11 Cálculo Numérico - Método de Newton-Raphson Modificado

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
MÉTODO NEWTON-RAPHSON: 
2 
Da aula passada... 
 
 
MÉTODO NEWTON-RAPHSON: 
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Resumo: 
 
 
Características que influenciam na velocidade de convergência: 
• Escolha do ponto inicial (“chute inicial”) 
• Cálculo do Jacobiano (derivadas parciais) 
• Solução do sistema linear 
MÉTODO NEWTON-RAPHSON: 
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Resumo: 
 
 
Características que influenciam na velocidade de convergência: 
• Escolha do ponto inicial (“chute inicial”) 
• Cálculo do Jacobiano (derivadas parciais) 
• Solução do sistema linear 
 
Teríamos alternativas para o cálculo da Jacobiana? 
• Métodos Quase-Newton (o mais conhecido é N-R modif) 
• Método da Secante 
 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
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Método de Newton-Raphson modificado: 
 
 
 Este método consiste em tomar, em cada iteração k, a mesma 
matriz Jacobiana computada no passo inicial: 
 Apesar da redução do custo computacional, este método pode ser 
mais sensível à convergência, ou seja, o número de iterações 
necessárias geralmente é maior que quando se usa o método de 
Newton-Raphson. 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO 
6 
Exemplo: 
 
  Dado o sistema F(X)=0: 
 Como neste método utiliza-se apenas a jacobiana da iteração 1, não 
será mais necessário o cálculo desta matriz. 
 Considere uma tolerância de e = 10-4, o número máximo de iterações 
kmax=2 e o chute inicial X1=[1 5]
T, tem-se: 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO 
7 
Exemplo: 
 
  k = 1 (Primeira iteração) 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO 
8 
Exemplo: 
 
  k = 2 (Segunda iteração) 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
9 
Método da Secante: 
 
 
 Este método consiste em calcular as derivadas da matriz Jacobiana 
de forma aproximada: 
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
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Método da Secante: ilustração para o caso escalar 
 
 
0 21 2
1 0( ) ( )
x xx x
f x f x

0 1 1 0
2
1 0
( ) ( )
( ) ( )
x f x x f x
x
f x f x



x
f(x)
x0x1x2
1 1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
k k k k
k
k k
x f x x f x
x
f x f x
 





1
1
1
( )
( ) ( )
k
k k
k k
k k
f x
x x
f x f x
x x



 


Qualquer semelhança com a expansão em 
série de Taylor NÃO é mera coincidência 
'( )kf x
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR 
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Outros métodos: 
 
 
 BFGS (Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno) 
 
 Gradientes Conjugados 
MÉTODOS ITERATIVOS 
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Exercícios extra-sala: 
 
 
Como vão as implementações de sistemas de 
equações lineares e não lineares?