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1a Lista : Relac¸o˜es: Equivaleˆncia e Ordem. Disciplina: Aritme´tica e A´lgebra (04/fev./2011). 1. Sejam A e B conjuntos na˜o vazios, quaisquer. O produto cartesiano A×B e´ comutativo? Isto e´, A×B = B ×A? 2. Sejam R uma relac¸a˜o de equivaleˆncia sobre A e x, y ∈ A. Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: (a) xRy; (b) x ∈ y; (c) y ∈ x; (d) x = y 3. Se F e´ uma partic¸a˜o de um conjunto A, mostre que existe uma relac¸a˜o R de equivaleˆncia sobre A de modo que A∼R = F . 4. Determinar todas as relac¸o˜es bina´rias sobre o conjunto A = {a, b}. Quais sa˜o Reflexivas? E Sime´tricas? E Transitivas? E Anti-sime´tricas? 5. SejaA = {1, 2, 3}. Quais das seguintes relac¸o˜es em A sa˜o Reflexivas? E Sime´tricas? E Transitivas? E Anti-sime´tricas?Justifique. (a) R1 = {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}; (b) R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}; (c) R3 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 1)}; (d) R4 = A×A; (e) R5 = ∅. 6. Construir sobre A = {a, b, c, d} relac¸o˜esR1, R2, R3 eR4 tais queR1 so´ tem a propriedade reflexiva, R2 so´ tem a propriedade sime´trica, R3 so´ tem a propriedade transitiva e R4 so´ tem a propriedade anti-sime´trica. Justifique. 7. Pode uma relac¸a˜o sobre um conjunto A 6= ∅ ser sime´trica e anti-sime´trica? Pode uma relac¸a˜o sobre A na˜o ser sime´trica e nem anti-sime´trica? Justifique. 8. Quais das relac¸o˜es abaixo sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia sobre A = {a, b, c}? (a) R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}; (b) R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)}; (c) R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)}; (d) R4 = A×A; (e) R5 = ∅. 9. A relac¸a˜o R sobre N× N tal que (x, y)R(z, t)⇔ x+ y = z + t, e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia? 10. A relac¸a˜o S sobre Z× {Z− {0}} tal que (x, y)R(z, t)⇔ xt = yz, e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia? 11. Sejam A = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} e R = {(x, y) ∈ A2 : x + |x| = y + |y|}. Mostrar que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e descrever A ∼R . 12. Seja R a relac¸a˜o sobre Q definida da seguinte forma xRy ⇔ x− y ∈ Z. Mostre que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e descreva as classes de equivaleˆncia 0 e 1. 13. Verifique se as seguintes relac¸o˜es sa˜o de Ordem Parcial. Em caso afirmativo, verifique se e´ uma Relac¸a˜o de Ordem Total. (a) A = {a, b, c}, com R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}; (b) A = N, com R definida por ∀x, y ∈ N, xRy ⇔ x|y (x divide y). 1
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