Lista de exercícios da Unidade II

Prévia do material em texto

Lista de exercícios do Capítulo II 
 
1) Use a definição de limite para determinar a derivada da função. 
(a) ( ) (b) ( ) √ (c) ( ) 
 
 
 
 
2) Determine a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto indicado usando a definição. 
(a) ( ) em (-3 , 4) (b) ( ) em (1 , 3) 
 
3) Determine a equação da reta tangente, usando definição de derivada, à curva de f no ponto 
indicado. Em seguida, verifique se o resultado está correto plotando f e a reta tangente. 
(a) ( ) 
 
 
 em (2 , 2) (b) ( ) √ em (4 , 3) 
 
4) Determine a equação da reta tangente usando definição à curva de f e paralela à reta dada. 
(a) ( ) 
 
 
 reta: (b) ( ) reta: 
 
5) Use um programa de plotagem para traçar a curva da função f no intervalo [-2 , 2]. Complete a 
tabela, estimando graficamente o valor da função e da inclinação da curva da função nos pontos 
indicados. Em seguida, determine as inclinações analiticamente e compare os resultados com os 
obtidos graficamente. 
x -2 - 3/2 -1 - 1/2 0 1/2 1 3/2 2 
f (x) 
f 
'
(x) 
 
(a) ( ) 
 
 
 (b) ( ) 
 
 
 
 
6) Determine a derivada da função f. Em seguida, use um programa de plotagem para traçar o 
gráfico de f e sua derivada na mesma janela de observação. O que a interseção da derivada com o 
eixo x revela a respeito da curva de f ? 
(a) ( ) (b) ( ) 
 
7) Determine a derivada da função. 
(a) ( ) (b) 
 
 (c) ( ) √ 
 
 
 
8) Determine a derivada da função no ponto indicado. 
(a) ( ) 
 
 
 em (
 
 
 
 
 
) (b) ( 
 
 
) em ( ) 
(c) ( ) em ( ) 
9) Determine ( ). 
(a) ( ) 
 
 
 (b) ( ) ( ) (c) ( ) ( )( ) 
(d) ( ) 
 
 
 
 
10) Escreva a equação da reta normal à curva da função no ponto indicado. 
(a) ( ) (b) ( ) √ 
 
 √ 
 
 ( ) 
(c) ( ) 
 
√ 
 ( ) 
 
11) Determine o(s) ponto(s) em que a curva da função dada possui uma tangente horizontal. 
(a) (b) 
 
 
 (c) 
 
12) A altura (em metros) de um corpo arremessado verticalmente para cima a partir do solo, com 
uma velocidade inicial de 60 metros por segundo, é dada por , onde t é o 
tempo (em segundos). 
(a) Qual é a velocidade do corpo após 1 segundo? 
(b) Durante que intervalo de tempo a velocidade do corpo está diminuindo? 
(c) Durante que intervalo de tempo a velocidade do corpo está aumentando? 
 
13) Um carro de corrida viaja em uma pista retilínea com velocidade constante, percorrendo 
0,75 Km em 20 segundos. O percurso de volta ao ponto de partida é feito em 25 segundos. 
(a) Qual é a velocidade média do carro em metros por segundo na primeira metade do percurso? 
(b) Qual é a velocidade média para o percurso total? 
 
14) Um automóvel viaja 25.000 Km em um ano e faz x Km com um litro de gasolina. O preço 
médio do litro de gasolina é de R$ 2,00. Determine o gasto anual C com combustível em função 
de x e use essa função para completar a tabela. 
x 10 15 20 25 30 35 40 
C 
 
 
 
 
Quem se beneficiaria mais de um aumento de 1 Km por litro na eficiência do motor: o motorista 
de um carro que faz 15 Km/l ou o de um que faz 35 Km/l? Justifique sua resposta. 
 
15) Determine o valor da derivada das funções no ponto indicado. 
(a) ( ) ( ) ; (1 , 2) (b) ( ) ( )( ) ; (-1 , 6) 
(c) ( ) ( )( ) ; (1 , 0) (d) ( ) 
 
 
 ; (6 , 6) 
(e) ( ) 
 
 
 ; (1 , 0) (f) ( ) 
 
 
 ; (0 , 5) 
16) Determine as derivadas das funções. 
(a) ( ) ( )( ) (b) ( ) √ 
 
 (√ ) 
(c) ( ) 
 
 
 (d) ( ) ( ) (
 
 
) 
(e) ( ) (
 
 
) ( ) (f) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
17) Escreva a equação da reta tangente à curva das funções abaixo no ponto indicado. Em 
seguida, use um programa de plotagem para traçar a curva e a reta tangente na mesma janela de 
observação. 
(a) ( ) ( )( ) ; (0 , -2) (b) ( ) (
 
 
) ( ) ; (0 , -5) 
 
18) Determine o(s) ponto(s) em que o gráfico da função f possui uma tangente horizontal. 
(a) ( ) 
 
 
 (b) ( ) 
 
 
 (c) ( ) 
 
 
 
 
19) A temperatura T de um alimento guardado em uma geladeira é modelada pela função 
 ( ) (
 
 
), onde t é o tempo (em horas). Qual é a temperatura inicial do alimento? 
Determine a taxa de variação de T em relação a t, (a) para t = 1; (b) para t = 3; (c) para t = 10. 
 
20) O modelo ( ) 
 
 
 é utilizado pa45a descrever o teor de oxigênio em um lago, onde t é 
o tempo (em semanas) após o início do despejo de dejetos orgânicos no lago. Determine a taxa de 
variação de f em relação a t, (a) para t = 0,5; (b) para t = 2; (c) para t = 8. 
 
21) Use a Regra da Potência Generalizada para determinar a derivada da função. 
(a) ( ) ( ) (b) ( ) √ (c) √ 
 
 
 
22) Escreva a equação da reta tangente à curva das funções no ponto (2 , f(2)). Use um programa 
de plotagem para verificar se o resultado está correto traçando os gráficos da função e da tangente 
na mesma janela de observação. 
(a) ( ) ( ) (b) ( ) √ 
 
23) Determine a derivada das funções. 
(a) (
 
 
)
 
 (b) ( ) ( ) 
(c) ( ) √ (d) ( ) 
 
√ 
 
 
 
 
24) Um estudo de impacto ambiental revela que a concentração P de um certo poluente no ar, em 
partes por milhão, pode ser modelada pela equação √ , onde n é o 
número de residentes, em milhares de pessoas. Determine a taxa de aumento da concentração do 
poluente para uma população de 12.000 habitantes. 
 
25) O número N de bactérias em uma cultura após t dias é modelado pela função 
 [ 
 
( ) 
]. Complete a tabela. A que conclusão se pode chegar com base nesses 
resultados? 
t (dias) 0 1 2 3 4 
 
 ⁄ 
 
26) Determine a derivada segunda das funções: 
(a) ( ) 
 
√ 
 (b) ( ) ( 
 ) (c) ( ) √ 
 
 
(d) ( ) 
 
( ) 
 (e) ( ) ( ) 
 
27) Determine o valor indicado nas equações abaixo. 
(a) ( ) ( ) 
(b) ( ) √ 
 
 ( ) 
(c) ( ) ( ) ( ) 
 
28) Determine a derivada segunda e resolva as equações ( ) . 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) (b) ( ) 
(c) ( ) 
 
 
 (d) ( ) √ 
 
29) Uma bola é arremessada para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial de 40 metros 
por segundo. 
(a) Escreva a função posição da bola. 
(b) Escreva as funções velocidade e aceleração da bola. 
(c) Em que instante a bola atinge o ponto mais alto de sua trajetória? A que altura se encontra 
nesse momento? 
(d) Qual é a velocidade da bola no momento em que atinge o solo? Qual é a relação entre essa 
velocidade e a velocidade inicial? 
 
 
 
 
 
30) A velocidade de um automóvel (em metros por segundo) é modelada pela função 
 
 
 
 
 
. 
Complete a tabela, calculando a velocidade e a aceleração do automóvel a intervalos de 10 
segundos durante o primeiro minuto de viagem. Que conclusão se pode extrair da tabela? 
 
t (s) 0 10 20 30 40 50 60 
v (m/s) 
 
 
 ( ) 
 
31) Um carro está se movendo a 20 metros por segundo quando o motorista pisa no freio. A 
funçãoposição do carro é ( ) , onde s á a distância em metros e t é o tempo em 
segundos. Complete a tabela, calculando posição, velocidade e aceleração do veículo para os 
valores dados de t. Que conclusão se pode extrair da tabela? 
 
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 
s (t) 
v (m/s) 
𝑎( ) ( ) 
 
32) Um corpo é arremessado para cima do alto de um edifício de 20 metros, com uma velocidade 
inicial de 15 metros por segundo. 
(a) Escreva a função posição do corpo. 
(b) Escreva as funções velocidade e aceleração do corpo. 
(c) Em que instante o corpo atinge o solo? 
(d) Em que instante a velocidade do corpo é zero? 
(e) Qual é a altura máxima atingida pelo corpo? 
(f) Use um programa de plotagem para traçar gráficos da posição, da velocidade e da aceleração 
do corpo na mesma janela de observação. Descreva, em um parágrafo, a relação entre essas três 
funções. 
 
33) Determine 
 
 ⁄ para as equações abaixo. 
(a) (b) (c) 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
34) Determine, por derivação implícita, o valor da derivada no ponto indicado. 
(a) ( ) (b) √ ( ) 
(c) ( ) ( ) 
 
35) Determine 
 
 ⁄ implicitamente e explicitamente e mostre que os resultados são 
equivalentes. Determine a inclinação da reta tangente no ponto mostrado na figura. 
(a) (b) 
 
 
36) Seja x o número de unidades de mão de obra e y o capital investido em um processo de 
fabricação. Quando 135.540 unidades são produzidas, a relação entre mão de obra e capital pode 
ser modelada pela equação . Determine a taxa de variação de y em 
relação a x para x = 1500 e y = 1000. 
 
37) O número y de casos de AIDS conhecidos nos USA entre 1985 e 1998 pode ser modelado 
pela equação √ , onde t = 5 representa 1985. 
(a) Use um programa de plotagem para traçar a curva do modelo e descreva o resultado. 
(b) Use a curva para determinar o ano em que o número de casos conhecidos aumentou mais 
depressa. 
(c) Complete a tabela para confirmar sua estimativa. 
t 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
y 
 
 
38) Determine os valores indicados de 
 
 
 e 
 
 
 nas condições informadas. 
(a) √ 
 Calcular Dado 
a.1 
 
 
 x = 4 , 
 
 
 
a.2 
 
 
 x = 16 , 
 
 
 
 
(b) 
 Calcular Dado 
b.1 
 
 
 x = 3 , y = 4 , 
 
 
 
b.2 
 
 
 x = 4 , y = 3 , 
 
 
 
 
39) O raio r de um círculo está aumentando à taxa de 2 centímetros por minuto. Determine a taxa 
de variação da área no instante em que (a) r = 6 cm; (b) r = 24 cm. 
 
40) O raio r de uma esfera está aumentando à taxa de 2 centímetros por minuto. Determine a taxa 
de variação da área de superfície no instante em que (a) r = 6 cm ; (b) r = 24 cm. 
 
41) Uma escada de 7,5 metros está apoiada em uma casa (veja figura). 
A base da escada é afastada da casa à taxa de 0,6 m/s. Com que 
velocidade o alto da escada está descendo ao longo da parede no 
instante em que a base da escada se encontra: 
(a) a 2,1 m; 
(b) a 4,5 m; 
(c) a 7,2 m da casa? 
 
42) Um barco é puxado por um guincho que se encontra em um 
ancoradouro, 3,6 metros acima do convés do barco (veja a figura). O 
guincho está puxando a corda à taxa de 1,2 metros por segundo. 
Determine a velocidade do barco no instante em que o comprimento da 
corda entre o guincho e o barco é de 3,9 metros. 
 
 
 
 
43) Um avião que se encontra a 9,6 Km de altura passa diretamente 
acima de uma antena de radar (veja a figura). Quando o avião está a 
16 Km de distância (s = 16), o radar detecta que a distância s está 
variando à taxa de 384 Km/h. Qual é a velocidade do avião? 
 
 
 
 
44) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16 m e raio da base de 4 m. O tanque se enche de água à razão de 2 
m
3
/min. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 
5 m de profundidade? 
 
45) Um tanque horizontal tem 16 m de comprimento e suas 
extremidades têm a forma de trapézios isósceles com 4 m de altura, base 
menor igual a 4 m e base maior igual a 6 m. A água está sendo despejada 
no tanque à razão de 10 m
3
/min. Com que velocidade aumenta o nível da 
água quando a água estiver a 2 m do fundo? 
 
46) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à razão de 72 Km/h e 
o outro dirigindo-se para o sul à razão de 54 Km/h estão viajando 
em direção à interseção de duas rodovias. A que razão os carros 
aproximam-se um do outro, no instante em que o primeiro estiver a 
400 m e o segundo estiver a 300 m da interseção? 
 
 
47) Um automóvel que viaja à razão de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o 
automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s atravessa o 
cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam ângulos retos uma com a 
outra. Com que rapidez separam-se o automóvel e o caminhão 2 s depois que o caminhão passou 
pelo cruzamento? 
 
48) Um reservatório tem 12 m de comprimento e seus extremos são da forma de um triângulo 
isósceles invertido, tendo 3 m de altura e 3 m de base. Enche-se o reservatório com água à razão 
de 2 m
3
/min. Com que rapidez aumenta o nível de água quando está a 1 m de fundo? 
 
49) Um homem de 2 m de altura caminha em direção a um edifício à razão de 3 m/s. Se existe 
uma lâmpada sobre o chão a 10 m do edifício, com que rapidez a sombra do homem diminui, 
quando ele está a 3 m de distância deste? 
 
50) Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 10 dm
3
/min. Se a altura do monte 
é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que razão cresce a altura do monte quando esta é 
igual a 8 dm? 
 
51) Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido, está sendo esvaziado à razão 
de 6 cm
3
/min. A altura do cone é 24 cm e o raio da base é 12 cm. Encontre a rapidez com que 
baixa o nível da água, quando está a 10 cm do fundo. 
 
52) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm
3
/min. O cone tem 20 cm de 
profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da 
água está subindo à razão de 1 mm/min, quando a água estiver a 16 cm do fundo, com que 
velocidade a água estará escoando?