Apostila_AnaliseEstruturalComputacional

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Universidade Federal do Pará 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Grupo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula 
Análise Estrutural Computacional 
 
Método da Rigidez Direta 
para Análise de Treliças e Pórticos Planos 
 
 
 
 
 
 
Prof. Remo Magalhães de Souza 
 
Belém-PA, 23 de novembro de 2012. 
Revisão 1.0 
 
Análise Matricial de Estruturas – Notas de Aula – Prof. Remo Magalhães de Souza i 
Grupo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia - NiCAE/FEC/ITEC/UFPA 
 
 
 
Sumário 
 
1. Introdução ............................................................................... Erro! Indicador não definido. 
1.1. Modelagem Estrutural .................................................... Erro! Indicador não definido. 
1.2. Tipos de elementos estruturais mais usuais ..................................................................... 4 
1.3. Teorias de vigas ............................................................................................................... 7 
1.4. Tipos de Análise Estrutural ............................................................................................. 8 
1.5. Classificação da análise estrutural quanto à variação do tempo: .................................... 8 
1.6. Classificação da análise estrutural quanto à linearidade: ................................................ 9 
2. Método da Rigidez Direta para treliças planas ...................................................................... 10 
2.1. Descrição da treliça a ser analisada ............................................................................... 11 
2.2. Graus de Liberdade da estrutura .................................................................................... 15 
2.3. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema global de coordenadas ................... 16 
2.4. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema local de coordenadas ...................... 18 
2.5. Determinação do comprimento e orientação das barras ................................................ 21 
2.6. Relação entre os vetores de força e deslocamento da barra referentes ao sistema local 
de coordenadas .......................................................................................................................... 22 
2.7. Transformação entre os vetores referentes aos sistemas local e global ........................ 29 
2.8. Relação entre os vetores de forças e deslocamentos da barra referentes ao sistema 
global de coordenadas ............................................................................................................... 32 
2.9. Relação entre os vetores de deslocamentos da barra e os vetores de deslocamentos da 
estrutura ..................................................................................................................................... 35 
2.10. Relação entre os vetores de forças da barra e o vetor de forças da estrutura ................ 37 
2.11. Relação entre os vetores de forças e deslocamentos da estrutura ................................. 40 
2.12. Imposição das condições de contorno e solução do sistema de equações .................... 42 
2.13. Resumo das etapas de análise pelo método da rigidez direta ........................................ 44 
2.14. Solução numérica do problema ..................................................................................... 47 
2.15. Diagrama de esforço normal e configuração deformada da estrutura ........................... 62 
3. Método da Rigidez Direta para pórticos planos sujeitos a cargas nodais apenas ................. 63 
3.1. Descrição do pórtico a ser analisado ............................................................................. 63 
3.2. Graus de Liberdade da estrutura .................................................................................... 66 
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3.3. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema global de coordenadas ................... 68 
3.4. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema local de coordenadas ...................... 70 
3.5. Determinação do comprimento e orientação das barras ................................................ 72 
3.6. Relação entre os vetores de força e deslocamento da barra referentes ao sistema local 
de coordenadas .......................................................................................................................... 73 
3.7. Determinação dos esforços internos ao longo da barra ................................................. 79 
3.8. Transformação entre os vetores referentes aos sistemas local e global ........................ 80 
3.9. Relação entre os vetores de forças e deslocamentos da barra referentes ao sistema 
global de coordenadas ............................................................................................................... 82 
3.10. Relação entre os vetores de deslocamentos da barra e os vetores de deslocamentos da 
estrutura ..................................................................................................................................... 82 
3.11. Relação entre os vetores de forças da barra e o vetor de forças da estrutura ................ 84 
3.12. Relação entre os vetores de forças e deslocamentos da estrutura ................................. 88 
3.13. Imposição das condições de contorno e solução do sistema de equações .................... 88 
3.14. Resumo das etapas de análise pelo Método da Rigidez Direta ..................................... 90 
3.15. Solução numérica do problema ..................................................................................... 90 
3.16. Diagramas de esforços internos e configuração deformada da estrutura .................... 104 
4. Consideração das cargas aplicadas ao longo das barras de pórtico plano ........................... 106 
4.1. Descrição do pórtico com novo carregamento a ser analisado ................................... 106 
4.2. Transformação de coordenadas para cargas uniformemente distribuídas ................... 107 
4.3. Reações de engastamento perfeito .............................................................................. 111 
4.4. Consideração das cargas aplicadas ao longo das barras na relação entre os vetores de 
forças e deslocamentos da barra referentes ao sistema local .................................................. 112 
4.5. Determinação dos esforços internos ao longo da barra ............................................... 114 
4.6. Consideração das cargas aplicadas ao longo das barras na relação entre os vetores de 
forças e deslocamentos da barra referentes ao sistema global ................................................ 116 
4.7. Consideração das cargas aplicadas ao longo das barras na relação entre os vetores de 
forças e deslocamentos da estrutura ........................................................................................ 117 
4.8. Imposição das condições de contorno e solução do sistema de equações .................. 118 
4.9. Resumo das etapas de análise pelo método da rigidez direta ...................................... 120 
4.10. Solução numérica do problema ................................................................................... 124 
4.11. Diagramas de esforços internos e configuração deformada da estrutura .................... 142 
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Lista de Figuras 
 
 
Figura 1.1 – Vista de uma ponte ferroviária metálica. Ponte sobre o Rio Mearim, MA. .............. 2 
Figura 1.2 – Modelo estrutural da ponte sobre o Rio Mearim, MA. .............................................. 3 
Figura 1.1 – Modelo estrutural da treliça a ser analisada. ............................................................. 11 
Figura 1.2 – Graus de liberdade do modelo estrutural, indicando os deslocamentos e forças 
nodais da estrutura. ................................................................................................................ 15 
Figura 1.3 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de treliça plana em relação ao sistema 
global de coordenadas. .......................................................................................................... 17 
Figura 1.4 – Visto explodida da estrutura com graus de liberdade de todas as barras em relação 
ao sistema global de coordenadas. ........................................................................................ 18 
Figura 1.5 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de treliça plana em relação ao sistema 
local de coordenadas. ............................................................................................................ 19 
Figura 1.6 – Vista explodida da estrutura com graus de liberdade das barras em relação ao 
sistema local de coordenadas. ............................................................................................... 20 
Figura 1.7 – Parâmetros para determinação do comprimento e orientação de uma barra. ........... 21 
Figura 1.8 – Barra desenhada com o seu eixo local lx alinhado com a direção horizontal. ........ 22 
Figura 1.9 – Barras na configuração indeformada e deformada, sujeita aos quatro deslocamentos 
nodais. ................................................................................................................................... 23 
Figura 1.10 – Decomposição dos deslocamentos nodais de acordo com o princípio da 
superposição dos efeitos. ....................................................................................................... 24 
Figura 1.11 – Forças atuantes nas extremidades da barra, associadas a cada um dos quatro 
deslocamentos nodais impostos . .......................................................................................... 25 
Figura 1.12 – Componentes de um vetor em relação a dois sistemas de coordenadas cartesianas.
 ............................................................................................................................................... 29 
Figura 1.13 – Diagrama de esforço normal da treliça plana. ........................................................ 62 
Figura 1.14 – Configurações indeformada e deformada da treliça plana. ..................................... 62 
Figura 2.1 – Modelo estrutural, com dimensões da seção, do pórtico a ser analisado. ................. 64 
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Figura 2.2 – Graus de liberdade do modelo estrutural, indicando os deslocamentos e forças 
nodais da estrutura. ................................................................................................................ 67 
Figura 2.3 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de pórtico plano em relação ao sistema 
global de coordenadas. .......................................................................................................... 68 
Figura 2.4 – Vista explodida da estrutura com os graus de liberdade de todas as barras em 
relação ao sistema global de coordenadas. ............................................................................ 69 
Figura 2.5 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de pórtico plano em relação ao sistema 
local de coordenadas. ............................................................................................................ 70 
Figura 2.6 – Convenção de sinais para esforços internos, indicando esforços positivos. ............. 71 
Figura 2.7 – Vista explodida da estrutura com graus de liberdade das barras em relação ao 
sistema local de coordenadas. ............................................................................................... 72 
Figura 2.8 – Barra de pórtico plano, desenhada com o seu eixo local lx alinhado com a direção 
horizontal. .............................................................................................................................. 73 
Figura 2.9 – Barra de pórtico plano, na configuração indeformada e deformada, sujeita aos seis 
deslocamentos nodais. ........................................................................................................... 73 
Figura 2.10 – Decomposição dos deslocamentos nodais de acordo com o princípio da 
superposição dos efeitos. ....................................................................................................... 74 
Figura 2.11 – Forças atuantes nas extremidades da barra, associadas a cada um dos seis 
deslocamentos nodais impostos. ........................................................................................... 76 
Figura 2.12 – Determinação dos esforços internos em uma seção S da barra, pelo lado esquerdo e 
pelo lado direito. .................................................................................................................... 79 
Figura 2.13 – Diagrama de esforço normal do pórtico plano sujeito a cargas nodais e distribuídas.
 ............................................................................................................................................. 104 
Figura 2.14 – Diagrama de esforço cortante do pórtico plano sujeito a cargas nodais e 
distribuídas. ......................................................................................................................... 104 
Figura 2.15 – Diagrama de esforço cortante do pórtico plano sujeito a cargas nodais e 
distribuídas. ......................................................................................................................... 105 
Figura 2.16 – Configurações indeformada e deformada do pórtico plano sujeito a cargas nodais e 
distribuídas. ......................................................................................................................... 105 
Figura 3.1 – Modelo estrutural, com dimensões da seção, do pórtico a ser analisado. ............... 106 
Figura 3.2 – Tipos de cargas distribuídas uniformes aplicadas em uma barra de pórtico, com 
referência a diferentes sistemas de coordenadas. ................................................................ 107 
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Figura 3.3 – Barra biengastada sujeita a cargas uniformemente distribuídas. ............................ 111 
Figura 3.4 – Barra de pórtico plano sujeita a deslocamentos impostos nas extremidades e cargas 
uniformemente distribuídas. ................................................................................................ 112 
Figura 3.5 – Decomposição das ações de acordo com o princípio da superposição dos efeitos. 113 
Figura 3.6 – Determinação dos esforços internos em uma seção S da barra, pelo lado esquerdo e 
pelo lado direito, considerando a presença de cargas distribuídas. ..................................... 115 
Figura 3.7 – Diagrama de esforço normal do pórtico plano sujeito a cargasnodais e distribuídas.
 ............................................................................................................................................. 142 
Figura 3.8 – Diagrama de esforço cortante do pórtico plano sujeito a cargas nodais e distribuídas.
 ............................................................................................................................................. 142 
Figura 3.9 – Diagrama de esforço cortante do pórtico plano sujeito a cargas nodais e distribuídas.
 ............................................................................................................................................. 143 
Figura 3.10 – Configurações indeformada e deformada do pórtico plano sujeito a cargas nodais e 
distribuídas. ......................................................................................................................... 143 
 
 
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Equation Chapter 1 Section 1 
 
1. Introduçãoa à Análise Estrutural 
A análise estrutural tem como objetivo a determinação de determinadas respostas 
(resultados) de uma estrutura quando esta é sujeita a ações externas. 
As respostas de interesse mais comuns na análise estrutural são: deslocamentos, 
deformações, tensões, esforços internos (momento fletor, esforço cortante, esforço normal, 
momento torçor), e reações de apoio. 
As ações mais usuais consideradas na análise são provenientes de cargas tais como peso 
próprio da estrutura, sobrecarga, carga de vento, etc. Entretanto, outros tipos de ações podem ser 
considerados na análise, tais como dilatação térmica, efeitos de retração do concreto, recalques, 
terremotos, etc. 
De uma forma bem ampla, pode-se atingir este objetivo, qual seja a determinação das 
respostas de uma estrutura correspondente a um conjunto de ações, através de duas metodologias 
gerais: a) o método empírico da análise experimental; b) o método racional da análise teórica. 
No processo empírico da análise experimental, deve-se medir diretamente, seja na 
estrutura real já construída, seja em algum protótipo construído em laboratório, algumas 
respostas tais como deformações, deslocamentos, acelerações, reações de apoio, etc, através de 
equipamentos apropriados para este fim (extensômetros, relógios comparadores, transdutores de 
deslocamentos, células de carga, acelerômetros, etc). 
Por outro lado, a análise teórica consiste no estabelecimento e solução de um conjunto de 
equações que representam de forma aproximada o problema em questão (análise de uma 
estrutura). De uma forma geral, pode-se também dizer que os métodos teóricos podem ser 
classificados em métodos analíticos e numéricos. 
Nos métodos analíticos, estabelecem-se equações que governam o problema, com base 
em determinadas hipóteses simplificadoras, e estas equações são resolvidas de forma analítica, 
resultando em soluções fechadas exatas (sem aproximações na solução). No entanto, ressalta-se 
que embora a solução analítica seja considerada exata, ela é na verdade, a solução exata de um 
problema matemático que representa aproximadamente o problema real. Destaca-se que em 
análise estrutural, apenas problemas muito simples (com geometria simples, e carregamentos e 
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condições de suporte também simples) são resolvidos analiticamente. Nos métodos analíticos as 
soluções são expressas de forma literal. 
Nos métodos numéricos, estabelecem-se equações que governam o problema, com base 
em determinadas hipóteses simplificadoras usualmente mais realistas do que as hipóteses 
simplificadoras adotadas nos métodos analíticos, e estas equações são resolvidas com o auxílio 
de um computador, de forma aproximada. Nos métodos numéricos, as soluções são expressas 
com números. 
Este texto trata da análise estrutural teórica, com base em um método numérico, qual seja 
o Método da Rigidez Direta, o qual será descrito a partir do Capítulo 2. 
 
1.1. Modelagem Estrutural 
É importante ressaltar que embora se utilize a terminologia de “análise de uma estrutura”, 
na verdade, na análise estrutural teórica, o que se analisa é uma idealização matemática da 
estrutura real. Ou seja, ao invés de se analisar uma estrutura tal como ela existe ou existirá na 
realidade, o que se analisa é um modelo simplificado, criado com base em determinadas 
hipóteses simplificadoras, que têm como objetivo diminuir a complexidade do problema real. A 
este modelo simplificado, usualmente, se dá o nome de modelo estrutural. Como exemplo, a 
Figura 1.1 mostra uma imagem da estrutura real referente a uma ponte ferroviária localizada na 
Estrada de Ferro Carajás, denominada Ponte sobre o Rio Mearim. Já a Figura 1.2 mostra o 
modelo estrutural da ponte utilizada na análise estrutural computacional. 
 
 
Figura 1.1– Vista de uma ponte ferroviária metálica. Ponte sobre o Rio Mearim, MA. 
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Figura 1.2– Modelo estrutural da ponte sobre o Rio Mearim, MA. 
 
Uma das atividades mais importantes na análise de uma estrutura é justamente a criação 
deste modelo estrutural. Na verdade, para a mesma estrutura pode ser recomendável que ser 
estude mais de um modelo estrutural. 
Conforme já mencionado, o modelo estrutural é definido a partir da consideração de 
diversas hipóteses simplificadoras, tais como: 
a) Geometria idealizada sem imperfeições - hipóteses de retas perfeitas, faces planas, 
retas verticais sem desaprumo, seções transversais constantes, etc; 
b) Material homogêneo - material com mesmas propriedades em pontos distintos no 
espaço; 
c) Material isotrópico - material com mesmas propriedades em direções distintas; 
d) Material linear elástico - material obecendo a Lei de Hooke, com tensões 
proporcionais às deformações, e sem limite de resistência; 
e) Carregamento simplificado - hipóteses de carga uniformemente distribuída, 
perfeitamente trapezoidais, cargas concentradas, cargas sem variação no tempo, etc; 
f) Condições de apoio idealizadas - apoios do primeiro, segundo ou terceiro gênero 
perfeitos; 
g) Ligações idealizadas - nós considerados como perfeitamente rotulados, como no 
caso de treliças, ou perfeitamente rígidos como no caso de pórticos; 
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Diante de tantas possíveis hipóteses simplificadoras a ser consideradas, a qualidade do 
modelo estrutural criado depende muito do grau de conhecimento e experiência da pessoa que 
está fazendo a análise (denominado aqui, simplesmente analista estrutural). Porém, no caso em 
que a análise é realizada através de um programa computacional, o grau de realismo do modelo 
também ficará limitado aos próprios recursos disponíveis neste programa. Por exemplo, se o 
programa é limitado à análise de estruturas com comportamento linear elástico, não será possível 
levar em conta na análise, a resistência do material. 
 
1.2. Tipos de elementos estruturais mais usuais 
Em geral as estruturas são formadas por partes menores usualmente denominadas de 
elementos estruturais. 
Embora se possa dizer que os objetos no espaço tridimensional possuem três dimensões, 
podem-se classificar os elementos estruturaisde acordo com as suas dimensões predominantes: 
a) Elementos unidimensionais ou elementos de linha – estes elementos possuem uma 
dimensão predominante em relação às outras duas. Ou seja, uma dimensão, o 
comprimento, é muito maior do que as outras duas dimensões da seção transversal. 
Este tipo de elemento também recebe usualmente a denominação de elemento de 
barra. Exemplos deste tipo de elemento são as vigas e pilares. Deve-se ressaltar 
também que estes elementos podem ter um eixo reto ou curvo, que é o caso das vigas 
curvas. 
b) Elementos bidimensionais ou elementos de superfície - estes elementos possuem 
duas dimensões predominantes em relação à terceira. Ou seja, uma dimensão, a 
espessura, é muito menor do que as outras duas dimensões. Exemplos deste tipo de 
elemento são as lajes ou placas, membranas e cascas. Deve-se ressaltar também que 
estes elementos podem ser planos ou curvos no espaço. 
c) Elementos tridimensionais ou elementos de volume – estes elementos não possuem 
em geral uma dimensão predominante, apresentando uma forma mais volumétrica. 
Exemplos deste tipo de elementos são blocos de fundação e blocos de barragens de 
gravidade. 
 
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1.3. Tipos de sistemas estruturais mais usuais 
A partir da composição de um ou mais tipos de elementos estruturais, formam-se 
sistemas estruturais de diversas categorias. Alguns dos sistemas estruturais mais usuais são: 
a) Estruturas aporticadas ou reticuladas – são estruturas formadas por elementos 
estruturais unidimensionais (do tipo linha ou barra) conectados entre si através de 
pontos nodais ou nós. As estruturas aporticadas ou reticuladas podem ser 
unidimensionais (como é o caso de vigas contínuas), bidimensionais (como treliças e 
pórticos planos, e grelhas), e tridimensionais (como treliças e pórticos espaciais). 
b) Estruturas de superfície – são estruturas formadas por elementos estruturais de 
superfície conectados entre si através de arestas comuns. Como exemplos deste tipo 
de sistema estrutural, têm-se os reservatórios (caixas d’água e piscinas), estruturas de 
cobertura em casca, etc. 
c) Estruturas volumétricas ou sólidas – são estruturas formadas por elementos 
estruturais de volume conectados entre si através de faces comuns. Como exemplo 
deste tipo de sistema estrutural, cita-se a barragem de gravidade. 
 
Na verdade, é muito comum a associação de sistemas estruturais envolvendo diferentes 
tipos de elementos estruturais. O exemplo mais comum consiste em edíficios em concreto 
armado, onde se pode observar a associação de elementos de barra (representando vigas, pilares, 
e estacas), elementos de placa/casca (representando as lajes e paredes estruturais) e elementos de 
volume (representando os blocos de fundação, ou até mesmo o solo propriamente dito). 
 
1.4. Tipos de estruturas aporticadas 
O sistema de estruturas aporticadas é, usualmente, de grande interesse, dado a enorme 
variedade de estruturas que podem ser representadas por este sistema. Por esta razão, neste texto 
é direcionado para este tipo de sistema estrutural. Os principais tipos de sistemas estruturais que 
podem ser classificados como de estruturas aporticadas são: 
a) Viga simples ou contínua – este sistema é formado por elementos de barras 
dispostos ao longo de um único eixo. Usualmente, cada elemento de barra representa 
um vão. Geralmente, se considera o carregamento atuando no próprio plano da 
estrutura, e neste caso, os esforços internos que ocorrem nas seções da viga são o 
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esforço normal, o esforço cortante e o momento fletor. É comum na análise de vigas 
não se considerar os carregamentos paralelos ao eixo da viga, os quais dão origem ao 
esforço normal; 
b) Pórtico ou quadro plano – este sistema é formado por elementos de barras dispostos 
em um plano e conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os 
elementos de barra representam os pilares (barras verticais) e vigas (barras 
horizontais ou inclinadas). Geralmente, se considera o carregamento atuando no 
próprio plano da estrutura, e neste caso, os esforços internos que ocorrem nas seções 
das barras são o esforço normal, o esforço cortante e o momento fletor; 
c) Treliça plana - este sistema é formado por elementos de barras dispostos em um 
plano e conectados entre si através de pontos nodais rotulados. Como se considera 
que os nós são perfeitamente rotulados, para que a estrutura seja estável, é 
imprescindível que as barras sejam dispostas de modo a formar arranjos triangulares. 
Considera-se também que as cargas são aplicadas no plano da estrutura e apenas nos 
nós (não se podendo, assim, considerar diretamente o peso próprio das barras atuando 
ao longo das mesmas). Com base nestas hipóteses, as barras da treliça ficam sujeitas 
apenas a esforço normal. Este tipo de sistema estrutural é comumente utilizado para 
representar estruturas de coberturas metálicas ou de madeira, sendo também bastante 
comum em pontes metálicas de grandes vãos; 
d) Grelha - este sistema é formado por elementos de barras dispostos em um plano e 
conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os elementos de barra 
representam vigas horizontais. Geralmente, se considera o carregamento atuando 
perpendicularmente ao próprio plano da estrutura, e neste caso, os esforços internos 
que ocorrem nas seções das barras são o esforço cortante, o momento fletor e o 
momento torçor. Este tipo de sistema é geralmente utilizado para levar em conta a 
interação que existe entre vigas em um mesmo plano horizontal da estrutura, tal como 
ocorre em um pavimento tipo de um edifício. 
e) Treliça espacial - este sistema é formado por elementos de barras dispostos no 
espaço e conectados entre si através de pontos nodais rotulados. Como se considera 
que os nós são perfeitamente rotulados, para que a estrutura seja estável, é 
imprescindível que as barras sejam dispostas de moda a formar “células” prismáticas 
(na forma de tetraedros, pirâmides, etc). Considera-se que as cargas são aplicadas 
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apenas nos nós (não se pode considerar o peso próprio ao longo das barras). Dentro 
destas hipóteses, as barras da treliça ficam sujeitas apenas a esforço normal. Este tipo 
de sistema estrutural é comumente utilizado para representar estruturas de coberturas 
metálicas de grandes vãos; 
f) Pórtico espacial - este sistema é formado por elementos de barras dispostos no 
espaço e conectados rigidamente entre si através de pontos nodais. Os elementos de 
barra representam os pilares (barras verticais) e vigas (barras horizontais ou 
inclinadas). De forma geral, as seções das barras são submetidas a esforço normal, 
duas componentes de esforço cortante, momento torçor e duas componentes de 
momentos fletores. 
 
1.4.1. Teorias de vigas 
Para a análise de estruturas aporticadas é comum se adotar a teoria de Euler-Bernoulli, o 
qual é baseada na hipótese simplificadora de que as seções de uma barra permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo da barra, após a atuação das ações externas (aplicação do carregamento). 
Existe uma outra teoria de vigas, mais recente e mais precisa, utilizada para a análise de 
estruturas aporticadas, que é a chamada Teoria de Viga de Timoshenko. Nesta Teoria,se admite 
que as seções permaneçam planas, após a deformação, mas não necessariamente perpendiculares 
ao eixo da barra, devido ao efeito do cisalhamento. 
A Teoria de viga de Timoshenko é mais precisa do que a Teoria de Viga de Euler-
Bernoulli, porque ela utiliza uma simplificação a menos: a teoria de viga de Euler-Bernoulli 
ignora as deformações por cisalhamento. Esta simplificação pode causar diferenças 
consideráveis entre as duas teorias no caso de vigas curtas (com relação entre comprimento da 
viga e altura da seção menor do que um valor em torno de 2 ou 3). 
Alguns programas para análise estrutural mais sofisticados, como o SAP2000, por 
exemplo, emprega a Teoria de Viga de Timoshenko na análise de estruturas formadas por barras. 
Entretanto, pode-se indiretamente, forçar a utilização da Teoria de Viga de Bernoulli, impondo 
que as deformações por cisalhamento sejam nulas. Este efeito é obtido impondo-se que a área de 
cisalhamento da seção seja infinita. 
 
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1.5. Tipos de Análise Estrutural 
A análise estrutural teórica pode ser classificada quanto dois aspectos principais, 
conforme descrição abaixo. 
 
1.5.1. Classificação da análise estrutural quanto à variação do tempo: 
a) Análise Estática: neste tipo de análise, considera-se que as ações não variam no 
tempo (carregamento estático). Em função das ações serem constantes no tempo, as 
respostas também são constantes em relação ao tempo. Neste caso o deslocamento de 
um ponto qualquer da estrutura é constante, e a velocidade e aceleração deste ponto 
são nulas. 
b) Análise Dinâmica: neste tipo de análise, considera-se que as ações variam no tempo 
(carregamento dinâmico). Em função das ações variarem ao longo do tempo (por 
exemplo, terremotos, vento, tráfego de veículos, explosões na proximidade da 
estrutura) as respostas também variam ao longo do tempo. Neste caso, o 
deslocamento de um ponto qualquer da estrutura não é constante ao longo do tempo, 
e, portanto, as respectivas velocidades e acelerações deste ponto não são nulas. Neste 
tipo de análise, os efeitos inerciais da estrutura devem ser considerados. 
c) Análise Pseudo-Estática ou Quasi-Estática: neste tipo de análise, considera-se que 
as ações variam no tempo de forma muito lenta (carregamento quasi-estático). Com 
isto, é possível desprezar os efeitos inerciais da estrutura, e realizar várias análises 
estáticas em sequência, uma para cada configuração do carregamento. Este tipo de 
análise é bastante utilizado no estudo de pontes, onde se considera que o veículo se 
desloca muito lentamente sobre a estrutura, e para cada posição do veículo, realiza-se 
uma análise estática. Em função das ações variarem no tempo, as respostas também 
variam. Neste caso, o deslocamento de um ponto qualquer da estrutura é variável no 
tempo, mas a sua mudança é tão lenta que se pode assumir que a velocidade e 
aceleração deste ponto são nulas. 
 
É importante ressaltar também, um tipo de análise muito importante para estudo do 
problema de vibrações em estruturas, qual seja a análise modal. Esta análise tem como objetivo a 
determinação das frequências naturais e modos de vibração livre da estrutura. Este tipo de 
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análise não corresponde a uma análise dinâmica propriamente dita, mas pode ser considerada, 
em alguns procedimentos, como uma das etapas necessárias a análise dinâmica da estrutura. 
 
1.5.2. Classificação da análise estrutural quanto à linearidade: 
a) Análise Linear: neste tipo de análise, considera-se que existe uma proporcionalidade 
entre causa (ações externas) e efeito (respostas da estrutura). Para que esta 
proporcionalidade exista é importante que sejam respeitados dois requisitos, quais 
sejam: O primeiro é que o material, da qual a estrutura é formada, tenha um 
comportamento linear elástico. Ou seja, assume-se que as tensões sejam 
proporcionais às deformações (a grosso modo se diz que o material deve possuir um 
diagrama tensão-deformação representado por uma “reta”). O segundo requisito, é 
que as deformações e deslocamentos da estrutura sejam pequenos (infinitesimais). 
b) Análise Não-Linear: neste tipo de análise, não existe uma proporcionalidade entre 
causa (ações externas) e efeito (respostas da estrutura). Esta não proporcionalidade 
pode ter duas origens, a saber: a primeira causa refere-se ao comportamento não 
linear do material, ou seja, o material apresenta um diagrama tensão deformação 
representado por uma curva (ou poligonal). Neste caso, diz-se que ocorre uma não 
linearidade do material, ou não linearidade física. A segunda causa refere-se à 
ocorrência de grandes deformações e/ou deslocamentos na estrutura. Nesta segunda 
situação, diz-se que ocorre uma não linearidade geométrica. 
 
É importante ressaltar que para a perfeita consideração do fenômeno de flambagem 
(localizada ou global) de uma estrutura, é necessário que seja realizada uma análise não linear, 
ou pelo menos uma análise de carga crítica de flambagem (buckling analysis). 
A análise de carga crítica de flambagem permite a determinação de um coeficiente que 
corresponde ao máximo valor pelo qual o carregamento atuante na estrutura seja multiplicado 
para que ocorra a flambagem. Além disso, a análise de carga crítica permite identificar o modo 
de flambagem da estrutura. 
 
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1.6. Métodos de Análise Estrutural Estática Linear de estruturas aporticadas 
Existe uma variedade muito grande de métodos de análise estrutural, em especial quando 
se considera os possíveis tipos de estruturas existentes (aporticadas, de superfície, volumétricas, 
e mistas) e os diferentes tipos de análise (estática, dinâmica, modal, de carga crítica, etc) 
De uma forma bastante geral, pode-se classificar as grandezas de interesse na análise 
estrutural em dois grupos, quais sejam: 
a) Variáveis cinemáticas – este grupo refere-se ao movimento da estrutura, e abrange 
as grandezas deslocamentos e suas derivadas no tempo (velocidades e acelerações), 
rotações (giros), curvaturas, alongamentos, deformações, distorções, etc. De uma 
forma muito geral, pode-se adotar o nome “deslocamentos” para representar este 
grupo. 
b) Variáveis estáticas – este grupo refere-se aos esforços que ocorrem na estrutura, e 
abrange as grandezas forças, esforços internos, tensões, trações, etc. De uma forma 
muito geral, pode-se adotar o nome “forças” para representar este grupo. 
 
Percebe-se então que como existem apenas dois grupos de variáveis no problema de 
análise estrutural, pode-se dizer que os métodos de análise estrutural podem ser classificados em 
dois tipos, quais sejam: 
a) Método das forças 
b) Método dos deslocamentos 
 
No presente contexto, será dada ênfase à análise estrutural estática linear de estruturas 
aporticadas. 
 
 
 
2. Método da Rigidez Direta para treliças planas 
O método de análise estrutural mais utilizado atualmente para a análise de estruturas 
aporticadas é o chamado Método da Ridigez Direta. Este método consiste em uma 
sistematização do método clássico dos deslocamentos visando à análise de estruturas através de 
programas computacionais. 
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Para a apresentação do método de uma forma didática, é interessante descrevê-lo através 
de um exemplo, mostrando como o mesmo pode ser aplicado de forma prática na análise de uma 
determinada estrutura. 
2.1. Descrição da treliça a ser analisada 
A Figura 2.1 mostra o modelo estrutural de uma treliça plana que será utilizada para 
apresentação do Método da Rigidez Direta. Trata-se de uma estrutura hiperestática, cuja solução 
não é possível apenas utilizando-se equações de equilíbrio. A estrutura possui quatro nós, 
numerados de forma arbitrária, de 1 a 4, e cinco barras identificadas através das letras a, b, c, d e 
e. As barras d e e se cruzam sem estarem conectadas entre si através de um nó central. Para 
posterior especificação da posição dos nós da estrutura e da direção das forças e deslocamentos 
considerados, emprega-se um sistema de coordenadas cartesianas globais ( , )g gx y como 
referência. Na figura são indicados, ainda, os valores do módulo de elasticidade do material E, e 
as áreas das barras , , ,a b c dA A A A e eA . 
 
 
Figura 2.1 – Modelo estrutural da treliça a ser analisada. 
 
As condições de apoio da estrutura são tais que, conforme indica a Figura 2.1, os nós 1 e 
3 possuem deslocamentos impedidos nas duas direções gx e gy , e os nós 2 e 4 estão livres para 
se movimentar. A estrutura está sujeita a duas cargas concentradas na direção vertical, sentido 
para baixo, sendo uma de 20kN no nó 2 e outra de 30kN no nó 4, conforme indica a figura. Além 
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disso, a estrutura também está sujeita a um deslocamento imposto (“recalque”) de 1mm na 
direção do eixo gx , sentido positivo, no nó 3. 
Antes de se proceder à análise propriamente dita, do modelo estrutural, é importante 
estabelecer uma representação numérica (ou quantitativa) deste modelo, em contraponto com a 
representação visual através da imagem mostrada na Figura 2.1. 
Para isto, o modelo pode ser descrito através de tabelas de identificação conforme 
apresentam a Tabela 2.1, para os nós, e a Tabela 2.2, para as barras. 
 
Tabela 2.1 – Tabela de identificação dos nós do modelo estrutural. 
Nó 
Coordenadas 
nodais 
Código das 
condições de 
vínculo 
Forças nodais 
Deslocamentos 
nodais 
gx 
(m) 
gy 
(m) 
xC yC 
xP 
(kN) 
yP 
(kN) 
xD 
(m) 
yD 
(m) 
1 0,0 0,0 1 1 ? ? 0,0 0,0 
2 2,0 0,0 0 0 0,0 -20,0 ? ? 
3 0,0 1,5 1 1 ? ? 0,001 0,0 
4 2,0 1,5 0 0 0,0 -30,0 ? ? 
 
Tabela 2.2 – Tabela de identificação das barras do modelo estrutural. 
Barra 
Conectividade 
Propriedades da 
seção 
nó I nó J 
E 
(kN/m2) 
A 
(m2) 
a 1 2 2,0×108 10,0×10-4 
b 3 4 2,0×108 10,0×10-4 
c 2 4 2,0×108 10,0×10-4 
d 1 4 2,0×108 15,0×10-4 
e 3 2 2,0×108 15,0×10-4 
Um modo muito eficaz de definição da posição dos nós consiste em se especificar as 
coordenadas de cada nó em referência a um sistema de coordenadas ( gx ,
gy ) qualquer, conforme 
ilustrado na Figura 2.1. Assim, a segunda e a terceira coluna da Tabela 2.1 relacionam as 
coordenadas cartesianas dos nós, de modo a especificar a posição de forma inequívoca de cada 
um destes nós. 
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Outros atributos importantes para a descrição de cada nó dizem respeito às condições de 
vínculo para cada um dos possíveis graus de liberdade (gdl). Sabe-se que um nó de uma treliça 
plana apresenta dois graus de liberdade, quais sejam, duas componentes de deslocamentos 
translacionais. Como os nós da treliça são perfeitamente rotulados, de modo que cada barra pode 
girar livremente em torno de um determinado nó, não faz sentido se considerar a rotação do nó 
como um grau de liberdade. 
As condições de contorno (restrições nodais) podem ser representadas através de um 
código booleano (do tipo verdadeiro-falso). Assim, pode-se utilizar um código binário (0 ou 1) 
com a finalidade de se indicar se o grau de liberdade está livre (0) ou impedido (1), conforme 
mostrado na Tabela 2.3. Deve-se ressaltar que, para qualquer gdl de qualquer nó de qualquer tipo 
de estrutura a ser analisada, deve-se conhecer, antes da análise, ou o deslocamento ou a força que 
atua neste gdl. Não é possível, especificar para o mesmo gdl, um deslocamento e uma força 
arbitrária, ao mesmo tempo. Ressalta-se que a única exceção para esta regra consiste no caso de 
apoios elásticos (representados por molas), cujo tratamento está fora do presente escopo. 
 
Tabela 2.3 – Código das condições de contorno. 
Código 
Significado 
Deslocamento Força 
0 Deslocamento livre (desconhecido). 
Força prescrita (conhecida). 
Pode ser nula ou imposta → carga nodal 
1 
Deslocamento prescrito (conhecido). 
Pode ser nulo ou imposto → recalque. 
Força livre (desconhecida). 
Reação de apoio. 
 
Um deslocamento livre consiste em um deslocamento que não é ainda conhecido antes da 
análise. Neste caso, deve-se conhecer a força que atua neste gdl, a qual, no entanto pode ser uma 
força nula (destaca-se que uma força nula é uma força conhecida!) ou uma força imposta, que 
corresponde a uma carga nodal. 
Por outro lado, um deslocamento prescrito consiste em um deslocamento que já é 
conhecido antes da análise, como por exemplo, um recalque previamente medido (ou estimado) 
em uma estrutura real, e do qual se quer determinar os efeitos no modelo estrutural. Neste caso, 
não se conhece a força que atua neste gdl, pois a mesma consiste em uma reação de apoio. 
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Assim, usando os códigos binários da Tabela 2.3, são listados na quarta e na quinta 
coluna da Tabela 2.1, os códigos xC e yC , respectivamente, para representar as condições de 
vínculo dos gdl referentes as direções gx e gy de cada nó. Desta forma, observa-se que os nós 1 
e 3 apresentam os dois gdl restringidos e os nós 2 e 4 encontram-se totalmente livres. 
Para especificação das forças e deslocamentos nodais deve-se adotar uma convenção de 
sinais. Usualmente, adota-se que as cargas e deslocamentos nodais possuem sinais positivos 
quando têm o mesmo sentido do sentido positivo do eixo coordenado correspondente, e 
negativos em caso contrário. 
Deste modo, a sexta e a sétima colunas da Tabela 2.1 relacionam as forças aplicadas nos 
nós. Observa-se que para as condições de vínculo do tipo 0 (caso dos nós 2 e 4), as forças são 
conhecidas, e para as condições de vínculo do tipo 1 (caso dos nós 1 e 3), as forças são 
desconhecidas, correspondendo, na verdade, às reações de apoio que serão determinadas após a 
análise da estrutura. Por esta razão, utiliza-se o símbolo ‘?’ para representar uma grandeza 
desconhecida na tabela. 
A oitava e a nona colunas da Tabela 2.1 relacionam os deslocamentos nodais. Verifica-se 
que para as condições de vínculo do tipo 0 (caso dos nós 2 e 4), os deslocamentos nodais são 
desconhecidos, e para as condições de vínculo do tipo 1 (caso dos nós 1 e 3), os deslocamentos 
nodais são conhecidas, podendo corresponder a deslocamentos impostos, ou recalques medidos 
ou estimados nas fundações 
Na Tabela 2.2 são apresentados os dados correspondentes às barras do modelo. Uma 
barra de treliça fica perfeitamente identificada através da definição de sua incidência ou 
conectivadenodal, quais sejam o nó inicial, I, e o nó final J (segunda e terceira colunas, 
respectivametne), o módulo de elasticidade E do material (quarta coluna), e a área A da seção 
transversal (quinta coluna). 
Por fim, é interessante observar que a partir da Tabela 2.1 e da Tabela 2.2 se pode 
“reconstruir”, sem nenhuma ambiguidade, o modelo estrutural representado na Figura 2.1. Na 
verdade, como todas as informações do modelo estrutural estão contidos nestas tabelas, pode-se 
proceder à análise estrutural do modelo, pelo Método da Rigidez Direta, apenas consultando-as, 
sem ser necessário visualizar a imagem do modelo. É desta forma que funcionam os programas 
de computador para análise estrutural baseados no Método da Rigidez Direta, pois eles obtêm 
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todas as informações necessárias à análise estrutural a partir de tabelas como estas, e não 
diretamente de imagens. 
 
2.2. Graus de Liberdade da estrutura 
 Conforme discutido anteriormente, cada nó de uma treliça plana possui dois gdl (nas 
direções gx e gy ). Assim, como a estrutura em questão possui quatro nós, ela possui oito gdl. 
Da mesma forma que é útil numerar as barras, e os nós da estrutura, também é apropriado 
numerar os gdl da estrutura, conforme ilustra a Figura 2.2. Nesta figura, as setas mostradas nos 
nós representam tanto os deslocamentos nodais 1 2 8, , ,D D DK , quanto as forças nodais 
1 2 8, , ,P P PK . Estes deslocamentos e forças nodais possuem a mesma orientação do sistema de 
coordenadas cartesianas ( , )g gx y . O sentido adotado para estes deslocamentos e forças 
corresponde ao sentido positivo dos eixos cartesianos. 
 
 
Figura 2.2 – Graus de liberdade do modelo estrutural, indicando os deslocamentos e forças nodais da 
estrutura. 
 
Para numeração dos gdl, pode-se utilizar diversas regras de numeração, inclusive visando 
a redução de memória computacional utilizada para resolver o problema (porém este assunto está 
fora do escopo deste texto). Uma regra bastante simples e usual para análise de pequenas 
estruturas é descrita a seguir: percorre-se toda a lista de nós, do nó inicial até o nó final, e para 
cada nó percorrem-se todos os graus de liberdade (na sequência xD , yD ), numerando-se 
primeiramente os graus de liberdade livres, e pulando-se os graus de liberdade restringidos. Após 
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numerar todos os gdl livres, repete-se o procedimento numerando-se todos os gdl restringidos. 
Com base nesta regra, obtém-se a numeração dos gdl da estrutura mostrados na Figura 2.2. 
Os deslocamentos nodais 1 2 8, , ,D D DK , e as forças nodais 1 2 8, , ,P P PK , podem ser 
agrupados em matrizes colunas, também chamadas, “vetores” 
 
1 1
2 2
8 8
{ } { }
D P
D P
D P
   
   
   
= =   
   
      
D P
M M (1.1) 
onde {D} é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura e {P} é o vetor de forças nodais da 
estrutura. 
 
2.3. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema global de coordenadas 
No método da rigidez direta, deve-se buscar uma relação entre os deslocamentos e forças 
da estrutura. Para isto, da mesma forma que foi necessário definir os gdl da estrutura, com os 
deslocamentos e forças nodais associados, também é necessário que se defina os gdl da barra, 
com os seus respectivos deslocamentos e forças nodais. 
A Figura 2.3 mostra, para uma barra arbitrária de treliça plana, os seus quatro gdl, ou 
seja, os possíveis deslocamentos nodais 1
gd , 2
gd , 3
gd e 4
gd , assim como as respectivas forças 
nodais 1
gp , 2
gp , 3
gp e 4
gp , que podem ocorrer nas extremidades da barra. Estes deslocamentos e 
forças possuem a mesma orientação das forças e deslocamentos nodais da estrutura, os quais por 
sua vez, possuem a mesma orientação dos eixos do sistema de coordenadas globais ( , )g gx y , o 
qual é novamente indicado na figura. 
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Figura 2.3 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de treliça plana em relação ao sistema global de 
coordenadas. 
 
 Os gdl da barra são numerados de acordo com a seguinte sequência: primeiro numera-se 
os gdl do nó I e depois do nó J, considerando-se primeiro a direção gx e depois a direção gy . 
Os deslocamentos nodais 1
gd , 2
gd , 3
gd e 4
gd , e as respectivas forças nodais 1
gp , 2
gp , 3
gp 
e 4
gp podem ser agrupados nos seguintes vetores, para cada barra 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
{ } { }
g g
g g
g g
g g
g g
d p
d p
d p
d p
   
   
   
= =   
   
   
   
d p
 (1.2) 
onde { }gd é o vetor de deslocamentos nodais da barra e { }gp é o vetor de forças da barra, 
ambos em relação ao sistema global de coordenadas. Estes vetores são também simplesmente 
chamados de vetor de deslocamentos globais da barra, e vetor de forças globais da barra, 
respectivamente. 
 Cabe destacar que embora os quatro deslocamentos nodais 1
gd , 2
gd , 3
gd e 4
gd possam 
assumir valores independentes entre si, as forças nodais 1
gp , 2
gp , 3
gp e 4
gp precisam respeitar 
equilíbrio, e, portanto, não são independentes entre si. Pode-se pensar no sistema referente à 
barra isolada mostrada na Figura 2.3 como sendo um diagrama de corpo livre, havendo a 
necessidade que as forças nas extremidades satisfaçam a condição de equilíbrio. Além disso, 
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como em barras de treliças não há esforços cortantes, sabe-se que a resultante das forças que 
atuam nas seções da barra deve possuir a mesma direção do eixo da barra, dando origem apenas 
ao esforço normal. 
A Figura 2.4 mostra uma vista explodida da estrutura, com os gdl de todas as barras em 
relação ao sistema global de coordenadas. 
 
 
Figura 2.4 – Visto explodida da estrutura com graus de liberdade de todas as barras em relação ao sistema 
global de coordenadas. 
 
2.4. Graus de liberdade da barra referentes ao sistema local de coordenadas 
Além das componentes de força e deslocamentos nodais referentes ao sistema global de 
coordenadas, conforme mostrado na Figura 2.3, é conveniente se utilizar, por simplicidade, um 
sistema de coordenadas auxiliar, com um dos eixos alinhado com o eixo da barra, e o outro 
perpendicular ao eixo da mesma. Este sistema é usualmente denominado sistema local de 
coordenadas, ou sistema de coordenadas locais da barra. 
A Figura 2.5 mostra o sistema de coordenadas locais ( , )l lx y para uma barra arbitrária, 
com os respectivos deslocamentos nodais 1
ld , 2
ld , 3
ld e 4
ld , assim como as respectivas forças 
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nodais 1
lp , 2
lp , 3
lp e 4
lp . Observa-se que o eixo local lx é definido no sentido do nó I para o nó 
J da barra. 
 
 
Figura 2.5 – Graus de liberdade de uma barra arbitrária de treliça plana em relação ao sistema local de 
coordenadas. 
 
 Os gdl da barra em relação ao sistema local são numerados de forma análoga ao gdlreferentes ao sistema global, de acordo com a seguinte sequência: primeiro numera-se os gdl do 
nó I e depois do nó J, considerando-se primeiro a direção lx e depois a direção ly . 
Os deslocamentos nodais 1
ld , 2
ld , 3
ld e 4
ld , e as respectivas forças nodais 1
lp , 2
lp , 3
lp e 
4
lp podem ser agrupados nos seguintes vetores 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
{ } { }
l l
l l
l l
l l
l l
d p
d p
d p
d p
   
   
   
= =   
   
   
   
d p
 (1.3) 
onde { }ld é o vetor de deslocamentos nodais da barra e { }lp é o vetor de forças da barra, ambos 
em relação ao sistema local de coordenadas. Estes vetores são também simplesmente chamados 
de vetor de deslocamentos locais da barra, e vetor de forças locais da barra, respectivamente. 
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 Cabe destacar que embora os quatro deslocamentos 1
ld , 2
ld , 3
ld e 4
ld possam assumir 
valores independentes entre si, as forças 1
lp , 2
lp , 3
lp e 4
lp precisam respeitar o equilíbrio, e 
portanto não são independentes entre si. 
Além disso, como em barras de treliças não há esforços cortantes, tem-se que 
 
2 4
3 1
0l l
l l
p p
p p N
= =
= − = (1.4) 
onde N é o esforço normal da barra, sendo positivo no caso de tração e negativo no caso de 
compressão. 
A Figura 2.6 mostra uma vista explodida da estrutura, com os gdl de todas as barras em 
relação aos respectivos sistemas locais de coordenadas. 
 
 
 
Figura 2.6 – Vista explodida da estrutura com graus de liberdade das barras em relação ao sistema local 
de coordenadas. 
 
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2.5. Determinação do comprimento e orientação das barras 
A seguir, apresenta-se como se pode determinar o comprimento e a orientação de uma 
barra (elemento) el qualquer, a partir das coordenadas ( , )g gI Ix y e ( , )
g g
J Jx y dos seus nós I e J, 
respectivamente, conforme mostrado na Figura 2.7. 
 
 
Figura 2.7 – Parâmetros para determinação do comprimento e orientação de uma barra. 
 
Inicialmente, obtém-se as projeções gx∆ e gy∆ do eixo da barra em relação aos eixos 
( , )g gx y a partir das coordenadas dos seus nós ( , )g gI Ix y e ( , )
g g
J Jx y 
 
g g g
J I
g g g
J I
x x x
y y y
∆ = −
∆ = − (1.5) 
Conforme se justificará mais adiante, ressalta-se que nas equações acima deve-se 
respeitar o sinal resultante da subtração das coordenadas, seja ele negativo ou positivo. Ou seja, 
neste caso, as grandezas gx∆ e gy∆ não são distâncias no sentido mais comum do termo, já que 
distâncias são sempre positivas. Pode-se defini-las de forma mais correta como sendo as 
componentes vetorias de um vetor correspondente ao eixo da barra, podendo portanto, 
assumirem valores positivos ou negativos. 
O comprimento L da barra pode ser calculado, facilmente, a partir das projeções gx∆ e 
gy∆ , considerando o Teorema de Pitágoras, 
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 ( ) ( )
2 2
g gL x y= ∆ + ∆
 (1.6) 
A orientação da barra pode ser definida a partir das medidas do seno e cosseno do ângulo 
que o eixo lx da barra forma com o eixo gx da estrutura (ver Figura 2.7) 
 
cos
sen
g
g
x
L
y
L
θ
θ
∆
=
∆
=
 (1.7) 
Justifica-se portanto se preservar os sinais das projeções gx∆ e gy∆ (podendo estas 
assumir valores positivos ou negativos), dependendo da posição relativa dos nós I e J. Como o 
comprimento L é sempre positivo, conclui-se que as medidas do seno e cosseno podem ser 
negativas ou positivas, o que vai estabelecer a que quadrante refere-se o ângulo θ . 
 
2.6. Relação entre os vetores de força e deslocamento da barra referentes ao 
sistema local de coordenadas 
No método da Rigidez Direta, é necessário estabelecer a relação entre os vetores de 
forças e deslocamentos da barra referentes ao sistema local de coordenadas. 
Para isto, inicialmente, por simplicidade de interpretação da imagem, desenha-se a barra 
na posição horizontal, mostrando os gdl referentes ao sistema local (Figura 2.8). Posteriormente, 
considera-se que a barra esta sujeita aos quatro deslocamentos possíveis nas extremidades 
1 2 3 4, , ,
l l l ld d d d , conforme indica a Figura 2.9. 
 
 
Figura 2.8 – Barra desenhada com o seu eixo local lx alinhado com a direção horizontal. 
 
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Figura 2.9 – Barras na configuração indeformada e deformada, sujeita aos quatro deslocamentos nodais. 
 
Para tratar o problema com mais simplicidade, será utilizado o Princípio da Superposição 
dos Efeitos, o qual é válido para estruturas de material com comportamento linear-elástico (ou 
seja, com linearidade física), e sujeitas a pequenos deslocamentos (ou seja, com linearidade 
geométrica). 
Com base neste princípio, pode-se decompor o campo de deslocamentos, correspondente 
aos quatro deslocamentos nodais 1 2 3 4, , ,
l l l ld d d d atuando simultaneamente (caso original), em 
quatro modos de deformação independentes com cada deslocamento nodal atuando 
separadamente (casos 1, 2, 3 e 4), conforme indica a Figura 2.10. 
 
 
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Figura 2.10 – Decomposição dos deslocamentos nodais de acordo com o princípio da superposição dos 
efeitos. 
 
Com base no princípio da superposição dos efeitos, os resultados (deslocamentos, 
esforços, deformações, e tensões) referentes ao caso original (campo com os quatro 
deslocamentos atuando simultaneamente) são iguais à soma dos respectivos resultados de cada 
caso tratado separadamente. 
A Figura 2.11 mostra as forças que atuam nas extremidades da barra associadas a cada 
um dos quatro deslocamentos nodais impostos. 
 
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Figura 2.11 – Forças atuantes nas extremidades da barra, associadas a cada um dos quatro deslocamentos 
nodais impostos . 
 
A relação entre forças e deslocamentos axiais em uma barra sujeita a esforço axial, pode 
ser obtida facilmente através de equações básicas da disciplina Resistência dos Materiais 
 
N Aσ=
 (1.8) 
 
Eσ ε=
 (1.9) 
 
L
L
ε
∆
=
 (1.10) 
onde σ é tensão normal na seção, ε é a deformação normal específica, e L∆ é o alongamento 
da barra. 
 Se observa nas equações acima, três tipos de relações distintas, a saber: a Eq. (1.8) 
corresponde a uma relação estática (notar que ambos os lados da equação tem unidade de força, 
sendo portanto uma equação de equilíbrio); a Eq. (1.9) corresponde a uma relação constitutiva do 
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material (relação entre tensão e deformação, e que define o comportamento do material); e a 
Eq. (1.10) corresponde a uma relação cinemática(associada ao “movimento” da barra, sendo 
portanto uma equação de compatibilidade de deslocamentos). 
Em geral, todo o problema da análise estrutural pode ser resolvido classificando-se as 
equações governantes do problema nestes três tipos de relações fundamentais (estática, 
constitutiva e cinemática). 
Substituindo a Eq. (1.10) na Eq. (1.9) e o resultado na Eq. (1.8), tem-se que 
 
EA
N L
L
= ∆
 (1.11) 
o que estabelece a relação entre o esforço axial e o alongamento da barra. O coeficiente 
EA
L
 
corresponde à rigidez axial da barra. Com isto, tem-se, por exemplo, que a força 1
lp que surge 
na extremidade da barra quando se aplica um deslocamento 1
ld , com os demais deslocamentos 
nulos é (ver Figura 2.11) 
 
(1)
1 1
l lEAp d
L
=
 (1.12) 
Observa-se também que devido a hipótese de pequenos deslocamentos e deformações, 
considera-se que pequenos deslocamentos perpendiculares ao eixo da barra, não causam 
alongamento ou encurtamento da mesma, e por esta razão, também não causam deformações, 
nem tensões, nem esforços. Por isto, tem-se, por exemplo, que (ver Figura 2.11) 
 
(2)
1 2
(2)
2 2
0 0
0 0
l l
l l
p d
p d
= =
= = (1.13) 
Com base no princípio da superposição dos efeitos, as forças que atuam no caso original 
são iguais ao respectivo somatório das forças que atuam em cada um dos quatro casos mostrados 
na Figura 2.11 
 
(1) (2) (3) (4)
1 1 1 1 1
(1) (2) (3) (4)
2 2 2 2 2
(1) (2) (3) (4)
3 3 3 3 3
(1) (2) (3) (4)
4 4 4 4 4
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
= + + +
= + + +
= + + +
= + + +
 (1.14) 
 Substituindo os valores das forças associadas a cada caso mostradas na Figura 2.11, tem-
se 
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1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
l l l l l
l l l l l
l l l l l
l l l l l
EA EA
p d d d d
L L
p d d d d
EA EA
p d d d d
L L
p d d d d
= + − +
= + + +
= − + + +
= + + +
 (1.15) 
Reescrevendo a Eq. (1.15) na forma matricial, chega-se a 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
l l
l l
l l
l l
EA EA
p dL L
p d
EA EAp d
L L
p d
 −    
    
    =       −        
  
 (1.16) 
ou seja, 
 
{ } [ ]{ }l l l=p k d
 (1.17) 
onde 
 
0 0
0 0 0 0
[ ]
0 0
0 0 0 0
l
EA EA
L L
EA EA
L L
 − 
 
 =
 
− 
 
  
k
 (1.18) 
é a matriz de rigidez da barra de treliça plana, em relação ao sistema local de coordenadas. Esta 
matriz também é comumente chamada, de forma mais abreviada, de matriz de rigidez local da 
barra. 
 É importante se investigar o significado físico de cada componente ,
l
i jk da matriz de 
rigidez local da barra. Para isto, deve-se inicialmente reescrever a Eq. (1.16) em uma forma mais 
geral 
 
1,1 1,2 1,3 1,41 1
2,1 2,2 2,3 2,42 2
3,1 3,2 3,3 3,43 3
4,1 4,2 4,3 4,44 4
l l l ll l
l l l ll l
l l l ll l
l l l ll l
k k k kp d
k k k kp d
k k k kp d
k k k kp d
    
    
    
=    
    
    
    
 (1.19) 
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 Considera-se agora uma situação particular em que apenas um dos quatro deslocamentos 
nodais 1 2 3 4, , ,
l l l ld d d d seja igual a 1, e os demais sejam nulos. Por exemplo, suponha-se que 3 1
ld = 
e que 1 2 4 0
l l ld d d= = = . Neste caso, as forças nodais são definidas como (3) (3) (3) (3)1 2 3 4, , ,
l l l lp p p p , 
já que o 3o gdl corresponde ao deslocamento não nulo (denota-se, de agora em diante, este caso 
como sendo o caso 3). Nesta situação, por exemplo, a Eq. (1.19) ficaria 
 
(3)
1,1 1,2 1,3 1,41
(3)
2,1 2,2 2,3 2,42
(3)
3,1 3,2 3,3 3,43
(3)
4,1 4,2 4,3 4,44
0
0
1
0
l l l ll
l l l ll
l l l ll
l l l ll
k k k kp
k k k kp
k k k kp
k k k kp
            
=    
    
         
 (1.20) 
Desenvolvendo o produto matricial, para este caso particular, chega-se a 
 
(3)
1,31
(3)
2,32
(3)
3,33
(3)
4,34
ll
ll
ll
ll
kp
kp
kp
kp
  
  
  
=   
   
   
   
 (1.21) 
ou, de forma mais compacta, 
 
(3)
,3, 1,2, ,4
l l
i ip k i= = L (1.22) 
 Extendendo este caso, denominado caso 3, para os demais gdl, por analogia, chegaria-se 
as seguintes equações 
 
(1)
,1
(2)
,2
(3)
,3
(4)
,4
, 1,2, ,4l li i
l l
i i
l l
i i
l l
i i
p k i
p k
p k
p k
= =
=
=
=
L
 (1.23) 
as quais podem ser escritas de forma compacta como 
 
( )
, , 1,2, ,4, 1,2, ,4,
l j l
i i jp k i j= = =L L (1.24) 
da onde se tira a interpretação física de cada componente da matriz de rigidez local da barra: a 
componente ,
l
i jk corresponde a força 
( )l j
ip que surge no gdl local i da barra devido a um 
deslocamento unitário imposto no gdl local j da barra (caso j) enquanto todos os demais 
deslocamentos locais são mantidos nulos. 
É importante destacar também que a matriz de rigidez da barra é simétrica, ou seja 
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T
, ,
[ ] [ ]l l
l l
i j j ik k
=
=
k k
 (1.25) 
A propriedade de simetria desta matriz pode ser demonstrada a partir do Princípio dos 
Trabalhos Virtuais. 
 
2.7. Transformação entre os vetores referentes aos sistemas local e global 
Considera-se um vetor qualquer u
r
 que pode ser decomposto em relação a dois sistemas 
distintos de coordenadas, quais sejam, um sistema local ( , )l lx y e um sistema global ( , )g gx y , 
formando um ângulo θ entre eles, conforme indica a Figura 2.12. 
 
 
Figura 2.12 – Componentes de um vetor em relação a dois sistemas de coordenadas cartesianas. 
 
As componentes do vetor u
r
 podem ser expressas como 
 
{ } { }
l g
x xl g
l g
y y
u u
u u
      = =   
      
u u
 (1.26) 
É importante estabelecer a relação existente entre estes dois vetores. Para isto, procede-se 
como segue. 
De acordo com a Figura 2.12 tem-se que 
 
cos
sen
g
x
g
y
u u
u u
α
α
=
= (1.27) 
e 
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cos
sen
l
x
l
y
u u
u u
β
β
=
= (1.28) 
onde u é a norma (módulo) do vetor u
r
. Como 
 
β α θ= −
 (1.29) 
tem-se que 
 
cos
cos( )
cos cos( ) sen sen( )
cos cos sen sen
sen
sen( )
cos sen( ) sen cos( )
cos sen sen cos
l
x
l
y
u u
u
u u
u u
u u
u
u u
u u
β
α θ
α θ α θ
α θ α θ
β
α θ
α θ α θ
α θ α θ
=
= −
= − − −
= +
=
= −
= − + −
= − +
 (1.30) 
 Substituindo as Eqs. (1.27) nas Eqs. (1.30), chega-se a 
 
cos sen
sen cos
l g g
x x y
l g g
y x y
u u u
u u u
θ θ
θ θ
= +
= − + (1.31) 
Reescrevendo esta equação na forma matricial, tem-se 
 
cos sen
sen cos
l g
x x
l g
y y
u u
u uθ θ
θ θ
       
=    −       
 (1.32) 
ou, ainda, de forma mais compacta 
 
{ } [ ]{ }l g=u r u
 (1.33) 
onde 
 
cos sen
[ ]
sen cos
θ θ
θ θ
 
=  − 
r
 (1.34) 
é a matriz de rotação no plano, a qual serve para transformar as componentes de um vetor em 
relação aos sistema global de coordenadas nas componentes em relação ao sistema local. 
Uma propriedade muito importante desta matriz é que ela é ortogonal, o que significa que 
as colunas desta matriz representam vetores ortogonais entre si. Da mesma forma as linhas desta 
matriz também formam vetores ortogonais entre si. 
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Considerando-se que o produto escalar entre vetores ortogonais é igual a zero, e que o 
produto escalar entre vetores colineares unitários é igual a um, chega-se a 
 
T T[ ][ ] [ ] [ ] [ ]= =r r r r I
 (1.35) 
onde [ ]I é a matriz identidade. Assim, 
 
1 T[ ] [ ]− =r r
 (1.36) 
O que significa que a inversa da matriz de rotação é igual a sua matriz transposta. 
Deve-se lembrar que os deslocamentos 1 2( , )
l ld d e 1 2( , )
g gd d são, respectivamente, as 
componentes em relação ao sistema local e global de coordenadas, de um vetor de 
deslocamentos que ocorrem no nó I da barra. Assim, analogamente ao que foi considerado para o 
vetor u
r
, através das Eqs. (1.31), tem-se que 
 
1 1 2
2 1 2
cos sen
sen cos
l g g
l g g
d d d
d d d
θ θ
θ θ
= +
= − + (1.37) 
Da mesma forma, tem-se para o nó J 
 
3 3 4
4 3 4
cos sen
sen cos
l g g
l g g
d d d
d d d
θ θ
θ θ
= +
= − + (1.38) 
Agrupando as Eqs. (1.37) e (1.38) em um único sistema de quatro equações, tem-se 
 
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
cos sen 0 0
sen cos 0 0
0 0 cos sen
0 0 sen cos
l g g g g
l g g g g
l g g g g
l g g g g
d d d d d
d d d d d
d d d d d
p d d d d
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
= + + +
= − + + +
= + + +
= + − +
 (1.39) 
Reescrevendo estas equações na forma matricial, chega-se a 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
cos sen 0 0
sen cos 0 0
0 0 cos sen
0 0 sen cos
l g
l g
l g
l g
d d
d d
d d
d d
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
        −    =           −    
 (1.40) 
ou seja, 
 
{ } [ ]{ }l g=d R d
 (1.41) 
onde, 
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cos sen 0 0
sen cos 0 0
[ ]
0 0 cos sen
0 0 sen cos
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
 
 − =
 
 − 
R
 (1.42) 
é a matriz de rotação da barra. Pode-se verificar facilmente que esta matriz também é ortogonal. 
Ou seja 
 
T T[ ][ ] [ ] [ ] [ ]= =R R R R I
 (1.43) 
Observa-se que os mesmos desenvolvimentos expostos para o vetor de deslocamentos 
também são válidos para o vetor de forças. Ou seja, 
 
{ } [ ]{ }l g=p R p
 (1.44) 
 Multiplicando-se ambos os lados da equação acima por T[ ]R , tem-se que 
 
T T[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ } { }l g g g= = =R p R R p I p p
 (1.45) 
ou seja, 
 
T{ } [ ] { }g l=p R p
 (1.46) 
 
2.8. Relação entre os vetores de forças e deslocamentos da barra referentes ao 
sistema global de coordenadas 
A relação entre os vetores de força e deslocamentos referentes ao sistema global de 
coordenadas pode ser obtida a partir das Eqs. (1.46), (1.17), (1.41) e, repetidas abaixo por 
conveniência 
 
T{ } [ ] { }g l=p R p
 (1.47) 
 
{ } [ ]{ }l l l=p k d
 (1.48) 
 
{ } [ ]{ }l g=d R d
 (1.49) 
Observa-se que, de forma mais geral, as três equações acima também podem ser 
classificadas nos três tipos de relações fundamentais da análise estrutural: a Eq. (1.47) 
corresponde a uma relação estática (equação de equilíbrio de forças dos nós); a Eq. (1.48) 
corresponde a uma relação constitutiva ao nível do elemento (dependente do material e das 
propriedades da seção da barra); e a Eq. (1.49) corresponde a uma relação cinemática (equação 
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de compatibilidade de deslocamentos dos nós). Em geral todo problema de análise estrutural 
pode ser dividido neste três tipos de relações fundamentais (estática, constitutiva e cinemática). 
Substituindo a Eq. (1.49) na Eq. (1.48), tem-se que 
 
{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }l l l l g= =p k d k R d
 (1.50) 
Substituindo a Eq. (1.50) na Eq. (1.47), tem-se que 
 
T T{ } [ ]{ } [ ][ ][ ]{ }g l l g= =p R p R k R d
 (1.51) 
ou seja, 
 
{ } [ ]{ }g g g=p k d
 (1.52) 
onde 
 
T[ ] [ ] [ ][ ]g l=k R k R
 (1.53) 
é a matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas, ou simplesmente, 
matriz de rigidez global da barra. 
 Como [ ]lk é uma matriz simétrica, pode-se verificar que [ ]gk também é simétrica. A 
partir da regra da transposição do produto de matrizes, tem-se para três matrizes quaisquer [ ]A , 
[ ]B , e [ ]C 
 
( )
( )
T T T
T T T T
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
A B B A
A B C C B A
 (1.54) 
Assim, transpondo-se os dois lados da Eq. (1.53), e considerando-se a segunda das Eqs. 
(1.54), tem-se que 
 ( ) ( )[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
T T
g T T l T l T T T l g= = = =k R k R R k R R k R k
 (1.55) 
logo, como 
 
[ ] [ ]g T g=k k
 (1.56) 
Conclui-se que [ ]gk é uma matriz simétrica, o que pode ser comprovado facilmente 
através de exemplos numéricos. 
 A interpretação do sentido físico de cada componente da matriz de rigidez global da barra 
é similar ao da matriz de rigidez local, o que pode ser verificado usando a mesma metodologia 
de se “impor” deslocamentos unitários em cada gdl da barra mantendo-se os demais nulos. Uma 
maneira geral de se comprovar isto é rescrevendo a Eq. (1.52) na forma expandida 
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1,1 1,2 1,3 1,41 1
2,1 2,2 2,3 2,42 2
3,1 3,2 3,3 3,43 3
4,1 4,2 4,3 4,44 4
g g g gg g
g g g gg g
g g g gg g
g g g gg g
k k k kp d
k k k kp d
k k k kp d
k k k kp d
    
    
    
=    
    
    
    
 (1.57) 
ou seja, 
 
4
1 1,1 1 1,2 2 1,3 3 1,4 4 1,
1
4
2 2,1 1 2,2 2 2,3 3 2,4 4 2,
1
4
3 3,1 1 3,2 2 3,3 3 3,4 4 3,
1
4 4,1 1 4,2 2 4,3 3 4,4 4
g g g g g g g g g g g
j j
j
g g g g g g g g g g g
j j
j
g g g g g g g g g g g
j j
j
g g g g g g g g g
p k d k d k d k d k d
p k d k d k d k d k d
p k d k d k d k d k d
p k d k d k d k d k
=
=
=
= + + + =
= + + + =
= + + + =
= + + + =
∑
∑
∑
4
4,
1
g g
j j
j
d
=
∑
 (1.58) 
ou ainda, de forma, mais geral 
 
4
,
1
, 1, 2, , 4g g gi i j j
j
p k d i
=
= =∑ L (1.59) 
 Considera-se agora um vetor de deslocamentos referente a um caso “k” com apenas a k-
ésima componente unitária e as demais sendo nulas, de modo que 
 
( ) 1 se para 1, 2, , 4 e 1,2, ,4
0 se
g k
j
k j
d j k
k j
=
= = =
≠
L L (1.60) 
tal que a Eq. (1.59) seja particularizada para 
 
4
( ) ( )
,
1
g k g g k
i i j j
j
p k d
=
= ∑ (1.61) 
assim, considerando a condição (1.60), tem-se que 
 
( ) ,
,
se
0 se
g
g g k i k