Cônicas e Circunferência

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79 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
CAPÍTULO 8 
 
CÔNICAS 
 
 
Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às 
seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia 
estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e 
parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano 
intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200 
a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal 
modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que 
uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas 
distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções 
cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que, 
lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da 
gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático) 
descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de 
1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação 
e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações 
lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o 
movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no 
estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a 
trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos 
parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas. 
 
Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planas 
obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, a 
elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder 
ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionável 
importância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências, 
estaremos também introduzindo o estudo da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circunferência 
Hipérbole Parábola 
Elipse 
80 
 
1 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA 
 
As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações 
serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2). 
A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação 
do 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ . 
O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo". 
Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é 
"degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo, 
simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a 
equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação 
aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da 
cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é 
degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral não 
degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação 
de eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada. 
Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para 
todas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ , uma forma de identificar a cônica 
através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação: 






⇒>−
⇒=−
⇒<−
hipérbole0AC4Bse
parábola0AC4Bse
elipse0AC4Bse
2
2
2
 
Por exemplo: 
a) Se 04y4x4y5xy6x5 22 =−+−++ ⇒ 064AC4B2 <−=− ⇒ elipse. 
b) Se 03y4x2yxy2x 22 =+−++− ⇒ 0AC4B2 =− ⇒ parábola. 
c) Se 024x224y3xy18x3 22 =−+++ ⇒ 0288AC4B2 >=− ⇒ hipérbole. 
 
Elipse de equação geral 
não degenerada 
x 
y eixo de simetria 
Elipse de equação geral 
degenerada 
x 
y 
eixo de simetria 
81 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo 
C (centro) do mesmo plano. 
 
OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado de 
raio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer da 
circunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d. 
Vale a relação r2d = . 
 
Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer 
da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que r|CP| = , que é a equação vetorial da circunferência. Como 
)ny,mx(CP −−= , então: r)ny()mx(|CP| 22 =−+−= , logo 222 r)ny()mx( =−+− . 
Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência. 
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja, 
uma equação do tipo 0edycxbyax 22 =++++ , e são assim que geralmente elas 
aparecem na literatura. 
Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais são 
definidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ no 
triângulo CPS. 
 
θ+=⇒−=θ senrny
r
ny
sen e θ+=⇒−=θ cosrmx
r
mx
cos 
As equações paramétricas da circunferência são: 



θ+=
θ+=
senrny
cosrmx
, pi≤θ≤ 20 . 
 
Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência 
03y6x4yx 22 =−+−+ . 
P(x,y) 
y 
x m Ox 
n 
C 
r θ 
S 
Oy 
O 
r 
82 
 
Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Para 
determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida, 
completando os quadrados. Então: 
0399y6y44x4x
22 )3y(
2
)2x(
2
=−−+++−+−
+−
��������������
 ⇒ 16)3y()2x( 22 =++− . Agora na forma da 
equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4. 
 
Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um 
de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3). 
Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência 
passando pelo centro e vale r2d = . Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto 
médio do diâmetro. Então: )0,3(
2
33
,
2
51
)n,m(C =




 −+
= . A distância entre A e B é o 
valor do diâmetro. Assim, 132)33()15(|AB|d 22 =−−+−== , logo 13
2
d
r == . 
Portanto, a equação reduzida é 13y)3x( 22 =+− . 
 
ELIPSE 
Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF 21 = , chamamos de 
elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos 
pontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• C(m,n) é o centro; 
• A1, A2, B1 e B2 são vértices; 
• F1 e F2 são focos; 
• a2AA 21 = é o eixo maior; 
• b2BB 21 = é o eixo menor; 
• c2FF 21 = é a distância focal; 
• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222 cba += . 
n 
m 
P 
B2 
B1 
A1 A2 
Oy 
Ox 
F1 F2 C 
a 
c 
b 
O 
83 
 
• Excentricidade: 
a
c
e = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja, 
quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a, 
então 1e0 << . Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais 
achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada 
ela será. 
 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 é 
dada por |PF| 1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF| 2 . Portanto, pela 
definição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF| 21 ====++++ chamada de equação 
vetorial da elipse. 
O desenvolvendo da equação vetorial resultaem outra expressão chamada de 
equação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento. 
Considere uma elipse de centro )n,m(C , focos )n,cm(F1 − e )n,cm(F2 + e eixo 
maior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse 21AA é paralelo ao eixo coordenado 
Ox. Seja )y,x(P um ponto qualquer da elipse como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
( ) ( )
( ) ( )



−−−=⇒−+−=
−+−=⇒−−−=
ny,c)mx(PFny),cm(xPF
ny,c)mx(PFny),cm(xPF
22
11 ⇒
[ ]
[ ]



−+−−=
−++−=
22
2
22
1
)ny(c)mx(|PF|
)ny(c)mx(|PF|
 
 Como a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ |PF|a2|PF| 21 −= . Elevando ao quadrado ambos os lados 
desta última igualdade vem que: ( )2221 |PF|a2|PF| −= ⇒ 
2
22
22
1 |PF||PF|a4a4|PF| +⋅−= ⇒ |PF|a4a4|PF||PF| 2
22
2
2
1 ⋅−=− ⇒ 
[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 22
2
22
2
22
⋅−=





−+−−−





−++− ⇒ 
[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 222222 ⋅−=−−−−−−++− ⇒ 
|PF|a4a4c)mx(c2)mx(c)mx(c2)mx( 2
22222
⋅−=−−+−−+−+− ⇒ 
n 
m 
P 
B2 
B1 
A1 A2 
Oy 
Ox 
F1 F2 C 
c 
O 
c 
m-c m+c x 
y 
84 
 
|PF|a4a4)mx(c4 2
2
⋅−=− ⇒ |PF|aa)mx(c 2
2
⋅−=−− . Elevando ambos os membros 
ao quadrado vem que: 
[ ] ( )2222 |PF|aa)mx(c ⋅−=−− ⇒ [ ] 22222 |PF|)a(a)mx(c ⋅−=−− ⇒ 
[ ] [ ] 222222 )ny(c)mx()a(a)mx(c 





−+−−⋅−=−− ⇒ 
( )22224222 )ny(c)mx(c2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−⋅=+−−− ⇒ 
22222224222 )ny(aca)mx(ca2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−=+−−− ⇒ 
0caa)ny(a)mx(a)mx(c 224222222 =−+−−−−− ⇒ 
0)ca(a)ny(a)mx()ac( 22222222 =−⋅+−−−⋅− (*) 
Pela relação notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Substituindo na equação 
(*) vem que: 
0ba)ny(a)mx(b 222222 =⋅+−⋅−−⋅− ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b −=−⋅−−⋅− 
Dividindo todos os termos da equação por ( 22 ba ⋅− ) vem que: 
22
22
2
22
2
2
22
2
ba
ba
)ny(
ba
a
)mx(
ba
b
−
−
=−⋅
−
−−⋅
−
−
 ⇒ 1)ny(
b
1
)mx(
a
1 2
2
2
2
=−⋅+−⋅ 
e finalmente obtemos a equação reduzida da elipse: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
 
 
Esta expressão acima demonstrada é a equação reduzida de uma elipse de eixo 
maior horizontal (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Ox), mas existem as elipses de 
eixo maior vertical (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Oy) e suas equações são 
diferentes. O desenvolvimento para obtermos a equação reduzida de uma elipse de 
eixo maior vertical é análogo ao que fizemos para a elipse de eixo maior horizontal e, 
portanto, não apresentaremos este desenvolvimento. De uma forma geral temos: 
 
Equação Reduzida: 
a) Elipse de eixo maior horizontal: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
 
b) Elipse de eixo maior vertical: 1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
 
 
OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que 222 cba += ⇒ 222 caa += ⇒ 0c = . 
Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1
a
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
 ⇒ 
85 
 
222 a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ou 
seja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois, 
0
a
0
a
c
e === . 
 
Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressão 
chamada de equação geral, a qual tem a forma 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . Vamos 
fazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cuja 
equação reduzida é 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
. Multiplicando toda a equação por 22ba 
vem que: 22
2
222
2
222
ba
b
)ny(ba
a
)mx(ba
=
−
+
−
 ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b =−⋅+−⋅ ⇒ 
22222222 ba)nny2y(a)mmx2x(b =+−⋅++−⋅ ⇒ 
0banayna2yambxmb2xb 222222222222 =−+−++− ⇒ 
0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+ . Fazendo: 
� �
0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+
φθγβα
���� ����� ������������
, obtém-se a equação geral 
da elipse 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . 
 
Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal, com 
centro em )n,m(C , com eixo maior a2AA 21 = e eixo menor b2BB 21 = , a 
circunferência Ci com centro em )n,m(C e raio igual a "b", inscrita na elipse, a 
circunferência Cc com centro em )n,m(C e raio igual a "a", circunscrita na elipse e 
)y,x(P EE um ponto qualquer da elipse E. 
Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto )y,x(R cc 
e uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto )y,x(M ii . De acordo com as 
equações paramétricas de uma circunferência tem-se: 



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosbmx
:)I(
i
i e 



θ⋅+=
θ⋅+=
senany
cosamx
:)II(
c
c , pi≤θ≤ 20 . 
Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato: 
0
1asenncosam
1bsenncosbm
1nm
=
θ+θ+
θ+θ+ 
86 
 
Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = e 
iE yy = , ou seja: 



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosamx
:)I(
E
E , pi≤θ≤ 20 . Portanto, as equações 
paramétricas da elipse são: 



θ⋅+=
θ⋅+=
senbny
cosamx
E
E , pi≤θ≤ 20 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de uma 
elipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos: 
 
Equações Paramétricas: 
a) Elipse de eixo maior horizontal: 



θθθθ++++====
θθθθ++++====
bsenny
cosamx
, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20 
b) Elipse de eixo maior vertical: 



θθθθ++++====
θθθθ++++====
asenny
cosbmx
, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20 
 
OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte 
identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny
a
mx 22
=




 −
+




 −
. Usando a relação 
fundamental da trigonometria 1sencos 22 =θ+θ e, confrontando as duas expressões 
teremos: 
a
mx
cos
−
=θ ⇒ θ+= cosamx e 
b
ny
sen
−
=θ ⇒ θ+= senbny . 
 
Exemplo (3): Determine o centro, vértices, focos e a excentricidade da elipse 
x2+4y2-4x-32y+32=0. 
Solução: Como a elipse foi dada na sua forma normal, devemos completar os 
quadrados e passá-la para a forma reduzida. Então: 
Ox 
Oy 
R 
m xE=xc 
yE=yi 
B2 
B1 
A1 
A2 
C 
P 
Q 
M 
N n 
θ 
Cc 
Ci 
87 
 
032)1616y8y(444x4x
22 )4y(
2
)2x(
2
=+−+−+−+−
−
−
�� ��� ���������
 ⇒ 032644)4y(4)2x( 22 =+−−−+− ⇒ 
⇒ 
36
36
36
)4y(4
36
)2x( 22
=
−
+
−
 ⇒ 1
9
)4y(
36
)2x( 22
=
−
+
−
. Como 22 ba > , então 




=⇒=
=⇒=
3b9b
6a36a
2
2
, e a elipse é de eixo maior horizontal. Da relação notável vem que 
33ccba 222 =⇒+= . Da equação reduzida temos que o centro é C(2,4). 
)4,4()n,am(A1 −=− , )4,8()n,am(A2 =+ , )7,2()bn,m(B1 =+ , )1,2()bn,m(B2 =− , 
)4,332()n,cm(F1 −=− e )4,332()n,cm(F2 +=+ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (4): Determine a equação reduzida da elipse de excentricidade 
5
4
, cujos 
focos são pontos da reta 04x =+ e sendo B1(-1,3) um dos extremos do eixo menor. 
 
Solução: Como os focos estão sobre a reta 4x −= , trata-se de uma elipse de eixo 
maior vertical. Geometricamente podemos determinar o centro )3,4(C − , 3b = e 
)3,7(B2 − . Como 5
4
a
c
e == ⇒ a
5
4
c = . Da relação ⇒+= 222 cba ⇒





+=
2
22 a
5
4
3a 
⇒=− 9a
25
16
a 22 5a = e 4c = . 
 Portanto, a equação reduzida será 1
25
)3y(
9
)4x( 2
=
−
+
+
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
332 − 332 + 8 
B2 
B1 
A2 A1 
y 
x 
F1 F2 
C 
2 -4 
4 
x 
y 
7 
8 
-2 
-7 -1 -1 
3 
x −=
-4 
88 
 
HIPÉRBOLE 
 
Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = , 
chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo da 
diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante c2a2 < . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seus elementos são: 
• C(m,n) é o centro; 
• A1, A2 são vértices; 
• F1 e F2 são focos; 
• a2AA 21 = é o eixo real (ou eixo transverso); 
• b2BB 21 = é o eixo imaginário (ou eixo conjugado); 
• c2FF 21 = é a distância focal; 
• Relação notável para elipse: Do triângulo CA2Q ⇒ 222 bac += 
• Excentricidade: 
a
c
e = . Como, para hipérbole, ca < , então 1e > . Assim, quanto 
mais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos da 
hipérbole e, mais abertos eles serãoà medida que a excentricidade se afasta de 1. 
• As retas (r1) e (r2) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço da 
hipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos não 
interceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadas 
por: )mx(
a
b
)ny( −±=− para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real 21AA 
paralelo ao eixo Ox) e )mx(
b
a
)ny( −±=− para hipérbole de eixo real vertical (eixo 
real 21AA paralelo ao eixo Oy). 
 
 
y 
x 
P 
n 
m 
(r1) 
F1 F2 A1 A2 
B2 
B1 
C a 
c b 
(r2) 
Q 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que: 
a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da hipérbole. 
A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da equação 
vetorial resulta na equação reduzida. Então: 
 
Equação reduzida: 
a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1
b
)ny(
a
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
−−−−
++++
−−−−
 
b) Hipérbole de eixo real vertical: 1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
====
−−−−
++++
−−−−
−−−−
 
 
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja, 
uma equação da forma: 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . 
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo, com 
centro em )n,m(C , com eixo real a2AA 21 = , imaginário b2BB 21 = e distância focal 
c2FF 21 = . Traça-se uma circunferência C1 com centro em )n,m(C e raio igual a "c", a 
circunferência C2 com centro em )n,m(C e raio igual a "a" e uma das assíntotas (r1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
C 
m 
n 
hipérbole de eixo real vertical 
A1 A2 
m 
n 
C 
hipérbole de eixo real horizontal 
Q 
F1 
P 
F2 
A1 A2 
C 
a 
c 
y=b+n 
n 
m x=m+c 
θ 
(r1) 
C1 C2 
B1 
B2 
b 
90 
 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) com 
a circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pontos Q e A2, traça-se uma paralela ao Oy. 
Pela construção temos que ba = e as coordenadas do ponto P(x,y) são cmx += e 
bny += . Do triângulo retângulo CA2Q vem que: 
c
a
cos =θ ⇒ 
θ
=
cos
1
a
c
 ⇒ θ=− secamx ⇒ θ+= secamx 
a
b
tg =θ ⇒ θ= atgb ⇒ θ=− btgny ⇒ θ+= btgny . 
Analogamente, podemos demonstrar as equações paramétricas para uma 
hipérbole de eixo real vertical. Assim: 
 
Equações Paramétricas 
a) Hipérbole de eixo real horizontal: 



θθθθ++++====
θθθθ++++====
btgny
secamx
, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20 
b) Hipérbole de eixo real vertical: 



θθθθ++++====
θθθθ++++====
secany
btgmx
, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20 
 
OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte 
identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny
a
mx 22
=




 −
−




 −
. Usando a relação da 
trigonometria 1tgsec 22 =θ−θ . Confrontando as duas expressões teremos: 
a
mx
sec
−
=θ ⇒ θ+= secamx e 
b
ny
tg
−
=θ ⇒ θ+= btgny . 
 
Exemplo (5): Determine os focos e os vértices da hipérbole de equação normal 
0199y64x18y16x9 22 =−−−− . 
Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida teremos: 
0199)44y4y(16)11x2x(9 22 =−−++−−+− ⇒
0199649)2y(16)1x(9 222 =−+−+−− ⇒ 144)2y(16)1x(9 222 =+−− ⇒ 
144
144
144
)2y(16
144
)1x(9 22
=
+
−
−
 ⇒ 1
9
)2y(
16
)1x( 22
=
−
+
+
−
 ou 1
9
)2y(
16
)1x( 22
=
+
−
−
. 
A equação reduzida mostra que a hipérbole é de eixo real horizontal e, 
4a16a2 =⇒= , 3b9b2 =⇒= . Da relação notável: 222 bac += ⇒ 5c = . O centro é 
C(m,n) = (1,-2). 
vértices:



−=−
−=+
)2,3()n,am(A
)2,5()n,am(A
2
1 focos: 



−=−
−=+
)2,4()n,cm(F
)2,6()n,cm(F
2
1 
91 
 
Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas 
03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . Escreva sua equação reduzida sabendo-se 
que ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço. 
Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear 



=+−
=−+
03yx2
03yx2
, determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com as 
equações das assíntotas )mx(
b
a
)ny( −±=− e 



+=
+−=
3x2y
3x2y
, determinamos os 
coeficientes angulares 2
b
a ±= . Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbole 
passa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida 
1
a
)ny(
b
)mx(
2
2
2
2
=
−
+
−
−
.Logo: 1
)b2(
)37(
b
)00(
2
2
2
2
=
−
+
−
−
 ⇒ 1
b4
16
b
0
22
=+
−
 ⇒ 2b = e 
4a = . Portanto, a equação reduzida é 1
16
)3y(
4
x 22
=
−
+
−
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 PARÁBOLA 
Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d) 
fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os elementos da parábola são: 
• Vértice: V(m,n) 
• F: foco 
• (d): reta diretriz 
A1 
A2 
C(0,3) 
-1 
3 
7 
(r2) (r1) 
-1 1 
Q 
O 
2
p 
m 
(d) 
P 
F V n 
2
p 
R 
92 
 
• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola 
• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da parábola 
• Os segmentos 
2
p
VFRV == 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que: 
|FP||QP| ==== que é a equação vetorial. 
O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida. Considere 
uma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como na figura 
abaixo. Então sua equação vetorial é |FP||QP| = . Como )y,x(P , 




− y,mQ
2
p e 




 + n,mF
2
p , vem que 



 +−= 0,mxQP
2
p e 




−−−= ny,mxFP
2
p . Assim: 
|FP||QP| = ⇒ 2
2
2
p2
2
p )ny()mx()mx( −+




−−=



 +− ⇒ 
2
2
2
p2
2
p )ny()mx()mx( −+




−−=



 +− ⇒ 
 ⇒ 2
4
p2
4
p2 )ny(p)mx()mx(p)mx()mx(
22
−++⋅−−−=+⋅−+− ⇒ 
)mx(p2)ny( 2 −⋅=− . Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo de 
simetria horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com eixo de 
simetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então: 
 
Equação reduzida: 
a) Parábola com eixo de simetria horizontal: 




±±±±====
−−−−====−−−−
2
p
mx:diretriztaRe
)mx(p2)ny( 2
 
b) Parábola com eixo de simetria vertical: 




±±±±====
−−−−====−−−−
2
p
ny:diretriztaRe
)ny(p2)mx( 2
 
 
Q 
O 
2
p 
m 
(d) 
P 
F V n 
2
p 
R 
2
pm + 
2
pm − x 
y 
93 
 
O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para uma 
parábola com eixo de simetria horizontal temos: 
)mx(p2)ny( 2 −⋅=− ⇒ pm2px2nny2y 22 −=+− ⇒ xm
p2
n
y
p
n
y
p2
1 22
=++− . 
Fazendo: 
p2
1
a = , 
p
n
b = e m
p2
n
c
2
+= , temos a expressão cbyayx 2 ++++++++==== , que é a 
equação geral de uma parábola de eixo de simetria horizontal. Note que neste caso 
a variável x esta em função da variável y, ou seja, )y(fx ==== . Analogamente, obtemos 
a equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical que é dada por 
cbxaxy 2 ++++++++==== , e neste caso a variável y está em função da variável x, ou seja, 
)x(fy ==== . 
Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal com vértice )n,m(V , 
reta diretriz (d). Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pelo vértice V, traça-se 
uma reta paralela ao eixo Oy obtendo o ponto S. 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo RSV vem que: 
2
p
ny
tg
−
=θ ⇒ θ=− tg
2
p
ny ⇒ θ+= tg
2
p
ny . 
Como θ=− 2
2
2 tg
4
p
)ny( e )mx(p2)ny( 2 −=− , igualando as duas expressões vem que: 
θ=− 2
2
tg
4
p
)mx(p2 ⇒ θ+= 2tg
8
p
mx . Essas são as equações paramétricas para uma 
parábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, pode-se demonstrar as 
equações paramétricas de uma parábola com eixo de simetria vertical. Então: 
 
Equações Paramétricas: 
a) Parábola com eixo de simetria horizontal: pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤






θθθθ++++====
θθθθ++++====
20,
tg
2
p
ny
tg
8
p
mx 2
 
b) Parábola com eixo de simetria vertical: pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤





θθθθ++++====
θθθθ++++====
20,
gcot
8
p
ny
gcot
2
p
mx
2
 
2
p 
S y 
x 
Q 
R 
m 
(d) 
P(x,y) 
F V n θ 
94 
 
 
Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2 +−= . 
Faça um esboço da parábola. 
Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo vertical 
com concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então: 
899x6xy
2)3x(
2 +−+−=
−
�������
 ⇒ )1y(1)3x( 2 +⋅=− . Identificando com a equação 
)ny(p2)mx( 2 −=− , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒ 
4
1
2
p
e
2
1
p == . 
Logo, o foco é ),3()n,m(F 4
3
2
p
−=+ e a reta diretriz (d): 4
5y −= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d): 
x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas. 
Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vértice 
V(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) e 
o parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltada 
para a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a 
equação normal: 
)3x(4)3y()mx(p2)ny( 22 −=−⇒−=− ⇒ 12x49y6y2 −=+− ⇒ 
4
21
y
2
3
y
4
1
x 2 +−= 
As equações paramétricas são: 






θ+=
θ+=
tg
2
p
ny
tg
8
p
mx 2
 ⇒ 




θ+=
θ+=
tg3y
tg
4
1
3x 2 
 
 
 
 
 
 
 
8 
4 2 
1− 
4
3
− 
4
5
−
 
3 
F 
V (d) 
2 3 
Q 
p 
4 
(d) 
F V 3 
95 
 
Exercícios Propostos 
1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e na 
qual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5). 
Resp: 016x6yx 22 =−−+ 
2) Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) e 
C(1,8). Resp: 09y10x6yx 22 =+−++ 
3) Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 3
1 , viaja ao redor da Terra, situada 
num dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima do 
satélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km 
4) Dada à elipse de equações paramétricas 



θ+=
θ+=
sen32y
cos53x
, determine a interseção 
dela com a reta 
5
14x3
y:)r(
−
= . Resp: A(8,2) e B(3,-1) 
5) Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que ab = . Determine a equação reduzida e 
as equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F1(-4,0) e F2(4,0). 
Resp: 




θ=
θ=
=+
tg22y
sec22xe8yx 22 
6) Mostre que a equação Eyx4 22 =− , sendo ℜ∈E e 0E ≠ , representa uma família 
de hipérboles de excentricidade constante igual a 5 . 
7) Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação 
x12y2 = . Resp: 3x:)d(e)0,3(F),0,0(V,6p −== 
8) Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola 
3x2xy 2 ++−= . Resp: 
4
17
y:)d(e
4
15
,1F),4,1(V,
2
1
p =





=