Cálculo 2 3a Lista de Exercícios

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3ª Lista de Exercícios – 2013.2 
 
 
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da 
região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo: 
 
 
a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0 b) y = x e y = x2 
c) y = x2 e y = x3 d) y = 
x
1
, x = 1, x = 2, e y = 0 
e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0 f)y =x2 +1, x = 0, x=2 e y=0 
g) y = 1x − , x = 2, x = 5 e y = 0 h)y =cosx, y =senx , x=0 e x=
4
π
 
 
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da 
região limitada por y = 2x1− ; y = 2; 2x −= e x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta 
y =1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
eixo de revolução 
x
y
z
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x
y
y = 2
y=3
x
y
z
−5 −4 −3 −2 −1 1 2
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
y = 1
UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo Integral 
Ano: 2013 
 
 
2 
2 
Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região 
determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não 
confundir as integrais 
dx))x(g)x(f(V
b
a
2
1 ∫ −π= dx ])x(g)x(f[V
b
a
22
2 ∫ −π=
 
 
5) Considere a região R limitada pelas curvas xy = e y = x. Dê apenas a expressão da 
integral ( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido, 
nos seguintes casos: 
 
a) R gira em torno de OY; b) R gira em torno de x = − 1 
 
 
6) Considere R a região limitada pela curva 21 xy += e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a 
expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume 
gerado pela rotação de R em torno de: 
 
a) 0Y; b) y = 3; c) x = − 1 
 
 
7) Considere a região R limitada pela curva 
x
1y = as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região 
R e: 
 
a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de y = 2. 
 
b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o 
volume gerado pela rotação de R em torno de: 
 
b1) y = 0; b2) y = 3; b3) x = 0; b4) x = 2 
 
 
8) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes 
 
a) 
( )
∫
+
∞
1 213x
dx
; b) ∫
∞
1
dx
x
lnx ; c) dx
x
lnx 
1 2
∫
∞
; 
d)
 
∫
++
∞
0 3)2)(x(x
dx ; e) ∫
+∞
∞-
3dx x ; f) ∫
−
∞
1
-
2t- dte 
 
 
9) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita) 
 
a) S = { }xey0 1, xy);(x, ≤≤≤ b) S = { }-x/2ey0 2, xy);(x, ≤≤−≥ 
 
c) S = { }2(lnx)/xy0 1,xy);(x, ≤≤≥ 
 
 
 
 
3 
3 
10) Determine os valores de p para os quais a integral dx 
x
1 
1
p∫
∞
 converge, para os quais 
diverge e avalie a integral quando ela convergir . 
 
 
11) A vida média M de um átomo numa substância radioativa é definida como sendo 
∫−=
+∞
0
ktdttekM , onde k é uma constante negativa que depende da substância. Sabendo que 
para o isótopo radioativo do carbono, 14C , k = −0,00012, calcule a vida média de um átomo 
de 14C . 
 
12) Encontrar a área sob o gráfico da curva de y = 21x
1
)( +
 para x ≥ 1. 
 
 
 
Respostas: 
 
 
1) a) u.v.
3
26π b)
15
2π u.v. c)
35
2π u.v d)
2
π
u.v e)
7
2π u.v f )
15
206πu.v g)
2
15π u.v. h)
2
π
 u.v. 
 
2) 
15
412π u.v. 3) 2π u.v. 4) 
12
π37 u.v. 5) a) V= ∫ −π
1
0
42 dy)yy( b) ∫ +−+
1
0
222 dy])1y()1y[(π 
6) a) ∫ −π∫ =−π
2
1
2
1
2 dy)1y( dy)1y( b) dx]1)x2[(dx]1))1x(3[(
1
0
221
0
22 −∫ −π=−∫ +−π c) ∫ −+−π
2
1
2 dy]1)11y[( 
7) a) ( ))2ln8 2/15(π − u.v. 
b1) ∫ −
2
2/1
2 dx)x
14(π b2) ∫ −−
2
2/1
2 dx)1)
x
13((π b3) ∫ −
2
2/1
2 dy)y
14(π b4) ∫ −
2
2/1
2 dy)
y
12(π 
 
8) a) 1/12 ; c) 1; d) 
3
2ln− . As demais divergem 
9) a) e b) 2e c) 1 
10) converge se p 1> e 
1p
1dx 
x
1 
1
p −
=∫
∞
 , diverge se p 1≤ .; 
11) M ≈ 8.333 
 
12) ½