Aulas_-_Lógica_Proposicional

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Prof. Sérgio Gorender Lógica 
Lógica proposicional – 
 Origem – 
 trabalhos de Boole (álgebra Booleana). 
 Frege – Begriffsschrift. 
 Trata com objetos simples mas não com 
propriedades destes objetos. 
 Proposição – todo conjunto de palavras ou símbolos 
que exprimem um pensamento de sentido completo. 
Sentenças declarativas. 
 Exemplo: 
Vasco da Gama descobriu o Brasil. (falso) 
Salvador é a capital da Bahia. (verdadeiro) 
Sérgio é um professor. (verdadeiro) 
52 – 42 = 10. (falso) 
5 < 3. (falso) – igual a 3 > 5 
 Na lógica proposicional existem proposições 
simples (atômicas) e proposições compostas 
(moleculares): 
 Proposição simples – 
 Não contém nenhuma outra proposição como 
parte integrante de si mesma. 
 Também chamada de átomo. 
 São representadas por letras do final do alfabeto 
– P, Q, R, P1, P2,... . 
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 Proposições compostas – 
 Construídas a partir da composição de duas ou 
mais proposições. 
 Também chamadas de moléculas. 
 A composição de proposições utiliza os 
conectivos lógicos. 
 Representadas por letras do início do alfabeto – 
A, B, C, A1, A2, ... . 
 Exemplo: 
P ou Q 
Se P então Q 
Não P 
Não a 
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 Sintaxe da lógica proposicional – 
 Sentenças – nomes tirados de um conjunto de 
símbolos proposicionais. 
 Alfabeto proposicional A – 
• Símbolos Lógicos: 
• Pontuação – ( , ) 
• Conectivos lógicos – 
♦ Equivalência (bicondicional)– “se somente 
se”- ↔ (ou ≡) 
♦ Implicação (condicional) - “se ... então ...”, 
“implica” - → (ou ⊃) 
♦ Conjunção – “e” - ∧ (ou &) 
♦ Disjunção – “ou” - ∨ 
♦ Negação - “não” - ¬ (ou ∼). 
 Símbolos não-lógicos: 
• Conjunto enumerável P de símbolos 
proposicionais. 
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 Fórmulas proposicionais – 
 Todo símbolo proposicional de A é uma 
fórmula sobre A. 
 Se P e Q são fórmulas sobre A, então (~P), (P ∧ 
Q), (P ∨ Q), (P → Q) e (P ≡ Q) também são 
fórmulas sobre A. 
 Sub-fórmulas – Q é uma sub-fórmula de P se Q é 
uma fórmula, e é uma sub-cadeia de P. 
 Linguagem proposicional – o conjunto de 
fórmulas proposicionais sobre um alfabeto 
proposicional A – L(A). 
 Tamanho de formulas – um número inteiro 
positivo, tal que: 
 |P| = 1 para toda fórmula atômica P ∈ L(A); 
 |¬A| = 1 + |A|; 
 |A°B| = 1 + |A| + |B|, para ° ∈ {∧, ∨, →, ↔}. 
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 Semântica da lógica proposicional – 
 Valores verdade – falso ou verdadeiro – F ou V. 
 Significado de uma fórmula – depende de uma 
atribuição de valores-verdade, para os símbolos 
proposicionais da linguagem. 
 Toda proposição simples (atômica) possui o 
valor verdade V ou F – princípio do meio 
excluído. 
 Atribuição de valores-verdade para o alfabeto 
proposicional A – função v:P →{F,V}. (P é o 
conjunto de símbolos proposicionais de A) 
 A função de atribuição de valores-verdade a 
proposições está associada às possíveis 
interpretações para cada proposição – Teoria 
dos Modelos. 
 Função de avaliação para a linguagem 
proposicional L(A), induzida por v - 
ν:L(A)→{F,V}. 
 O valor lógico de uma fórmula depende 
unicamente dos valores lógicos das proposições 
simples componentes. 
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 Tabela verdade – gráfico que define os 
possíveis valores lógicos de uma fórmula a 
partir dos possíveis valores lógicos de cada 
componente. 
 ν(A) = v(A), se A é um símbolo proposicional 
de A. 
• ν(~P) = V, se ν(P) = F 
 = F, se ν(P) = V 
 
P ∼P 
V F 
F V 
♦ Exemplo: 
P – O sol é uma estrela. 
∼P – O sol não é uma estrela. 
 
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• ν(P∧Q) = V, se ν(P) = ν(Q) = V 
 = F, em caso contrário 
 
P Q P∧Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
♦ Exemplo: 
P – A neve é branca. (V) 
Q – 2 < 5. (V) 
P ∧ Q – A neve é branca e 2 < 5. (V) 
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• ν(P∨Q) = F, se ν(P) = ν(Q) = F 
 = V, em caso contrário 
 
P Q P∨Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
♦ Exemplo: 
P – Paris é a capital da França. (V) 
Q - π = 3. (F) 
P ∨ Q – Paris é a capital da França ou π = 3. (V) 
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• ν(P→Q) = F, se ν(P)=V e ν(Q)=F 
 = V em caso contrário 
 
P Q P→Q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
♦ Exemplo: 
P: O mês de maio tem 31 dias. (V) 
Q: A terra é plana. (F) 
P→Q: Se o mês de maio tem 31 dias então a terra é 
plana. (F) 
R: Cantor criou a teoria dos conjuntos. (V) 
P→R: Se o mês de maio tem 31 dias então Cantor 
criou a teoria dos conjuntos. (V) 
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• ν(P≡Q) = V, se ν(P) = ν(Q) 
 = F em caso contrário 
P Q P≡Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
♦ Exemplo: 
P: Lisboa é a capital da Itália. (F) 
Q: A terra é plana. (F) 
P≡Q: Lisboa é a capital da Itália se e somente se a 
terra é plana. (V) 
R: Tiradentes foi enforcado. (V) 
P≡R: Lisboa é a capital da Itália se e somente se 
Tiradentes foi enforcado. (F) 
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 Algumas definições – considerem A um alfabeto 
proposicional, P e Q conjuntos de fórmulas em 
L(A) e R uma fórmula em L(A). 
• Uma fórmula R é verdadeira se em uma 
atribuição de valores verdade ν (um 
modelo/uma linha da tabela verdade) se 
ν(R)=V. 
• R é uma tautologia se R é verdadeira em 
qualquer atribuição de valores-verdade ν. A 
fórmula R possuirá o valor verdade V em todas 
as linhas de sua tabela-verdade. R é dita ser uma 
fórmula válida. 
• Uma atribuição de valores-verdade v para A 
satisfaz um conjunto de fórmulas P (é um 
modelo para P) se para toda fórmula S em P 
ν(S) = V. 
• P é satisfazível se existe um modelo que 
satisfaz P, ou seja, se uma linha da sua tabela-
verdade possuir como resultado o valor-verdade 
V. 
• Uma fórmula é dita insatisfazível se nenhum 
modelo satisfaz a fórmula, ou seja, toda 
valoração de fórmula torna a fórmula falsa. 
• Uma fórmula R é dita falsificável se existe uma 
valoração de seus átomos tal que a valoração 
torne a fórmula falsa, ou seja, v(R)=F. 
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• A fórmula R é uma conseqüência lógica do 
conjunto de fórmulas P(P implica logicamente 
R) se todo modelo (atribuição de valores-
verdade v) que satisfaz P satisfaz R. 
• Tautologias podem ser consideradas como as 
verdades lógicas da lógica proposicional. 
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 Construção de Tabelas-Verdade 
• Tabela-verdade de uma proposição composta 
com n proposições simples componentes – 2n 
linhas. 
• Primeira solução – definir uma coluna para cada 
proposição simples,e depois uma coluna para 
cada sub-fórmula, aumentando a complexidade 
até representar a fórmula completa. 
• Exemplo: ¬(P ∧ ¬Q) 
P Q ¬Q P ∧ ¬Q ¬(P ∧ Q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
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• Segunda Solução – definir uma coluna para 
cada proposição simples, e depois uma coluna 
para cada símbolo da fórmula, na ordem em que 
aparece na mesma (parênteses não formam 
colunas). 
• Exemplo: ¬(P ∧ ¬Q) 
P Q ¬ (P ∧ ¬ Q) 
V V V V F F V 
V F F V V V F 
F V V F F F V 
F F V F F V F 
 4 1 3 2 1 
 
♦ A última linha define a ordem de resolução 
de cada coluna. A coluna com o número 4 
define o resultado. 
• Terceira solução – suprimir da tabela-verdade 
da Segunda solução as colunas iniciais relativas 
às proposições simples. 
 Quando são conhecidos os valores-verdade de 
cada proposição simples componente em uma 
fórmula, uma única linha da tabela-verdade define 
o valor-verdade da fórmula. 
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 Consequência lógica: 
• Uma fórmula B é consequência lógica de uma 
fórmula A (A |= B), se toda valoração v que 
satisfaz A também satisfaz B. Também dizemos 
que A implica logicamente B. 
• Usando tabela verdade – toda linha que torna A 
verdadeira, também torna B verdadeiro. 
• Ex. (p ∨ q) → r |= p → r. 
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 Teorema da dedução 
• Sejam Γ um conjunto de fórmulas e A e B 
fórmulas - Então - Γ, A |= B sse Γ |= A → B. 
• Demonstração: 
• (⇒) Primeiro, Assuma que Γ, A |= B. Então, 
pela definição de consequência lógica, toda 
valoração que satisfaz simultaneamente Γ e A 
também satisfaz B. Para mostrar que Γ |= A 
→ B, considere uma valoração v que satisfaz 
todas as fórmulas de Γ. Consideramos dois 
casos: 
♦ v(A) = V – Neste caso, como temos Γ, A |= 
B, temos necessariamente que v(B) = V e, 
portanto, v(A → B) = V. 
♦ v(A) = F – Neste caso, é imediato que v(A 
→ B) = V. 
♦ Portanto, concluímos que Γ |= A → B. 
• (⇐) Vamos assumir agora que Γ |= A → B, 
ou seja, toda valoração que satisfaz Γ também 
satisfaz A → B. Para mostrar que Γ, A |= B, 
considere uma valoração v tal que v(Γ) = v(A) 
= V. Assuma, por contradição, que v(B) = F. 
Neste caso, temos que v(A → B) = F, o que 
contradiz Γ |= A → B. Logo, v(B) = V e 
provamos que Γ, A |= B. 
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 Equivalência lógica. 
• A e B são logicamente equivalente (A ≡ B), se 
as valorações que satisfazem A são exatamente 
as mesmas valorações que satisfazem B. 
• A ≡ B se A |= B e B |= A. 
• Teorema – A ≡ B se, e somente se, A ↔ B é 
uma fórmula válida. 
 Equivalências notáveis 
• ¬¬p ≡ p (eliminação da dupla negação); 
• p → q ≡ ¬p ∨ q 
• ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q (lei de De Morgan 1) 
• ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (lei de De Morgan 2) 
• p∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributividade) 
• p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributividade) 
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 Sistemas Dedutivos 
 Provar teoremas em uma teoria. 
• Suposições que permitem a prova são axiomas. 
• Inferir, derivar ou deduzir as consequências 
lógicas de um conjunto de fórmulas, chamado 
de teoria. 
 Deduzir conseqüências a partir de uma suposição. 
• Suposições utilizadas na dedução não são 
axiomas. 
 Escrevemos - Γ | A 
• Chamado de sequente - Γ é o antecedente e A é 
o consequente. 
 Um sistema dedutivo é dito correto se: 
• Se Γ | A somente se Γ |= A. 
 Um sistema dedutivo é dito completo se: 
• Se Γ |= A então Γ | A 
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 Método axiomático (sistema de Hilbert) 
• Utiliza axiomas, e uma regra de inferência 
chamada MODUS PONENS. 
• Modus Ponens 
• Operação que passa de duas fórmulas na 
forma A → B e A para a fórmula B, para 
quaisquer fórmulas A e B. 
• Substituição de um átomo (proposição) por 
uma fórmula – indica A[p:=B]. 
1. p[p := B] = B 
2. q[p := B] = p, para q ≠ p 
3. (¬A)[p := B] = ¬(A[p := B]) 
4. (A1 ° A2)[p := B] = A1[p := B] ° A2[p := B] 
• Uma fórmula A resultante da substituição de 
um ou mais átomos de uma fórmula B é uma 
instância desta fórmula B. 
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Axiomas relacionados com os conectivos 
lógicos e suas propriedades: 
1a. | A → (B → A) 
1b. | (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) 
1c. | (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) 
2. | A → (B → (A ∧ B)) – introdução da conjunção. 
3a. | (A ∧ B) → A – eliminação da conjunção. 
3b. | (A ∧ B) → B – eliminação da conjunção. 
4a. | A → (A ∨ B) – introdução da disjunção. 
4b. | B → (A ∨ B) – introdução da disjunção. 
5. | (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) – 
eliminação da disjunção. 
6. | (A →B) → ((A → ¬B) → ¬A) – Modus Tolens 
– introdução da negação. 
7. | ¬¬ A → A – eliminação da negação. 
8. | (A → B) → ((B → A) → (A ↔ B)) – 
introdução da equivalência. 
9a. | (A ↔ B) → (A → B) – eliminação da 
equivalência. 
9b. | (A ↔ B) → (B → A) – eliminação da 
equivalência. 
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• Prova formal – lista finita de fórmulas B1,...,Bn, 
tais que cada fórmula na lista é uma instância de 
um axioma da lógica proposicional ou é uma 
decorrência da aplicação da regra Modus 
Ponens a um par de fórmulas precedentes na 
lista. 
• A fórmula no final da lista é provada. 
Chamamos esta fórmula de um teorema. 
Indicamos |Bx B ou | Bn. 
• Uma fórmula A é dedutível a partir do conjunto 
de fórmulas Γ se há uma dedução, ou seja, uma 
sequencia de fórmulas A1, ..., Na = A tal que 
cada fórmula Ai na sequencia: 
• É uma fórmula Ai ∈ Γ, ou 
• É uma instância de um axioma, ou 
• É obtida de fórmulas anteriores por meio de 
modus ponens. 
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• Exemplos: 
• Deduzir C a partir de A, B, A → (B → C) 
1. A – axioma da teoria proposta. 
2. A → (B → C) - axioma. 
3. B → C – modus ponens 1,2. 
4. B – axioma. 
5. |— C – modus ponens 3,4. 
• Prova A→ A. 
1. A → (A → A) – axioma 1ª 
2. (A → (A → A)) → (A → ((A → A) → A)→ (A → 
A)) – axioma 1b. 
3. (A → ((A → A) →A)) → (A → A) – modus ponens 
1,2. 
4. A → ((A → A) → A) – axioma 1a. 
5. A → A – modus ponens 3,4. 
 
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 Teorema da dedução – Herbrand, 1930 – 
A) Se A | B, então | A → B. 
B) Se A1,...,Am-1,Am | B então A1,...,Am-1 | Am→B. 
• Exemplo - demonstrar P → Q, P → R | P → 
Q ∧ R. 
• Vamos provar P → Q, P → R, P | Q ∧ R 
1. P → Q hipótese 
2. P → R hipótese 
3. P hipótese 
4. Q modus ponens 1,3 
5. R modus ponens 2,3 
6. Q → (R → (Q ∧ R)) instância de (ax 2) 
7. R → (Q ∧ R) modus ponens 6,4 
8. Q ∧ R modus ponens 7,5 
 
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Dedução Natural. 
 Apresentado em 1934 por Gentzen, como o 
cálculo NJ para a Lógica Intuicionística, e como o 
cálculo NK para a Lógica Clássica. 
 Composto de regras deintrodução e eliminação 
para cada conectivo lógico, e para os 
quantificadores. 
 Princípio da inversão – a regra de introdução é o 
inverso da regra de eliminação. 
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 Regras de inferência: 
 
• Conjunção 
 
 
• Disjunção 
• Implicação 
• A regra de eliminação é o Modus Ponens. 
 
 
 
• A introdução da implicação é conhecida 
como regra de descarte, pois descarta uma 
suposição. Uma suposição descartada não 
poderá ser novamente utilizada na prova. 
• 
∧−
∧
I
BA
BA 
∧−
∧
1E
A
BA
∧−
∧
2E
B
BA
∨−
∨
1I
BA
A
∨−
∨
E
C
CCBA
BA
 
][ ][ ∨−
∨
2I
BA
B
→−
→
E
B
ABA 
→−
→
I
BA
B
A][
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Negação: 
• A regra de introdução pode ser vista como um 
caso especial da introdução da implicação, 
visto que ¬A é uma abreviação de A→Λ. Λ 
significa a contradição, o falso. 
• A primeira regra de eliminação da negação 
representa e lei de contradição. A segunda 
expressa o fato de que se uma proposição 
falsa procede então qualquer proposição 
procede. 
¬−
¬
Λ
I
A
A][
¬−
Λ
¬
1
 
E
AA
¬−
Λ
2
 
E
C
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 Formas normais 
 Formato pré-definido para a escrita de fórmulas, 
para uso por algoritmos e métodos de prova. 
 Forma Normal Conjuntiva ou Forma Clausal 
• Utilizada na resolução. 
• Utilizada como formato de entrada para a 
maioria dos algoritmos de verificação de 
satisfazibilidade. 
• Literal – fórmula atômica (p – literal positivo) 
ou a negação de uma fórmula atômica (¬p – 
literal negativo) 
• Cláusula – disjunção de literais – L1 ∨ L2 ∨ ... ∨ 
Ln, onde n é o tamanho da cláusula. 
• Cláusula unitária – n = 1. 
• Cláusula vazia – n = 0 – constante falsa - ⊥. 
 
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• Forma Clausal – Forma Normal Conjuntiva - 
FNC. 
♦ Formada por conjunções de disjunções de 
literais. Conjunção de cláusulas. 
♦ Qualquer fórmula da lógica proposicional 
clássica pode ser reduzida a uma outra 
fórmula equivalente que está na FNC. 
♦ Algoritmo transformação na FNC 
 Entrada – fórmula B 
1. Para todas as subfórmulas de B faça: 
2. Redefinir – P → Q ⇒ ¬P ∨ Q; 
3. Empurrar as negações para o interior por 
meio das leis de De Morgan: 
a. ¬(P ∨ Q) ⇒ (¬P ∧ ¬Q) 
b. ¬(P ∧ Q) ⇒ (¬P ∨ ¬Q) 
4. Eliminação da dupla negação: 
a. ¬¬P ⇒ P. 
5. Distributividade de ∨ sobre ∧: 
a. ((P ∧ Q) ∨ R) ⇒ ((P∨R)∧(Q∨R)). 
6. Fim para 
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 Cláusula de Horn. 
 Cláusula contendo no máximo um literal 
positivo. 
 Tipos: 
• Fatos: cláusulas unitárias, com o único literal 
positivo. 
• Regras: fórmulas na forma 
♦ ¬P1 ∨ ... ∨ ¬Pn ∨ Q ou 
♦ P1 ∧ ... ∧ Pn → Q. 
♦ Q é chamado de cabeça da regra e o 
restante o corpo da regra. 
• Consultas ou Restrições: cláusulas de Horn 
sem nenhum átomo positivo. 
♦ ¬P1 ∨ ... ∨ ¬Pn ou ¬(P1 ∧ ... ∧ Pn) 
• Se C é um conjunto de cláusulas de Horn sem 
nenhum fato (ou seja, sem nenhuma cláusula 
unitária positiva), então C é satisfazível. 
 Forma Normal Disjuntiva - FND 
 Utilizada no projeto de circuitos booleanos 
lógicos. 
 Disjunção de conjunções de literais. 
 Conjunção de literais – cláusula dual. 
 
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 Resolução 
 Criado por Robinson. 
 Procedimento de prova que executa em uma única 
operação uma série de processos envolvidos no 
raciocínio com declarações em lógica 
proposicional. Produz provas por refutação. 
• Refutação – prova uma declaração mostrando 
que a negação desta declaração produz uma 
contradição em relação às declarações 
conhecidas. 
• A contradição é representada pela cláusula 
vazia, denotada por �, também denotada pela 
constante falsa (⊥ ou Ʌ). 
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 A prova é construída na forma de uma árvore na 
qual os nós são fórmulas da teoria, a negação da 
fórmula a ser provada e fórmulas resultantes de 
passos da resolução, e a raiz é a cláusula vazia. 
Esta árvore é representada por um grafo acíclico 
direcionado. 
 A resolução se baseia no fato de que a fórmula a 
seguir é uma tautologia: 
((A∨P)∧(B∨¬P))≡((A∨P)∧(B∨¬P)∧(A∨B)) 
• A cláusula {A,B} é a resolvente das cláusulas 
{A,P} e {B,¬P}. A resolvente das cláusulas 
{P} e {¬P} é a cláusula vazia �. 
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 Exemplo: fatos – 
Fórmulas Cláusulas 
P P 
(P ∧ Q) → R ¬P ∨ ¬Q v R 
(S ∨ T) → Q ¬S ∨ Q 
 ¬T ∨ Q 
T T 
? R ¬R 
 
 
 
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Exercício: 
Verificar quais dos sequentes a seguir podem ser 
resolvidos por resolução. 
1. ¬P ∨ Q, ¬Q ∨ S | ¬P ∨ S 
2. ¬S ∨ P, S ∨ P, ¬S ∨ R, S ∨ R, ¬R ∨ T ∨ ¬P | T 
3. ¬P ∨ Q, ¬Q ∨ S | S 
4. ¬S ∨ P, S ∨ P, ¬P ∨ T ∨ R, ¬P ∨ T ∨ ¬R | T 
	P ou Q
	Se P então Q
	Não P
	Não a
	P(Q
	P
	P
	P P