Lista de Integrais

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UFRB
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I COD:CET146 CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
Atualizada em 25 de novembro de 2010
Integrais
EP 1. Nos exercícios abaixo, calcular as integrais indefinidas.
(a)
Z
x2
x2 + 1
dx
(b)
Z
x2 + 1
x2
dx
(c)
Z
sen x
cos2 x
dx
(d)
Z
r
9
1− x2 dx
(e)
Z
r
4
x4 − x2 dx
(f)
Z
8x4 − 9x3 + 6x2 − 2x + 1
x2
dx
(g)
Z
(cos θ · tg θ) dθ
(h)
Z
(ex − e−x) dx
(i)
Z
(sec2 x(cos3 x + 1)) dx
(j)
Z
tg2 x cossec2 x dx
(k)
Z
(1 − t)(2 + t2) dt
(l)
Z
x3 − 2√x
x
dx
(m)
Z

x2 + 1 +
1
x2 + 1
‹
dx
(n)
Z
(cossec2 t − 2et) dt
(o)
Z
(θ − cossec θ cotg θ) dθ
(p)
Z
sec t(sec t − tg t) dt
(q)
Z
(1 + tg2 α) dα
(r)
Z
sen 2x
sen x
dx
EP 2. Encontrar uma primitiva F , da função f (x) = x2/3 + x , que satisfaça F (1) = 1.
EP 3. Determinar a função f (x) tal que
Z
f (x) dx = x2 +
1
2
cos(2x) + c .
EP 4. Encontrar uma função f tal que f ′(x) + sen x = 0 e f (0) = 2.
EP 5. Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
(a)
Z
(2x2 + 2x − 3)10(2x + 1) dx
(b)
Z
(x3 − 2)1/7x2 dx
(c)
Z
5x
p
4− 3x2 dx
(d)
Z
p
x2 + 2x4 dx
(e)
Z
(e2t + 3)1/3 e2t dt
(f)
Z
sen4 x cos x dx
(g)
Z
sen x
cos5 x
dx
(h)
Z
2 sen x − 5 cos x
cos x
dx
(i)
Z
sen(5θ − pi) dθ
(j)
Z
sen(5θ − pi) dθ
(k)
Z
x
2
cos x2 dx
(l)
Z
arcsen(y)
2
p
1− y2 dy
(m)
Z
2 sec2 θ
a + b tg θ
dθ
(n)
Z
dx
16 + x2
(o)
Z
dy
y2 − 4y + 4
(p)
Z
3
√
sen θ cos θ dθ
(q)
Z
x(4 + x2)10 dx
(r)
Z
dt
(1− 6t)4
(s)
Z
esen θcos θ dθ
(t)
Z
(x + 1)
p
2x + x2 dx
(u)
Z
(ln x)2
x
dx
EP 6. Resolver as seguintes integrais usando o método de integração por partes.
(a)
Z
cos3 x dx
(b)
Z
x2 sen x dx
(c)
Z
(x + 1) cos(2x) dx
(d)
Z
5e2x sen x dx
(e)
Z
x3
p
1− x2 dx
(f)
Z
x2 ln x dx
(g)
Z
x2ex dx
(h)
Z
arcsen x/2 dx
(i)
Z
(x − 1) sec2 x dx
(j)
Z
e3x cos(4x) dx
(k)
Z
x arctg(x) dx
(l)
Z
x cos2 x dx
EP 7. Calculando as integrais I1 =
Z 2
1
x2 dx , I2 =
Z 2
1
x dx e I3 =
Z 2
1
dx , obtemos I1 = 7/3, I2 = 3/2 e I3 = 1. Usando
estes resultados, encontrar o valor de:
(a)
Z 2
1
(6x − 1) dx
(c)
Z 2
1
(x − 1)(x − 2) dx
(b)
Z 2
1
2x(x + 1) dx
(d)
Z 2
1
(3x + 2)2 dx
EP 8. Se
Z 1
0
5
√
x2 dx =
5
7
, calcular
Z 0
1
5
√
t2 dt.
EP 9. Se
Z pi/2
0
9 cos2 t dt =
9pi
4
, calcular
Z pi/2
0
(− cos2 θ) dθ.
EP 10. Determinar as seguintes derivadas:
(a)
d
dx
Z x
2
√
t + 4 dt (b)
d
dy
Z y
3
2x
x2 + 9
dx (c)
d
dθ
Z θ
−1
t sen t dt
EP 11. Em cada um dos itens abaixo, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu gráfico.
(a) f (x) =
¨
2x + 5, se −1 ≤ x < 0
5, se 0 ≤ x ≤ 1 ; em [−1, 1]
(c) f (x) = x − |x |
2
; em [−1, 1]
(b) f (x) = | sen x | ; em [−pi,pi]
(d) f (x) = sen x + | cos x | ; em [−pi,pi]
EP 12. Mostrar que:
(a)
Z pi
−pi
sen(2x) cos(5x) dx = 0 (b)
Z pi
−pi
cos(2x) cos(3x) dx = 0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen(mx) cos(nx) =
1
2
[sen((m + n)x) + sen((m − n)x)] e cos(mx) cos(nx) = 1
2
[cos((m + n)x) + cos((m − n)x)],
onde m e n são dois números inteiros quaisquer.)
EP 13. Nos exercícios abaixo, calcular as integrais definidas.
(a)
Z 2
−1
x(1 + x3) dx
(d)
Z 1
0
dy√
3y + 1
(g)
Z 2pi
0
| sen x | dx
(j)
Z pi/2
0
cos x
(1 + sen x)2
dx
(b)
Z 0
−3
(x2 − 4x + 7) dx
(e)
Z 3pi/4
pi/4
sen x cos x dx
(h)
Z 0
−2
v2 dv
(v3 − 2)2
(k)
Z −2
−3
(t − t−1)2 dt
(c)
Z 2
1
dx
x6
(f)
Z 1
−1
x2 dx√
x3 + 9
(i)
Z pi/2
0
sen2 x dx
(l)
Z −1
0
x3 + 8
x + 2
dx
EP 14. Nos exercícios abaixo, encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
(a) x = 1/2, x =
√
y e y = −x + 2
(c) y = 1− x2 e y = −3
(e) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0
(g) y = 4− x2 e y = x2 − 14
(b) y = 5− x2 e y = x + 3
(d) x + y = 3 e y + x2 = 3
(f) y = sen x e y = − sen x , x ∈ [0, 2pi]
(h) y = ex − 1, y = −x e x = 1
Cálculo Diferencial e Integral I 2
Gabarito
1. (a) x − arctg(x) + c (b) x − 1
x
+ c (c) sec(x) + c (d) 3 arcsen(x) + c (e) 2 arcsec(x) + c (f)
8x3
3
− 9x
2
2
+ 6x − 2 ln |x| − 1
x
+ c (g) − cos(θ) + c
(h) ex + e−x + c (i) sen(x) + tg(x) + c (j) tg(x) + c (k) − t
4
4
+
t3
3
− t2 + 2t + c (l) x
3
3
− 4√x + c (m) x
3
3
+ x + arctg(x) + c (n) − cotg(t)− 2et + c
(o)
θ2
2
+ cossec(θ) + c (p) tg(t) − sec(t) + c (q) tg(α) + c (r) 2 sen(x) + c
2. F (x) =
3
5
x5/3 +
x2
2
− 1
10
3. f (x) = 2x − sen 2x
4. f (x) = cos x + 1
5. (a)
1
22
(2x2 + 2x − 3)11 + c (b) 7
24
(x3 − 2)8/7 + c (c) −5
9
(4 − 3x2)3/2 + c (d) 1
6
(1 + 2x2)3/2 + c (e)
3
8
(e2t + 3)4/3 + c (f)
sen5 x
5
+ c (g)
1
4
sec4 x + c (h) −2 ln | cos x| − 5x + c (i) 1
2
sen(2ex ) + c (j)
−1
5
cos(5θ − pi) + c (k) 1
4
sen(x2) + c (l)
1
4
(arcsen y)2 + c (m)
2
b
ln |a + b tg θ| + c
(n)
1
4
arctg
x
4
+ c (o)
1
2 − y + c (p)
3
4
3√
sen4 θ + c (q)
(4 + x2)11
22
+ c (r) esen θ + c (s) esen θ + c (t)
1
3
p
(2x + x2)3 + c (u)
(ln x)3
3
+ c
6. (a) cos2 x sen x − 2 sen
3 x
3
+ c (b) −x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c (c) x + 1
2
sen(2x) +
1
4
cos(2x) + c (d) −e2x cos x + 2e2x sen x + c
(e) − x
2
3
(1 − x2)
p
1 − x2 − 2
15
(1 − x2)2
p
1 − x2 + c (f) x
3
3
”
ln x − 1
3
—
+ c (g) ex [x2 − 2x + 2] + c (h) x arcsen(x/2) +
p
4 − x2 + c
(i) (x−1) tg x +ln | cos x|+c (j) 4
25
”
e3x sen(4x) +
3
4
e3x cos(4x)
—
+c (k)
x2
2
arctg(x)− 1
2
x +
1
2
arctg(x)+c (l)
1
4
”
x2 + x sen(2x) +
1
2
cos(2x)
—
+c
7. (a) 8 (b)
23
3
(c)
−1
6
(d) 43
8. − 5
7
9. −pi
4
10. (a) f (x) =
√
x + 4 (b) ϕ(x) =
2y
y2 + 9
(c) ψ(θ) = θ sen θ
11. (a) 9 (b) 4 (c)
−1
2
(d) 4
12. (a) ????? (b) ?????
13. (a)
81
10
(b) 48 (c)
31
160
(d)
2
3
(e) 0 (f)
2
√
2
3
[
√
5 − 2] (g) 4 (h) 2
15
(i)
pi
4
(j)
15
64
(k)
9
2
(l) − 16
3
14. (a)
1
3
(b)
9
2
(c)
32
3
(d)
1
6
(e) e − 1 (f) 8 (g) 72 (h) e − 3
2
“... que a arte nos aponte uma resposta, mesmo que ela não saiba. E que
ninguém a tente complicar, porque é preciso simplicidade para fazê-la florescer;
porque metade de mim é a plateia e a outra metade é a canção. E que a minha
loucura seja perdoada, porque metade de mim é amor e a outra metade... também!”
Oswaldo Montenegro
Cálculo Diferencial e Integral I 3