Trabalho de Dinâmica

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Universidade Federal do Pará 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
Análise Dinâmica de um pórtico plano 
 
 
 
Diego Kaleu Araújo Barreto Nº 07019004601 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belém – PA 
2013 
Trabalho apresentado em 
cumprimentos às exigências da 
disciplina Introdução à dinâmica das 
estruturas do curso de bacharelado em 
Engenharia civil ministrada pelo 
professora Regina Augusta C. 
Sampaio. 
INTRODUÇÃO: 
O objetivo da disciplina foi apresentar métodos para analisar tensões e deformações 
em um dado tipo de estrutura quando ela é submetida a uma carga dinâmica arbitrária. De 
certa forma, esse objetivo pode ser considerado uma extensão de métodos padrões de análise 
estrutural, na qual geralmente é concebida com cargas estáticas apenas, permitir a 
consideração de carregamento dinâmico, avaliando o histórico de deformações ao longo do 
tempo dado uma estrutura sujeita a um dado carregamento que varia no tempo. 
De posse dos conhecimentos adquiridos, o trabalho se focará em solucionar o 
problema proposto e mediante a cada situação mostrar algumas deduções gerais. 
PROBLEMA: 
 
 
Figura 1 - Modelo em perspectiva (representativo)
Considere o pórtico plano mostrado na figura abaixo submetido a uma solicitação 
lateral representada pelo vetor {X1, X2} f(t). Cada andar tem 490 mm de altura sendo as 
colunas de alumínio, com seção transversal de 2x108mm. A massa total da estrutura é de 
4,259Kg, onde a massa do primeiro andar é de 1,662kg e cada coluna tem massa de 0.227 kg. 
Para este sistema estrutural pede-se: 
 
 
 
 
 
Figura 2 - Pórtico com colunas de alumínio
1- Deduzir as equações de movimento, considerando as forças mostradas na figura. 
2- Calcular as frequências naturais e modos de vibração. Como poderiam ser reduzidas as 
frequências naturais modificando-se os parâmetros dos sistemas? 
3 - Considere que o amortecimento é de 0,02 para o primeiro modo e de 0,055 para o segundo 
modo. Qual a influência deste amortecimento nas frequências naturais do sistema? 
4 - Considere uma força aplicada em m1 para desvia-la de uma unidade, e o sistema é solto 
desta posição. Determinar a equação de deslocamento de cada massa, utilizando-se o método 
de superposição modal. Quando ocorrem e quais os valores máximos de deslocamento de 
cada massa? 
5 - Como poderia este problema ser analisado usando-se o método de integração direta? Que 
vantagem se teria com a aplicação deste método quando comparado ao método de 
superposição modal? 
SOLUÇÃO: 
1) 
 
 
Figura 3 - Pórtico sob a atuação das cargas (desenho representativo).
Na figura 2, observamos que a massa é distribuída por todo o prédio. No entanto, será 
idealizada como concentrada no nível do piso de cada pavimento (figura 3). 
 
Dedução da equação de movimento: 
     
    
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1 2 2 1
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 2
. 1
2
Para (1) temos:
( ) ( )
( ) (
x
x
F m v x c v v k v v c v k v
F m v x c v v k v v
m v c v v k v v c v k v x
m v c v c v k v k v c v k v x
m v c c v k k
       
     
      
      
   


   
  
   
   
 
1 2 2 2 2 1
2 2 2 2 1 2 2 1 2
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2
1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
1
2
)
Para (2) temos:
( ) ( )
Logo:
( ) ( )
Na forma matricial:
v c v k v x
m v c v v k v v x
m v c v c v k v k v x
m v c c v c v k k v k v x
m v c v c v k v k v x
x
x
  
    
    
      
    
 
 


  
  
  
  
             
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
0
0
m v c c c v k k k v
m v c c v k k v
x m v c v k v
              
                            
     
 
 
 
 
 
Dados de entrada: mc 0.227kg:=
E 70 10
2

kgf
mm
2
68.647 GPa=:= mtot 4259kg:=
m1 1662kg:=
m1 m2+ 4 mc+ mtot= solve m2, 2596.092 kg
m2 2596.092kg:=
Seção da coluna:
b 0.2cm:=
h 10.8cm:=
I
b h
3

12
20.995 cm
4
=:=
Ic I:=
Ic 20.995 cm
4
=
H 490cm:=
Rigidez da barra:
k 2
12 E Ic
H
3
 2.94
kN
m
=:=
Matriz de massa:
M
m1
0
0
m2




:=
M
1.662 10
3

0
0
2.596 10
3









kg=
Matriz de Rigidez:
K
k k+
k-
k-
k






:=
K
5.88
2.94-
2.94-
2.94






kN
m
=
Obtenção das frequências naturais e formas modais:
K ω2 M- 0=
ω2
genvals K M, ( )
4.193
0.478






1
s
2
=
ω genvals K M, ( ):=
ω
2.048
0.691






1
s
=
Frequências Natruais
ω2
4.193
0.478






1
s
2
=
ω1 ω2 1, 0.691
1
s
=:=
ω2 ω1 1, 2.048
1
s
=:=
Matriz modal - Al tos vetores
genvecs K M, ( )
1
0.37-
0.578
1






= Matriz modal
Φ genvecs K M, ( ):=
Φ
1
0.37-
0.578
1






=
ϕ1 Φ
1 
:=
ϕ1
1
0.37-






= Modo de vibração 1
ϕ2 Φ
2 
:=
ϕ2
0.578
1






= Modo de vibração 2
Modos Normalizados em relação a Matriz de massa:
Modo 1:
Verificação da ortogonal idade:
mm1 ϕ1
T
M ϕ1:= massa modal 1
ϕ1
T
M ϕ2 0 kg=
mm1 2.018 10
3
 kg=
ϕ1
T
K ϕ2 0
kN
m
=
ϕ1n
ϕ1
mm1
:= autovetor normalizado
ϕ1n
0.022
0.008-






1
kg
=
Modo 2:
mm2 ϕ2
T
M ϕ2:= massa modal 2
mm2 3.151 10
3
 kg=
ϕ2n
ϕ2
mm2
:= autovetor normalizado
ϕ2n
0.01
0.018






1
kg
=
Φn
ϕ1n1 1, 
ϕ1n
2 1, 
ϕ2n1 1, 
ϕ2n
2 1, 








0.022
0.008-
0.01
0.018






1
kg
0.5
=:=
Φn
T
M Φn
1
0
0
1






= Matriz identidade
Φn
T
K Φn
4.193
0
0
0.478






1
s
2
= Matriz espectral ω2
4.193
0.478






1
s
2
=
Mn
0
0
0
0






:=
Mn
1 1, 
mm1:=
Mn
2 2, 
mm2:=
Mn
2.018 10
3

0
0
3.151 10
3









kg= ou ΦT M Φ
2.018 10
3

1.137 10
13-

1.137 10
13-

3.151 10
3









kg=
As frequências estão intimamente ligadas com a rigidez da estrutura
e sua massa. Assim, se aumentarmos a seção das colunas, não só
aumentaremos a rigidez e sim a massa da estrutura como um todo,
mantendo, envidentemente, os mesmos módulos de elasticidade
bem como a altura da coluna.
Para a redução das frequências naturais é conveniente aumentarmos
a rigidez mantendo ou diminuindo a massa da estrutura. Para isso,
será preciso mudar de material (módulo de elasticidade) ou
diminuirmos a altura da coluna.
Faltando as condições iniciais
Questão 3:
v0 0:=ξ1 0.02:=
v'0 0:=ξ2 0.055:=
ωd1 ω1 1 ξ1
2
- 0.691
1
s
=:= ω1 0.691
1
s
=
ωd2 ω2 1 ξ2
2
- 2.045
1
s
=:= ω2 2.048
1
s
=
v1 t( ) e
ξ1- ω1 t
v0 cos ωd1 t( )
v'0 ξ1 ω1 v0+
ωd1






sin ωd1 t( )+






:=
v2 t( ) e
ξ2- ω2 t
v0 cos ωd2 t( )
v'0 ξ2 ω2 v0+
ωd2






sin ωd2 t( )+






:=
Os amortecimentos não causaram nenhuma influênciasobre as
frequências naturais.
Questão 4:
Para realização dos cálculos a seguir, optou-se por não ul tilizar as unidade das grandezas. No
entanto, elas foram atribuidas anteriormente.
M
1.662 10
3

0
0
2.596 10
3









:= Matriz de massa Φ
1
0.37-
0.578
1






=
Mn
2.018 10
3

0
0
3.151 10
3









:= Matriz de massa normalizada
Condições iniciais:
v0
1
0






:= Imposição de uma força capaz de provocar deslocamento unitário na massa 1.
ω1 0.691:=
v'
0
0






:= ω2 2.048:=
Para o modo 1:
Y Mn
1- ΦT M v0
0.824
0.305






=:=
Para o modo 2:
Tempo para que a função tenha o valor
máximo:
Y' Mn
1- ΦT M v'
0
0






=:=
t1 0:= t2 0:=Logo:
Y1 t( )
Y'
1 1, 
ω1
sin ω1 t( ) Y1 1, cos ω1 t( )+:= Ymax1
Y'
1 1, 
ω1
sin ω1 t1( ) Y1 1, cos ω1 t1( )+ 0.824=:=
Ymax2
Y'
2 1, 
ω2
sin ω2 t2( ) Y2 1, cos ω2 t2( )+ 0.305=:=Y2 t( )
Y'
2 1, 
ω2
sin ω2 t( ) Y2 1, cos ω2 t( )+:=
0 2 4 6 8 10
1-
0.5-
0
0.5
1
1-
0.5-
0
0.5
1
Y1 t( )
Y2 t( )
0.305
0.824
0
t
Deslocamento:
Y t( )
Y1 t( )
Y2 t( )




:=
Φ
1
0.37-
0.578
1






:=
v t( ) Φ Y t( ):=
Equação de deslocamento de cada massa
v t( ) simplify
0.82358771060455915 cos 0.691 t( ) 0.17623540070394404938 cos 2.048 t( )+
0.30490553755007621 cos 2.048 t( ) 0.3047274529236868855 cos 0.691 t( )-







 +:=
v1 t( ) 0.82358771060455915 cos 0.691 t( ) 0.17623540070394404938 cos 2.048 t( )+:=
v2 t( ) 0.30490553755007621 cos 2.048 t( ):= 0.3047274529236868855 cos 0.691 t( )-
0 2 4 6 8 10
2-
1-
0
1
2
.999-
1
v1 t( )
v2 t( )
4.546 9.093
t
Valores Máximos:
Tempo para que a função tenha o valor
máximo:ω1 0.691=
ω2 2.048= t1
2π
ω1
9.093=:= t2
2π
ω2
3.068=:=
ω1 ω2
vmax1 0.82358771060455915 cos 0.691 t1( ) 0.17623540070394404938 cos 2.048 t2( )+:=
vmax1 1= ω2 ω1
vmax2 0.30490553755007621 cos 2.048 t2( ) 0.3047274529236868855 cos 0.691 t1( )-:=
vmax2 1.781 10
4-
=
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