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A´LGEBRA LINEAR - AL22G - 01/2016 Professor: Geovani Raulino Gabarito lista de exerc´ıcios 1 - Matrizes 1. A + B = 2 84 −2 7 −2 , A−B = −4 82 −2 7 2 , 2.A− 3.B = −11 163 −4 14 6 e (−4).A + 3.B = 13 −32−9 8 −28 −6 . 2. c21 + c22 + c23 = 42. 3. X = [ 0 −4 0 5 ] 4. x = 3 e y = −2. 5. . (a) A + B = [ −1 2 4 5 1 0 ] (b) (A + B).C = [ 21 −3 ] (c) D.A + D.B = [ −7 3 8 ] (d) C.D −2 14 −2 8 −4 (e) (4.A− 3.B).C = [ 42 −19 ] (f) D.(2.A + 4.B) = [ −28 6 18 ] 6. (a) A.B = −11 −1 11 −13 9 11 −23 −18 −17 13 −3 −61 59 33 −97 −8 ; (b) A.C = 8 −6 3 17 26 8 −17 65 ; (c) A.(B.D) = −29 −104 41 130 −206 −25 −227 −51 −373 −318 −213 280 −468 259 −745 −547 ; (d) At = [ 1 3 7 5 −2 1 −4 9 ] e Bt = 1 6 3 2 −5 −8 −7 3 ; (e) C.C = [ −8 28 −21 13 ] ; (f) (B.A)t = [ −60 −29 −42 49 ] . 1 7. (a) At = 2 35 1 −1 4 e Bt = [ 1 6 4 3 ] . (b) A.Bt na˜o e´ poss´ıvel e Bt.A = [ 20 11 23 17 23 8 ] . 8. x = 2. 9. . (a) Verdadeiro. (A + B)t = At + Bt = Bt + At. (b) Falso. Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o A = At e B = Bt. Assim, A.B = At.Bt = (B.A)t .Tome, por exemplo, as matrizes A = [ 1 3 3 0 ] e B = [ 2 1 1 0 ] , calcule os produtos e observe que estes produtos sa˜o diferentes. (c) Falso. Tome as matrizes A = [ 0 1 0 1 ] e B = [ 0 1 0 0 ] . Calculando os produtos observe que A.B = [ 0 0 0 0 ] , pore´m B.A = [ 0 1 0 0 ] 6= [ 0 0 0 0 ] (d) Verdadeiro. So´ podemos efetuar o produto se o nu´mero de colunas da primeira e´ igual ao nu´mero de linhas da segunda. Para efetuarmos A.A devemos ter que o nu´mero de colunas de A seja igual ao nu´mero de linhas de A, ou seja, somente podemos efetuar este produto se A for uma matriz quadrada. 10. Calcule os produtos A.B = A.C e verifique se sa˜o iguais. 11. . (a) Calcule os produtos e verifique as igualdades; (b) Usando a letra a verifique as igualdades. 2
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