10 Cálculo Numérico - Método de Newton-Raphson

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
REVISÃO DOS MÉTODOS PARA SSEL 
2 
Eliminação de Gauss, Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
 
 Eliminação de Gauss: 
• Método direto (sem iterações) 
• Escalonamento 
• Pivoteamento 
• Solução do sistema triangular superior 
 
Gauss-Jacobi: 
• Método iterativo 
• Para obtenção da solução k+1 utiliza-se as informações da iteração k 
• Necessita de um critério de parada 
• A convergência pode depender do “chute” inicial 
 
Gauss-Seidel: 
• Método iterativo 
• Para obtenção da solução k+1 utiliza-se as informações da iteração k 
não calculadas ainda e as da iteração k+1 quando já calculadas 
• Necessita de um critério de parada 
• A convergência pode depender do “chute” inicial 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
3 
Visão geral: 
 
 
 Dada uma função não linear: 
 Deseja-se encontrar as soluções para: 
ou seja: 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
4 
Visão geral: 
 
 
 Exemplo de sistema não linear: 
ou seja: 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
5 
Notação utilizada: 
 
 
 Cada função fi(X) é uma função não linear em X e portanto F(X) 
também é uma função não linear em X: 
Para sistemas lineares, tínhamos: 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
6 
Considerações: 
 
 
 F(X) tem derivadas contínuas no domínio 
 Existe pelo menos um ponto X* D, tal que F(X*) = 0 
Os vetores das derivadas parciais de cada função fi(X) é 
denominado vetor gradiente de fi(X). Eles são combinados na 
matriz Jacobiana do sistema (ou função) F(X): 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
7 
Exemplo: 
 
 
 Determinar a jacobiana de cada sistema abaixo: 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
8 
Características dos métodos para SSENL: 
 
 
 Iteratividade 
 Dado um ponto inicial X0, gera-se sequências Xk. 
 Na situação de convergência, Xk é uma das soluções do sistema 
quando: 
 
 
 Existência dos critérios de convergência 
 Verificar se F(Xk) tem módulo pequeno, ou seja: 
 
 Verificar se || Xk+1 - Xk|| está próximo de zero, 
ou seja: 
 
 Limitar o número de iterações k por um número máximo de iterações. 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
9 
Idéias básicas: 
 
 
 Linearização 
 Procura-se substituir, numa certa vizinhança, um problema 
complicado por sua aproximação linear 
 Por exemplo, toma-se os primeiros termos de uma expansão 
usando Série de Taylor. 
 
 Iteração 
 Repetição do procedimento até que se garanta a 
convergência para a solução do sistema ou o fim desejado. 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
10 
Caso escalar: 
 
 
 Considere um sistema não linear com uma incógnita e uma equação. 
Nesse caso a solução é dada pela seguinte equação: 
 
 Expandindo-se essa equação usando a série de Taylor, em torno de 
um ponto inicial (x1,f(x1)), obtém-se: 
 
 E tomando-se apenas os termos de primeira ordem dessa expansão: 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
11 
Caso escalar: 
 
 
 Igualando a zero e desenvolvendo a equação anterior, tem-se: 
 
 Em termos de processo iterativo, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
a qual é uma equação linear, simples de resolver! 
 
Esta fórmula 
de recorrência 
é familiar?? 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
12 
Visualização gráfica: 
 
 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
13 
Caso com n incógnitas: 
 
 
1 1 2
2 1 2
1 2
( , , , ) 0
( , , , ) 0
( , , , ) 0

 


 
n
n
n n
f x x x
f x x x
f x x x
0 0 0
0 0 0 0 1 1 2
1 1 2 1 1 2 1 1
1
0 0 0 0 0 0
0 01 1 2 1 1 2
2 2
2
( , , , )
( , , , ) ( , , , ) ( )
( , , , ) ( , , , )
( ) ( )

   

 
      
 
n
n n
n n
n n
n
f x x x
f x x x f x x x x x
x
f x x x f x x x
x x x x
x x
Faz-se então a expansão em série de 
Taylor para cada uma das equações em 
torno de um ponto (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ). Ilustrando 
o caso da primeira equação, tomando-se 
os termos de primeira ordem: 
Seja o sistema: 
* o índice superior 
indica iteração 
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
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Caso com n incógnitas: 
 
 Escrevendo-se o vetor do chute inicial em forma de vetor: 
0 0
1 1
0 0
1 1
1
0 0
1
1 1
0 0
2 2 2 2
0 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
(
( )
) ( )
  
 
  
 
 
 
    
    
     
        
     
  
   
        n n n n
n
n n
n
f X f X
x x
f X x x f X
f X x x f X
f X x x X
f f X
x
f
X
x 0 0 0 01 2, , , TnX x x x
      0 00 0X X f XJ X     
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON 
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Caso com n incógnitas: 
 
 
Multiplicando-se a equação pela inversa do Jacobiano, resulta: 
 
 
 
 
 
Generalizando-se para uma iteração qualquer: 
 
 
 
Diante da dificuldade de inversão da Jacobiana, pode-se utilizar: 
          
1 1
0 0 0 0 0 0J X J X X X J X f X
 
                   
1
0 0 0X X J X f X

             
1
0 0 0X X J X f X

            
1
1k k k kX X J X f X

           1k k k kJ X X X f X     
      0 0 0 0J X X X f X      
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Exemplo: 
 
 
1 2
2 2
1 2
3
( )
9
x x
F x
x x
  
  
  41 10 
0
1
5
x
 
  
 