais perto a velocidade me´dia estara´ da veloci-
dade em t = 2, de modo que essa velocidade vale
v(2) = lim
h→0
s(2 + h)− s(2)
h
= lim
h→0
(4 + h) = (4 + 0) = 4.
Para cada func¸a˜o abaixo, simplifique o quociente (s(t0+h)−s(t0))/h que da´ a velocidade
me´dia entre os instantes t = t0 e t = t0+h. Em seguida, calcule a velocidade v(t0) fazendo
h se aproximar de zero.
(a) s(t) = t2, no ponto t0 = 3 (b) s(t) = t
3, no ponto t0 = 1
(c) s(t) =
√
t, no ponto t0 = 9
(d) s(t) = s0 + v0t +
a
2
t2, com s0, v, a ∈ R, em um ponto t0 > 0 gene´rico
Dica: para o item (b), lembre que (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3; para o item (c), multiplique o numerador e o denominador
por (
√
9 + h+ 3)
2) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma func¸a˜o. Dado a ∈ I, a reta tangente
ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a (u´nica) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem
inclinac¸a˜o igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou v´ıdeo). Neste caso, a equac¸a˜o da reta tangente
y = y(x) e´ dada por y − f(a) = f ′(a)(x− a). A expressa˜o acima significa que, quando x
se aproxima de a, o quociente (f(x)− f(a))/(x− a) se aproxima do nu´mero f ′(a).
Por exemplo, se f(x) = x3 e a = 1, enta˜o
f ′(1) = lim
x→1
x3 − 13
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1) = limx→1(x
2 + x+ 1) = (12 + 1 + 1) = 3,
de modo que a equac¸a˜o da reta tangente no ponto (1, f(1)) = (1, 1) e´ y − 1 = 3(x− 1).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine a inclinac¸a˜o f ′(a) para o valor de a indicado.
Em seguida, calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a))
(a) f(x) = x2, para a = 2
(b) f(x) =
1
x
, para a = 3
(c) f(x) = mx+ b, com m, b ∈ R, para um valor gene´rico de a
Dica: para calcular f ′(2) no item (a), fatore o numerador (x2 − 4) de modo a cancelar o denominador (x − 2); no item
(b), calcule a diferenc¸a (1/x)− (1/3) reduzindo as frac¸o˜es a um mesmo denominador, de modo a eliminar o denominador
(x− 3)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 1 de 4
Revisa˜o
Nos exerc´ıcios abaixo sa˜o lembrados alguns conteu´dos estudados no Ensino Me´dio. Espera-
se que voceˆ consiga resolver todos eles. Se na˜o for esse o caso, este e´ o momento de pegar os
livros antigos e recordar as coisas!
1) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto
ate´ o ponto 0. Determine para quais valores de x as igualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| = 4 (b) |2− x| = −1 (c) |x| = −|x|
(d) |2x+ 5| = 4 (e) |x− 3| = |2x+ 1|
2) Determine para quais valores de x as desigualdades abaixo sa˜o satisfeitas.
(a) |x| < 2 (b) |5x| ≥ 20 (c) |x| > 0
(d) |x+ 3| ≥ 2 (e) |3x− 8| < 4
3) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√|x| − x
ex − 1
(d) r(x) =
x√|x| − 1 (e) p(x) =
√
1−√1− x2 (f) f(x) = ln(−x2 + 4x− 3)
4) Definimos a soma de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀ x ∈ dom(f + g) := dom(f) ∩ dom(g).
Observe que o domı´nio da func¸a˜o soma e´ a intersecc¸a˜o dos domı´nio de f e g, pois para
somar precisamos calcular f(x) e g(x).
Por exemplo, se f : R→ R e g : R \ {7} → R sa˜o dadas por
f(x) = 2x2 − 8, g(x) = 2
x− 7 ,
enta˜o (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x2 − 8 + 2
x− 7, para todo x ∈ dom(f + g) = R \ {7}.
De maneira ana´loga definimos subtrac¸a˜o, produto e quociente de duas func¸o˜es. Neste
u´ltimo caso e´ importante excluir do domı´nio os pontos que anulam o denominador.
Para f e g como acima, determine a expressa˜o e domı´nio de
(a) (f − g)(x) := f(x)− g(x) (b) (f · g)(x) := f(x)g(x)
(c)
(
f
g
)
(x) :=
f(x)
g(x)
(d)
(
g
f
)
(x) :=
g(x)
f(x)
5) Definimos a composic¸a˜o de duas func¸o˜es f e g como sendo a func¸a˜o
(f ◦ g)(x) := f(g(x)), ∀ x ∈ dom(f ◦ g) := {x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f)}.
Para o ca´lculo de (f ◦g)(x), calculamos f(y), com y = g(x). Assim, e´ preciso que y = g(x)
esteja no domı´nio de f , da´ı a explicac¸a˜o do domı´nio da composic¸a˜o.
Lista de
Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 2 de 4
Por exemplo, considerando as func¸o˜es f e g do exerc´ıcio anterior, temos que
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2
f(x)− 7 =
2
(2x2 − 8)− 7 =
2
2x2 − 15 , ∀ x 6= ±
√
15
2
.
Veja que, no domı´nio, tivemos que excluir todos os pontos tais f(x) 6∈ dom(g) = R \ {7}.
Assim, eliminamos todos os valores de x reais, tais que f(x) = 2x2 − 8 = 7.
Ainda considerando as func¸o˜es f e g como no exerc´ıcio anterior, determine a expressa˜o e
domı´nio de cada uma das composic¸o˜es abaixo.
(a) (f ◦ g) = f(g(x)) (b) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) (c) (g ◦ g)(x) = g(g(x))
6) Considerando f(x) = (4 − x)/x, determine a expressa˜o e o domı´nio de cada uma das
func¸o˜es abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
7) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias
apresentadas (veja v´ıdeo).
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13
8) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o
domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo
em func¸a˜o de x.
9) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da
caixa em func¸a˜o de x.
10) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que
o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece
a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
11) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 3 de 4
RESPOSTAS
1) (a) v(3) = 6 (b) v(1) = 3 (c) v(9) = 1
6
(d) v(t) = v0 + at
2) (a) f ′(2) = 4, y − 4 = 4(x− 2)
(b) f ′(3) = −1
9
, y − 1
3
= −1
9
(x− 3)
(c) f ′(a) = m, y = mx+ b
Revisa˜o
1)
(a) x ∈ {−4, 4} (b) nenhum valor de x, pois |x| ≥ 0 (c) x = 0
(d) x ∈ {−9
2
,−1
2
}
(e) x ∈ {−4, 2
3
}
2)
(a) x ∈ (−2, 2) (b) x ∈ R \ (−4, 4) (c) x 6= 0
(d) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞) (e) x ∈ (4
3
, 4)
3)
(a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R \ {0}
(d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1] (f) (1, 3)
4) (a) (f − g)(x) = 2x2 − 8− 2
(x− 7), para x 6= 7
(b) (f · g)(x) = 4x
2 − 16
x− 7 , para x 6= 7
(c) (f
g
)(x) = (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d) ( g
f
)(x) =
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
5) (a) (f ◦ g)(x) = 8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(b) (f ◦ f)(x) = 8x4 − 64x2 + 120, para x ∈ R
(c) (g ◦ g)(x) = 2(x− 7)−7x+ 51, para x 6∈ {7,
51
7
}
6) (a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
=
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x , para x 6∈ {0, 4}
(b) f(x2)− f(x)2 = −2(x
2 − 4x+ 6)
x2
, para x 6= 0
(c) f(f(x)) =
5x− 4
4− x , para x 6∈ {0, 4}
7) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
8) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
9) V (x) = x(22 − 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
10) A(x) = 9− 3x
11) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
Lista de Exerc´ıcios – Semana 01 - Pa´gina 4 de 4
Exercícios/Semana 02.pdf
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
(a) lim
x→2
f(x) na˜o existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) e´ positivo.
2) Calcule os limites abaixo (veja Texto 1).
(a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) (b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4 (c) limx→2
8− 2x
|x− 4|
(d) lim
x→4+
8− 2x
|x− 4| (e) limx→1−
|x− 1|
x− 1 (f) limx→1
|x− 1|
x− 1
3) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
(a) Esboce os gra´ficos de f e g.
(b) Decida sobre a existeˆncia dos limites lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Deˆ a expressa˜o de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
4) Limites do tipo limx→a
f(x)
g(x)
com o numerador e o denominador se aproximando de zero
sa˜o chamados de indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 (veja v´ıdeo). Eles sa˜o delicados porque na˜o
podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g sa˜o polinoˆmios, enta˜o f(a) = g(a) = 0,
e portanto x = a e´ uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos
fatora´-los na forma (x − a)p(x), com p sendo um polinoˆmio de grau menor. Em alguns
casos, isso permite eliminar a indeterminac¸a˜o, como no exemplo abaixo
lim
x→3
x2 − 4x+ 3
6− 2x = limx→3
(x− 3)(x− 1)
−2(x− 3) = limx→3
x− 1
−2 =
2
−2 = −1.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
z→0
z2 + 2z
z
(b) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x (c) limt→1
t− 1
t3 − 1
Dica: para fatorar o polinoˆmio (t3 − 1) divida-o por (t− 1). (veja v´ıdeo)
5) O limite trigonome´trico fundamental nos diz que lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (veja Texto 3 e/ou v´ıdeo). Use
essa informac¸a˜o para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(veja v´ıdeo) (b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
cos(x)− 1
x
Dica: para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por (cos(x) + 1)
Lista de Exerc´ıcios – Semana 02 - Pa´gina 1 de 3
6) Algumas indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 podem ser resolvidas usando-se o artif´ıcio de mul-
tiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles, conforme o exemplo
abaixo
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)
(x− 4)
(
√
x+ 2)
(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) = limx→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9 (b) limx→7
5−√4 + 3x
7− x (c) limx→0
1− cos(x)
x2
Observac¸a˜o: vale a pena tentar o artif´ıcio acima no item (a) do exerc´ıcio 4 para se convencer de que, naquele caso, o melhor
caminho e´ mesmo a fatorac¸a˜o
7) Calcule cada um dos limites abaixo (veja Texto 2).
(a) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x3 − x2 + x− 1 (b) limx→a
√
x−√a
x− a (c) limx→0−
x sen(x)
1− cos(x)
(d) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
(e) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 (f) limx→pi
sen(x− pi)
x− pi
(g) lim
x→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1| (h) limx→a
xn − an
x− a (i) limx→a
3
√
x− 3√a
x− a
Dica: nos dois u´ltimos, use a identidade (xn − yn) = (x−