Centroide e Centro de Gravidade

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CENTRÓIDES E 
CENTROS DE GRAVIDADE 
Prof. Danillo Oliveira 
UNIFACS 
Introdução 
• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma 
das partículas que constituem um corpo. Essas forças 
podem ser substituídas por uma única força 
equivalente, de intensidade igual ao peso do corpo e 
aplicada em seu centro de gravidade. 
• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de 
gravidade de um corpo e a para a sua determinação é 
utilizado o conceito de momento de primeira ordem 
de uma área (momento estático). 
• A determinação da área de uma superfície de 
revolução ou do volume de um sólido de revolução é 
possível com a utilização dos Teoremas de Pappus-
Guldinus. 
“O Centróide de uma área está relacionado ao ponto que define 
o centro geométrico da área.” 
 
“O Centróide é o ponto característico da superfície, sendo a 
passagem dos eixos para os quais os Momentos Estáticos são 
nulos” 
 
Obs.: Um eixo de simetria, além de conter o centróide, desfruta 
da propriedade de decompor a superfície em duas superfícies de 
mesma área simetricamente dispostas. 
 
Centro de Gravidade de um Corpo Bidimensional 
• Centro de gravidade de uma placa: • Centro de gravidade de um fio: 



dWx
WxWxM y :




dWy
WyWyM x :
Centroides e Momentos de Primeira Ordem 
de Superfícies e Curvas 
   
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
 a relação em ordem primeira de momento 
 a relação em ordem primeira de momento 
 











• Centroide de uma superfície: 
   








dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx

• Centroide de uma curva: 
Momentos de Primeira Ordem de Superfícies e Curvas 
• Uma superfície é simétrica em relação a uma eixo 
BB’ se para cada ponto P da superfície há um 
ponto P’ tal que a linha PP’ é perpendicular a BB’ 
e é dividida em duas partes iguais por esse eixo. 
• O momento de primeira ordem de uma superfície 
em relação a um eixo de simetria é zero. 
• Se uma superfície tiver um eixo de simetria, seu 
centroide fica localizado sobre esse eixo. 
• Se uma superfície tiver dois eixos de simetria, seu 
centroide deverá se localizar na interseção dos dois. 
• Uma superfície é simétrica em relação a um centro 
O se, para cada elemento de superfície dA em (x,y) 
existir um elemento dA’ de mesma área em (-x,-y). 
• O centroide de uma superfície coincide com o seu 
centro de simetria. 
Centróides de Superfícies Planas de Formatos Usuais 
Superfície 
triangular 
Superfície de um 
quarto de círculo 
Superfície 
semicircular 
Superfície semi-
elíptica 
Superfície de um 
quarto de elipse 
Superfície semi-
parabólica 
Superfície parabólica 
Formato 
Superfície sob um 
arco parabólica 
Superfície sob um 
arco exponencial 
qualquer 
Setor circular 
Centroides de Curvas Planas de Formatos Usuais 
Arco de círculo 
Arco semi-
círcular 
Arco de um 
quarto de círculo 
Formato 
Placas e Fios Compostos 
• Placas compostas: 
  WyWYWxWX
• Superfícies compostas: 
  AyAYAxAX
Exemplo 1 
Para a superfície plana mostrada, determine os momentos de 
primeira ordem em relação aos eixos x e y e a localização do 
centroide. 
Determinação de Centróides por Integração 
 
 ydx
y
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el








2
  
  dyxay
dAyAy
dyxa
xa
dAxAx
el
el










2






















dr
r
dAyAy
dr
r
dAxAx
el
el
2
2
2
1
sen
3
2
2
1
cos
3
2




dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el
• A integração dupla para encontrar o momento 
de primeira ordem pode ser evitada definindo-
se o elemento de área dA como um retângulo 
estreito ou um setor estreito. 
Exemplo 2 
Determine por integração direta a localização do centroide da 
superfície sob um arco parabólico. 
Uma superfície 
de revolução é 
gerada pela 
rotação de uma 
curva no plano 
em torno de um 
eixo fixo. 
A área de uma superfície de 
revolução é igual ao produto do 
comprimento da curva geratriz pela 
distância percorrida pelo centroide 
durante a rotação. 
LyA 2
Teoremas de Pappus – Guldinus 
Teoremas de Pappus – Guldinus 
Um sólido de 
revolução é 
gerado pela 
rotação de uma 
superfície plana 
em torno de um 
eixo fixo. 
O volume de um sólido de 
revolução é igual ao produto da 
área da superfície geratriz pela 
distância percorrida pelo centroide 
da superfície durante a rotação. 
AyV 2
Exemplo 3 
O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, e a seção transversal 
de seu contorno externo está mostrada abaixo. Sabendo que a 
polia é feita de aço e que a densidade do aço é 𝝆 = 𝟕, 𝟖𝟓 ∙
𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑, determine a massa e o peso do contorno externo. 
Cargas Distribuídas sobre Vigas 
• Uma carga distribuída pode ser caracterizada por 
uma curva representando a carga w (em N/m) 
sustentada por unidade de comprimento. A carga 
total sustentada pela viga é igual à área sob a curva. 
  AdAdxwW
L
0
 
  AxdAxAOP
dWxWOP
L




0
• Uma carga distribuída pode ser substituída por uma 
carga concentrada com intensidade igual à área sob 
a curva de carga e linha de ação passando pelo 
centroide dessa superfície. 
Exemplo 4 
Uma viga suporta a carga distribuída mostrada acima. Determine 
a carga concentrada equivalente e as reações de apoio.