17 Cálculo Numérico - Diferenciação Numérica

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CÁLCULO NUMÉRICO
- EAMB018 / ECIV019 -
Período Letivo: 2013-1
Carga Horária: 60h
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50)
4ª feira (11:10 – 12:50)
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior
limajunior@lccv.ufal.br
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Introdução
• Lembramos do Método de Newton para 
determinação da solução de sistemas não lineares
– Precisamos saber a Jacobiana do sistema...
– E se sua forma analítica não for conhecida?
Vamos utilizar um método numérico 
para determinação da derivada!!
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Introdução
• Problemas que freqüentemente ocorrem:
– Não é possível encontrar a forma fechada da 
derivada
– A solução fechada existe, no entanto seu cálculo é 
muito difícil
– A solução fechada tem pouco valor prático
– Necessidade de implementação computacional
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Objetivo
• Calcular a derivada da função f(x) em um ponto x
conhecendo alguns valores discretos da função f(x)
nos pontos x0, x1, ... , xn.
POSSÍVEL SOLUÇÃO:
Na vizinhança do ponto x, substituir a função f(x) 
desconhecida por um polinômio interpolador e derivar 
o polinômio!
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Idéia Básica
• Dado um conjunto de pontos discretos que definem
uma função f(x), encontrar o polinômio que interpola
esse conjunto de pontos.
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Idéia Básica
• pn(x) → polinômio de grau n que passa pelos pontos
(x0,f0), (x1,f1), ..., (xn,fn).
• Se f(x) for m vezes diferenciável, as derivadas de
ordem mais alta podem ser obtidas através das
derivadas de pn, n ≥ m...
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas
• A formulação para obtenção das derivadas
aproximadas pode ser realizada a partir da utilização
de qualquer uma das técnicas de interpolação
(Vandermonde, Lagrange, Newton).
• Então, considere o polinômio interpolador pn obtido
pelo método de Newton:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas
• Para n=1:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas
• Para n=2:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Avançadas
• Neste caso, o valor onde se deseja conhecer a 
derivada (ponto x) é coincidente com o ponto 
inicial x0.
• Para x = x0
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Avançadas
• Substituindo: x = x0
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Avançadas
• Considerando que os pontos são igualmente 
espaçados, tem-se:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Centradas
• Neste caso, o valor onde se deseja conhecer a 
derivada (ponto x) é coincidente com o ponto 
central x1.
• Para x = x1
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Centradas
• Substituindo: x = x1
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Centradas
• Considerando também que os pontos são 
igualmente espaçados, tem-se:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Método das Diferenças Finitas Atrasadas
• Neste caso, o valor onde se deseja conhecer a 
derivada (ponto x) é coincidente com o ponto 
final x2.
• Para x = x2
• Para pontos igualmente espaçados, tem-se:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Exemplo:
• Dados os pontos a seguir:
• Calcular a aceleração no tempo t = 1.5s.
t(s) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
v(m/s) 1.00 1.25 2.30 4.52 3.41 8.35
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Exemplo:
• Usando n=1:
– Método das Diferenças Finitas atrasadas:
– Método das Diferenças Finitas avançadas:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Exemplo:
• Usando n=2:
– MDF atrasadas:
– MDF centrais:
– MDF avançadas:
2210 /90.2
5.02
30.2325.141
2
34
)5.1(')5.1( sm
h
fff
ya 





2210 77
502
4135244323
2
43
5151 sm
h
fff
ya /.
.
...
).(').( 





202 273
502
251524
2
5151 sm
h
ff
ya /.
.
..
).(').( 





DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Considerações:
• Em geral, a precisão do processo de 
diferenciação depende:
– Do ponto escolhido no intervalo;
– Da ordem da derivada a ser aproximada. 
(considerando o mesmo polinômio interpolador, 
quanto maior o grau da derivada, maior o erro);
– Do tamanho de h. (quanto menor o valor de h, 
menor o erro)
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Exemplo:
• Verificar o erro de df/dx em x = x0 para diferentes 
graus do polinômio interpolador:
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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Exemplo:
Ordem do 
polinômio
df/dx em 
x=x0
Erro
1 2.8588 5.17%
2 2.7085 -0.359%
3 2.7190 0.028%
4 2.7182 -0.0024%