EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA E DO CORPO RÍGIDO

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PARTE II 
 
EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA E DO CORPO RÍGIDO 
 
 
 
Neste capítulo inicialmente tratamos do equilíbrio de partículas. Em 
seguida são apresentadas as definições dos centros de gravidade, centros de massa 
e centróides - centros geométricos - dos corpos rígidos. São definidas as condições 
gerais de equilíbrio para os corpos rígidos, isto é, corpos para os quais as 
deformações são desprezadas. As equações gerais de equilíbrio para sistemas 
planos de forças e sistemas espaciais de forças são apresentadas. Ao final é feita 
uma análise dos modelos de vínculos mais comuns aplicados aos corpos rígidos. 
 
2.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA PARTÍCULAS 
 
Nas aplicações em projetos é comum ao engenheiro usar modelos simples 
quando os resultados assim obtidos são adequados em termos de aproximação aos 
valores reais de casos analisados. Muitas vezes corpos rígidos são substituídos por 
partículas como simplificação. Definimos como partícula um corpo rígido cujas 
dimensões podem ser desprezadas. Podemos aplicar também as regras do 
equilíbrio de partículas para corpos nos quais todas as forças a ele aplicadas são 
concorrentes num único ponto. 
 Dadas várias forças aplicadas a uma partícula, ver Figura 2.1, qual ou quais 
são as condições para ocorrer o equilíbrio? 
 Vamos definir o equilíbrio através da primeira lei de Newton: se a 
resultante de todas as forças que atuam numa partícula for nula, então a sua 
velocidade é constante, ou seja 
 
 
cv0FR 

n
1i
i
 (constante) (2.1) 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Forças aplicadas numa partícula A. 
 
Muitas vezes diz-se que o equilíbrio estático ocorre quando a velocidade é 
nula. Mas, para maior precisão de linguagem é melhor identificar o caso de 
velocidade nula como condição de repouso e equilíbrio estático como qualquer 
condição de força resultante nula. 
 Consideremos a segunda lei de Newton para partículas: 
 
 
aFR m
n
1i
i 

 (2.2) 
 
Se a força resultante R for nula, então, 
 
 
0a0R 
 (2.3) 
 
e a velocidade é constante. Assim a condição dada em (2.1) é necessária e t ambém 
suficiente para ocorrer o equilíbrio. 
 
2.2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 
 Para a correta solução dos problemas de estática é sempre necessário 
esboçar o diagrama de corpo livre. No caso das partículas é um diagrama simples: 
resume-me no esboço de todas as forças aplicadas na partícula (conhecidas ou 
incógnitas) com suas direções, ou através de suas componentes. Veja o exemplo 
apresentado na Figura 2.2. 
 
 
 
 
A 
A 
F2 
F3 
F4 
F1 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Diagrama de corpo livre da partícula A. 
 
 Neste caso, há três forças aplicadas em A, sendo uma aplicada pelo cabo 
AB, outra pelo cabo AC e outra pela mola AD. A força desta mola é igual à força P 
enquanto que a força do cabo AC, que passa pela polia, será igual à Q no caso de 
se desprezar o atrito entre o mesmo e a polia. 
 Existe uma relação importante para molas lineares, entre as forças aplicadas 
às molas e as correspondentes deformações. Esta relação é conhecida como lei de 
Hooke para molas lineares, expressa da seguinte forma: 
 
 
lkFM 
 (2.4) 
 
onde k é a constante elástica da mola, 
0lll 
 é a sua deformação, sendo l o seu 
comprimento quando deformada e 
0l
 o seu comprimento quando sem carga e 
correspondentemente sem deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Lei de Hooke para molas lineares de constante k. 
A 
A 
FM 
k 
FM 
l 
FM = kl 
A 
FAC 
Fk 
FAB 
A B 
C k 
Q 
P 
4 
 
2.3 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES 
 
 Quando todas as forças aplicadas a uma partícula estão num mesmo plano 
dizemos que estas forças são coplanares. Se utilizarmos o plano xy como o plano 
destas forças, podemos decompô-las nas duas coordenadas x e y. Neste caso a 
aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos conduz a 
 
 
    0ji0FR  

yx
n
1i
i FF
 (2.5) 
 
ou, a um sistema de duas equações escalares dadas por 
 
 
0F
0F
y
x



 (2.6) 
 
 
2.4 SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
 
 Quando não é possível colocar todas as forças aplicadas a uma partícula 
num único plano, dizemos que o sistema formado por estas forças é 
tridimensional. Neste caso devemos decompor todas estas forças aplicadas nas 
coordenadas cartesianas xyz. A aplicação da condição de equilíbrio (2.1) nos 
conduz a 
 
 
      0kji0FR  

zyx
n
1i
i FFF
 (2.7) 
 
ou a um sistema de três equações escalares 
 
 
0F
0F
0F
z
y
x






 (2.8) 
 
 
 
5 
 
2.5 CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTRÓIDE 
 
 Vamos definir as propriedades de determinados pontos particulares de um 
corpo rígido. 
 Centro de Gravidade é definido como o ponto na qual o sistema equivalente 
de forças distribuídas de um corpo, devido à ação da gravidade, se resume a uma 
força, denominada força-peso W ou simplesmente peso do corpo. 
 Da definição de sistema equivalente obtemos as seguintes relações: 
 
 
 
mm
dmd gWW
 (2.9) 
 
Considerando que o vetor aceleração da gravidade g não varia ao longo de toda a 
massa do corpo rígido, temos que 
 
 
gW m
 onde 

m
dmm
 (2.10) 
 
Podemos determinar as coordenadas da posição do centro de gravidade xG, yG e zG 
usando as propriedades de sistemas equivalentes através de 
 
 






mm
G
mm
G
mm
G
dmzdzz
dmydyy
dmxdxx
gWW
gWW
gWW
 (2.11) 
 
As coordenadas da posição do centro de massa xC, yC e zC são definidas por 
 
 






m
C
m
C
m
C
dmzmz
dmymy
dmxmx
 (2.12) 
Observe-se que se considerarmos a aceleração da gravidade g constante 
para todos os pontos do corpo rígido, então o centro de massa coincide com o 
centro de gravidade e assim será tratado em todo este texto. 
6 
 
 Finalmente, considerando que a densidade de massa, ou massa específica ρ, 
seja constante ao longo de todo o volume, definimos o centróide ou centro de 
volume como: 
 






V
V
V
dVzVz
dVyVy
dVxVx
 (2.13) 
 Podemos estender a definição de centróide de volume para áreas e para 
linhas, através de procedimento análogo. Assim, para uma dada área A no plano 
xy, o seu centróide fica dado por equações similares a (2.13), obtidas fazendo a 
substituição do diferencial dV por edA. Considerando a espessura e muito pequena, 
obtemos 
 




A
A
dAyAy
dAxAx
 (2.14) 
 
 Para uma dada linha plana de comprimento L, o seu centróide fica dado por 
equações similares a (2.13), obtidas fazendo a substituição do diferencial dV por 
adL. Considerando a área a da seção transversal da linha muito pequena, obtemos 
 
 




L
L
dLyLy
dLxLx
 (2.15) 
 
 Para sólidos de revolução há dois teoremas, conhecidos como teoremas de 
Pappus e Guldinus, que relacionam propriedades de linhas com áreas de 
superfícies geradas e propriedades de áreas com volumes dos sólidos gerados. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Teorema I de Pappus e Guldinus. 
z 
r 
C 
dl 
rC 
l 
7 
 
 
 Seja uma linha l de comprimento L, cujo centróide está na posição rC, 
conforme indicado na figura 2.4. O elemento de área de superfície dS geradopela 
rotação completa do elemento da linha dl é igual a 
dlr2dS 
. Portanto, a área da 
superfície S gerada pela rotação completa da linha é dada por 
 
 

L
rdl2S 
 (2.16) 
 
Aplicando em (2.16) a propriedade de centróide de linha, obtemos: 
 
 
Lr2S C
 Teorema I de Pappus e Guldinus (2.17) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 - Teorema II de Pappus e Guldinus. 
 
 Seja a área A entre a linha l e o eixo z, e o centróide desta área na posição 
rC, conforme indicado na figura 2.5. O elemento de volume dV gerado pela rotação 
completa do elemento de área da é igual a 
dar2dV 
. Portanto, o volume V 
gerado pela rotação completa desta área é dado por 
 
 

A
rda2V 
 (2.18) 
 
 Aplicando em (2.18) a propriedade de centróide de área, obtemos: 
 
 
Ar2V C
 Teorema II de Pappus e Guldinus (2.19) 
 
 
 
z 
r 
C da 
rC 
l 
A 
8 
 
2.6 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 
 
 Seja um corpo rígido C, conforme mostra a figura 2.6, sobre o qual atuam 
várias forças externas em diferentes pontos. Vamos identificar a força externa 
resultante que atua na partícula Pi como Fi e a força interna que a partícula j faz 
sobre i como fij, conforme mostra a figura 2.6. Agora vamos escrever a equação de 
equilíbrio desta partícula do corpo rígido da seguinte forma 
 
 
0
j
jii  fF
 (2.20) 
 
Se somarmos as equações de equilíbrio aplicadas a todas as partículas deste corpo 
rígido, obteremos 
 
 
0
i j
ji
i
i  fF
 (2.21) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 - Forças numa partícula Pi de um corpo rígido C. 
 
Se tomarmos os momentos de todas as forças que atuam na partícula Pi em relação 
a um ponto qualquer O, teremos como conseqüência de (2.20) 
 
 
0
j
jiiiiO   frFrM
 (2.22) 
 
Vamos somar esta equação aplicada a todos os pontos do corpo rígido, 
 
 
0
i j
jii
i
ii
i
O   frFrM
 (2.23) 
 
x y 
ri 
Pi 
C 
fji 
Fi 
O 
z 
9 
 
Uma vez que as forças internas sempre ocorrem aos pares, os segundos termos das 
equações (2.21) e (2.23) são nulos. Logo estas equações de equilíbrio podem ser 
escritas como 
 
 
0
i
i F
 (2.24) 
onde a soma se faz apenas com todas as forças externas, e 
 
 
0
i
ii
i
O  FrM
 (2.25) 
onde a soma se faz apenas com os momentos de todas as forças externas. 
 Outra forma de se obter as equações de equilíbrio de um corpo rígido é 
fundamentada nas leis de Newton-Euler. Define-se o equilíbrio de um corpo como 
o estado no qual as acelerações de todos os pontos são nulas. Isto corresponde 
num corpo rígido a um estado no qual a aceleração do centro de massa e a 
aceleração angular deste corpo são nulas. Usando esta definição as equações 
(2.24) e (2.25) são obtidas imediatamente a partir das leis de Newton-Euler para o 
movimento, fazendo nulas as acelerações indicadas. 
 Desta forma, a equação vetorial (2.24) de equilíbrio das forças externas 
pode ser escrita em suas componentes x, y e z, ou seja, 
 
 
0F
0F
0F
z
y
x






 (2.26) 
 
e a equação vetorial (2.25) de equilíbrio dos momentos das forças externas em 
relação à origem do sistema de referência O, pode ser escrita através do equilíbrio 
dos momentos em relação aos eixos x, y e z, ou seja 
 
 
0M
0M
0M
z
y
x






 (2.27) 
 
10 
 
 Portanto, nos problemas de sistemas de forças espaciais podemos ter até 
seis equações escalares de equilíbrio, linearmente independentes. Se tivermos 
algumas condições particulares, como por exemplo, um sistema espacial onde 
todas as forças são concorrentes, temos apenas as três equações (2.26) como 
condição de equilíbrio. Outro caso particular é de um sistema espacial onde todas 
as forças são paralelas. Neste caso temos apenas três equações para o equilíbrio, 
sendo uma das equações (2.26) e duas das (2.27). 
 Para sistemas nos quais todas as forças estão num plano, por exemplo, o 
plano xy, as equações (2.26) e (2.27) ficam reduzidas à: 
 
 
0F
0F
y
x



 (2.28) 
e 
 
0M z 
 (2.29) 
Observe-se que neste caso, as forças correspondentes a binários aplicados devem 
estar no mesmo plano das forças, pois de outra forma o sistema de forças não seria 
plano. 
 
2.7 MODELOS DE VÍNCULOS ENTRE CORPOS RÍGIDOS 
 Corpos rígidos estão em geral presos a outros corpos através de 
determinados vínculos reais. Para os cálculos de engenharia, são criados alguns 
modelos que procuram representar de forma próxima os vínculos reais. 
 Os modelos de vínculos introduzem restrições a movimentos, representadas 
por forças e momentos de binários correspondentes à atuação dos vínculos sobre o 
corpo rígido em análise. Assim, ao fazermos o diagrama do corpo livre de um 
corpo rígido devemos colocar todas as forças externas aplicadas, que podemos 
dividir em dois tipos: carregamentos, incluindo o peso próprio, e as ações dos 
vínculos, muitas vezes denominadas reações de apoio. 
 Com relação à vinculação de um corpo rígido podemos considerá -la sobre 
várias condições: 
11 
 
 (i) vinculação incompleta que não impede completamente o movimento do 
corpo rígido, permitindo o movimento em algumas direções se houver ação nestas 
direções, e que o equilíbrio só pode ocorrer em condições particulares de 
carregamento. Estes casos são chamados às vezes de hipostáticos. 
 (ii) vinculação completa que introduz um conjunto mínimo de forças ou 
momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com quaisquer 
carregamentos. Nestes casos qualquer movimento do corpo rígido é impedido e as 
equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos são suficientes para a 
determinação das condições de equilíbrio. Estes casos são chamados de 
isostáticos. 
 (iii) vinculação completa que introduz um conjunto maior que o mínimo de 
forças ou momentos de binários necessários para que ocorra equilíbrio com 
quaisquer carregamentos. Diz-se também que há vínculos redundantes. Nestes 
casos, assim como no anterior, qualquer movimento do corpo rígido é impedido. 
Entretanto aqui as equações de equilíbrio da estática dos corpos rígidos não são 
suficientes para a determinação das condições de equilíbrio. Há necessidade de 
equações adicionais para determinação completa dos esforços de equilíbrio. Em 
geral estas equações adicionais correspondem às condições de compatibilidade de 
deformações, assunto que é tratado na Mecânica dos Sólidos Deformáveis. Estes 
casos são chamados de hiperestáticos. 
 A questão de vínculos de um corpo rígido está ligada diretamente ao 
conceito de graus de liberdade. Definimos graus de liberdade ao número mínimo 
de coordenadas independentes necessário para descrever o movimento de um 
corpo rígido. Corpos rígidos têm no máximo 3 graus de liberdade nos movimentos 
planos e 6 graus de liberdade nos movimentos espaciais. Os vínculos são 
introduzidos para limitar os movimentos. Naqueles elementos que o projeto requer 
que não ocorra movimento, como nas aplicações da estática, os vínculos devem ser 
escolhidos para impedir qualquer tipo de movimento. 
 
 2.7.1 Estruturas submetidas a esforços contidos num plano 
 
 Nas estruturas submetidas a um conjunto de esforços, todos num único 
plano, podemos ter vínculos que tenham de 0 a 3 graus de liberdade. 
12 
 
 Modelos de vínculos com 0 graus de liberdade são usualmente chamados de 
engastamentos. Nestes casos o vínculo introduz esforços de tal maneira que 
qualquer movimento é impedidoindependente da existência de outros vínculos na 
estrutura. No diagrama de corpo livre este vínculo introduz 1 força de direção 
desconhecida e 1 binário ou 2 forças de direções conhecidas, em geral adota-se 
perpendiculares entre si, e 1 binário – ver Figura 2.7a. 
 Modelos de vínculos com 1 grau de liberdade são usualmente chamados de 
articulações, que correspondem a pinos lisos em ligações. Estes tipos de vínculos 
introduzem esforços que impedem deslocamentos lineares, mas não impedem 
deslocamentos angulares. No diagrama de corpo livre introduzem 1 força de 
direção desconhecida, ou 2 forças de direções conhecidas – ver Figura 2.7b. Há 
também os vínculos engastamento móvel e guia com colar rígido. 
 Modelos de vínculos com 2 graus de liberdade são usualmente chamados de 
articulações móveis, que correspondem aos apoios em superfícies sem atrito. Os 
colares articulados que correm sobre guias também são vínculos com 2 graus de 
liberdade. Estes tipos de vínculos introduzem esforços que impedem 
deslocamentos lineares apenas na direção normal às superfícies em contato, mas 
não impedem deslocamentos lineares na direção tangente às superfícies em contato 
e permitem deslocamentos angulares. No diagrama do corpo livre estes vínculos 
introduzem 1 força de direção conhecida – ver Figura 2.7c. 
 Posições da estrutura onde não há ligação a outros corpos têm 3 graus de 
liberdade. De fato, neste caso não há vínculo introduzido na estrutura. 
 Exemplos de símbolos e vínculos em casos planos estão apresentados na 
Figura 2.7. 
 
2.7.2 Estruturas submetidas a esforços espaciais 
 
 Nas estruturas submetidas a um conjunto de esforços quaisquer, que não 
estejam contidos num único plano, podemos ter vínculos que tenham de 0 a 6 
graus de liberdade. 
 Modelos de vínculos com 0 graus de liberdade são usualmente chamados de 
engastamentos. Nestes casos o vínculo introduz esforços de tal maneira que 
qualquer movimento é impedido independente da existência de outros vínculos na 
estrutura. Usando o sistema cartesiano, são introduzidos os seguintes esforços no 
diagrama de corpo livre: Fx, Fy, Fz, Mx, My e Mz. 
13 
 
 Modelos de vínculos com 1 grau de liberdade são usualmente chamados de 
articulações, que correspondem a pinos lisos em ligações. Alguns tipos de 
dobradiças, guias e mancais de encosto (combinação de mancal radial e mancal 
axial) também possuem apenas 1 grau de liberdade. Estes tipos de vínculos 
introduzem esforços que impedem deslocamentos lineares, mas não impedem 
deslocamentos angulares. Há ainda o caso de mancal com eixo de seção 
retangular, que permite apenas movimentos de translação numa direção. 
 Modelos de vínculos com 2 graus de liberdade usualmente correspondem 
aos mancais radiais, considerando que impedem flexões nos eixos. Estes tipos de 
vínculos permitem apenas deslocamentos lineares e angulares em relação à direção 
longitudinal. 
 Modelos de vínculos com 3 graus de liberdade usualmente correspondem às 
juntas esféricas. Podem também corresponder a mancais de encosto, quando se 
desprezam os momentos de vínculos introduzidos por este tipo de apoio. Assim 
são impedidos deslocamentos lineares em qualquer direção, deixando livres os 
deslocamentos angulares. Este tipo de vínculo introduz no diagrama do corpo livre 
uma força de direção desconhecida, ou o que é mais usual, suas 3 componentes 
ortogonais. 
 Modelos de vínculos com 4 graus de liberdade usualmente correspondem 
aos mancais radiais, considerando que não impedem flexões nos eixos. Estes tipos 
de vínculos impedem apenas deslocamentos lineares nas direções radiais. 
 Modelos de vínculos com 5 graus de liberdade usualmente correspondem 
aos apoios simples em superfícies lisas. Introduz no diagrama do corpo livre uma 
força de vínculo da direção normal às superfícies em contato. Uma ligação através 
de cabos também corresponde a um vínculo com 5 graus de liberdade. Portanto, 
impõe restrição apenas a deslocamentos na direção deste tipo de vinculação. 
Posições da estrutura onde não há ligação a outros corpos têm 6 graus de 
liberdade com relação a movimentos espaciais. De fato, neste caso não há vínculo 
introduzido na estrutura. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
a) 0 GL = 3 vínculos : engastamento. 
 
 
 
 
b) 1 GL = 2 vínculos : união por pino liso, articulação, engastamento 
móvel e guia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 2 GL = 1 vínculo : apoio simples, articulação móvel, colar e guia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 - Vínculos de estruturas com sistema plano de forças. 
θ 
F 
Mz 
θ 
F 
Fx 
Fy 
Mz 
Fx 
Fy 
Fx 
Mz 
Fy 
Mz 
Fn 
Fn 
Fn 
15 
 
a) 0 GL = 6 vínculos : engastamento. 
 
 
 
 
 
b) 1 GL = 5 vínculos: mancal radial com encosto, guia e eixo de seção 
retangular, união por pino liso, dobradiça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 2 GL = 4 vínculos: mancal radial 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 - Vínculos de estruturas com sistema espacial de forças. 
 
Fx 
Fz 
Mx 
My 
Mz 
Fx 
Fy 
Fz 
My Mz 
Fx 
Fy 
Fz 
Mx 
Mz 
 
Fx 
Fy 
Fz 
Mx 
My Mz 
Fz 
Fx 
Fy 
Mx 
Mz 
Fz 
Fx Mx 
Mz 
16 
 
d) 3 GL = 3 vínculos: junta esférica ou rótula. 
 
 
 
 
 
 
e) 4 GL = 2 vínculos : mancal radial que permite rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
f) 5 GL = 1 vínculo: apoio simples, apoio através de rolete, fio ou cabo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 - Vínculos de estruturas com sistema espacial de forças. 
 
Fx 
Fy 
Fz 
F 
Fn 
Fz 
Fx