AP1 PreCalculoEng 2016 1 gabarito CEDERJ

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Gabarito da AP 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2016/1
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Resolva a inequac¸a˜o
√
x2 + 6x+ 9 > 3x− 1.
Soluc¸a˜o: Fatorando o primeiro membro da desigualdade obtemos
√
x2 + 6x+ 9 > 3x− 1 ⇔
√
(x+ 3)2 > 3x− 1 ⇔ |x+ 3| > 3x− 1. (1)
Utilizando a definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero real na u´ltima desigualdade temos
• x+ 3 ≥ 0, enta˜o a desigualdade se torna
x+ 3 > 3x− 1 ⇔ 4 > 2x ⇔ 2 > x ⇔ x < 2.
Isto e´, se x ≥ −3 e √x2 + 6x+ 9 > 3x− 1, enta˜o −3 ≤ x < 2.
• Por outro lado, se x+ 3 < 0, enta˜o a desigualdade (1) se torna
−x+ 3 > 3x− 1⇔ 4 > 4x⇔ 1 > x⇔ x < 1.
Portanto, x < −3 e √x2 + 6x+ 9 > 3x− 1 implicam x < 1.
Enta˜o os valores de x que satisfazem a desigualdade acima sa˜o todos os valores de x tais que
x < 2.
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Estude o sinal da expressa˜o E(x) =
x3 + 2x2 + 9x+ 18
x+ 1
.
Sugesta˜o: Fatore primeiro o polinoˆmio p(x) = x3 + 2x2 + 9x+ 18.
Soluc¸a˜o: Como p(x) e´ um polinoˆmio de grau ı´mpar 3, possui pelo menos uma raiz real.
As poss´ıveis ra´ızes inteiras desse polinoˆmio sa˜o os divisores do termo independente 18, que sa˜o:
±1,±2,±3,±6,±9,±18. Como p(−2) = 0, temos que −2 e´ raiz de p(x).
Sendo assim, x+ 2 e´ um divisor de p(x).
Dividindo p(x) por x+ 2, obtemos: p(x) = (x+ 2)(x2 + 9).
O trinoˆmio do segundo grau x2 + 9, na˜o possui ra´ızes reais e e´, portanto, irredut´ıvel nos reais.
Logo, p(x) = (x+ 2)(x2 + 9).
Como x2 + 9 ≥ 9 > 0,∀x ∈ R enta˜o o sinal de E(x) depende apenas de x+ 2 e x+ 1.
No numerador o fator muda de sinal em −2 e no denominador em −1.
Ordenando esses nu´meros: −2 < −1.
Note que em x = −1, o denominador se anula, e, por isso, a expressa˜o na˜o esta´ definida.
Logo, temos a seguinte tabela dos sinais.
x < −2 −2 < x < −1 x > −1
x+ 2 − + +
x2 + 9 + + +
x+ 1 − − +
(x+ 2)(x2 + 9)
x+ 1
+ − +
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Observando a tabela,
(x+ 2)(x2 + 9)
x+ 1
> 0 em (−∞;−2) ∪ (−1; +∞)
(x+ 2)(x2 + 9)
x+ 1
= 0, para x = −2.
(x+ 2)(x2 + 9)
x+ 1
< 0 em (−2;−1)
(x+ 2)(x2 + 9)
x+ 1
na˜o esta´ definida para x = −1.
O enunciado abaixo refere-se a`s questo˜es 3, 4 e 5.
Numa concorreˆncia pu´blica para a construc¸a˜o de uma pista circular de patinac¸a˜o apresentam-
se as firmas A e B. A firma A cobra 20 reais por metro quadrado de pavimentac¸a˜o, 15 reais
por metro linear do cercado, mais uma taxa fixa de 200 reais para administrac¸a˜o. Por sua vez,
a firma B cobra 18 reais por metro quadrado de pavimentac¸a˜o, 20 reais por metro linear do
cercado e a taxa de administrac¸a˜o de 600 reais.
Dados u´teis. A´rea do c´ırculo de raio r: A = pir2. Comprimento da circunfereˆncia de raio r:
C = 2pir. Utilize a aproximac¸a˜o pi ≈ 3.
Questa˜o 3 [1,0 ponto] Escreva o prec¸o cobrado em func¸a˜o do raio da pista para cada
uma das firmas.
Soluc¸a˜o: O prec¸o cobrado pela firma A para a construc¸a˜o de uma pista de r metros de raio e´
yA = 20(pir
2)+15(2pir)+200, enquanto que o prec¸o da firma B e´ yB = 18(pir
2)+20(2pir)+600.
Questa˜o 4 [1,0 ponto] Se a pista tiver 8 metros de raio, qual e´ a empresa mais vantajosa?
E se a pista tiver 12 metros de raio?
Soluc¸a˜o: Basta substituir r = 8 e r = 12 em ambas as expresso˜es que foram determinadas na
questa˜o 3 e comparar os prec¸os. Fazendo r = 8 obtemos yA ≈ 4760 e yB ≈ 5016, logo a firma
A e´ mais vantajosa que a firma B. Fazendo r = 12 obtemos yA ≈ 9920 e yB ≈ 9816, logo B e´
mais vantajosa.
Questa˜o 5 [1,5 ponto] Decida para que valores do raio a firma A e´ mais vantajosa que a
firma B.
Soluc¸a˜o: A firma A sera´ mais vantajosa que a firma B se, e somente se, yA < yB. Ou seja,
sempre que yB − yA > 0. Temos
yB − yA ≈ −6r2 + 30r + 400 = −6
(
r − 15− 5
√
105
6
)(
r − 15 + 5
√
105
6
)
.
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Estudando o sinal de yB − yA obtemos que yB − yA > 0 se, e somente se, os dois fatores
entre pareˆnteses possuem sinais contra´rios. Observe, contudo, que
r − 15− 5
√
105
6
> 0, para todo r > 0
pois 15 − 5√105 < 0. Enta˜o yB − yA > 0 se, e somente se, r − 15 + 5
√
105
6
< 0, isto e´,
r <
15 + 5
√
105
6
≈ 11 metros. Conclusa˜o, a firma A e´ mais vantajosa que a firma B para
pistas de ate´ 11 metros de raio, a partir deste valor a firma B sera´ mais vantajosa. Os gra´ficos
a` esquerda abaixo representam os prec¸os em func¸a˜o do raio da pista, o gra´fico a` direita, a
diferenc¸a yB − yA.
Questa˜o 6 [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto A = (4, 0) e
pelo ponto B, onde B e´ sime´trico do ponto C = (−5,−1) com relac¸a˜o ao eixo y.
Soluc¸a˜o: Como o ponto B e´ sime´trico do ponto C = (−5,−1) com relac¸a˜o ao eixo y, temos
que B = (5,−1).
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (4, 0) e B = (5,−1) e´ mr = −1− 0
5− 4 =
−1.
Logo, y − 0 = −1(x− 4).
Portanto, y = −x+ 4 e´ a equac¸a˜o da reta r.
Questa˜o 7 [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta s, que passa pelo ponto A = (2, 2) e
e´ perpendicular a` reta y − 2x+ 5 = 0.
Soluc¸a˜o: Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = 2x−5, temos que o coeficiente
angular da reta s e´ ms = −12 .
Assim, a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 2 = −1
2
(x− 2).
Logo, y = −x
2
+ 3 e´ a equac¸a˜o da reta s, que passa pelo ponto A = (2, 2) e e´ perpendicular a`
reta y − 2x+ 5 = 0.
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