REVtrigonometria3

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Revisão de Trigonometria
	Um angulo é formado entre duas retas que se interceptam sendo o número de graus no arco de circunferência submetido pelas duas retas a medida quantitativa do ângulo formado por elas. Uma volta completa corresponde a 360 0.
	Para cálculos científicos, uma medida mais útil de ângulo é o radiano (rad), que é definido como o quociente entre o comprimento do arco de circunferência submetido pelas restas e o raio da circunferência, conforme a Figura 1.
Figura 1. Representação do quociente de radianos, razão 
. Onde s é o comprimento do segmento de arco e r é o raio do círculo.
	Portanto o ângulo é definido como sendo 
 e, sendo esta definição a razão entre dois comprimentos, é uma grandeza adimensional.
	Podemos relacionar as duas medidas de ângulo, observando a circunferência completa que contém 360(, e uma vez que esta tem um comprimento de 2(r, a sua medida em radianos é 2(r = 2( rad. Portanto a relação de conversão é
					360(=2( radianos
	A Figura 2 mostra um triângulo formado pela reta BC perpendicular a AC, com os lados medindo respectivamente a, b e c . As medidas trigonométricas sen(, cos( e tan(, são definidas para o ângulo agudo ( como.
Figura 2.Triângulo retângulo utilizado para definir as funções trigonométricas.
	
	
	
	Outras três funções trigonométricas são definidas como as inversas destas:
	
	
	
	O teorema de Pitágoras dá algumas identidades úteis:
			
								(1)
	Dividindo-se cada termo desta equação por c2, obteremos
			
	ou das definições de sen( e cos(,
			
	Assim sendo, podemos dividir cada termo da equação 1 por a2 ou b2 e obter
			
				ou
			
	Algumas outras identidades trigonométricas, comumente utilizadas, seguem-se diretamente das definições que apresentamos:
		
		
		
		
	A Figura 3 mostra um ângulo obtuso com o vértice na origem e um lado sobre o eixo x. As funções trigonométricas definem-se para um ângulo geral por:
		
		
		
Figura 3.Ilustração do diagrama onde se definem as funções trigonométricas para um ângulo obtuso.
	O Ciclo Trigonométrico (Figura 4) é construído a partir de uma circunferência de raio com tamanho unitário, onde as funções trigonométricas seno e cosseno estão respectivamente nos eixos vertical e horizontal. Na seqüência os valores de seno e cosseno dos arcos notáveis são apresentados na Tabela 1, alguns podem ser obtidos com facilidade a partir do ciclo trigonométrico.
Figura 4. O ciclo trigonométrico.
Tabela 1. Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.
	FUNÇÃO/ÂRCO
	0
	(/3
	(/4
	2(/3
	(/2
	SENO
	0
	0,5
	0,71
	0,87
	1
	COSSENO
	1
	0,87
	0,71
	0,5
	0
	TANGENTE
	0
	0,58
	1
	1,73
	(
Noções de Derivada
	Considere uma quantidade y cujo valor depende de uma única variável x, como se pode expressar por meio de uma equação que defina y como uma função específica de x. Iremos expressar essa relação entre y e x escrevendo 
	
	Isso pode ser demonstrado geometricamente realizando um gráfico da função 
. Agora , consideremos o ponto P na curva 
, cujas as coordenadas são (x,y), e um outro ponto Q, também sobre a curva, com coordenadas (x+(x,y+(y). As quantidades (x e (y representam claramente as diferenças nas coordenadas 
e
 de P e Q.
	Se uma reta que intercepta estes dois pontos é construída, sua declividade será representada por m. A Figura 5 ilustra esta situação.
	Figura 5. Demonstração da declividade e da situação acima descrita.
	A sua declividade, "m" será calculada por:
		
	Vamos imaginar que o ponto Q mova-se ao longo da curva e aproximando –se de P. Neste limite, (y e (x aproximam-se de zero, embora a razão 
 não se torne necessariamente nula. Também, neste limite, a reta PQ aproxima-se de uma tangente à curva em P, e sua declividade aproxima-se da declividade da tangente à curva em P, ilustrada pela reta vermelha. Se deixarmos (y e (x aproximar-se de zero, a equação acima torna-se:
		
	O limite da razão 
 quando (y e (x aproximando-se de zero é referido como a derivação de y em relação a x e é escrito como dy/dx. Representa a declividade da reta tangente á curva 
 no ponto (x,y). Como 
 e 
, nós podemos escrever a definição da derivada como:
		
Noções de Integral
	A integral é o inverso da derivada, e a integração é uma operação que implica processos de limites. A integral de uma função 
 está extremamente relacionada com a área sob a curva 
 representada graficamente em coordenadas retangulares. Para melhor entendermos isto, vamos observar a Figura 7, onde está ilustrado a função 
 no gráfico cartesiano. Tentaremos calcular a área OACDO sobre a curva entre as ordenadas de limite AO em x = 0 e CD em x = b.
	O cálculo desta área pode ser obtido dividindo-se a região em faixas de largura (x, como é mostrado. A área (A de qualquer uma dessas faixas, localizada a uma distância x da origem ao longo do eixo horizontal, será aproximadamente:
	
, de onde: 	
.
	Figura 7. Ilustração que originará a demonstração de integral.
	A área total OACDO será calculada, pela soma de todas as contribuições (A que estão entre x = 0 e x = b, isto é 
	Área OACDO
No caso limite , em que o número de subdivisões aumenta de forma imoderada, a largura (x aproxima-se de zero e pode ser escrita como a quantidade diferencial dx. Neste limite, a quantidade 
 aproxima-se da derivada de uma função A(x) que expressa a área OAPQO como uma função de x. Neste limite, então:
	
	ou
	
										(1)
	onde
	A(x) = área OAPQO								(2)
	Neste limite, quando 
,
	Área OACDO = 
	O valor limite das somas na equação 2 defini a integral da função 
, convencionalmente escrita usando-se o sinal 
da integral para denotar a utilização do processo de limite 
, em que escrevemos (A e (x como quantidades diferenciais dA e dx. Podemos escrever, portanto
	área OACDO
						
	A integral acima estabelecida acima é denominada integral definida entre o limite inferior x=0 e o limite superior x=b. Seu valor depende não somente da forma específica da função 
, mas também da localização dos limites inferior e superior.
	Voltando agora, à área 
área OAPQO, é evidente que é uma área de função de x. A partir do modo como a integral foi definida diretamente acima, também fica claro que
	
área OAPQO 
	ou
	A(x)=
									(3)
	Esta integral definida tem um limite fixo, ma um limite superior variável x. Se diferenciarmos agora a equação 3 com relação a x e recordarmos da relação expressa pela equação 1, vemos que
	
	Isto expressa umas das propriedades mais importantes das integrais definidas:
	A derivada de uma integral definida com relação a um limite superior variável é simplesmente o integrando 
.
	Ao calcular integrais, geralmente temos a função 
 e estamos procurando encontrar a função 
 da área. Como foi mostrado na equação 1, 
 é simplesmente aquela função cuja derivada é 
. É neste sentido que a função 
 é via de regra conhecida como antiderivada ou integral não definida de 
. Em muitos casos, quando a forma de 
 é conhecida, é simples achar 
. Por exemplo, se 
, onde n é uma constante, então, como
	
	é que a antiderivada 
corresponde a 
 deve ser dada por
	
										
	Diz-se, portanto, que “a integral não definida da função 
 é 
” Infelizmente , contudo, há outras funções para as quais é difícil ou impossível escrever a integral em termo s de funções elementares simples. Um exemplo é função 
. Para a nossa sorte, a maioria das funções elementares simples com as quais lidamos em Física e em outras Ciências são integráveis de forma fechada.
	Suponha agora que desejemos encontrar a área EBCDE sob a curva 
 entre as ordenadas BE em x=a e CD em x=b. Esta área será dada por:
	Área EBCDE=
Que é escrita, usando-se o sinal da integral para denotar o limite da soma, como:
	Área EBCDE=
								(4)
	Esta função estabelecea integral definida da função 
 entre o limite inferior 
 e o limite superior 
. Contudo, a área OABEO pode ser encontrada simplesmente pela substituição de 
 na equação (3), afim de obter: 
	área OABEO=
							(5)
	Mas como a área EBCDE é apenas a área OACDO menos a área OABEO a partir da equação 4, podemos escrever:
	Área EBCDE=
	Área EBCDE=
								
	Área EBCDE=
 ou						(6)
	área EBCDE=
	área EBCDE=
						(7)
	A área é encontrada calculando-se a integral não definida 
 nos dois limites 
 e 
, e subtraindo-se o valor no limite inferior daquele obtido no limite superior. Assim, se por acaso a função 
 dada tiver a forma 
, da equação 7 obteríamos:
	área EBCDE=
	área EBCDE=
	As equações (6) e (7) exibem duas propriedades importantes das integrais definidas, isto é:
	
	e
	
Tabela 2. Integrais não definidas importantes
	
					
	
				
	
		
	
				
	
				
r
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