16 Cálculo Numérico - Fórmulas de Newton Cotes

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
2 
Fórmulas de Newton-Cotes 
• Da aula passada... 
Analítico: 1,246 
Trapézio: 1,155 Simpson: 1,2455 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
3 
Fórmulas de Newton-Cotes: fórmulas repetidas 
• Quando o intervalo é muito grande, não é 
conveniente aumentar o grau do polinômio 
(pesquisar sobre o Efeito Runge) 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
4 
Fórmulas de Newton-Cotes: fórmulas repetidas 
• Alternativa!! 
– Subdividir o intervalo de 
integração e aplicar as 
regras mais simples 
repetidas várias vezes 
f(x) 
x 
h 
• Quando o intervalo é muito grande, não é 
conveniente aumentar o grau do polinômio 
(pesquisar sobre o Efeito Runge) 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
5 
Fórmulas de Newton-Cotes: fórmulas repetidas 
• Dividindo-se o intervalo de integração [a,b] em n 
subintervalos de igual comprimento h=(b-a)/n, 
tem-se: 
f(x) 
x 
h 
x0= a xn= b 
xi 
... 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
6 
Regra do Trapézio: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra do trapézio para cada intervalo n: 
f(x) 
x x0= a xn= b x2 x1 xn-1 
... 
h 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
7 
Regra do Trapézio: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra do trapézio para cada intervalo 
n, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
8 
Regra do Trapézio: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra do trapézio para cada intervalo 
n, pode-se deduzir a seguinte expressão: 
Erro numérico 
Regra do trapézio para n intervalos 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: regra do trapézio 
• Considere a seguinte função: 
 
• Calcule a sua integral definida no intervalo [a,b]= 
[0,1] usando a regra do trapézio para 4 intervalos. 
Fórmula geral, 
considerando 
n=4 
Substituindo a função dada: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra de Simpson: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra de Simpson para cada intervalo n: 
f(x) 
x x0= a x4= b x2 x1 x3 
h Atenção! 
Usar um número 
par de intervalos 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
11 
Regra de Simpson: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra de Simpson para cada intervalo n, 
pode-se deduzir a seguinte expressão: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
12 
Regra de Simpson: fórmulas repetidas 
• Usando-se a regra de Simpson para cada intervalo n, 
pode-se deduzir a seguinte expressão: 
Regra de Simpson para n intervalos 
Erro numérico 
𝐼 =
ℎ
3
 𝑓 𝑥0 + 4 𝑓 𝑥𝑖 
𝑛−1
𝑖=1, +2
 + 2 𝑓 𝑥𝑖 
𝑛−2
𝑖=2, +2
 + 𝑓 𝑥𝑛 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: regra de Simpson 
• Considere a seguinte função: 
• Calcule a sua integral definida no intervalo [a,b]= [0,1] usando a 
regra de Simpson para 4 intervalos. 
𝐼 =
ℎ
3
 𝑓 𝑥0 + 4 𝑓 𝑥𝑖 
4−1
𝑖=1, +2
 + 2 𝑓 𝑥𝑖 
4−2
𝑖=2, +2
 + 𝑓 𝑥4 
Fórmula geral, 
considerando 
n=4 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: regra de Simpson 
• Considere a seguinte função: 
• Calcule a sua integral definida no intervalo [a,b]= [0,1] usando a 
regra de Simpson para 4 intervalos. 
Substituindo a função dada: 
𝐼 =
ℎ
3
 𝑓 𝑥0 + 4 𝑓 𝑥𝑖 
4−1
𝑖=1, +2
 + 2 𝑓 𝑥𝑖 
4−2
𝑖=2, +2
 + 𝑓 𝑥4 
Fórmula geral, 
considerando 
n=4 
Simpson repetido: 1,2457 Trapézio repetido: 1,24 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
15 
Comparação: 
Simpson: 1,2455 Trapézio: 1,155 
Analítico: 1,246 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Integrais múltiplas 
• As fórmulas de integração apresentadas nas seções 
anteriores podem ser usadas para estabelecer 
fórmulas de integração de funções com duas ou 
mais variáveis. 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
17 
Integrais múltiplas 
• As fórmulas de integração apresentadas nas seções 
anteriores podem ser usadas para estabelecer 
fórmulas de integração de funções com duas ou 
mais variáveis. 
 
• Por motivos didáticos, inicialmente detalha-se o 
caso de integrais duplas: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Integrais múltiplas: Regra de Simpson 
• Considere o retângulo abaixo e calcule a sua integral 
utilizando a Regra de Simpson. 
 
 
 
 
 
 
 
• Do cálculo sabe-se que: 
h h 
k 
k 
y2 
y1 
y0 
x2 x1 x0 
x 
y 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Integrais múltiplas: Regra de Simpson 
• Utilizando-se a Regra de Simpson na variável y, 
tem-se: 
 
 
• Em seguida utilizando-se a Regra de Simpson em 
cada integral na variável x, tem-se: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Integrais múltiplas: Regra de Simpson 
• Expandindo-se a expressão chega-se a: 
 
 
 
 
 
 
• De forma geral, tem-se: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Integrais múltiplas: Regra de Simpson 
• As fórmulas repetidas para integração de funções de duas 
variáveis seguem a idéia de justaposição usadas nas fórmulas 
repetidas de funções de uma variável. 
• Exemplo de coeficientes e respectivos pontos de integração: 
d = 
c = 
a = = b 
y4 
y2 
y0 
x4 x2 x0 x 
y 
y1 
y3 
x1 x3 x5 x6 
1 4 2 4 2 4 
4 16 8 16 8 16 
2 8 4 8 4 8 
4 16 8 16 8 16 
1 4 2 4 2 4 
1 
4 
2 
4 
1 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: integrais múltiplas 
• Use as fórmulas repetidas para integrais múltiplas e 
aproxime a seguinte integral: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: integrais múltiplas 
• Pesos e pontos de integração: 
4 = 
2 = 
1 = = 2 
y4 
y2 
y0 
x4 x2 x0 
x 
y 
y1 
y3 
x1 x3 
1 4 2 4 
4 16 8 16 
2 8 4 8 
4 16 8 16 
1 4 2 4 
1 
4 
2 
4 
1 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
24 
Exercício: integrais múltiplas 
• Substituindo-se o valor de cada f(xi,yj), tem-se: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
25 
Exercício: integrais múltiplas 
• Aplicando-se os pesos aos respectivos pontos de integração, tem-
se: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
26 
Exercício: integrais múltiplas 
• Não podemos esquecer do fator (h*k)/9: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
27 
Exercício: integrais múltiplas 
• Somando-se as linhas e as colunas, obtém-se o 
valor aproximado da integral desejada: 
3.131341