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Avaliação 3 - 2011.2 T04

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UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I CURSO:
PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / /
NOME: TURMA:
Terceira Avaliação
Atualizada em 20 de outubro de 2011
INSTRUÇÕES:
• Desligue o celular. Não é permitido usá-lo durante a prova;
• Durante a avaliação, a saída da sala e qualquer forma de consulta não será permitida;
• A interpretação de cada questão é parte integrante da prova;
• Só serão validadas as questões justificadas com todos os cálculos nas folhas de respostas.
Questões:
1. (Valor: 5,0) Seja f(x) = x2/3(3− x)1/3. Sabendo que as duas primeiras derivadas de f são
f ′(x) =
2− x
x1/3(3− x)2/3
e f ′′(x) =
−2
x4/3(3− x)5/3
,
determine, se existirem, o que se pede:
(a) (Valor: 0,5) Os pontos críticos de f .
(b) (Valor: 1,0) Os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
(c) (Valor: 1,0) Os valores máximos e mínimos relativos de f .
(d) (Valor: 1,0) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão do gráfico de f .
(e) (Valor: 1,5) Esboce o gráfico de f .
2. (Valor: 2,0) Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições dadas:
(i) Dom(f) = R;
(ii) f(−1) = f(3) = f(5) = 0;
(iii) f(0) = −2, f(2) = 2 e f(4) = −2;
(iv) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0;
(v) f ′(x) < 0 se x < 0 ou 2 < x < 4;
(vi) f ′(x) > 0 se 0 < x < 2 ou x > 4;
(vii) f ′′(x) < 0 se 1 < x < 3;
(viii) f ′′(x) > 0 se x < 1 ou x > 3.
3. (Valor: 1,5) Um pôster tem a forma de um retângulo e deve ser construído com uma área
de 4000 cm2. Sabendo que as margens de cima e de baixo medem 4 cm cada, e as margens
laterais medem 2, 5 cm cada, determine a maior área possível do material impresso sobre o
pôster.
4. (Valor: 1,5) A partir de um pedaço de papelão, em forma de quadrado, cuja área é de
3600 cm2, deseja-se construir uma caixa sem tampa, com maior volume possível, tirando
quatro quadrados menores, um em cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados.
Determine, em centímetros, quais deverão ser as dimensões da caixa.
5. (Valor: 2,0) Sabendo que a Regra de L’Hôspital se aplica nos casos de indeterminação
0
0
e
∞
∞
, use-a para calcular os seguintes limites:
(a) lim
x→pi
e5 sen (2x) − 1
x− pi
(b) lim
x→pi
2
−
[tg x− sec x]
(c) lim
x→0
20x
x+ senx
(d) lim
x→0+
(x2 + 1)1/x
“O desenvolvimento da capacidade geral de pensamento
e livre-arbítrio sempre deveria ser colocado em primeiro
lugar, e não a aquisição de conhecimento especializado.
Se uma pessoa domina o fundamental no seu campo de
estudo e aprendeu a pensar e a trabalhar livremente, ela
certamente encontrará o seu caminho e será mais capaz
de adaptar-se ao progresso e às mudanças.”
Albert Einstein
Terceira Avaliação # Cálculo Diferencial e Integral I 2

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