12 Cálculo Numérico - Interpolação e Ajuste

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
INTERPOLAÇÃO E AJUSTE 
• O que são? 
 
• Quais as semelhanças? 
 
• Quais as diferenças? 
 
• Para que servem? 
2 
Introdução 
INTERPOLAÇÃO 
• São conhecidos valores numéricos da função f(x) 
em alguns pontos discretos de x e deseja-se obter 
valores de f(x) em pontos desconhecidos, mas 
dentro do limite avaliado; 
• Quando uma determinada função f(x) possui os 
operadores de diferenciação e integração muito 
complexos; 
• Na solução numérica de equações diferenciais 
usando o método das diferenças finitas e o método 
dos elementos finitos 
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Introdução 
INTERPOLAÇÃO 
• Dada uma tabela de pontos pertencentes a um 
intervalo (a,b). 
• Deseja-se encontrar uma função interpoladora p(x) 
4 
Conceitualmente falando… 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 55
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Será essa 
a p(x) ?? 
INTERPOLAÇÃO 
• Considere n pontos distintos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., 
(xn,f(xn)). 
• O objetivo é encontrar uma função interpolante p(x), 
tal que: 
 
 
ou seja: 
5 
Matematicamente falando… 
INTERPOLAÇÃO 
• As principais técnicas de interpolação utilizadas 
atualmente são baseadas em polinômios: 
 
• p(x) é uma função polinomial !! 
 
• Assim, dados n pontos distintos: 
– (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xn,f(xn)) 
• deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de 
grau menor ou igual a (n-1). 
6 
Interpolação polinomial 
INTERPOLAÇÃO 
• Suponha que você 
tenha dois pontos 
distintos (n=2). 
7 
Interpolação polinomial 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
• Qual o melhor 
polinômio que 
interpola esses dois 
pontos?? 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
INTERPOLAÇÃO 
• E se vc tiver 3 
pontos distintos 
(n=3). 
8 
Interpolação polinomial 
• Qual será o melhor 
polinômio?? 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
INTERPOLAÇÃO 
• E nesse caso? 
9 
Interpolação polinomial 
• Qual será o melhor 
polinômio?? 
Observe que neste caso, com n=3 o melhor 
polinômio é o de grau 1, que está no grupo de 
polinômios com grau menor ou igual a (n-1). 
INTERPOLAÇÃO 
10 
Forma geral do polinômio interpolador 
• Considerando tudo que já foi dito sobre interpolação 
polinomial, temos que o polinômio interpolador 
assumirá a seguinte forma: 
 
 
 
• Então, obter o polinômio p(x), significa encontrar os 
coeficientes de forma que p(xk) = f(xk), 
para k=1,...,n 
INTERPOLAÇÃO 
11 
Métodos abordados: 
• Cada método utiliza uma estratégia diferente para 
encontar o polinômio interpolador. Abordaremos: 
 
– Método de Vandermonde 
 
– Método de Lagrange 
 
– Método de Newton 
INTERPOLAÇÃO 
12 
Método de Vandermonde 
• Assim, obtém um sistema de equações lineares, 
com n equações e n incógnitas : 
INTERPOLAÇÃO 
13 
Método de Vandermonde 
• Que, matricialmente fica: 
Matriz de 
Vandermonde 
INTERPOLAÇÃO 
14 
Método de Vandermonde 
• Se os valores de x1, x2, ..., xn forem distintos, a 
chamada matriz de Vandermonde tem o 
determinante diferente de zero, e então, o sistema 
linear apresenta solução única. 
 
• Logo, para encontrar o polinômio interpolador de 
uma série de n pontos distintos conhecidos, basta 
encontrar a solução de um sistema de equações 
lineares, assunto tratado nas aulas passadas. 
INTERPOLAÇÃO 
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Método de Vandermonde: Exemplo 
• Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os 
pontos da tabela abaixo: 
x F(x) 
-1 4 
0 1 
2 -1 
INTERPOLAÇÃO 
16 
Método de Lagrange 
• Seja p(x) um polinômio com grau (n-1) que interpola 
f(x) em x1, x2, ..., xn. Então, podemos representar 
p(x) na forma: 
 
 
 
sendo: 
Polinômio de 
Lagrange 
INTERPOLAÇÃO 
17 
Método de Lagrange : Exemplo 
• Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os 
pontos da tabela abaixo: 
x F(x) 
-1 4 
0 1 
2 -1 
Neste caso tem-se n=3. 
Portanto, desenvolve-se 
um polinômio quadrático 
de Lagrange (n-1 = 2). 
INTERPOLAÇÃO 
18 
Método de Lagrange : Polinômio quadrático 
INTERPOLAÇÃO 
19 
Método de Lagrange : Polinômio quadrático 
INTERPOLAÇÃO 
20 
Método de Lagrange : Polinômio quadrático 
INTERPOLAÇÃO 
21 
Método de Newton 
• Para o Método de Newton, o polinômio interpolador 
é dado como: 
 
 
 
 
 
onde dk são os operadores diferenças divididas entre 
os pontos (x1,f(x1)),...,(xn,f(xn)) 
INTERPOLAÇÃO 
22 
Método de Newton 
• Os operadores diferenças divididas são dados por: 
𝑑3 
INTERPOLAÇÃO 
23 
Método de Newton 
• Substituindo os valores de dk no polinômio, tem-se: 
INTERPOLAÇÃO 
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Método de Newton: Exemplo 
• Encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os 
pontos da tabela abaixo: 
x F(x) 
-1 4 
0 1 
2 -1 
Neste caso tem-se n=3. 
Portanto, desenvolve-se o polinômio quadrático de 
Newton (n-1 = 2). 
INTERPOLAÇÃO 
25 
Lista de exercícios!! 
• Exercício pra casa: Desenvolver os polinômios de 
Lagrange e Newton para o problema apresentado em 
sala, e compará-los ao polinômio obtido por 
Vandermonde 
 
INTERPOLAÇÃO 
26 
Lista de exercícios!! 
• Exercício pra casa: Desenvolver os polinômios de 
Lagrange e Newton para o problema apresentado em 
sala, e compará-los ao polinômio obtido por 
Vandermonde 
 
• Implementar os métodos apresentados em sala para 
interpolação (Vandermonde, Lagrange, Newton) 
 
• Fazer exercícios de verificação, ou seja, dada uma 
função polinomial, retire alguns pontos (suficientes, 
claro!) e verifiquem se seus códigos encontram o 
polinômio certo.