Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução

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Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução: Uma Atividade Usando 
os Softwares Graph e WxMaxima 
 
Claudia Piva 
Depto de Física, Estatística e Matemática – DeFEM, UNIJUÍ 
98700-000, Ijuí, RS 
E-mail: claudiap@unijui.edu.br 
 
Lecir Dalabrida Dorneles 
Depto de Física, Estatística e Matemática – DeFEM, UNIJUÍ 
98700-000, Ijuí, RS 
E-mail: lecird@unijui.edu.br 
 
A. Patricia Spilimbergo 
Depto de Física, Estatística e Matemática – DeFEM, UNIJUÍ 
98700-000, Ijuí, RS 
E-mail: patspi@unijui.edu.br 
 
 
Resumo: Neste trabalho pretendemos apresentar uma atividade desenvolvida com alunos do 
curso de Licenciatura em Matemática, em uma aula de Cálculo Diferencial e Integral II. O 
objetivo principal desta era apresentar uma aplicação de integrais definidas. Nossa proposta 
foi desenvolver uma atividade envolvendo o cálculo do volume de um sólido de revolução. Para 
isso, utilizamos dois softwares livres: Graph, na determinação da curva de contorno e 
WxMaxima, para o cálculo da integral definida. Percebemos que vários conceitos estudados 
anteriormente foram rediscutidos e reutilizados e também novos conceitos foram 
compreendidos, mostrando com isso a importância de atividades de aplicação e da utilização 
de softwares. 
 
 
Introdução 
 
 Atualmente, professores e pesquisadores vivenciam intensa reflexão relacionada à 
incorporação das tecnologias no processo ensino-aprendizagem da matemática. Trabalhar a 
informática e os seus recursos tecnológicos ([5]) pode ser um caminho a ser seguido para ampliar 
as reflexões e solidificar o uso desses recursos amplamente utilizados em vários setores da 
sociedade. 
 No cotidiano de nossas atividades docentes nos deparamos com situações onde os alunos nos 
questionam sobre a importância em aprender certos conteúdos. Muitas vezes mostramos que a 
aplicação nem sempre é direta. Diante destes questionamentos, alguns professores se propõem a 
apresentar situações que possibilitem visualizar alguma aplicabilidade de certos conteúdos. Neste 
trabalho queremos mostrar, além da aplicabilidade de integrais definidas, também o auxílio 
tecnológico que podemos desfrutar através do uso de softwares. 
 Vale destacar que defendemos o uso de recursos tecnológicos em aulas de matemática, que já 
não cabe mais duvidar da importância sobre o professor dominar esta metodologia ([1]). A 
sociedade em geral “funciona” a base de tecnologias. Em cada ação que praticamos em nosso dia 
a dia, sempre há algo relacionado diretamente ou indiretamente com “o mundo eletrônico”, desde 
o celular até os pardais que controlam a velocidade dos automóveis. Partindo destes 
pressupostos, vamos então acoplar as tecnologias com a aplicabilidade de um conteúdo 
matemático. Nossa intencionalidade nesta situação é mostrar principalmente a aplicação de um 
conteúdo matemático e, além disso, que o uso de softwares se torna um facilitador neste processo 
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e, nesse sentido, entendemos que “é preciso criar, organizar e orientar situações de aprendizagem, 
isto é, garantir um espaço para tais procedimentos” ([3]). 
 Só para situar, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, é abordado além das 
técnicas de integração, também a integral definida com as suas aplicações, entre elas, o cálculo 
do volume de sólidos de revolução. Partindo do pressuposto que o aluno tem o conhecimento da 
geometria espacial, no que se refere ao cálculo do volume de um sólido regular, propomos 
calcular o volume de um sólido, através da rotação de uma curva representativa do contorno 
deste sólido, girando em torno de um eixo fixo. Para tal, sugerimos aos alunos que escolhessem 
algum objeto, que seja identificado como um sólido de revolução, possível de ser medido em seu 
diâmetro e sua altura. Na seqüência, os alunos fizeram suas escolhas e foram orientados para a 
obtenção das medidas, utilizando para isso o paquímetro, que é um instrumento adequado para a 
situação. 
 Para a realização desta atividade, percebemos a grande importância da utilização de 
softwares e para tal, fizemos uso de alguns já conhecidos e disponíveis em nosso site - SLM, 
apresentados em [4]. O site SLM – “Softwares Livres para o Ensino da Matemática”, foi 
idealizado e criado a partir da realização de um projeto de extensão ligado ao Departamento de 
Física, Estatística e Matemática – DeFEM da UNIJUÍ (Universidade Regional do Noroeste do 
Estado do Rio Grande do Sul), o qual tem como objetivo principal, a busca, a identificação, a 
seleção e a classificação de softwares livres disponíveis na Internet, que podem ser potenciais 
para o ensino da matemática, buscando atingir os mais diferentes níveis de ensino. A escolha por 
softwares livres ([2]) se dá pelas vantagens que estes possuem, em relação aos pagos ou a 
aqueles em que teríamos que pagar a licença para podermos utilizar. 
 Assim, para a atividade que estamos propondo, a escolha pelos softwares Graph e 
WxMaxima se deu pelo fato destes serem livres, acessíveis, simples e adequados para esta tarefa. 
Com relação ao software Graph, este foi utilizado para a obtenção da curva de contorno, onde 
percebemos que a curva escolhida e a ordem da mesma se adaptaram mais adequadamente ao 
contorno do sólido, enquanto que o software WxMaxima foi utilizado para determinar o volume 
do sólido, através do cálculo da integral definida. Apesar deste cálculo poder ser realizado 
manualmente, optamos pelo uso do software, pois o modelo que determina uma curva de 
contorno geralmente envolve coeficientes não exatos e com isso o cálculo da integral definida 
torna-se muito trabalhoso. Além disso, o modelo facilmente poderia ser melhorado se necessário, 
ou seja, se os resultados não fossem satisfatórios, novas medições poderiam ser realizadas, e 
novos modelos gerados tornando assim mais rápida a realização de um novo cálculo do volume. 
 
 
As medições do sólido 
 
 Para obtermos as medidas do sólido, os alunos foram desafiados sobre quais as possíveis 
formas de realizarem esta tarefa. Após muitas sugestões, optaram pelo uso da fita métrica e do 
paquímetro. Assim, em primeiro lugar, orientamos os alunos para marcar o sólido verticalmente 
com a fita métrica e em seguida, a cada centímetro de altura encontrar a medida do diâmetro, 
com o auxílio do paquímetro, e determinar o raio em cada uma destas alturas. 
 A utilização do paquímetro foi uma aprendizagem aos alunos, foi necessário realizar algumas 
experimentações para posteriormente obtermos as medidas dos sólidos escolhidos por eles. Além 
disso, discutimos com os alunos como obter dados mais precisos para que o modelo a ser gerado 
fosse o mais próximo possível do objeto real que cada um escolheu. Para tanto, decidimos que as 
medições fossem repetidas pelo menos duas vezes. A seguir os resultados dessas medições foram 
organizados em tabelas. Com os dados já tabelados, o próximo passo seria a determinação da 
curva de contorno. 
 Neste momento, foi fundamental o uso de algum software que possibilitasse a escolha da 
curva de contorno que melhor descrevesse os dados obtidos nas medições e, que apresentasse o 
modelo matemático que determina esta curva. Vale salientar que geralmente estes modelos 
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apresentam coeficientes não exatos, o que se torna bastante trabalhoso obtê-los manualmente, 
através de diferentes métodos de aproximação, como por exemplo, mínimos quadrados. Para esta 
tarefa então, o software utilizado foi o Graph e, para melhor exemplificar, vamos apresentar 
neste trabalho, os momentos desenvolvidos durante a atividade, utilizando para isso, um dos 
sólidos escolhido por um aluno da turma, que está mostrado na Fig. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1. Sólido escolhido por um aluno. 
 
 
A curva de contorno 
 
 Após a realização das medidas e a organização dos dados em tabela, já no laboratório de 
informática, orientamos os alunos para seguir as indicações expressasem um roteiro, que foi 
previamente elaborado para a realização desta atividade. Para obter a curva de contorno, foi 
necessário dispor no software os dados coletados do sólido e, acessar o menu Função, marcar 
Inserir série de pontos, ou clicar no local indicado na Fig. 2 e seguir as orientações que são 
apresentadas pelo software, fazendo aparecer a janela (Fig. 2) que indica onde deverão ser 
digitados os dados dos sólidos. Ficou estabelecido que a variável X representaria a altura e, Y 
seria a variável representativa do raio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Janelas do Graph. 
 
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 Após inserir as informações referentes às medidas encontradas no sólido e clicar em OK, 
aparecerá na tela à distribuição dos pontos. Para realizar a escolha da curva modelo devemos 
acessar o menu Função e escolher a opção Inserir ajuste de curva ou, clicar no local indicado na 
Fig. 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Distribuição dos dados. 
 
 Neste momento foi necessária uma discussão sobre a distribuição dos dados, observando o 
tipo de curva que deveria ser escolhida de forma que, melhor representasse esses dados. No 
exemplo que estamos mostrando, a curva escolhida foi polinomial de ordem quatro, pois é fácil 
perceber que a distribuição dos pontos se assemelha a uma curva representativa de uma função 
de quarta ordem. 
 A escolha e a determinação do modelo a partir do software se tornam bastante rápida e 
eficiente, podendo ser alterada quantas vezes for necessário, até chegar ao melhor modelo (Fig. 
4). A utilização do software mostra que este recurso é de fácil utilização e auto-explicativo e, 
portanto, um facilitador neste processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Janela do Graph. 
 
Aqui você 
escolhe a curva e 
a ordem! 
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 Com a ordem e o tipo de função já escolhida, clicando em OK o modelo foi gerado e 
apresentado no canto direito da tela, como mostra a Fig. 5. Este modelo, mostrado na Eq. (1), foi 
utilizado para o cálculo do volume. 
 
 86633333,0x0734744,3x0695997,1x14504312,0x0066707459,0)x(f 234  (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Janela do Graph. 
 
 
O cálculo do volume 
 
 Para o cálculo do volume do sólido, consideramos que a curva faria uma revolução em torno 
de um eixo fixo, neste caso o eixo “x”. Assim, a fórmula válida é dada pela Eq. (2), onde f(x) é o 
modelo (Eq. (1)) encontrado no Graph, e o intervalo de integração [a, b] considerado, foi aquele 
determinado pelas medições, ou seja, [1, 10]. 
 
 
b
a
2 dx)]x(f[V (2) 
 
 Para encontrar o valor do volume indicado pela Eq. (2), foi utilizado o software WxMaxima, 
pois o software Graph não realiza este tipo de cálculo. O resultado obtido, conforme mostrado na 
Fig. 6 foi de 3cm
1050375
pi126868787 , que transformado equivale a 3cm2626,379 . 
 Percebemos, no desenvolvimento de nossas ações, que a aplicação de um conteúdo 
matemático numa situação real apresenta maior credibilidade, para os alunos, se puder ser 
validada, confrontando o resultado obtido através do cálculo, com a medida real. Esta validação 
nem sempre é fácil de ser realizada, porém na situação apresentada, é fácil verificar se o 
resultado encontrado pela Eq. (2) fica próximo da medida real do volume do sólido. Este 
procedimento de verificação foi sugerido aos alunos. Obviamente que devemos considerar erros 
de medidas em ambos os resultados. No exemplo que estamos expondo neste trabalho, foi 
realizada esta verificação, através da utilização de uma proveta. O resultado encontrado mostrou 
que o modelo utilizado se apresentou satisfatório visto que a medida encontrada pela Eq. (2) se 
aproximou da medida encontrada experimentalmente utilizando a proveta. A diferença encontrada 
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foi da ordem de aproximadamente 5 cm3, a qual foi considerada satisfatória pelo aluno visto que 
as medidas obtida não foram realizadas com extremo rigor, por exemplo, não foi considerada a 
espessura do sólido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Janela do WxMaxima, para cálculo da integral apresentada na Eq. (2). 
 
 Podemos marcar que o fato do resultado da medida real ser próximo do encontrado através da 
aplicação de integrais definidas, mostra que podemos “usar” a matemática em situações reais, e 
principalmente serve para significar o estudo de integrais. Em se tratando de alunos de 
Licenciatura, entendemos que é um indicativo de que vale a pena buscar aplicações de conteúdos 
matemáticos, bem como utilizar recursos computacionais adequados para resolver tarefas e obter 
resultados. 
 
 
Considerações 
 
 Ao concluir este trabalho, esperamos de alguma forma ter contribuído com as discussões a 
cerca do uso das tecnologias, especialmente no ensino de matemática, visando à aprendizagem. 
Apostamos sempre na simplicidade de nossas propostas, mas apostamos ainda mais, nas 
possibilidades de ensino que só se efetivam quando se realiza ações de sala de aula. É de nossa 
prática que estamos falando e por isso com muita propriedade. Além disso, estamos tratando da 
formação de futuros profissionais do ensino e esperamos com trabalhos como este, estar 
influenciando na maneira em que estes irão atuar em sala de aula, ou seja, buscando alternativas 
didáticas. 
 Nesse trabalho salientamos a importância do uso de softwares como essenciais e facilitadores 
para a obtenção dos resultados, que para a situação apresentada foram fundamentais. A 
discussão da aplicabilidade de integrais definidas, no cálculo de volume de um sólido de 
revolução, se tornou mais atraente para os alunos, visto que eles vivenciaram, na prática, todas 
as etapas para a obtenção dos resultados finais, desde a escolha do sólido até a determinação do 
volume de forma experimental. Portanto, acreditamos que atividades como esta, se mostram 
eficientes tanto para desenvolver conteúdo como para mostrar a importância do seu estudo. 
 Muitos pesquisadores têm trazido em seus textos discussões que apontam para o potencial 
dos recursos tecnológicos para o ensino, este tema nos instiga, nos preocupa, porém, além desta 
preocupação estão as ações e, estas são ímpares para mostrar as vantagens ou desvantagens do 
uso das tecnologias no ensino. Por isso, estamos relatando e pretendemos continuar além de 
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realizando ações, socializando os resultados/constatações com aqueles profissionais que, de certa 
forma compartilham das mesmas idéias e objetivam mostrar na prática suas descobertas. 
 
 
Referências 
 
[1] M. C. Borba, M. C., M. G. Penteado. “Informática e Educação Matemática”, Autêntica, 
Belo Horizonte, MG, 2005. 
 
[2] A. Campos. O que é um software livre. Disponível em: <http://br-linux.org/faq-
softwarelivre/. Acesso em 10. dez. 2009. 
 
[3] E. K. Fainguelernt. Entrevista, Educação Matemática em Revista – SBEM, ano XI, n.16, p. 
4-7, (2004). 
 
[4] C. Piva, L. Dorneles, A. P. Spilimbergo e A. F. Dosciati. Articulação entre álgebra e 
geometria de sistemas lineares em ambiente informatizado: uma experiência em curso de 
engenharia. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA, ENGENHARIA E 
SOCIEDADE – ICMES 2009, 1, 2009a, Curitiba. Proceedings… Curitiba, PR: 2009, 1 CD-
ROM. 
 
[5] J. A. Valente. Computadores e conhecimento: repensando a educação. Campinas: NIED, 
1993. 
 
 
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